các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán chuyên đặng đức trọng – nguyễn đức tấn – hà nghĩa anh hoàng văn minh – hoàng khởi lai – nguyễn phước nguyễn đức hoàng

Đặng Đức Trọng – Nguyễn Đức Tấn – Hà Nghĩa Anh
Hoàng Văn Minh – Hoàng Khởi Lai – Nguyễn Phước
Nguyễn Đức Hoàng – Nguyễn Sơn Hà – Nguyễn Vũ Thanh
(Nhóm tác giả của vụ đầu tư & phát triển BGDĐT)

Gía tiền: 22000 đ
Số trang: 387 trang
Ngày xuất bản : 12/6/2010
In xong và nộp lưu chiểu ngày 3 tháng 6 năm 2010-05-2010
Tại xí nghiệp in Sài Gòn Quận 3 thành phố HCM
A. CÁC ĐỀ THI NĂM 2000 – 2001
Nhà xuất bản ĐHSP Hà Nội
Đề số 1 Đề số 7
Đề số 2 Đề số 8
Đề số 3 Đề số 9
Đề số 4 Đề số 10
Đề số 5 Đề số 11
Đề số 6 Đề số 12
B. CÁC ĐỀ THI TỪ NĂM 2001  2009
Đề số 1 Đề số 16 Đề số 31 Đề số 46
Đề số 2 Đề số 17 Đề số 32 Đề số 47
Đề số 3 Đề số 18 Đề số 33 Đề số 48
Đề số 4 Đề số 19 Đề số 34 Đề số 49
Đề số 5 Đề số 20 Đề số 35 Đề số 50
Đề số 6 Đề số 21 Đề số 36 Đề số 51
Đề số 7 Đề số 22 Đề số 37 Đề số 52
Đề số 8 Đề số 23 Đề số 38 Đề số 53
Đề số 9 Đề số 24 Đề số 39 Đề số 54
Đề số 10 Đề số 25 Đề số 40 Đề số 55
Đề số 11 Đề số 26 Đề số 41 Đề số 56
Đề số 12 Đề số 27 Đề số 42 Đề số 57

Đề số 13 Đề số 28 Đề số 43 Đề số 58
Đề số 14 Đề số 29 Đề số 44 Đề số 59
Đề số 15 Đề số 30 Đề số 45 Đề số 60
C. MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
Đề số 1 Đề số 11
Đề số 2 Đề số 12
Đề số 3 Đề số 13
Đề số 4 Đề số 14
Đề sô 5 Đề số 15
Đề số 6 Đề số 16
Đề số 7 Đề số 17
Đề số 8 Đề số 18
Đề số 9 Đề số 19
Đề số 10 Đề số 20
D. MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI
(20 Đề)
Bản Quyền Thuộc Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm Hà Nội
A. MỘT SỐ ĐỀ THI NĂM 2000 – 2001
Đề số 1:
Đề số 2:
Đề số 3:
Đề số 4:
Đề số 5
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 1999 2000)
Câu I
Cho hàm số f(x) = x
2
x + 3.
1) Tính các giá trị của hàm số tại x =

và x = -3
2) Tìm các giá trị của x khi f(x) = 3 và f(x) = 23.
Câu II
Cho hệ phơng trình :


=


+ =

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Câu III
Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lợt là P, Q, R.
1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông.
2) Đờng thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đờng
tròn.
3) Đờng thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lợt tại E và F. Chứng minh AE. CF =
2AI. CI.
Đề số 6
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 1999 2000)
Câu I
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Câu II
Cho phơng trình:

x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
Câu III
Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đờng thẳng song
song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q.
1) Chứng minh BP = CQ.
2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để
đoạn PQ ngắn nhất.
3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB

2
= HA
2
+ HC
2
. Tính góc
AHC.
Đề số 7
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2000 2001)
Câu I
Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x
1 đồng quy.
Câu II
Giải các phơng trình :
1) x
2
+ x 20 = 0
2)


+ =

3)
=
.
Câu III
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH là đ-

ờng cao của tam giác (H

BC).
1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông
góc với AC.
3) Gọi bán kính của đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.
Chứng minh : r + R



.
Đề số 8
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2000 2001)
Câu I
Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Câu II

Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam
giác có diện tích bằng 1 (đvdt).
Câu III
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại D và cắt đờng tròn ngoại tiếp tại I.
1) Chứng minh OI vuông góc với BC.
2) Chứng minh BI
2
= AI.DI.
3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng :
ã
ã
=
.
4) Chứng minh :
ã
à
à
=
.
Đề số 9
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2001 2002)
Câu I (3,5đ)
Giải các phơng trình sau:
1) x
2

9 = 0
2) x
2
+ x 20 = 0
3) x
2
2

x 6 = 0.
Câu II (2,5đ)
Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với
đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại E và F.
1) Chứng minh AE = AF.
2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành.
Câu IV (1đ)
Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phơng trình:
+ =
.
Đề số 10
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2001 2002)

Câu I (3,5đ)
Giải các phơng trình sau :
1) 2(x 1) 3 = 5x + 4
2) 3x x
2
= 0
3)



+
=

.
Câu II (2,5đ)
Cho hàm số y = -2x
2
có đồ thị là (P).
1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C(

; -4) có thuộc (P) không ?
2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m 3) thuộc đồ thị (P).
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB
tại M và cắt cạnh AC tại N.
1) Chứng minh rằng MN là đờng kính của đờng tròn đờng kính AH.
2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC.
Câu IV (1đ)
Chứng minh rằng

là nghiệm của phơng trình: x
2
+ 6x + 7 =


, từ đó phân tích
đa thức x
3
+ 6x
2
+ 7x 2 thành nhân tử.
11
THPT Chuyờn Ngoi ng H Ngoi ng (HQGHN)
Nm hc 1999 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =
2
1
:
1
xxxxxx
x
−++
+
1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P.
2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q =
1

2
2
+
+
x
xP
cũng là số
nguyên.
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình:
(m – 1)x
2
– 2mx + m + 2 = 0 (m là tham số)
1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Khi đó tìm
hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc và m.
2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ
thức:
06

1
2
2
1
=++
x
x
x
x
Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
y = mx
2
+ 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm
A(0; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C).
2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của
m.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp
tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và
không vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng
AM, AN với xy.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn.
2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm
của CD. Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành.
3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn
cố định.
Bài 5 (1đ):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

( )
2
2
4
1
1
+
+
x
x
Đề 12
THPT Chuyên toán – ĐHSPHN
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Ngày thứ nhất:
Bài 1 (2đ):
1, Tính:
A =






+







+






+






+






+






+







+






+
1999
1000
1
3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3

1999
1
2
1999
1
1
1999
1
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các
chữ số của:
n – a
n
+ 1
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
)3()2()1( +=+++ xxxxxx
2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
0
145
352)23(
22
=
−+
−−+−−
xx
nnxnx
Bài 3 (2đ):
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:
444444444
111222

zyxxz
z
zy
y
yx
x
++≤
+
+
++
Bài 4 (4đ):
Trên cùng mặt phẳng toạ độ xOy cho hai điẻm A(- 3; 0) và B(- 1; 0). Xét
hai điểm M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM, BN luôn vuông góc với
nhau.
1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM. ON không đổi
khi M, N biến thiên. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2
điểm cố định. Tìm toạ độ hai điểm cố định này.
2, Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí
M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
B. MỘT SỐ ĐỀ THI TỪ 2001 ĐẾN 2009
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 2000 – 2001
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =
xx
xx
xx
xx

x
x
+
+
−
−
−
+
+ 1122
1, Rút gọn P.
2, So sánh P với 5.
3, Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức
P
8
chỉ
nhận một giá trị nguyên.
Bài 2 (3đ):
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P):
y = x
2
1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn
đi qua 1 điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3, Tìm giá trị của tham số m để S
∆ABC
bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt
Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có AM. BN = a

2

1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90
o
.
2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d)
luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H.
3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên
một tia cố định.
4, Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị
lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a.
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =








+
−









−
+
−
−
+
−
+−
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
1, Rút gọn P.

2, Tìm x để P
2
5
−≤
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
223
2
mxmx −−=−
(1)
1, Tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tính nghiệm
đó với
m =
12 +
2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) nhận x =
625 −
là nghiệm.
3, Gọi m
1
, m
2
là hai nghiệm của phương trình (1) (ẩn m). Tìm x để m
1
, m
2
là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
224 −
.
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O

’
;
2
R
) tiếp xúc ngoài tại A. Trên
đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia
MA cắt đường tròn (O
’
) tại điểm thứ hai N. Qua N kẻ đường thẳng song song
với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn (O
’
).
1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O
’
AN.
2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất.
Tính giá trị đó theo R.
Bài 4 (1đ):
Cho biểu thức:
A = – x
2
– y
2
+ xy + 2x +2y
Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất
đó.
THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 2001 – 2002

(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức:
(y + 2)x
2
+ 1 = y
2

Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
2
2)1()13( xxxxx =−−+
2, Giải hệ phương trình:





=+
+=++
2
32
22
2
yx
yxxyx
Bài 3 (3,5đ):
Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đoạn AB lấy điểm M.
Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho
góc AMx = góc Bmy = 30

o
. Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng
tròn tại F. Kẻ EE
’
, FF
’
vuông góc xuống AB.
1, Cho AM =
2
a
Tính diện tích hình thang vuông EFE
’
F
’
theo a.
2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn
cố định.
Bài 4 (1,5đ):
Giả sử x, y, z là các số thực khác không thoả mãn hệ đẳng thức:





=++
−=+++++
1
2)
11
()

11
()
11
(
333
zyx
yx
z
xz
y
xy
x
Hãy tính giá trị biểu thức:
P =
zyx
111
++
Bài 5 (1đ):
Với x, y, z là những số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
))()(( xzzyyx
xyz
+++
Đề thi chung
Năm 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
A =
( )

yyxx
yx
yx
yyxx
yx
yx
+
+








−
−
−
−
−
2
1, Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Bài 2 (2,5đ):
1, Cho phương trình:
x
2
+ (m + 1)x + m = 0 (1)

a,Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Tìm m để biểu thức:
B = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
đạt giá trị lớn nhất.
c, Tìm m để phương trình (1) và phương trình x
2
+ (m – 5)x + 7m + 6 = 0
có nghiệm chung.
2, Giải phương trình:
x
4
+ x
2
+ 6x + 1 = 0
Bài 3 (2đ):
Cho parabol y = ax
2

(P) và đường thẳng y = x + m (d) trên cùng một hệ
trục toạ độ xOy.
1, Tìm giá trị của a biết parabol đi qua điểm M( - 2; 1).
2, Với giá trị của a tìm được ở câu 1; tìm giá trị của m để đường thẳng (d)
tiếp xúc với parabol (P) tại điểm N. Xác định toạ độ điểm N.
3, Tính diện tích tam giác OMN (cho đơn vị độ dài trên Ox và Oy là như
nhau).
Bài 4 (3,5đ):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). Các đường cao
BE và CF của tam giác ABC thứ tự cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M, N.
1, Chứng minh EF //MN
2, Chứng minh OA
⊥
MN
3, Với góc BAC = 47
o
. Xét vị trí tương đối của điểm O với đường tròn
ngoại tiếp tứ giác BFEC.
4, Cố định BC = a < 2R. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung lớn BC.
Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho phương trình bậc hai:
ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0
1, Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của
a, b

2, Xác định a, b để phương trình có nghiệm x
1
= – 2; x
2
=
2
3
−

Bài 2 (2đ):
1, Vẽ đồ thị hàm số:
y = |
212
2
−+− xx
|
2, Căn cứ vào đồ thị, hãy cho biết nghiệm của phương trình:
212
2
−+− xx
= 0 và khẳng định lại kết quả bằng phép tính.
Bài 3 (2đ):
Giải các hệ phương trình sau:
1,



=++
=++
2

4
22
yxyx
yxyx
2,





=+
=+
1
1
44
33
yx
yx
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC và một diểm M bất kỳ trong tam giác:
1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB
tại A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng:
1
A

1
1
1
1
1
1
=++
CC
MC
BB
MB
A
MA
2, Một đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác ABC cắt BC, CA,
AB thứ tự tại A
2
, B
2
, C
2.
Chứnh minh:
3
A
2
2
2
2
2
2
=++

GC
MC
GB
MB
G
MA
3, Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh BC
kéo dài về phía C và cắt cạnh CA, AB thứ tự tại các điểm A
3
, B
3
, C
3
. Chứng
minh:

333
111
GCGBGA
=+

Bài 5 (1,5đ):
1, Gọi A là tổng của 10 số thực dương, còn B là tổng của 10 số nghịch
đảo của chúng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích A. B
2, Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô bằng màu đỏ hoặc màu
xanh. Chứng minh rằng tốn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.
Năm 2006 – 2007
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:

P =
1
2
1
1
2
2
333
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa
aa
1, Rút gọn P
2, Tìm a để | P | = 1
3, Tìm các giá trị của a
∈
N để P
∈
N
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần
trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch, nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành

sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (3,5đ):
Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên
tia AB. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường
tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và
QI cắt nhau tại K.
1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng
3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB
4, Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi
nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho hai phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2) với a.
c < 0.
Gọi m và n tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình
(2).
Chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Bài 5 (1,5đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau:

)32(4)32)(347()32( −=+−+−
xx
Đề thi chung
Năm 2008 – 2009
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):

1, Giải hệ phương trình:
2 4 0
4 2 3
x
x y
+ =


+ = −

2, Giải phương trinh:
2
( 2) 4x x+ + =
Bài 2 (3đ):
1, Cho hàm số: y = f(x) = 2x
2
– x + 1
Tính f
1
2
 
−
 ÷
 
; f
( )
3
2, Rút gọn biểu thức sau:
A =
( )

1 1
.
1
1
x x x
x x
x
x
 
+ −
− −
 ÷
 ÷
−
+
 
với x ≥ 0; x ≠ 1
3, Cho phương trình: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (*)
a, Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép
b, Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu sao cho
nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 3 (1,5đ):
Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi
làm việc do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại
phải nhiều hơn dự định 4 sản phẩm.
Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của
mỗi công nhân là như nhau.

Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là điểm
bất kỳ thuộc đường tròn (B ≠ A, C). Kẻ đường kính BB
’
. Gọi H là trực tâm của
∆ ABC.
1, Chứng minh: AH // B
’
C.
2, Chứng minh: HB
’
đi qua trung điểm của AC.
3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C). Chứng minh: H luôn
nằm trên 1 đường tròn cố định.
Bài 5 (1đ):
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 (d)
và điểm A (- 2;3).
Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lờn nhất.
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học 2002 – 2003
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
A =
(
)
2
2 4 2 2 4 2
4 4
1

x x x x
x
x
+ − − + + + −
− +
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3đ):
1, Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– (2m – 3)x + 1 – m = 0
Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
+ 3x
1
. x
2.
(x
1
+ x
2

) đạt giá trị lớn nhất
2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:
a
2003
+ b
2003
= 2. a
2003
. b
2003
Chứng minh rằng phương trình x
2
+ 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ
Bài 3 (3đ):
1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180
o
. Tính tỉ số
BC
AB
2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB
vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA
tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C.
Tính góc ACD.
Bài 4 (1đ):
Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2
a b a c b c+ − + ≤ −
Với a, b, c là các số thực bất kỳ.
Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)
Năm học

(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức: P(x) =
2
2
2 1
3 4 1
x x
x x
− −
− +
1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0
Bài 2 (2đ):
1, Cho phương trình:
2 2
2(2 1) 3 6
0 (*)
2
x m x m m
x
− + + +
=
−
a, Giải phương trình trên khi m =
2
3
b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x
1
,

x
2
thoả mãn: x
1
+ 2x
2
= 16
2, Giải phương trình:
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
+ + =
+
Bài 3 (2đ):
1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x
2
+ 4y
2
= 1
Chứng minh rằng:
5
2
x y− ≤
2, Cho phân số: A =
2
4
5
n

n
+
+
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A là phân
số chưa tối giản ?
Bài 4 (3đ):
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung
gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O
1
) tại A, tiếp xúc với (O
2
) tại B.
Tiếp tuyến của (O
1
) tại P cắt (O
2
) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP
cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:
1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
2, ∆BPR cân
3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 5 (1đ):
Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E
sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội
tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆ADE.

Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
Bài 1:
Cho phương trình: x
2
+ px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a
1
, a
2
và
phương trình:
x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b
1
, b
2
.
Chứng minh:
( )
2 2
1 1 2 1 1 1 2 2
( )( )a b a b a b b b q p− − + + = −
Bài 2:
Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn:
0
x by cz
y ax cz
z ax by
x y z
= +



= +


= +


+ + ≠

Chứng minh:
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + =
+ + +
Bài 3:
1, Tìm x, y thoả mãn:
5x
2
+ 5y
2
+ 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
2, Cho các số x, y, z thoả mãn:
x
3
+ y
3
+ z
3

= 1
Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≥
− − −
Bài 4:
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả mãn phương
trình:
x
3
– y
3
= 1993
Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
Bài 1:
1, Giải phương trình:
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x

+ = + +
2, Chứng minh không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn:
x
3
+ y
3
+ z
3
= x + y + z + 2005
Bài 2:
Cho hệ phương trình:
2
2
( 1)
( 1)
x xy a y
y xy a x

+ = −


+ = −


1, Giải hệ khi a = - 1
2, Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 3:
1, Cho x, y, z
∈
R thoả mãn:

x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2xy + yz + zx
2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân
biệt:
x
4
– 2x
3
+ 2(m + 1)x
2
– (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
Bài 4:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không
chứa đỉnh A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC,
AB, AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N ≠
D); AN cắt BC tại M. Chứng minh:
1, ∆DKI đồng dạng với ∆BAM
2,
BC AB AC
DI DK DH
= +
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)
Năm học 2005 – 2006
(150 phút)

Bài 1 (1đ):
Tính giá trị biểu thức: A =
1 1
1 1a b
+
+ +
với
1 1
;
2 3 2 3
a b= =
+ −
Bài 2 (1,5đ):
Giải phương trình:
2
4 4 8x x x− + + =
Bài 3 (3đ):
Cho hàm số: y = x
2
có đồ thị ( P ). Hai điểm A, B thuộc ( P ) có hoành
độ lần lượt là: - 1 và 2.
1, Viết phương trình đường thẳng AB.
2, Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao
cho ∆MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 4 (3,5đ):
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong
của góc A cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ đường cao AK của ∆ABC. Chứng
minh:
1, Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC.
2,

·
·
KAM MAO=
3, AH = 2NO
Bài 5 (1đ):
Tính tổng: S = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + . . . .+ n. (n + 1)
Trường THPT Chuyên Thái Bình
Môn toán – toán tin năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
1, Giải phương trình:
1 3 2 1x x x+ − = −
2, Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những
điểm
M(x; y) thoả mãn điều kiện:
2
5 6 0y y x x− + =
Bài 2 (2,5đ):
1, Cho phương trình:
(m + 1)x
2
– (m – 1)x + m + 3 = 0 (m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là các số
nguyên.
2, Cho ba số x, y, z.
Đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz
Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm:
t
2
+ 2at + 3b = 0; at

2
– 2bt + 3c = 0
Bài 3 (3đ):
Cho ∆ABC
1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng
của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C.
Chứng minh: DM
⊥
BE.
2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các
cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Chứng minh:
a,
1
OD OE OF
AD BE CF
+ + =
b,
1 1 1 64
AD BE CF
OD OE OF
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 4 (0,75đ):
Cho các đa thức:
P(x) = x
3
+ ax
2

+ bx + c
Q(x) = x
2
+ x + 2005
Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình
P(Q(x)) = 0 vô nghiệm.
Chứng minh: P(2005) >
1
64
Bài 5 (0,75đ):
Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào
trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.

Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
Giải phương trình:
1,
2 2
2 3 3 2 27x x x x+ − + − + =
2,
2
1 1 1
( 2) 20
( 1)
x x
x
− =
−

−
Bài 2 (1đ):
Cho ba số a, b, c
∈
R
+
thoả mãn: ab > c và a
3
+ b
3
= c
3
+ 1
Chứng minh rằng: a + b > c + 1
Bài 3 (2đ):
Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau:
3 3 3
5 5 5
a x y
b x y
c x y
= +


= +


= +

Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y.

Bài 4 (1,5đ):
Cho phương trình:
(n + 1)x
2
+ 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0 (*)
Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m.
Bài 5 (2,5đ):
Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường
tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt
đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng
minh rằng:
1, MI
⊥
PQ
2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm
Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi.
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học 2002 – 2003
(150 phút)