de thi hoc sinh gioi mon toan lop 10 truong thpt luu hoang ha noi

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn thi: Tốn - Lớp: 10
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm). Cho parabol  P  : y  x 2  bx  c ( b, c là các tham số thực).
a) Tìm giá trị của b, c biết parabol  P  đi qua điểm M  3;2  và có trục đối
xứng là đường thẳng x  1 .
b) Với giá trị của b, c tìm được ở câu a), tìm m để đường thẳng d : y   x  m
cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với

O là gốc tọa độ).
Câu 2 (7 điểm).
a) Giải phương trình:

x 2  3x  3  x 2  3x  6  3 .

x 2  mx  2
 1 vơ nghiệm.
b) Tìm m để bất phương trình 2
x  3x  4
 2x  y  2 x  2 y  1  5
c) Giải hệ phương trình: 
.
3 x  2 y  1  y  3 x  2

Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;1 và B  2;4  . Tìm
tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .
Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC , N là điểm thuộc cạnh
BC thỏa mãn NC  2 NB . Gọi I là trung điểm của MN .
2
1
a) Chứng minh rằng: IN  IB  IC .
3
3

b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB và IC .
c) Giả sử độ dài các cạnh BC  a, CA  b, AB  c . Chứng minh rằng:
Nếu 3a.IA  4b.IB  5c.IC  0 thì tam giác ABC đều.
Câu 5 (2 điểm). Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  1 và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A   x  1 y  1 z  1 .

1 1 1
   2.
x y z

----------HẾT---------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................
Chữ ký giám thị coi thi số 1:
Chữ ký giám thị coi thi số 2:


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Mơn thi: Toán - Lớp: 10

I. Hướng dẫn chung
II. Đáp án và thang điểm
Câu

Đáp án
a) Cho parabol  P  : y  x  bx  c ( b, c là các tham số thực). Tìm giá trị của b, c

Điểm

2

biết parabol  P  đi qua điểm M  3; 2  và có trục đối xứng là đường thẳng x  1 .
Do parabol  P  có trục đối xứng là đường thẳng x  1 nên ta có


1

b
 1  b  2 .
2

Do parabol  P  đi qua điểm M  3; 2  nên ta có

2   3  b.  3  c  c  3b  7  c  3.2  7  1.
2

1

Vậy b  2, c  1 .
b) Với giá trị của b, c tìm được ở câu a), tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt
parabol  P  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với

O là gốc tọa độ).
Với b  2, c  1 ta có  P  : y  x 2  2 x  1.
Phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và d là
Câu 1
(4 điểm)

x 2  2 x  1   x  m  x 2  3x  m  1  0 (1)

Để d cắt  P  tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
   13  4m  0  m 

0.5

13
.
4

Khi đó giả sử 2 nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 lần lượt là hoành độ 2 điểm

A, B .

0.5

Do A, B  d  A  x1 ;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m   OA  x1 ;  x1  m  , OB  x2 ;  x2  m  .
Tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ khi

Câu 2
(7 điểm)

OA.OB  0  x1.x2   x1  m  x2  m   0  2 x1.x2  m  x1  x2   m 2  0 (2)

0.5

 x1  x2  3
Do x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Vi-et ta có 
 x1 x2  m  1
 m  1
Khi đó (2)  2(m  1)  m.  3  m 2  0  m 2  m  2  0  
.
m  2
13
Kết hợp với điều kiện m 
ta có các giá trị của m cần tìm là m  1, m  2 .
4

0.5

a) Giải phương trình: x 2  3x  3  x 2  3x  6  3 .
Phương trình đã cho tương đương với

x 2  3x  3  1  x 2  3x  6  2  0

0.5


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí



x 2  3x  2
x 2  3x  3  1



x 2  3x  2
x 2  3x  6  1

0

0.5



1
1
  x 2  3x  2  

0
2

2
x

3
x

3

1
x

3
x

6

1




1
1
 x 2  3 x  2  0  Do

 0
x 2  3x  3  1
x 2  3x  6  1



x  1
.

x  2
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x  1, x  2 .
b) Tìm m để bất phương trình
Bất phương trình

0.5
0.5

0.5

x 2  mx  2
 1 vô nghiệm.
x 2  3x  4

x 2  mx  2
 1 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
x 2  3x  4

x 2  mx  2
 1 (1) nghiệm đúng với mọi x .
x 2  3x  4
Ta có
(1)  x2  mx  2   x2  3x  4  Do x2  3x  4  0, x 

0.5



0.5

khi và chỉ khi   0

0.5

 2 x   m  3 x  2  0 (2)
2

Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x

  m  3  16  0  4  m  3  4  7  m  1
2

x 2  mx  2
 1 vơ nghiệm thì 7  m  1 .
x 2  3x  4
 2 x  y  2 x  2 y  1  5
c) Giải hệ phương trình: 
.
3 x  2 y  1  y  3 x  2
Vậy để bất phương trình

 2 x  y  a
Đặt 
 a, b  0  . Suy ra a 2  b2  3x  y  1 .
 x  2 y  1  b
Hệ phương trình đã cho trở thành
(1)

a  2b  5
a  5  2b



2
2
2
2
3b  a  b  1 a  b  3b  1  0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được
 13
b
2
2
2
 5  2b   b  3b  1  0  5b  23b  26  0   5 .
b  2

13
1
 a   (Loại vì a  0 ).
5
5
Với b  2  a  1 .
 2 x  y  1
2 x  y  1
x  1



Khi đó ta có 
.
x

2
y

3
y


1
x

2
y

1

2



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  là 1; 1 .

Với b 

Câu 3
(2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;1 và B  2; 4  . Tìm tọa độ điểm

C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Gọi C  x; y  là điểm cần tìm.

 AB. AC  0

Để tam giác ABC vng cân tại A thì 
(1)

 AB  AC

0.5

Ta có AB   3;3 , AC   x  1; y  1 . Từ (1) suy ra

0.5

3  x  1  3  y  1  0


x  y  0

 2 2

2
2
2
2
x  1   y  1  18

3

3

x

1

y

1










0.5

 x  2
 y  x

 y   x
 y   x

  y  2 .




x

2



2
2
2
  x  4
  x  4

 x  1    x  1  18
 x  1  9


  y  4

0.5

Vậy có hai điểm C thỏa mãn điều kiện bài toán là C  2; 2  hoặc C  4; 4  .
Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC , N là điểm thuộc cạnh BC thỏa mãn
NC  2NB . Gọi I là trung điểm của MN .
a) Chứng minh rằng: IN 

2
1
IB  IC .
3
3

b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB và IC .
c) Giả sử độ dài các cạnh BC  a, CA  b, AB  c . Chứng minh rằng:
Nếu 3a.IA  4b.IB  5c.IC  0 thì tam giác ABC đều.
a) Do N  BC và thỏa mãn NC  2NB nên ta có
2 NB  NC  0
 2 IB  IN  IC  IN  0



Câu 4
(5 điểm)



 2IB  IC  3IN  0
2
1
 IN  IB  IC
3
3

1

1
1
IA  IC
2
2
Do I là trung điểm MN nên ta có IM  IN  0

b) Do M là trung điểm AC nên ta có IM 

1
1
2
1
1
2
5
IA  IC  IB  IC  0  IA  IB  IC  0
2

2
3
3
2
3
6
1
2
5
4
5
 IA   IB  IC  IA   IB  IC
2
3
6
3
3
4
5
c) Theo câu b) ta có IA   IB  IC  3IA  4 IB  5IC . Khi đó
3
3






0.5
0.5

0.5
0.5
0.5

3a.IA  4b.IB  5c.IC  0  a 4 IB  5 IC  4b.IB  5c.IC  0

0.5

 4  b  a  .IB  5  c  a  .IC  0  4  b  a  .IB  5  a  c  .IC (1)

0.5


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
b  a  0
Do IB và IC không cùng phương nên từ (1) suy ra 
 a b c.
a  c  0
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.

0.5

1 1 1
   2.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A   x  1 y  1 z  1 .
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  1 và

Từ

Câu 5
(2 điểm)

1 1 1
1
1
1 y 1 z 1
y 1 z 1
   2   1 1 

2
.
x y z
x
y
z
y
z
y
z

1
z 1 x 1
1
x 1 y 1
Tương tự ta có  2
và  2
.
.
y

z
x
z
x
y

1
Suy ra
8
xyz



 x  1  y  1  z  1
2

2

0.5

2

0.5

x2 y 2 z 2

8  x  1 y  1 z  1
1
1
1

  x  1 y  1 z  1   A 

8
8
xyz
xyz

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là

1
3
đạt được khi x  y  z  .
8
2

-----------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------Ghi chú: Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.5
0.5