Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Rèn luyện kỹ năng dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN LỚP 7 ”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I .Lý do chọn đề tài:
Bộ mơn tốn ở cấp học THCS nhằm nâng cao dần kiến thức ,kĩ năng tư duy
toán học và vận dụng tốn học vào thực tế. Vì vậy việc học tập bộ mơn này địi
hỏi sự rèn luyện, tư duy và cố gắng liên tục của mỗi học sinh. Để giúp các em
học tập đạt kết quả tốt. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần
thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền
thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất đồng thời đổi mới phương pháp dạy học
theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Xuất phát từ u cầu thực tế trong
q trình giảng dạy tốn 7 có nhiều dạng tốn sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để giải một số dạng tốn nhanh, chính xác. Vì vậy giáo viên phải có
phương pháp giải bài tập theo từng dạng và có hướng giải bài tập theo nhiều
cách khác nhau. Do vậy việc hướng dẫn các em có kĩ năng biến đổi để vận dụng
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào các bài toán là rất cần thiết, từ đó
phát triển tư duy, đồng thời tạo hứng thú học tập của học sinh nên tơi đã tiến
hành học tập tích lũy kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và soạn ra đề tài.
II. MỤC ĐÍCH ,U CẦU,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Thơng qua đề tài “ Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau vào giải toán” nhằm giúp các em chủ động kiến thức,biết vận dụng kiến
thức đúng vào giải quyết những dạng bài tập, từ đó các em khơng còn phải lo
lắng, lúng túng và mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng tốn này. Bên cạnh
đó học sinh cịn được rèn luyện :
- Kỹ năng phân tích một bài tập tốn nói chung và từng dạng tốn nói riêng
- Kỹ năng vận dụng kiến thức và biến đổi các bài tập về dạng dãy tỉ số bằng
nhau để áp dụng được cơng thức giải tốn thuận lợi. Biết đưa các bài tập mang
nội dung thực tế khó giải quyết về các bài tập đơn giản ,dễ hiểu hơn. Giúp các

em nắm vững kiến thức vận dụng vào bài kiểm cho một tiết, bài kiểm tra học kì,
đặc biệt là kì thi học sinh giỏi.
III. ĐƠI TƯỢNG, PHẠM VI,THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
-Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là học sinh lớp 7 A,7B tại trường THCS nơi
tôi công tác.
-Phạm vi: Kiến thức lớp 7, vận dụng cho cả các bài toán lớp 8; 9 THCS
-Thời gian nghiên cứu: Tôi vận dụng dạy vào những tiết học chính khóa, kết
hợp với 12 tiết vào những buổi bồi dưỡng nhu cầu của năm học 2019-2020


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp thu thập và sử lí số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm: Giảng dạy, kiểm tra - đánh giá theo định hướng
phát triển năng lực, phẩm chất học sinh
B – QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
I. KHẢO SÁT THỰC TẾ.
Trong q trình dạy học tơi nhận thấy sự phát hiện ,tìm tịi ,suy luận để tìm ra
hướng giải một bài tốn của các em cịn rất yếu , ngun nhân chủ yếu là do các
em chưa phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải đối với từng loai
và lúng túng khi gặp một dạng mới. Đối với bài tốn áp dụng tính chất dãy tỷ số
bằng nhau lớp 7 là một trong những dạng toán mà hầu hết các em đều cảm thấy
bỡ ngỡ,còn hiểu lơ mơ về tính chất dãy tỷ số bằng nhau ,các em chưa biết áp
dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau như thế nào cho đúng và cần biến đổi dãy
tỷ số cho trước như thế nào để có thể áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau vào
bài tốn cụ thể .Qua giảng dạy và lắng nghe thơng tin phản hồi của các em kết
hợp với công tác dự giờ rút kinh nghiệm tôi đã phần nào rút ra nguyên nhân và
cách giải quyết để giúp cho học sinh nắm trắc tính chất dãy tỷ số bằng nhau từ

đó vận dụng làm một số dạng bài tập và có hướng giải đúng.
Sau khi học song tiết 11 bài tính chất dãy tỉ số bằng nhau chương I đại số lớp 7
tôi cho 36 học sinh lớp 7 làm bài kiểm tra khảo sát vào buổi chiều trước khi thực
hiện đề tài với nội dung ở phiếu số 1 (phần phụ lục). Tôi thấy kết quả làm bài
của học sinh cịn thấp, cịn mắc nhiều lỗi sai khi trình bày ,cịn lúng túng trong
việc sử dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau,...Vì vậy để các em thực sự u thích
mơn tốn học nói chung và các bài tốn vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
nói riêng. Khi các em đã được trang bị đầy đủ kiến thức tôi cho học sinh củng cố
để nắm vững và hiểu thật sâu về tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau từ đó
cho các em vận dụng làm một số dạng bài tốn để tìm ra một định hướng, một
quy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng
các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
* Các biện pháp thực hiện.
Giáo viên hệ thống hóa kiến thức cho học sinh
-Lựa chon bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh
-Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn và từng bước giải quyết vấn đề
-Giao nhiệm vụ cho từng cá nhân,nhóm ,tổ và chỉ rõ thời gian hoàn thành nhiệm
vụ.


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

II. CÁC GIẢI PHÁP CỤ THỂ
Giải pháp 1:Củng cố và hệ thống lí thuyết về tỉ lệ thức, tính chất của tỉ lệ
thức ,dãy tỉ số bằng nhau
1.Lí thuyết cần nắm vững
a c

1.1. Định nghĩa của tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số b d .

Ta còn viết: a : b = c : d.
Trong đó a và d là các ngoại tỉ; b và c là các trung tỉ
a c

1.2. Tính chất của tỉ lệ thức: b d
a c

Tính chất 1: Nếu b d thì a.d = b.c

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b




b d ; c d ; b a; c a
a c

Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức b d suy ra các tỉ lệ thức:
a b
d c
d b



c d, b a, c a

1.3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a c ac ac


 

Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức b d suy ra b d b  d b  d , (b ≠ ± d)

Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau
ta suy ra: = = … (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Tính chất trên cịn mở rộng cho n số (n  2)
a
a1 a2 a3

  ...  n
bn thì
Nếu có b1 b2 b3
a
a  a  a  ...  an
a1 a2 a3
   ...  n  1 2 3
 .....
b1 b2 b3
bn b1  b2  b3  ...  bn
(gt các tỉ số đều nghĩa)

Nếu đặt dấu "-" trước số hạng trên của tỉ số nào thì đặt dấu"-"trước số hạng
dưới của tỉ số đó
.1.4. Một số tính chất của đẳng thức khác :
* A = B => AB=A2=B2
* A=B=C => ABC = A3 = B3 = C3
*
Giải pháp 2: Hệ thống dạng bài tập và cách giải

Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

2. Nội dung bài tập vận dụng: Dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 rất đa
dạng nhưng trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến một số dạng từ cơ bản đến nâng
cao cụ thể như sau:
2.1: Một số dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau:
Dạng 1: Các bài toán đơn giản áp dụng trực tiếp công thức dãy tỉ số bằng nhau
Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau sau khi đã lập được các tỷ
số mới bằng các tỷ số đã cho để sử dụng dữ kiện đề bài
Dạng 3: Từ dự kiện đề bài cho biến đổi về dãy tỷ số bằng nhau để áp dụng tính
chất dãy tỷ số bằng nhau
Dạng 4: Dạng bài tập về dãy tỷ số bằng nhau mà phần điều kiện đề bài cho các
biến có dạng tích ( xy, xyz, …) hoặc có lũy thừa.
Dạng 5: Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài tốn có nội
dung thực tế và dạng toán dành cho học sinh khá ,giỏi
2.2: Chi tiết các dạng toán: Dạng1. Các bài toán đơn giản áp dụng trực tiếp
công thức dãy tỉ số bằng nhau
a. Lí thuyết:
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a c a c a c
 

1) b d b  d b  d

2) =
3)

a

a  a  a  ...  an a1  a2  a3  ...  an
a1 a2 a3

  ...  n  1 2 3

b1 b2 b3
bn b1  b2  b3  ...  bn
b1  b2  b3  ...  bn

Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.
b. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Tìm x,y,z biết.
và
b) và
a)
x 9

y 11 và x  y  60

c*)
d*) 7x = 4y và y – x =26
Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 x  3.3  9
x y x  y 24
 

 3 
 y  5.3  15
a) 3 5 3  5 8

Vậy: x=9 , y=15

b) và
Giải : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy : x=-56 , y=-12 , z= -44


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

* Hướng dẫn:
c)

Để sử dụng được giả thiết đề bài cho x  y  60

Ta biến đổi từ

x 9

y 11

x y

suy ra 9 11
x y

suy ra 4 7

d)Ta biến đổi từ 7x =4y
Cách làm tương tư như phần a,b
Lưu ý: Biến đổi sao cho x và y ở cùng phía trên hoặc ở cùng phía

dưới trong dãy tỉ số bằng nhau
Bài 2: Tìm các số a,b,c,d biết rằng : a:b:c:d = 2:3:4:5 và a+b+c+d = -42
( BT79/22 sách bài tập tốn 7)
Giải : Từ a:b:c:d = 2:3:4:5 => (tính chất dãy tỷ số bằng nhau )
=> a=-6 , b = -9 , c= -12 , d= -15
Vậy a=-6 ; b=-9 ;c= -12 ; d=-15
* Học sinh thường sai trong cách trình bày, chẳng hạn: Áp dụng tính chất dãy tỉ
số bằng nhau
Sai lầm là học dùng dấu “=>” thay cho dấu “=”
Lưu ý: Giáo viên cần khắc sâu để học sinh tránh gặp sai lầm khi giải toán

* Sau khi hướng dẫn học sinh làm bài tập tôi cho học sinh làm bài tương tự các
em hoạt động theo nhóm đôi ( hai bạn cùng bàn) theo phiếu số 1(phần phụ lục)
* Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau sau khi đã lập được
các tỷ số mới bằng các tỷ số đã cho để sử dụng dữ kiện đề bài
a. Lí thuyết:
1)
2)
3) Khi cho a,b,c tỉ lệ với x,y,z =>
k1a  k2 c  k3e
k
k
b

k
d

k
f
1

2
3
4) Nâng cao: Nếu thì
( k1,k2,k3

b. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Tìm x, y biết :
a) và
b) và
Hướng dẫn suy luận: Đề bài cho nên từ dãy tỉ số ta phải biến đổi sao cho xuất
hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong đó số hạng trên là 2y
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
x y 2 y x  2 y 26
 


 2  x  2.3  6; y  2.5  10
a) 3 5 10 3  10 13

Vậy : x=6 ; y=10
x y 3 x 2 y 3x  2 y 2
 



 2  x  2.3  6; y  2.4  8
9 8

1
b) 3 4 9 8

Vậy : x=-6 , y= -8
Bài 2*: ( BT 61/20 sách nâng cao và phát triển tốn 7)
x y z
 
Tìm x, y, z biết: 10 6 21 và 5 x  y  2 z  28

Hướng dẫn suy luận: Bài cho 5 x  y  2 z  28 làm như thế nào để trong dãy tỉ
số bằng nhau trên xuất hiện 5x; 2z ?
x y z
5x y 2 z
 
 
Ta có 10 6 21 = 50 6 42

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z
5 x y 2 z 5 x  y  2 z 28
 
 


2
10 6 21 = 50 6 42 50  6  42 14

Suy ra x = 2.10 = 20 ; y= 2.6 = 12 ; z = 2.21 = 42
Vậy : x=20 ; y=12 ; z =42
Bài 3: Tìm x,y,z biết và

Với a,b,c là các số cho trước và m,n,p là số nguyên khác 0
Hướng dẫn: Cách giải tương tự như bài 3
Bài 4: Cho P = . Tính giá trị của P biết x,y,z tỉ lệ với 5;4;3
(Bài tập 61/26 sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7)
Giảỉ : Vì x,y,z tỷ lệ 5;4;3 suy ra
Đặt =k Suy ra x=5k ; y=4k; z=3k
Thay x=5k ; y=4k ; z=3k vào biểu thức P
Ta có P= Vậy P =
* Học sinh thường mắc sai lầm sau.
Sai lầm 1:Khi dùng tính chất1 hoặc tính chất 2 hs chỉ nhân trên tử hoặc dưới
mẫu.
x y x  2 y 26
 

-Chẳng hạn ở ví dụ 1a hs trình bày : 3 5 3  5 8

Sai lầm 2: Dạng này học sinh hay nhầm lẫn trong việc đặt dấu “-“
hoặc dấu (+) nên giáo viên cần củng cố nhắc cho học sinh hiểu : nếu trên tử
mang dấu “-“ hay “+” thì dưới mẫu cũng đặt dấu “-“ hay “+” tương ứng theo
thứ tự đó.
* Bài tập tương tự cho học sinh làm tại lớp theo phiếu số 3 (phần phụ lục)


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

* Dạng 3: Từ dự kiện đề bài cho biến đổi về dãy tỷ số bằng nhau để áp dụng
tính chất dãy tỷ số bằng nhau
a. Lí thuyết:
Khi giải bài tập dạng này giáo viên cần khắc sâu các tính chất sau:
1) Tính chất của tỉ lệ thức .

2) Từ hai tỉ lệ thức làm thế nào để đưa về dãy tỉ số bằng nhau có dạng ?
Phân tích: Vì cả hai tỉ lệ thức đều có y nên ta biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao
cho chúng có cùng một tỉ số có tử là y có mẫu là BCNN của các mẫu ban đầu
chứa y
3) Từ đẳng thức tích ax = by =cz (1) làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau bằng
cách nào?
Cách 1: Từ ax = by =>
Từ by =cz => Sau đó làm như trên .
Cách 2: Chia các vế của đẳng thức tích ax = by =cz cho BCNN(a,b,c) sẽ được
dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 3: Vì ;;nên ax = by =cz =
b. Các bài tập áp dụng :

y z
x y


5
7 và 2x+3y-z=124
3
4
Bài 1: Tìm x, y, z cho:
và
Hướng dẫn suy luận: Vì đề bài cho 2x+3y-z=124 chứa cả x,y,z nên cần biến đổi
hai tỉ lệ thức đã cho về dãy có 3 tỉ số bằng nhau có tử lần lượt x, y, z sau đó biến
đổi xuất hiện 2x, 3y
Biền đổi để các tỉ số chứa y có mẫu là BCNN(4;5)=20
x y
x
y

1
  
Ta có: 3 4 15 20 (Nhân 2 vế với 5 )
y z
y
z
1
 

5 7
20 28 (Nhân cả hai vế với 4 )
x
y
z
 

15 20 28 =

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau


x
y
z


15 20 28 ==

Suy ra: x = 30; y = 40; z = 56.Vậy x=30; y=40; z= 56
Bài 2 : Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 114



x y
y z

 
3 2 ; 3y = 5z
5 3

Hướng dẫn: Cách 1: Từ 2x = 3y
Đưa về cách giải giống hai bài trên.
Cách 2: + Biến đổi về dạng ?


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

+ Chia các vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30
2x = 3y = 5z



2 x 3 y 5z x
y z
x  y  z 114


 
 

6

30 30 30 15 10 6 15  10  6 19
=>x =90;y =60;

z = 36
x y z x  y  z 114
  

1 1 1 1 1 1 19
 
Cách 3 : Từ 2x = 3y = 5z => 2 3 5 2 3 5 30 =180 =>x,y,z

1
2
3
x  y  z  1
3
4
Bài 3: Tìm x, y, z biết: 2
và x – y + z = 22
Hướng dẫn suy luận: Vì đề bài cho x – y + z = 22 nên ta biến đổi dãy tỉ số ban
đầu sao cho các số hạng trên tử lần lượt là x, y, z
BCNN(1 ;2 ;3) = 6 Chia các vế của (1) cho 6 ta có:
x y z x  y  z 22
  

2
12 9 8 12  9  8 11
=>x = 12.2 = 24; y = 2.9 = 18; z = 8.2 = 16

Bài 4: Tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b =60

b c
a b


Giải: Cách 1. Từ 2a = 3b suy ra 3 2 ; từ 5b = 7c suy ra 7 5

Ta tìm BCNN(2,7)=14.
a b
a
b
a
b
 



Từ 3 2 3.7 2.7 21 14 (1)
a
b
c
 
Từ (1) và (2) ta có: 21 14 10

b c
b
c
b
c
 




Từ 7 5 7.2 5.2 14 10 (2)

a
b
c
 
Ta có 21 14 10 =

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
a
b
c
60
 
4
Ta có 21 14 10 == 15

Suy ra a=84; b= 56; c=40
Cách2: Hướng dẫn: Từ 2a = 3b, 5b = 7c => 10a = 15b = 21c. Chia các vế cho
a
b
c
 
BCNN(10,15,21)=210 ta được : 21 14 10 rồi giải tiếp như trên.
x y
 ( sai )
* Sai lầm học sinh hay mắc phải là : Từ ax = by suy ra a b

*Bài tập tự luyện làm tại lớp phiếu số 4( phần phụ lục)
* Dạng 4: Dạng bài tập về dãy tỷ số bằng nhau mà phần điều kiện đề bài
cho các biến có dạng tích ( xy, xyz, …) hoặc có lũy thừa
Bài 1: (BT62/31 sách giáo khoa toán 7 tập một).


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
x y

Tìm x,y biết: 2 5 và xy =10
x y

Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p và a b
x y
p
 k
k2 
ab .Từđó
Đặt a b
, ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p 

tìm được k rồi tính được x và y.
*Học sinh thường mắc sai lầm áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở dạng
x y xy
 
phép nhân a b ab (sai)
x y

Giải: Cách 1 : Đặt 2 5 =k => x=2k, y=5k => 2k.5k = 10 => k2=1 => k =

Với k=1 thì x=2; y=5 .Với k=-1 thì x=-2; y=-5
Cách 2: Áp dụng tính chất A = B => AB=A2=B2
Từ =>
hoặc ( vì x và y cùng dấu
do x.y =10 )
Cách 3: Nhân hai vế của với x ta được rồi giải tiếp như trên.
Bài 2: Tìm x,y biết :
a) và x2+y2 = 116
b) và 2 x  3 y  76
Hướng dẫn suy luận : Đề bài cho x2+y2 = 116.Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên
như thế nào để sau khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau xuất hiện x2+y2 ?
Vì đề bài cho x2+y2 = 116 có lũy thừa bậc hai của cả x ,y nên để xuất hiên 2
lũy thừa này ta có thể bình phương hai vế của tỉ lệ thức
a) Cách 1: Ta có:
2

 x 2  16
x 2 y 2 x 2  y 2 116




 4  2
4 25 4  25
29

 y  100

2

x  4
 x  4


Kết hợp với đề bài  y  10 hoặc  y  10

Cách 2: Đặt =k => x=2k, y=5k
Khi đó => (2k)2 + (5k)2=116=> 29k2= 116=> k = 2
x  4
 x  4


y

10

Kết hợp với đề bài
hoặc  y  10

b)Ta có:
=>

2

x 2 y 2 2 x 2 3 y 2 2 x 2  3 y 2 76
 x  16






 4  2
4
9
8
27
8  27
19

 y  36

x  4

 y  6 hoặc

 x  4

 y  6

Kết hợp với đề bài


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

x y z
 
2 3 5

Bài 3 : Tìm x, y,z biết rằng:
và xyz = 270

Hướng dẫn:
Cách 1. Dùng tính chất: Nếu A=B=C => A.B.C = A3 = B3 = C3
x y z
x x x x y z xyz
        
2 3 5
2 2 2 2 3 5 30

3

x

 
2

270

10

27


x3

8

27


Ta có :  x  8.27  2 .3   2.3  x  6

Thay x=6
Do đó y=9; z=15
Vậy: x=6; y=9 ; z=15
3

3

3

3

x y z
 
Cách 2: Đặt 2 3 5 =k rồi giải như cách 1 bài 1

Bài 4 : (BT10/57sách kiến thức cơ bản và nâng cao tốn7)
Tìm x, y,z biết và
Giải: Từ => =>
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : Suy ra =>
Vậy x=1 ; y=2 ;z=3 hoặc x=-1 ;y=-2 ;z= -3( vì x,y,z cùng dấu )
*Học sinh thường mắc sai lầm trong cách trình bày lời giảỉ chẳng hạn: Sai
lầm ở chỗ dấu “=” tại (1)
Sửa lại: Thay dấu “=” bởi dấu “=>” tại (1)
* Bài tập tương tự: Phiếu số 5 yêu cầu học sinh thảo luận nhóm làm tại
lớp(phần phụ lục)
Dạng 5: Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài tốn có nội
dung thực tế và bài tốn dành cho học sinh khá, giỏi
Nhận xét: Dạng toán này gồm các bài tốn mang tính thực tế , đề bài có lời văn,
cần thiết phải chuyển nội dung bài tốn sang dạng kí hiệu có cơng thức.Dạng
tốn này giúp học sinh thấy được ý nghĩa của toán học gắn liền với thực tế như

thế nào.
Bài 1: (Bài 103/33 sách toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7)
Biết độ dài 3 cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3;5;7 .Tính độ dài các cạnh của
tam giác biết
a) Chu vi tam giác bằng 45 (m)
b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và nhỏ nhất lớn hơn canh còn lại là 20 (m).
Giải : Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c ( a,b,c>0)
Theo đề bài ta có

a b c
 
3 5 7

và a+b+c = 45


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
a b c a  b  c 45
 

3
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau 3 5 7 = 3  5  7 15
 a=9 ,b=15 ,c=21

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là 9(m); 15(m); 21(m)
b)Cạnh lớn nhất có độ dài c, cạng ngắn nhất có độ dài là a
a b c
 
Theo đề bài ta có 3 5 7 và a+c-b=20
a b c a  c  b 20

 

4
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau 3 5 7 = 3  7  5 5
 a=12 ,b=20 ,c=28

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là 12(m); 20(m); 28(m)
Chú ý : Trong trường hợp đề bài không cho câu a thì giáo viên cần giảng cho hs
a b c
 
3 5 7 nên thương của mỗi tỉ số bằng nhau, số chia càng lớn thì số bị

vì
chia càng lớn và ngược lại nên c lớn nhất và a nhỏ nhất
Bài 2: Tìm các số a1, a2, …a9 biết:

a 9
a1  1 a 2  2

 ...  9
9
8
1 và a1  a 2  ...  a 9  90
Hướng dẫn:Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a  9  a1  a 2  ...  a 9    1  2  ...  9  90  45
a1  1 a 2  2


1


 ...  9
9
8
1
9  8  ...  1
45

a1  a2  a3  ...  a9  10

suy ra :
Bài 3*: (Đề thi học sinh giỏi huyện phúc thọ năm 2017-2018)
Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Sau khi đi được một nửa
quãng đường thì ôtô tăng vận tốc thêm 20%, do đó đến B sớm hơn dự định 10
phút. Tính thời gian ơtơ đi từ A đến B
1
Hướng dẫn:Thực tế ô tô đi hai lần quãng đường bằng nhau (= 2 AB) thì được

quãng đường AB.Như vậy quãng đường đi trong hai lần đi bằng nhau nên vận
tốc và thời gian quan hệ với nhau như thế nào?
Gọi vận tốc và thời gian ôtô đi nửa quãng đường đầu là v1;t1.
Gọi vận tốc và thời gian ôtô đi nửa quãng đường sau là v2;t2.
Cùng độ dài quãng đường nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
v1 t 2
= .
Do đó, ta có: v2 t1

Mặt khác theo bài cho ta có: t1 – t2 =10 và v2 = v1+20%v1 = 1.2v1


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

v1 1
=
hay v 2 1.2 Suy ra

t2 1
t
t
t -t
10
=
 2= 1 = 1 2=
=50
t1 1.2
1 1.2 1.2- 1 0.2
 t 2 =50; t1 =60

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 50+60 = 110 phút
Bài 4*: (Ví dụ 16/31 sách nâng cao và phát triển toán 7)
Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai đia điểm A và B. Xe thứ nhất đi
quãng đường AB hết 4h15 phút, xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3h45phút.
Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe
thứ nhất là 20km . Tính quãng đường AB
Hướng dẫn suy luận: Trong bài tốn nói đến mấy đại lượng,đại lượng nào
khơng thay đổi và mối quan hệ của các đại lượng còn lại ?
Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là x,y (km/h)(x,y>0).Do đi
cùng một quãng đường nên vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian.
15
x 4
= .

y 17
4 Hay

x 15
=
y 17

Gọi quãng đường của xe thứ nhất và xe thứ hai đi từ A , B đến chỗ gặp nhau lần
lượt là a,b (km) (a,b >0).Vì đi cùng một thời gian nên vận tốc và quãng đường là
hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó
a 15
a
b
ba
20
  


 10  a  150; b  170
b 17 15 17 17  15 2

Vậy quãng đường AB là 320km
*

x
y
z
t




Cho y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z

Bài 5
Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên
P

x  y y  z z t t  x



z t t  x x  y y  z

Giải : Ta có
x
y
z
t
y zt zt  x t  x y x y z






y  z t z t  x t  x  y x  y  z 
x
y
z
t

y zt
z t  x
tx y
x yz
1 
1 
1 
1
x
y
z
t


x y  z t z t  x  y t  x y  z x  y  z t



x
y
z
t

Nếu x + y + z + t = 0  x+ y = -(z+t) ; y+z =-( x+t ) ; z+ t = -( x+ y ) ; t+ x = -

( y+z

Thì P = -1+ (-1) +(-1) + ( -1 ) = -4

Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

Nếu x + y + z + t  0 thì x = y = z = t  P = 1 +1 +1 +1 =4
Vậy P = 4 hoặc P = -4. Dó đó P có giá trị là số nguyên
Chú ý :Ở bài này học sinh hay quên không xét trường hợp x+y+z+t=0 khi dạy
giáo viên cần khắc sâu thêm
1 2 y 1 4 y 1 6 y


24
6x
Bài 6*: Tìm x biết : 18
Hướng dẫn:
1 4 y 1 2 y 1 6 y 2  8 y 1 4 y 2  8 y




24
18  6 x
18  6 x
24 18  6 x
1 4 y
24
1 4 y
24
1






2  8 y 18  6 x 2  1  4 y  18  6 x 2

 18  6 x  24.2  6  3  x   6.4.2  3  x  8  x  5

Bài 7*: (Đề thi hs giỏi huyện Phúc thọ năm học 2018-2019)
x y yz

5
Chứng minh rằng nếu 2( x  y )  5( y  z )  3( z  x) Thì 4
2( x  y)  5( y  z )  3( z  x) 

Giải: Ta có :



zx
zx yz
 yz

2
10
5

2( x  y )  5( y  z )  3( z  x) 

x y zx x yzx



 yz
3
2
1
(1)

yz zx yzzx x y



3
5
2
2

zx x y
zx x y



(2)
5
2
10
4
x y yz


4
5 (đpcm)

Từ (1) và (2)


Bài Bài 7*: (Bài 106/39 sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán7)
C
Cho . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Để giải được bài này ta tìm cách khử x,y,z ở trên tử số bằng cách
biến đổi sao cho hệ số của cùng 1 ẩn đối nhau
Ta có Suy ra
Áp dụng……… ta có
12 x  8 y 6 z  12 x 8 y  6 z 12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z



0
16
9
4
16  9  4

:
Dođó (chia cho )
*Bài tập tự luyện : Phiếu số 6 yêu cầu học sinh về nhà làm (phần phụ lục)
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

- Với ý nghĩ của mình đã giúp ích cho học sinh rất nhiều trong quá trình học
tập:

- Nắm vững các kiến thức, tư duy, hứng thú và sáng tạo trong học tập.
- Học sinh định hướng một cách chính xác các dạng bài tốn.
- Trình bày một cách chặt chẽ, hợp lí và logic.
- Làm mất ít thời gian trong quá trình dạy và học.
- Tăng khả năng tự học ở nhà cũng như khả năng học nhóm, từ đó nâng cao
chất lượng dạy và học.
*Kết quả cụ thể: Tôi cho học sinh làm bài kiểm tra với nội dung ở phiếu số 7
(phần phụ lục)
Sau khi tôi thực hiện chuyên đề trên nhiều học sinh biết cách làm bài, biết vận
dụng phương pháp giải đối với từng dạng toán và khơng bị mắc một số sai lầm,
kĩ năng trình bày bài tốt hơn, các em có hứng thú và say mê học tốn hơn.Từ đó
các em đạt được điểm kiểm tra học kì cũng như kết quả mơn tốn học kì I cao
hơn năm trước và tơi hi vọng các em làm bài tốt trong kì thi học sinh giỏi trong
thời gian tới. Trên đây là một số ý nghĩ mà bản thân tơi nghiên cứu tìm ra để
q thầycơ tham khảo. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của
q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn chỉnh hơn, để đề tài sẽ
được ứng dụng có hiệu quả trong quá trình giảng dạy. Góp phần nâng cao chất
lượng giáo dục.
Tơi trân thành cảm ơn!
D. NHỮNG KHUYẾN NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Đối với người giáo viên việc học tập và nghiên cứu khoa học là rất cần thiết
đúng đắn tuy nhiên lại gặp khơng ít khó khăn nên thiết nghĩ có được đề tài khoa
học cấp huyện là một điều may mắn, đáng tự hào và là điều mơ ước tơi .Vì vậy
tơi kiến nghị với phịng giáo dục huyện nên phổ biến những đề tài sáng kiến hay
,có hiệu quả và bổ sung tài liệu để tất cả giáo viên học hỏi, ứng dụng vào giờ
dạy đạt hiệu quả tốt hơn góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
Lời cam đoan: Tôi xin cam đoan đề tài trên do tôi tự nghiên cứu tài liệu và viết,
tôi khơng sao chép của ai. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước cấp
trên.
Ngày 25/2/2020

Tác giả


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

Phiếu số 1: Phiếu điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu
Đề bài kiểm tra khảo sát học sinh( thời gian 45 phút)
x y z
 
Bài 1: (3 điểm) Tìm x, y, z biết: 2 3 5 và x + y + z = 4
x y

3 4 và x.y = 300
Bài 2: (3 điểm) Tìm x, y biết:
x y y z


Bài 3: (3 điểm) Tìm x, y, z biết : 3 4 ; 3 5 và x - y + z = 17
2x  1 4 y  5 2x  4 y  4


*
9
7x
Bài 4: (1 điểm) Tìm x, y biết : 5

Kết quả thu được như sau:
Tổng số Giỏi
Khá
Trung bình

Dưới trung bình
36
6
10
14
6
%
16.7
27.7
38.9
16.7
Nguyên nhân dẫn đến kết quả trên :
*Học sinh : Một số em còn lười học, học yếu kiến thức cơ bản cịn chưa nắm
được khơng vận dụng được vào làm bài tập. Một số em học được nhưng chưa
được làm quen với nhiều dạng toán chưa phân loại được từng dạng và phương
pháp làm đối với từng dạng bởi vì sách giáo khoa chỉ nêu kiến thức và bài tập
vận dụng.
*Giáo viên: Khi soạn bài chưa phân ra nhiều các dạng bài tập một phần do thời
gian luyện tập trên lớp cịn ít đơi khi sợ thiếu thời gian nên tự trình bày nhiều
khơng để các em tự tìm lời giải.
- Giáo viên chưa biết tổ chức các hoạt động làm giảm sự căng thẳng và gây
hứng thú cho học sinh khi học toán
Phiếu số 2: Học sinh thảo luận theo nhóm tại lớp


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
x y z
 
b) 2 3 4 và x + y - z = 27

a) và
c) và
Bài 2: Tìm bốn số tỉ lệ với 4;-5;10;-7 ; biết tổng của bốn số cần tìm là -4
Bài 3*: Tìm ba số tỉ lệ với các số 5; 6; 8; biết rằng tổng hai số đầu lớn hơn số thứ
ba là 21
Phiếu số 3: Học sinh làm tại lớp
Tìm x,y,z
a) và
b) x = \f(y,2 = \f(z,3 và 4x - 3y + 2z = 36
c*) \f(x-1,2 = \f(y-2,3 = \f(z-3,4 và x - 2y + 3z = 14
Phiếu số 4: Học sinh thảo luận theo nhóm tại lớp
Tìm x, y, z biết
x y

a) 2 3 ;
x y

b) 3 4 ;

y z

5 7 và x + y + z = 98
y z

5 7 và 2 x  3 y  z  372

c*) 3x = 2y ; 7y = 5z và x - y + z = 32
d*) và -10 y = 3x +39
Phiếu số 5:Học sinh làm bài tại lớp
Tìm các số x, y, z biết rằng .

x y

2
2
5
3 và x  y  4 (x, y > 0)
a)
b ) và
c*) \f(x,2 = \f(y,3 = \f(z,4 và xy + yz + zx = 104
d*) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100
Phiếu số 6 :Học sinh về nhà làm bài
Bài 1: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học
sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh mỗi khối.
Bài 2: Tính số đo các góc của một tam giác, biết rằng số đo của góc thứ nhất
bằng số đo góc thứ hai và bằng số đo góc thứ ba.
Bài 3: Một lớp học sinh có 35 em. Sau khi khảo sát chất lượng, số học sinh được
Chia thành ba loại giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3
, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Bài 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi số thóc ở kho I,
số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc cịn lại ở cả ba kho bằng nhau.
Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

Bài 5*:Hai ô tô cùng khởi hành từ A để đến B.Vận tốc của ô tô thứ nhất là 50 km/h
,vận tốc của ơ tơ thứ hai là 60km/h.Ơ tơ thứ nhất đến sau ơ tơ thứ hai 36 phút.Tính
qng đường AB.
Bài 6*: Cho , . Với , , .

Chứng minh rằng:
Phiếu số 7: Phiếu điều tra thực trạng sau khi thực hiện sáng kiến
Đề bài kiểm tra khảo sát học sinh( thời gian 45 phút)
Bài 1: (3 điểm) .Tìm x,y,z biết

x y z
 
2 3 4 và x + y – z = - 20
x y z
 
2
3 5 và xyz = 810
Bài 2: (3 điểm). Tìm x, y, z biết
x y
y z


Bài 3 (3 điểm). Tìm x, y, z biết 2 3 ; 5 7 và x + y + z = 98

Bài 4*: (1 điểm) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2= yz, y2=xz, z2=xy.
Chứng minh rằng: x=y=z
Tổng số
Giỏi
Khá
Trung bình
Dưới trung
bình
Trước Sau
Trước Sau
Trước Sau

Trước
Sau
khi
khi
khi
khi
khi
khi
khi
khi
thực
thực thực
thực thực
thực thực
thực
hiện
hiện hiện
hiện hiện
hiện hiện
hiện
36
6
15
10
16
14
5
6
0
%

16.7
41.7 27.7
44.4 38.9
13.9 16.7
0
Từ kết quả trên cho thấy sau khi thực hiện chuyên đề các em tiến bộ rất nhiều,
biết cách trình bày tốt hơn, vận dụng làm được nhiều dạng toán kể cả dạng toán
nâng cao, số điểm 10 tăng mà trước đây khơng có .Từ đó các em rất hào hứng
phấn khởi u thích mơn học .Đối với tơi cũng cảm thấy phấn khởi khi thấy sự
thành công khi thực hiện chuyên đề và tiếp tục nghiên cứu thực hiện chuyên đề
khác để nâng cao chất lượng mơn tốn trong nhà trường cũng như chất lượng
giáo dục huyện Phúc Thọ.


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

MỤC LỤC
Nội dung
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu.,yêu cầu ,nhiệm vụ của đề tài
III. Đối tượng, phạm vi, thời gian thực hiện đề tài
IV. Phương pháp nghiên cứu
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. Khảo sát thực tế
II. Các giải pháp cụ thể
1. Giải pháp 1
2.Giải pháp 2
3. Dạng 1
4. Dạng 2

5.Dạng 3
6. Dạng 4
7. Dạng 5
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
D.NHỮNG KHUYẾN NGHỊ VÀ ĐỀ NGHỊ

Trang
01
01
01
02
02
02
03
03
04
04
05
07
09
11
15
15


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- SGK,SBT mơn Tốn 7.
- Nâng cao và phát triển toán 7 - Tác giả : Vũ Hữu Bình.

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 - Tác giả : Bùi Văn Tuyên.
- Các dạng toán và phương pháp giải - Tác giả : Vũ Hữu Bình –Bùi Văn Tuyên.
-Bài tập nâng cao toán 7- Tác giả : Nguyễn Huy Đoan -Nguyễn Ngọc Đạm.
- Kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7tập1- Tác giả: Nguyễn Quang HanhNgô Long Hậu.
- Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi 6;7;8 mơn tốn - Dỗn Thị Tâm
Cùng một số đề thi và tài liệu tham khảo khác.


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7


Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7