Chương 6: Thanh chịu uốn phẳng pot

July 2010
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
TrầnMinhTú
Đạihọc xây dựng
®¹i häc
2
Chương 6
THANH CHỊU UỐN PHẲNG
3(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
NỘI DUNG
6.1. Khái niệm chung
6.2. Uốnthuầntúythanhthẳng
6.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng
SB1 – nghiên cứu
ứ
ng su
ấ
t, bi
ế
nd
ạ
ng,
chuy
ể
nv
ị

trong thanh dướitácdụng của
các trường hợpchịulựccơ bản
Chương 2;
Kéo (nén)
đúng tâm
Chương 5:
Xoắn
UỐN
4(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (1)
 Thanh chịuuốn: khi có tác dụng của ngoạilựctrục
thanh thay đổi độ cong
 Dầm: thanh chịuuốn
5(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (2)
 Mặtphẳng tảitrọng: mặtphẳng chứatảitrọng và trụcthanh
 Mặtphẳng quán tính chính trung tâm: mặtphẳng chứatrục
thanh và 1 trục quán tính chính trung tâm củamặtcắt ngang.
 Giớihạn nghiên cứu: Dầmvớimặtcắt ngang có ít nhất1 trục
đốixứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn,…); mặtphẳng tảitrọng trùng
mặtphẳng đốixứng củadầm=> Uốnphẳng
6(68)

Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (3)
 Phân loạiuốnphẳng
 Uốnthuần túy phẳng
 Uốn ngang phẳng
 Ví dụ: thanh chịuuốn
phẳng
 Trên đoạnBC: M
x
≠0, Q
y
=0
=> Uốnthuần túy phẳng
 Trên đoạn AB,CD: M
x
≠0,
Q
y
≠0
=> Uốn ngang phẳng
F
F
FaFa
M
x
Q
y

F
F
z
V
V
A
D
= F
= F
a b a
BC
D
A
7(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (1)
Uốnthuần túy phẳng
8(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (2)
1. Định nghĩa: Thanh gọilàchịuuốnthuầntuýnếu
trên các mặtcắt ngang củanóchỉ tồntại thành
phần ứng lựclàmômenuốnM
x

(hoặcM
y
) nằm
trong mặtphẳng quán tính chính trung tâm.
Tảitrọng gây uốn: nằm trong mặtphẳng đi qua trục thanh
và vuông góc vớitrục thanh
2. Các giả thiếtvề biếndạng của thanh
a. Thí nghiệm
9(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (3)
Vạch trên bề mặt ngoài củathanh
• Hệ những đường thẳng // trụcthanh
=> thớ dọc
• Hệ những đường thẳng vuông góc
vớitrụcthanh=> mặtcắt ngang
Cho thanh chịuuốnthuần túy phẳng
QUAN SÁT
• Các đường thẳng // trụcthanh=>
đường cong // trục, khoảng cách giữa
các đường cong kề nhau không đổi
• Các đường thẳng vuông góc vớitrục
thanh => vẫnthẳng và vuông góc với
trục thanh
• Các thớ phía trên bị co (chịunén),
các thớ dướibị dãn (chịukéo)
thớ dọc

mặtcắt ngang
M
M
10(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Biếndạng của thanh chịuuốn
11(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuần túy phẳng (4)
GIẢ THIẾT
a. Giả thiếtmặtcắt ngang phẳng:
mặtcắt ngang trướcbiếndạng
là phẳng và vuông góc vớitrục
thanh thì sau biếndạng vẫn
phẳng và vuông góc vớitrục
b. Giả thiếtvề các thớ dọc: trong
quá trình biếndạng các lớpvật
liệudọctrục không có tác
dụng tương hỗ vớinhau
Vậtliệulàmviệctrongmiền đàn
hồ
i
Tồntạilớp trung hoà: gồm các
thớ dọc không bị dãn cũng

không bị co.
Đường trung hòa: Giao tuyếncủa
lớp trung hoà vớimặtcắt
ngang
M
M
Lớp trung hoà
Đường
trung hoà
Đường
trung hoà
12(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (5)
3.Ứng suấttrênmặtcắt ngang
a. Biếndạng dài củathớ dọc
có khoảng cách y đếnthớ
trung hoà
Xét vi phân chiềudàicủathớ
dọc dz = cd. Sau biếndạng
cd có độ dài là c’d’.
Biếndạng dài tỉđối:
thớ trung hoà
c
d
a
b

c
d
ρ
dϕ
dz
1
2
1
2
12
12
y
y
a
b
(
)
''
z
yd d
dz c d cd y
dz cd d
ρϕρϕ
ε
ρ
ϕρ
+−
Δ−
== = =
z

y
=
ε
ρ
ρ − bán kính cong củathớ trung hoà
13(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (6)
b. Quan hệứng suất-biếndạng
Xét mặtcắt ngang bấtkỳ, phân
tố diệntíchdAchứa điểmK.
Tách phân tố lậpphương chứa
điểmK.
Từ gt 1: góc vuông không thay
đổi=> τ=0
Từ gt 2: σ
x
=σ
y
=0
=> Trên mặtcắt ngang chỉ tồn
tại duy nhất ứng suất pháp σ
z
Theo định luật Hooke
y
z
x

dA
σ
x
y
z
K
K
σ
z
σ
z
zz
E
=
σ
ε
z
y
E
=
σ
ρ
1
????=
ρ
14(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering

6.2. Uốnthuầntúyphẳng (7)
c. Công thứctínhứng suất pháp
Tảitrọng gây uốnnằm trong mặt
phẳng yOz và vuông góc với
trục thanh nên: N
z
=M
y
=0 và
M
x
≠0. Ta có:
y
z
x
dA
σ
x
y
z
K
M
x
0
zz
AA
E
NdAydA== =
∫∫
σ

ρ
0
x
A
ydA S==
∫
Đường trung hoà đi qua trọng tâm
củamặtcắt ngang
0
yz
AA
E
MxdA xydA== =
∫∫
σ
ρ
0
xy
A
xydA I==
∫
Hệ trụcOxy làhệ trục
quán tính chính trung tâm
15(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (8)
M

x
>0: căng thớ dưới
M
x
<0: căng thớ trên
=> Để thuậntiệntathường dùng
công thứctínhtoán
y
z
x
dA
σ
x
y
z
K
M
x
2
x
zx
AA
E
E
My
dA
y
dA I== =
∫∫
σ

ρ
ρ
1
x
x
M
E
I
=
ρ
EI
x
– độ cứng củadầmchịuuốn
M
x
– mô men uốnnộilực
ρ – bán kính cong củathớ trung hoà
z
y
E
=
σ
ρ
x
z
x
M
y
I
=

σ
Thay biểuthứccủa bán kính cong
vào biểuthức xác định ứng suất pháp
y – tung độ điểmcầntínhứng suất
x
z
x
M
y
I
=±
σ
thuộcvùngkéo
thuộcvùngnén
16(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (9)
d. Biểu đồ ứng suất pháp
 Các điểmcàngxa ĐTH thì trị tuyệt đối ứng suất pháp
càng lớn
 Các điểmnằmtrên ĐTH thì có σ
z
=0
 Các điểmnằmtrênđường thẳng // ĐTH thì có
σ
z
=const

=> Biểudiễnsự biếnthiêncủa ứng suất pháp theo
chiềucaomặtcắt ngang
 Biểu đồ ứng suất pháp là đường thẳng đi qua gốc
toạđộ=> để vẽđượcbiểu đồ chỉ cầntínhứng suất
pháp tại điểmbấtkỳ trên mặtcắt ngang
 Đánh dấu(+) để biểudiễnphần ứng suấtkéovàdấu
(-) biểudiễnphần ứng suấtné
n
17(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
18(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (11)
 Mặtcắt ngang có hai trục đối
xứng
max
2
x
x
x
x
M
M
h

IW
σ
=+ =
min
2
x
x
x
x
M
M
h
IW
σ
=− =−
max min
σσ
=
/2
x
x
I
W
h
=
-mômen chống uốncủamặtcắt ngang
x
y
σ
min

σ
max
h/2
h/2
2
6
x
bh
W =
3
3
0,1
/2 32
x
x
I
D
WD
D
π
==
Hình chữ nhật: Hình tròn:
Hình vành khăn:
() ()
3
434
10,11
/2 32
x
x

I
D
WD
D
π
η
η
== − −
d
D
η
=
với
z
M
x
19(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (12)
 Mặtcắt ngang có 1 trục
đốixứng
x
y
th
b
σ
min

σ
max
y
n
max
y
k
max
max max
x
x
k
k
x
x
M
M
y
IW
σ
=+ =
min max
x
x
n
n
x
x
M
M

y
IW
=− =−
σ
max
k
x
x
k
I
W
y
=
max
n
x
x
n
I
W
y
=
y
k
max
-khoảng cách xa ĐTH nhấtthuộc vùng chịukéo
y
n
max
-khoảng cách xa ĐTH nhấtthuộc vùng chịunén

z
M
x
20(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (13)
4. Điềukiệnbền
Dầmlàmbằng vậtliệudẻo
Dầmbằng vậtliệugiòn
Ba bài toán cơ bản
 Kiểmtrađiềukiệnbền:
 Xác định kích thướccủamặtcắt ngang:
 Xác định tảitrọng cho phép:
{
}
[
]
max min
max ,
σ
σσ
≤
[
]
[
]
max min

;
kn
σ
σσσ
≤≤
[]
max
x
x
M
W
σ
σ
=≤
[]
x
x
M
W ≥
σ
[
]
x
x
M
W
σ
≤
21(68)
Jul

y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (14)
 Mặtcắt ngang có hình dáng hợplý:
 Khả năng chịulựccủadầmlớnnhất
 Tiếtkiệmvậtliệunhất
Dầmbằng vậtliệu dòn: mặtcắt ngang hợplýkhiđồng
thờithỏamãn
Dầmbằng vậtliệudẻo:
[]
max max
x
k
k
x
M
y
I
σ
σ
==
[]
min max
x
n
n
x
M
y

I
σ
σ
==
[]
[]
max
max
(*)
k
k
n
n
y
y
σ
σ
=
Mặtcắt ngang không
đốixứng qua trụcx
thoả mãn đk(*)
[
]
[
]
kn
σ
σ
=
max

max
1
k
n
y
y
=
Mặtcắt ngang có
hai trục đốixứng
22(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốnthuầntúyphẳng (15)
 Để tiếtkiệmvậtliệu
Từ biểu đồ ứng suất, càng xa ĐTH ứng suấtcànglớn
=> đưavậtliệu ra xa ĐTH
x
y
x
y
y
x
y
x
Vậtliệu dòn Vậtliệudẻo
23(68)
Jul
y

2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.3. Uốn ngang phẳng (1)
1. Định nghĩa
Thanh gọilàchịuuốn ngang
phẳng nếutrêncácmặtcắt
ngang củanóđồng thời có cặp
ứng lựclàmômen uốnM
x
, lực
cắtQ
y
nằm trong mặtphẳng
quán tính chính trung tâm.
Giả thiếtmặtcắt ngang phẳng
không còn đúng
24(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Biếndạng thanh chịuuốn ngang phẳng
25(68)
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.3. Uốn ngang phẳng (2)
Ứng suất pháp
Trong đó

 Mx là mômen uốnnộilựctrênmặtcắt ngang
 Ix là mômen quán tính củamặtcắt ngang đối
vớitrục quán tính chính trung tâm Ox
 y là tung độ của điểmtínhứng suất
σ=
x
z
x
M
y
I
• Mô men uốn M
x
=> Ứng suất pháp
• Lựccắt Q
y
=> Ứng suất tiếp