Bài tập Toán kinh tế TS. Lê Thị Ngọc Diệp

lOMoARcPSD|16911414

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG

BÀI TẬP
TỐN KINH TẾ

Biên soạn: TS. Lê Thị Ngọc Diệp
Khoa Quản trị Kinh doanh 1

Hà Nội, Năm 2021

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế
MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ ............................................................................ 2
CHƯƠNG 2. MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ...................................................... 7
CHƯƠNG 3. MƠ HÌNH BÀI TỐN VẬN TẢI .................................................................. 14
CHƯƠNG 4. MƠ HÌNH BÀI TỐN TỐI ƯU TRÊN MẠNG .......................................... 19
CHƯƠNG 5. MƠ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CƠNG CỘNG..................................... 23
CHƯƠNG 6. MƠ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ .................................................................... 26

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

1

lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 1 – Mơ hình Tốn kinh tế

CHƯƠNG 1. MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ

1.1. Cho hàm tổng chi phí TC = 5000 +

5Q 2
(Q là sản lượng)
Q3

a/ Tìm hàm chi phí cận biên MC.
b/ Tính chi phí trung bình AC tại Q = 100.
c/ Vẽ đồ thị hàm chi phí biến đổi trung bình (VC/Q).
d/ Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 17.
Đáp số: b/ 54,85437; d/ 0,01638
1.2. Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 (Q là sản lượng).
Giá P được xác định bởi phương trình Q = 800 – 2,5 P.
a/ Tìm hàm chi phí cận biên MC.
b/ Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó.
c/ Tìm hệ số co giãn của TC tại P = 80.
Đáp số: c/ 1,695652
1.3. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = - 10Q2 + 1000Q và hàm tổng chi phí TC
2000
1

, trong đó Q là sản lượng. Hãy xác định mức sản lượng tối đa
= Q3 – 25Q2 + 600Q +
3
3
hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa. Lời giải có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm
dần hay không?
Đáp số: Q* = 40 (đơn vị sản lượng); π* = 18000 (đơn vị tiền tệ)
1.4. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8, trong đó: K = 120 + 0,1t; L = 200 + 0,3t.
a/ Tính hệ số co giãn của Y theo K và L.
b/ Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và kết quả sản xuất Y.
c/ Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này.
1.5. Xét mơ hình lợi nhuận  (Q) = TR(Q) – TC(Q) – a.TR(Q). Trong đó: TR là tổng doanh
thu, TC là tổng chi phí, a là thuế suất theo doanh thu.
a/ Xác định biểu thức điều kiện của Q để lợi nhuận đạt cực đại.
b/ Khi thuế suất tăng, mức Q tối ưu biến động như thế nào?
1.6. Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm sản xuất dạng:
Q = K0,65 + L0,35 với pK = 8, pL = 6 và p = 4
Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

2


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 1 – Mơ hình Tốn kinh tế

a/ Hãy xác định mức sử dụng vốn và lao động tối ưu.
b/ Hãy phân tích tác động của giá vốn, giá lao động đến mức sản lượng của DN.
Đáp số: a/ K* = 0,04; L* = 0,1066
1.7. Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm chi phí biên: MC = 2Q2 - 12Q + 25, chi phí
cố định FC và giá bán sản phẩm p.
a/ Hãy xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20. Với p = 39 hãy xác định mức sản
lượng và mức lợi nhuận tối ưu.
b/ Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng và mức lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào?
Đáp số: a/ Q* = 7; Π* = 143,3. b/ Khi giá tăng 10% thì sản lượng tối ưu tăng 3,48% và
lợi nhuận tối ưu tăng 19%
1.8. Một doanh nghiệp có cơng nghệ sản xuất cho bởi hàm sản xuất: Y(t) = 0,4 K(t) + 0,7 L(t)
Trong đó Y(t) là kết quả sản xuất năm t; K(t) là vốn đầu tư năm t; L(t) là sức lao động năm t (K
> 0, L > 0).
a/ Phân tích xu hướng thay đổi của kết quả sản xuất theo vốn đầu tư và theo sức lao
động. Hàm sản xuất có tính chất hiệu quả thay đổi theo quy mơ khơng? Vì sao?
b/ Xác định hệ số thay thế của sức lao động cho vốn và ngược lại.
Đáp số: b/ MRTS(L,K) = - 0,5714, MRTS(K,L) = -1,75.
1.9. Một doanh nghiệp có cơng nghệ sản xuất cho bởi hàm sản xuất: Y  t   A  t  .K 2 3  t  .L1 3  t  ,
trong đó Y(t) là kết quả sản xuất năm t, A  t   e0.3t là tác động của tiến bộ khoa học – công nghệ
năm t, K  t   K 0  0.6t là vốn đầu tư năm t; L  t   L0  0.5t là sức lao động năm t.
a/ Xác định xu hướng thay đổi của hệ số tăng trưởng của kết quả sản xuất năm t khi chỉ K(t)
thay đổi? Khi chỉ L(t) thay đổi? Khi chỉ A(t) thay đổi? Khi cả A(t), K(t), L(t) cùng thay đổi?
b/ Quá trình sản xuất của doanh nghiệp có biến đổi theo quy luật hiệu quả thay đổi theo
quy mơ khơng? Vì sao?
1.10. Tổng chi phí sản xuất của một doanh nghiệp được cho bởi hàm:
C(Q) = Q3 – 5Q2 + 14Q + 144 (Q > 0), trong đó Q là kết quả sản xuất.
a/ Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của tổng chi phí sản xuất theo kết quả sản xuất, từ đó
có nhận xét gì về sự mở rộng sản xuất của doanh nghiệp.
b/ Tính hệ số co dãn của tổng chi phí sản xuất theo kết quả sản xuất tại Q = 4. Với Q =
4, thuế doanh thu là 20%, tìm điều kiện để doanh nghiệp có lãi? doanh nghiệp hòa vốn? doanh

nghiệp lỗ vốn?
Đáp số: b/ Hệ số co dãn của C(Q) theo Q tại Q = 4 là 0,4783. Với Q  4 , thuế doanh
thu là 20%, doanh nghiệp có lãi khi p > 57,5, hòa vốn khi p = 57,5, lỗ vốn p < 57,5.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

3


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 1 – Mơ hình Tốn kinh tế

1.11. Một cơng ty có thể sản xuất và cung ứng cho thị trường hai mặt hàng với hàm tổng doanh
thu và hàm tổng chi phí như sau: TR = P1Q1 + P2Q2 , TC = 2Q12 + Q1Q2 + 3Q22.
Trong đó: Pi, Qi là giá cả và sản lượng hàng hoá thứ i (i = 1,2).
a/ Xác định cơng thức tính tổng lợi nhuận cực đại.
b/ Áp dụng cơng thức tìm được ở câu a, tìm sản lượng cực đại lợi nhuận
c/ Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo từng mặt hàng và hệ số co giãn đồng thời
theo cả hai mặt hàng tại điểm cực đại lợi nhuận tìm được ở câu b.
Đáp số : c/

 QTC,Q (Q1* , Q2* )  2
1

2

1.12. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau: Q1 = 40 – 2P1 – P2 ; Q2 = 35 – P1 – P2 .
Tổng chi phí là hàm của các sản lượng: TC = Q12 + 2Q22 + 12.
Trong đó: Pi , Qi là giá cả và sản lượng hàng hoá thứ i (i = 1,2).
a/ Xác định mức Q1, Q2 sao cho tổng lợi nhuận đạt cực đại.
b/ Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở câu a.
c/ Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng không?
Đáp số : a/ Q1* = 25/7 ; Q2* = 65/14

c/ Hai mặt hàng không thay thế cho nhau.

1.13. Độ hữu dụng (U) của người tiêu dùng khi tiêu thụ hai loại hàng hố a và b có dạng:
U = 1,2A0,4B0,2 (trong đó A và B là mức tiêu thụ hàng hoá a và b).
a/ Độ hữu dụng sẽ biến động như thế nào nếu người tiêu dùng tăng mức tiêu thụ cả hai
loại hàng hố lên 10%?
b/ Có thể nói rằng hai loại hàng hố trên có thể thay thế được cho nhau với tỷ lệ 1:1 hay
không?
1.14. Hàm lợi ích của người tiêu dùng (U) khi tiêu dùng hai loại hàng hố 1, 2 có dạng :
U = (x1 + 2)(x2 + 1) (trong đó x1 và x2 là mức tiêu thụ hàng hoá 1 và 2).
a/ Hai loại hàng hố trên có thể thay thế cho nhau theo tỷ lệ 1:1 hay khơng? Lợi ích biên
của chúng có như nhau khơng?
b/ Cho biết giá của hai loại hàng hoá lần lượt là p1 = 4, p2 = 6 và thu nhập của người
tiêu dùng là M = 130. Hãy xác định mức cầu hai loại hàng hoá trên nhằm tối đa hố lợi ích của
người tiêu dùng?
Đáp số: b/ X1* = 16 ; X2* = 11.
1.15. Mức cung một loại nông sản (S) phụ thuộc vào giá của nơng sản (P), lượng mưa (R) và
có dạng: S = a + bP2 + R0,5, trong đó a < 0, b > 0.
a/ Hãy xác định các biểu thức phân tích tác động (tương đối) riêng và đồng thời của giá,
lượng mưa tới mức cung.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

4


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 1 – Mơ hình Tốn kinh tế

b/ Theo dự báo có khả năng thời tiết khô hạn nên mưa sẽ giảm. Để ổn định mức cung
nông sản, Nhà nước sẽ trợ giá cho nông dân. Hãy xác định biểu thức tính mức trợ giá cần thiết
theo dự đoán về mức giảm sút của lượng mưa.
1.16. Mức cầu tiền tệ (M) phụ thuộc vào thu nhập (Y) và lãi suất (r) có dạng như sau:
M = 0,1Y0,02r -0,2
a/ Hãy xác định mối quan hệ giữa mức cầu tiền tệ với thu nhập và lãi suất.
b/ Trong trường hợp thu nhập không đổi, nếu muốn giảm mức cầu tiền tệ 5% thì phải
điều chỉnh lãi suất như thế nào?
Đáp số : b/ Muốn M giảm 5% thì cần tăng lãi suất lên 25%.
1.17. Hàm cầu (D) và hàm cung (S) về một loại hàng hố có dạng như sau:
D = 0,2p-0,1M0,2 ; S = 0,1p0,4q-0,05
Trong đó: p là giá hàng hoá, M là thu nhập của người tiêu dùng, q là mức giá chung của
các yếu tố được sử dụng để sản xuất hàng hố.
Với mơ hình trên:
a/ Nếu giá hàng hố tăng 10% thì mức cầu sẽ biến động như thế nào?
b/ Có thể cho rằng nếu giá hàng hoá và mức giá chung của các yếu tố được sử dụng để
sản xuất hàng hoá tăng cùng tỷ lệ thì mức cung khơng đổi hay khơng?
c/ Hãy phân tích tác động của thu nhập, mức giá chung của các yếu tố được sử dụng để
sản xuất hàng hoá tới mức giá cân bằng.

1.18. Hàm cầu (D) và hàm cung (S) về một loại hàng hố có dạng như sau:
D = 100 – 0,3p ; S = – 50 + 0,2(p – t)
Trong đó: p là giá hàng hoá, t là thuế đánh vào một đơn vị hàng hố bán ra. Cho t = 10.
a/ Tính độ co giãn của giá cân bằng theo thuế t và nêu ý nghĩa của kết quả thu được.
b/ Nếu Chính phủ muốn giá cân bằng ở mức p = 280 và trợ cấp hàng hố cho phía cầu
thì số trợ cấp cần thiết là bao nhiêu?
c/ Chính phủ muốn lượng cân bằng là 10. Để đạt được mục tiêu đó, Chính phủ có thể
giảm thuế phía cung hoặc trợ cấp cho phía cầu. Cách làm nào sẽ lợi hơn nếu xét trên quan điểm
thu – chi ngân sách?
1.19. Cho mô hình: Y = C + I + G + EX – IM
Trong đó: C = βYd (0 < β < 1) ; IM = ρYd (0 < ρ < 1) ; Yd = (1 – t)Y; với Y là thu nhập
quốc dân, Yd là thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng, I là đầu tư, G là chi tiêu của Chính phủ, EX
là xuất khẩu, IM là nhập khẩu, t là thuế suất thuế thu nhập; β và ρ là các tham số.
a/ Với β = 0,85; ρ = 0,3; I = 200; G = 500; EX = 150; t = 0,1, hãy xác định thu nhập
quốc dân, cán cân thương mại ở tình huống cân bằng.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

5


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 1 – Mơ hình Tốn kinh tế

b/ Với các chỉ tiêu ở câu a, có ý kiến cho rằng: Nếu Chính phủ tăng thuế suất 10% thì
có thể tăng chi tiêu 10% mà khơng ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng. Hãy

nhận xét ý kiến này.
1.20. Một số chỉ tiêu của nền kinh tế quốc dân có mối liên hệ như sau:
Y = C + I + G + EX – IM
Trong đó: C = 0,9Yd; IM = 0,15Yd ; Yd = (1 – t)Y; với Y là thu nhập quốc dân, Yd là
thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng, I là đầu tư, G là chi tiêu của Chính phủ, EX là xuất khẩu,
IM là nhập khẩu, t là thuế suất thuế thu nhập.
Cho I0 = 200; G0 = 270; EX0 = 180; t0 = 0,15
a/ Tại mức thu nhập quốc dân cân bằng, có thặng dư hay thâm hụt ngân sách, có thặng
dư hay thâm hụt thương mại hay khơng?
b/ Có thể nói rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì Chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà
không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng hay khơng?
c/ Chi tiêu của Chính phủ cần tăng thêm bao nhiêu để thu nhập quốc dân đạt mức Y = 1800,
khi đó các chỉ tiêu khác (đo bằng các biến nội sinh của mơ hình) thay đổi như thế nào?
1.21. Một số chỉ tiêu của nền kinh tế quốc dân có mối liên hệ như sau: Y = C + I + G + NX
C = 20 + 0,75Yd; G = 20 + 0,1Y ; Yd = (1 – t)Y
với Y là thu nhập quốc dân, Yd là thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng, I là đầu tư, G là chi tiêu
của Chính phủ, NX là xuất khẩu ròng, t là thuế suất thuế thu nhập. Cho I0 = 25; NX0 = 15.
a/ Nếu Nhà nước muốn cân đối ngân sách thì phải định thuế suất t là bao nhiêu?
b/ Có ý kiến cho rằng: việc gia tăng đầu tư I không ảnh hưởng tới tình huống cân đối
ngân sách ở câu a. Ý kiến này đúng hay sai? Tại sao?

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

6


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính

CHƯƠNG 2. MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
2.1. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 6x1 - 7x2 + 4x3 – x4  max
3x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 8
x1 + 2x2 - 4x3 + 3x4 = 3
-2x1

+ x3 + 3x4 = 5

xj  0 ( j = 1 ÷ 4)
a/ Chứng minh hệ véc tơ A1, A2, A3- hệ véc tơ cột lập bởi hệ số các ẩn x1, x2, x3 ở hệ
ràng buộc là độc lập tuyến tính.
b/ Tìm PACB ứng với hệ véc tơ A1, A2, A3 nếu có.
2.2. Cho bài tốn QHTT: f(x) = x1 + 2x2 - x3 + 3x4  max
6x1 + 4x2 - 2x3 + 2x4
x1 + 2x2
- x1

= 16

- x4 = 4
+ 2x3 + 5x4 = 10

xj  0 ( j = 1 ÷ 4)
Tìm tất cả các PACB suy biến của bài toán và cơ sở tương ứng của nó.
Đáp số: Vậy x = (0, 3, 0, 2) là PACB suy biến (duy nhất) với các cơ sở tương ứng là

A1, A2, A4 hoặc A2, A3, A4.
2.3. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 6x1 - 7x2 + 4x3 – x4 + x5  max
3x1 - 2x2 + 3x3 + 5x4 – x5 = 10
- 2x1 + x2 + 2x3 + x4 – 3x5 = 1
4x1 + 3x2 – x3 – 7x4 + x5 = 9
xj  0 ( j = 1÷ 5)

a/ Chứng minh hệ véc tơ A1, A2, A3- hệ véc tơ cột lập bởi hệ số các ẩn x1, x2, x3 ở hệ
ràng buộc là độc lập tuyến tính.
b/ Tìm PACB ứng với hệ véc tơ A1, A2, A3 nếu có.
2.4. Cho bài tốn QHTT:
f(x) = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4 + x5  max
3x1 + 4x2 - x3 + x4
x1 - 3x2
-2x1

= 11

- x4 + x5 = 0
+ x3 + 3x4

= 9

xj  0 ( j = 1÷ 5)
Tìm một PACB của bài tốn và cơ sở của nó.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

7


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính

2.5. Cho bài tốn QHTT:

f(x) = 2x1 – x2 + 4x3  max
x1 + 2x2 – x3 ≥ 1
3x1 – x2 + 4x3 ≤ 12
x1

+ 2x3 ≤ 10

xj  0 (j = 1÷3)
a/ Chứng minh bài tốn có phương án tối ưu.
b/ Với f(x)  min, chứng minh bài tốn khơng có phương án tối ưu. Hãy chỉ ra một dãy
các phương án mà trên đó f(x) giảm vơ hạn.
2.6. Cho bài tốn QHTT:

f(x) = x1 + 8x2 + 10x3  min
x1 + x2 + 4x3 = 2
x1 - x2 + 2x3 = 0
xj  0 ( j = 1,3 )

Khơng giải, hãy chứng minh bài tốn có PACB tối ưu.

2.7. Cho bài toán QHTT sau: f(x) = x1 + 4x2 + x3  max
4x1 + 11x2 + 3x3 ≥ - 7
x1 + x2 - x3 = 0
xj ≤ 0 (j = 1,3 )
Không giải, hãy chứng minh bài tốn có PACB tối ưu và xác định một PACB tối ưu.
2.8. Cho bài toán QHTT:

f(x) = x1 + 8x2 + x3  min
x1 + x2 + 4x3 = 10
- x1 - 2x2 + x3 = 0
xj  0 ( j = 1 ÷ 3)

a/ Khơng giải, hãy chứng minh bài tốn có PACB tối ưu.
b/ Tìm tập hợp các PACB của bài toán.
Đáp số: b/ Tập hợp các PACB: X = {x1, x2} với x1 = (0, 10/9, 20/9) và x2 = (2, 0, 2)
2.9. Giải bài toán QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình:
f(x) = x1 - x2 - 3x3  min
2x1 - x2 + x3  2
4x1 - 2x2 + x3  - 4
3x1

+ x3  10

xj  0 ( j = 1 ÷ 3)
Đáp số: Phương án tối ưu: x* = (2/3, 22/3, 8) với fmin = - 92/3
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

8

lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính

2.10. Giải bài tốn QHTT sau bằng phương pháp đơn hình :
f(x) = 2x1 + x2 - x3  min
x1 - 2x2 + x3 = 8
x2 - 4x3 

4

x2 - 2x3  - 10
xj  0 (j = 1 ÷ 3)
Hướng dẫn: Đưa bài tốn về dạng chính tắc. Sau đó lập bài tốn M, giải bằng phương
pháp đơn hình. Từ bảng cuối cùng xác định được bài tốn M khơng có lời giải nên bài tốn
chính tắc cũng có lời giải. Vậy bài tốn gốc cũng khơng có lời giải.
2.11. Giải bài tốn QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình:
f(x) = x1 + 5x2 + 4x3 - 6x4  max
2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4  1
5x1 - 6x2 + x3 - x4  3
4x1 + x2 - 2x3 + 3x4  2
xj  0 ( j = 1,4 )
2.12. Cho bài toán QHTT:

f(x) = - 10x1 + 3x2  min
mx1 + 3x2  8
mx1 + x2  15

x1  0 , x2  0
với m  0

a/ Bằng phương pháp đơn hình, giải và biện luận bài toán theo tham số m.
b/ Áp dụng giải bài toán khi m = 8.
Hướng dẫn: Đưa về dạng chính tắc; lập bảng đơn hình, giải và biện luận theo bảng đơn
hình. Kết quả: với m < 0 thì bài tốn khơng có lời giải; với m > 0 thì lời giải của bài tốn là:
xopt = (8/m, 0); fopt = - 80/m .
2.13. Cho bài toán QHTT:

f(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 6x5  max
x1 + 3x2 + 3x3 + x4 + 9x5 = 18
x1 + 5x2

+ 2x4 + 8x5 = 13
x3

+ x5 = 3

xj  0 ( j = 1,5 )
a/ Chứng tỏ véc tơ x0 = (0, 1, 2, 0, 1) là phương án cực biên.
b/ Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình xuất phát từ x0.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

9


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Toán Kinh tế
2.14. Cho bài toán QHTT:

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính
f(x) = 2x1 - x2

- x3 + 3x4  min

x1 + ax2 + x3

= 16

bx2 - 4x3 + x4 

8

x2 - 2x3 + 3x4  - 20
xj  0 ( j = 1,4 )
Với b  0, chỉ ra một khoảng giá trị của a để bài tốn vơ nghiệm.
2.15. Giải bài tốn QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình:
 min

f(x) = 2x1 + x2 - x3 + 3x4
x1 - 2x2 + x3

(1)

= 16

x2 - 4x3 + x4 

8

(2)

x2 - 2x3 + 3x4  - 20
xj  0 ( j = 1,4 )
2.16. Cho bài toán QHTT:

(3)

f(x) = -2x1 + 5x2 - 4x3 + x4  max

(1)

2ax1 + 3x2 - x3 + x4 = 3
ax1 - 6x2 + x3

= 1

(2)

xj  0 ( j = 1,4 )

(3)

với a  R; a  0
a/ Giải và biện luận bài toán theo a
b/ Giải bài toán với a = 2.
c/ Với a = 3, giải bài tốn, đồng thời tìm các phương án của bài toán sao cho giá trị hàm

mục tiêu bằng 0,1.
2.17. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 8x1 - 2x2 - 6x3 → min
2x1 + 6x2 - 8x3 ≥ - 4

(1)

2x2 - 2x3 ≤

10

(2)

4x1 - 8x2 + 6x3 ≥ - 6

(3)

2x1 - 6x2
- 2x1

+ 4x3

≥ - 15

(4)

≤

(5)

6

và véc tơ x0 = (-1, 1, 1)
a/ Viết bài toán đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b/ Phân tích các tính chất của x0 đối với bài toán đã cho.
c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB của bài toán đối ngẫu.
Đáp số: b/ x0 là PACB không suy biến và là phương án tối ưu của bài toán gốc.
c/ Tập PA tối ưu của bài toán đối ngẫu: y* = {y0 = (1, 0, 1, 0, -1)}. PACB chính là y0.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

10


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính

2.18. Cho bài tốn QHTT:
f(x) = 7x1 - 3x2 - 6x3 + 2x4 + 4x5 – 9x6  Min
x1 - x2 - 2x3

+ x5 - 3x6 = - 16

(1)

+ 2x6  19

(2)

-2x1+ 2x2 + 4x3 + x4 + 3x5 + 6x6 ≤ 32

(3)

2x2 + 5x3 + x4
xj ≥ 0 (j = 1 ÷ 6)
và phương án x0 = (0, 2, 1, 0, 0, 4)

a/ Viết bài toán đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b/ Nêu những tính chất có thể có của x0 đối với bài tốn đã cho.
c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Đáp số: b/ x0 là phương án tối ưu của bài toán gốc nhưng không phải là PACB.
c/ Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là: y* = {y = (3+ 2y3, 0, y3), y3 ≤ 0}
PACB tối ưu: y0 = (3, 0, 0).
2.19. Cho bài toán QHTT:
f(x) = - 9x1+ 5x2 + 15x3 + 6x4 + 7x5  Min
4x2 +

x3 - x4 + 2x5 = 4 (1)

3x1 + x2 – x3 + x4 - x5 ≤ 1 (2)
- x1 – x2 + x3 - 2x4

≥ - 1 (3)

xj  0 (j = 2 ÷ 5)
a/ Viết bài tốn đối ngẫu. Chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.

b/ Cho véc tơ x0 = (1, 0, 0, 0, 2). Phân tích tính chất của x0 đối với bài tốn gốc.
c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Đáp số: b/ x0 là phương án cực biên tối ưu.
c/ Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: y* = {y=(

7  y2
, y2, 9+3y2), - 3≤ y2 ≤ 0}
2

Các PACB tối ưu: y1 = (7/2, 0, 9), y2 = (2, -3, 0).
2.20. Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính và véc tơ x* = (0, 1, 0, 2, 3):
f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → min
3x1 + x2 + x3

=1

5x1 + x2 + x3 + x4

=3

2x1 + 5x2 + x3

+ x5 = 8

xj ≥ 0 (j = 1÷5).
a/ Viết bài tốn đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b/ Phân tích các tính chất của x* đối với bài toán đã cho.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

11


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính

2.21. Cho bài tốn QHTT:
f(x) = 11x1 + 7x2 - 4x3 - 16x4  min
x1 - 2x2 + x3 + 3x4 ≤ - 12

(1)

- x1 + 4x2 - 3x3 - 8x4  20

(2)

- 2x1 + x2 - x3 - x4 ≤ - 2

(3)

xj  0 ( j = 1÷4)
a/ Viết bài tốn đối ngẫu. Chứng tỏ véc tơ y0 = (-1, 2, -3) là phương án cực biên của bài
toán đối ngẫu.
b/ Xuất phát từ y0, dùng thuật tốn đơn hình đối ngẫu tìm lời giải của bài toán gốc. Xác
định phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
2.22. Dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch gốc sau đây, từ đó suy ra lời giải của bài tốn
đối ngẫu tương ứng với nó.

f(x) = x1 – x2

– 2x4 + 2x5 – 3x6 → min
+ x4 + x5 – x6 = 2

x1
x2

+ x4

+ x6 = 12

x3 + 2x4 + 4x5 + 3x6 = 9
xj  0 (j = 1÷6)
2.23. Cho bài tốn:
f(x) = – 5x1 + 2x2 – 4x3 + 9x4 + 6x5 – 7x6  Min
3x1 + 2x2 – x3 + x4 + 2x5 – 2x6  4

(1)

– x1 – x2

– x4 – x5 + 3x6 = – 1

(2)

+ 2x3 – 3x4 – 3x5 – x6  – 7

(3)

4x1

x1, x3, x6  0; x2, x5  0
a/ Viết bài toán đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu
b/ Nêu những tính chất có thể có của véc tơ x0 = (2, 0, 1, 5, 0, 2) đối với bài toán đã cho.
Xác định phương án tối ưu của bài tốn đối ngẫu và các tính chất của nó.
2.24. Cho bài tốn QHTT:

f(x) = x1 + 4x2 + px3  Max
3x1 + 4x2 + 4x3 = 10 (1)
- x1 + x2 + x3 = - 1 (2)
xj  0 (j = 1÷3); p là tham số

a/ Viết bài toán đối ngẫu và các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b/ Với điều kiện nào của p thì véc tơ x0 = (2, 1, 0) sẽ là phương án tối ưu của bài tốn
gốc và bài tốn đối ngẫu có PACB tối ưu không suy biến.
c/ Với giá trị của p tìm được ở câu b, chứng tỏ x0 là PACB tối ưu duy nhất.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

12


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 2 – Mơ hình quy hoạch tuyến tính

2.25. Cho bài tốn QHTT:

f(x) = 2x1+ 16x2 - 25x3 + 2x4  Max
2x1 - 2x2 - 3x3 + 2x4 = 4 (1)
3x2 + 5x3 - 2x4 ≥ - 2 (2)
2x1

- 2x3 + x4 = 5 (3)

xj  0 (j = 1÷4)
a/ Viết bài tốn đối ngẫu. Chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b/ Cho véc tơ x0 = (0, 3, 0, 5). Phân tích tính chất của x0 đối với bài toán gốc.
c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB tối ưu của hai bài tốn.
2.26. Giải bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu bài toán:
f(x) = 5x1 + 7x2 + 3x3 + 2x4  Min
x1

+ x3 - x4 = 4

- x1 + 2x2

+ x4  18

2x1 + x2

- 3x4  5

xj  0 (j = 1÷4)
2.27. Cho bài tốn QHTT sau:
f(x) = 3x1 – x2 – 8x3 – 2x4 + 2x5 → Min
– 2x1

+ 5x3 + 3x4 – 3x5  – 11

x1

– 4x3 + 4x4 – x5 = 14

x1

– 2x3 – 2x4 + x5 = – 4

– 2x1 + x2 + 4x3

+ 2x5 = 20

xj  0 (j = 1÷5)
a/ Giải bằng phương pháp đơn hình. Tìm một phương án có f(x) = - 48.
b/ Xác định tập phương án tối ưu và phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu khi hàm
mục tiêu là: h(x) = x1 + x2 + 2x3 – 6x4 + 5x5 → min.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

13


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 3 – Mơ hình bài tốn vận tải

CHƯƠNG 3. MƠ HÌNH BÀI TỐN VẬN TẢI
3.1. Cho bài tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí.
Thu

B1: 30

Phát

B2: 20

B3: 70

A1: 40

8

2

5

A2: 35

7

5

6

A3: 45

4

11

10

Giải bài toán vận tải đã cho. Phương án tối ưu của bài tốn có duy nhất khơng? Vì sao?
3.2. Cho bài tốn vận tải theo tiêu chuẩn cước phí với số liệu như sau:
Thu
Phát

B1: 320

B2: 180

B3: 360

B4: 130

B5: 170

A1 : 100

6

3

16

9

6

A2 : 420

7

8

9

3

28

A3 : 230

11

5

13

14

18

A4 : 410

13

18

17

14

27

Giải bài toán bằng phương pháp thế vị. Nhận xét về phương án tối ưu của bài toán.
3.3. Cho bài tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu

B1: 85

Phát

B2: 75

B3: 70

B4: 60

B5: 45

A1: 80

8

2

5

4

12

A2: 110

7

5

6

8

10

A3: 90

4

11

10

9

6

A4: 120

6

3

12

7

5

Giải bài toán vận tải trên với điều kiện lượng hàng giữ lại ở trạm phát A2 không vượt
quá 10. Phương án tối ưu tìm được có phải là duy nhất khơng? Vì sao?
Hướng dẫn: Chuyển bài tốn về dạng đóng, tách trạm phát A2 thành 2 trạm A21 = 100
và A22 = 10 (với chi phí tại điểm thu giả tương ứng với trạm A21 là M >> 0 để không thể phân
hàng dư vào ô này).

 0 20 0 60 0 
 0 30 70 0 0 
 ; f (X*) = 1490 (ĐV tiền)
Phương án vận chuyển tối ưu: X* = 
85 0 0 0 0 


 0 25 0 0 45
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

14


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 3 – Mơ hình bài toán vận tải

Tồn kho ở A2: 10 đơn vị hàng; A3: 5 đơn vị hàng; A4: 50 đơn vị hàng.
Phương án X* tìm được là duy nhất.
3.4. Cho bài tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu
Phát

A1 : 90

B1 : 85

B2 : 115

B3 : 130

B4 : 70

B5 : 95

2

6

5

10

9

A 2 :110 4

7

3

6

12

A 3 : 75

7

9

8

12

5

A 4 : 80 5

3

7

8

4

Giải bài toán vận tải đã cho với điều kiện lượng hàng chở đến B3 khơng được ít hơn
130 đơn vị hàng. Phương án tối ưu của bài tốn có duy nhất khơng? Vì sao? Tìm tập phương
án tối ưu (nếu có).
Hướng dẫn: đưa về bài tốn vận tải với chi phí tại điểm phát giả tương ứng với B3 là
M>> 0 để không thể phân thiếu hàng vào ô này. Phương án tối ưu X* tìm được là khơng duy
nhất. Tập phương án tối ưu của bài toán vận tải đã cho: D = { X *  (1   ) X * }, trong đó

5 0 0
70 0 20 0 0 
85 0
 0 0 110 0 0 
 0 0 110 0 0 
 và X * = 

0    1 , X* = 
0 0 75
0 0
 0 0 15 0 60





 0 80 0 0 20
 0 80 0 0 0 

3.5. Cho bài toán vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu

B1: 30

Phát

B2: 20

B3: 70

A1: 40

4

2

1

A2: 30

9

4

6

A3: 30

8

2

3

a/ Giải bài toán vận tải đã cho. Phương án tối ưu của bài tốn có duy nhất khơng? Vì
sao? Tìm tập phương án tối ưu (nếu có).
b/ Thay cước phí c’13 = c13 +  và c’33 = c33 +  , cịn giữ ngun cước phí các cung
đường cịn lại. Tìm điều kiện của  để phương án tối ưu của bài toán đã cho vẫn là phương án
tối ưu của bài tốn khi thay cước phí mới.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

15


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 3 – Mơ hình bài toán vận tải

3.6. Cho bài toán vận tải theo tiêu chuẩn tổng chi phí nhỏ nhất với số liệu như sau:
Thu: bj

105

Phát: ai
115

90

100

125

12

85
11

80
15

(35)
8

14

100
8

12

6

14

(80)
17

(65)
5

60

cij

(25)
11

16

5

(xij)
9
(60)

(40)
7

10

19

4

(50)

11
(75)

a/ Chứng tỏ rằng hệ {xij} là phương án cực biên tối ưu của bài toán vận tải trên.
b/ Thực hiện phép biến đổi: c’33 = c33 + α ; c’43 = c43 + α ; còn các cij khác giữ nguyên.
Xác định α để phương án đã cho vẫn tối ưu. Với trị số nào của α thì bài tốn có vơ số phương
án tối ưu? Khi đó hãy chỉ ra một phương án cực biên tối ưu khác và một phương án tối ưu
không cực biên.
c/ Nếu phép biến đổi có dạng c’i3 = ci3 + α (i = 1÷ 4); cịn các cij khác giữ ngun,
trong đó α > - 15 thì có kết luận gì về phương án tối ưu của bài tốn vận tải mới?
3.7. Cho bài toán vận tải và tập phương án cực biên được đánh dấu *.
Thu: bj

150

85

75

115

90

100

3

2*

11

4*

7

245

4*

7

12*

10

9*

120

7*

8*

19

14

16

55

17

19

25

18*

22

Phát: ai

cij

a/ Hãy xác định một phương án tương ứng với các ô chọn được đánh dấu *. Giải bài
toán xuất phát từ phương án đó.
b/ Giả sử b4 = 115+α, a2 = 245+α, hãy tìm trị số của α để phương án tối ưu của bài tốn
mới có tập ơ chọn trùng với lời giải ở câu a.
3.8. Cho bài toán vận tải và tập phương án cực biên được đánh dấu * ở bảng dưới đây.
a/ Hãy xác định phương án tối ưu của bài tốn.
b/ Giảm cước phí c42 xuống cịn c42’ = 14, chứng minh rằng bài tốn có vơ số phương
án tối ưu. Tìm phương án tối ưu mà trạm phát A2 chuyển cho trạm thu B1 một lượng hàng là 45
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

16


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 3 – Mơ hình bài tốn vận tải

đơn vị, phương án đó có phải là phương án cực biên tối ưu hay không?
Thu: bj

51

Phát: ai

54

60

45

80

50

10*

11

10

9*

8

90

12*

12*

5

13

11

70

19

18*

6*

14

15

80

18

17

7

15

12*

cij

3.9. Cho bài tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu
Phát

B1: 100

B2: 120

B3: 90

A1: 120

10

9

14

A2: 120

8

7

10

A3: 130

12

8

12

Giải bài toán vận tải đã cho với điều kiện trạm phát A1 phải được ưu tiên phát hết hàng.
3.10. Cho bài toán vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu
Phát

B1: 110

B2: 90

B3: 110

A1: 80

15

17

14

A2: 60

12

10

11

A3: 100

20

16

21

Giải bài toán vận tải đã cho với điều kiện trạm thu B1 phải được ưu tiên nhận đủ hàng.
3.11. Cho bài tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu

B1: 60

Phát

B2: 50

B3: 100

B4: 60

A1: 60

3

5

2

5

A2: 80

15

6

12

7

A3: 90

14

8

11

13

A4: 90

10

5

8

9

Hãy tìm phương án vận chuyển tối ưu với điều kiện trạm phát A2 không được phát hàng
cho trạm thu B2.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

17


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 3 – Mơ hình bài toán vận tải

3.12. Cho bài toán vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu
Phát

B1: 200

B2: 50

B3: 300

A1: 250

20

21

24

A2: 250

18

15

14

A3: 70

11

11

9

A4: 130

15

12

13

a/ Hãy tìm phương án vận chuyển tối ưu với điều kiện trạm phát A1 không được tồn kho
quá 80 đơn vị hàng.
b/ Phương án tối ưu có duy nhất khơng? Vì sao? Tìm tập phương án tối ưu (nếu có).
3.13. Cho bài tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí:
Thu

B1: 20

Phát

B2: 40

B3: 35

B4: 30

A1: 30

11

18

12

19

A2: 18

3

6

2

5

A3: 20

8

14

20

15

A4: 37

6

16

10

11

a/ Chứng minh rằng bài tốn có vơ số phương án tối ưu.
b/ Hãy tìm một phương án tối ưu với điều kiện trạm phát A3 chuyển cho trạm thu B1
một lượng hàng là 6 đơn vị hàng. Phương án đó có phải là phương án cực biên hay khơng?
3.14. Giải bài tốn vận tải tiêu chuẩn thời gian với số liệu cho ở bảng sau (tij – thời gian vận
chuyển hết hàng từ Ai đến Bj).
Thu

B1: 40

Phát

B2: 70

B3: 50

A1: 50

3

5

4

A2: 70

5

1

3

A3: 60

4

5

6

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

tij

18


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 4 – Mơ hình bài tốn tối ưu trên mạng

CHƯƠNG 4. MƠ HÌNH BÀI TỐN TỐI ƯU TRÊN MẠNG
4.1. Đồ thị trọng số G = (X, A) như hình vẽ sau đây.
a/ Tìm đường đi ngắn nhất từ X1 đến X7.
b/ Vẽ đồ thị đối ngẫu của đồ thị trên.
c/ Xác định ma trận liên hệ trực tiếp của đồ thị.
60

X2
30

X5
50

40

X1

20

X4

20
40
40

10

70

50

X3

X7

X6

Đáp số: a/ x1  x3  x4  x7 với chiều dài là 100 (đơn vị độ dài).
4.2. Cho đồ thị trọng số G = (X, A) như hình vẽ.
5

X2

X5
6

2
1

X1

8

3

X6

3

4
X3

X4

5

a/ Xác định ma trận liên hệ cung – đỉnh của đồ thị.
b/ Vẽ đồ thị đối ngẫu với đồ thị G = (X, A) và chỉ ra hai cặp điều kiện đối ngẫu của hai
đồ thị này.
c/ Tìm đường đi ngắn nhất từ X1 đến X6 và vẽ đồ thị đối ngẫu.
Đáp số: x1  x3  x4  x6 với chiều dài là 12 (đơn vị độ dài).
4.3. Cho đồ thị G = (X, A) như sau:
3

x2
3

Nguồn

5
6

x1

4

x9

2

2
2

x5

3

x4
7

2

2
5

x6

5
6

4

x3

1

2

x1

8

x7
3
5

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

x8

Đích

4

x1

19


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 4 – Mơ hình bài tốn tối ưu trên mạng

a/ Tìm đường đi ngắn nhất từ x1  x8
b/ Tìm đường đi ngắn nhất từ x2  x11
c/ Tìm đường đi ngắn nhất từ x5  x8
Đáp số: a/ x1  x2 → x3 → x4 → x8 hoặc x1  x5 → x6 → x4 → x8
với chiều dài là 17 đơn vị độ dài.
b/ Khơng có đường đi từ đỉnh x2  x11
c/ x5 → x6 → x4 → x8 với chiều dài là 11 đơn vị độ dài.
4.4. Hãy xác định phương án kết nối các điểm trên đồ thị dưới đây sao cho tổng chiều dài mạng
liên thông là ngắn nhất.
9

A
8

14

6
2

B

G

5
C

L

12

9

11

6
8

2

2

E

J

10

94
D

5

3

9

5

H
N

6

11
M

F

4.5. Cho đồ thị như hình vẽ sau. Nguồn là đỉnh 1, đích là đỉnh 6, tổng số hàng vận chuyển từ
nguồn đến đích là 6 đơn vị. Trên mỗi cạnh có một cặp số thứ tự mà số thứ nhất là chi phí vận
chuyển một đơn vị hàng hố trên cạnh, số thứ hai là khả năng thông qua của cạnh này.
Hãy xác định phương án vận chuyển sao cho vận chuyển hết lượng hàng theo yêu cầu
từ nguồn đến đích với tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất.
(4,1)

4
(3,4)

Nguồn

(2,4)

6

Đích

(1,2)
1

3

(6,3)

(1,4)

(1,2)
2

(5,3)

5

Đáp số: Luồng hàng cần vận chuyển là: x12 = 2; x14 = 4; x32 = 1; x25 = 3; x36 = 2; x43 =
3; x46 = 1; x56 = 3 với tổng chi phí vận chuyển bằng 60 (đơn vị tiền).
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

20


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 4 – Mơ hình bài toán tối ưu trên mạng

4.6. Cho đồ thị hữu hạn G = (X,A).

(Các số ghi trên mỗi cạnh, cung là khả năng thơng qua của cạnh, cung đó)
a/ Từ đồ thị đã cho G = (X,A):
- Xác định ma trận liên hệ cung nút của đồ thị.

- Bỏ cung ( x5 , x7 ) . Vẽ đồ thị đối ngẫu với đồ thị còn lại. Xác định một cặp điều kiện
đối ngẫu của hai đồ thị này.
b/ Xác định luồng lớn nhất trên mạng cho bởi đồ thị G = (X,A), trong đó x1 là đỉnh
nguồn, x8 là đỉnh đích.
4.7. Tính các chỉ tiêu thời gian, tìm đường găng và độ dài đường găng của sơ đồ mạng sau:

Đáp số: Đường găng: x1 → x4 → x6 → x7 → x8 với độ dài 22 (đơn vị độ dài)
4.8. Tìm đường găng và độ dài đường găng của sơ đồ mạng sau:
2

6

8

6

11

0

3
5

8

3
6

1
2

4

1

5

8
7

9

7

0

9

1

1

6
5

2

6
9

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

21


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 4 – Mơ hình bài toán tối ưu trên mạng

Đáp số: Đường găng: x1 → x3 → x7 → x10 → x12 với độ dài là 29 (đơn vị độ dài).
4.9. Lập sơ đồ mạng lưới cho dự án gồm các công việc từ a1 đến a19 với trình tự thực hiện các
cơng việc như sau:
Cơng việc a1, a2, a3 và a11 có thể bắt đầu ngay.
Công việc a1 làm trước a4 và a5 ; a3 làm trước a7.
Công việc a4 làm trước a8 và a9 ; a6 làm sau a2.
Công việc a9 làm trước a15 và a16 ; a10 làm sau a5.
Công việc a11 làm trước a17 và a18 .
Công việc a12 làm trước a8 ; công việc a13 làm sau a6, a7 và a10.
Công việc a14 làm sau a8 và a16 ; a17 làm trước a19.
Các công việc a13, a14, a15, a18 và a19 làm cuối cùng.
Cho biết thời gian hoàn thành các công việc: a1 – 6h; a2 – 7h; a3 – 5h; a4 – 4h; a5 – 8h;
a6 – 9h; a7 – 3h; a8 – 7h; a9 – 6h; a10 – 9h; a11 – 4h; a12 – 3h; a13 – 6h; a14 – 8h; a15 – 7h; a16 –
5h; a17 – 4h; a18 – 6h; a19 – 7h.
Tìm đường găng và tính độ dài đường găng tìm được.
4.10. Lập sơ đồ mạng lưới cho dự án gồm các công việc từ a1 đến a20 với trình tự thực hiện các
cơng việc như sau:
Cơng việc a1, a2, a3 và a4 có thể bắt đầu ngay.

Công việc a1 làm trước a5 ; a2 làm trước a6, a7 và a8.
Các công việc a3 làm trước a9 và a10 ; a11 làm sau a4.
Công việc a12 làm sau a5 và a6 ; các công việc a13 và a14 làm sau a8 và a9.
Các công việc a15 và a20 làm sau a10 và a11.
Các công việc a16 và a18 làm sau a7 và a13.
Công việc a19 làm sau a14 và a15.
Công việc a17 làm sau a12 và a16.
Các công việc a17, a18, a19 và a20 làm cuối cùng.
Thời gian hồn thành các cơng việc như sau: a1 – 1h; a2 – 5h; a3 – 2h; a4 – 2h; a5 – 6h;
a6 – 3h; a7 – 8h; a8 – 6h; a9 – 1h; a10 – 4h; a11 – 2h; a12 – 8h; a13 – 7h; a14 – 9h; a15 – 6h; a16 –
5h; a17 – 3h; a18 – 5h; a19 – 9h; a20 – 6h.
Tìm đường găng và tính độ dài đường găng tìm được.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

22


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 5 – Mơ hình hệ thống phục vụ cơng cộng

CHƯƠNG 5. MƠ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CƠNG CỘNG
5.1. Một trạm xử lý tin nóng có 10 máy làm việc tự động, mỗi máy xử lý trung bình
được 4 bản tin một giờ. Dịng các bản tin cần xử lý là dịng Pốt xơng dừng với tốc độ trung
bình 30 bản tin giờ. Nếu bản tin đến gặp lúc có máy rỗi thì được nhận vào xử lý, còn nếu tất cả
các máy đều bận thì sẽ được tự động bỏ qua.

a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết hệ thống nói trên là hệ thống phục vụ loại gì?
b/ Hãy xác định các chỉ tiêu đánh giá chất lượng xử lý tin của trạm.
5.2. Bộ phận kiểm tra sản phẩm có 4 máy làm việc tự động, năng suất các máy đều là 3
sản phẩm một phút. Mỗi sản phẩm ra khỏi dây chuyền đến bộ phận kiểm tra nếu gặp lúc có máy
rỗi sẽ được kiểm tra một trong các máy rỗi, ngược lại sản phẩm được nhập kho khơng qua kiểm
tra. Dịng sản phẩm ra khỏi dây chuyền là dịng Pốt xơng dừng, mật độ trung bình là 10 sản
phẩm/phút. Thời gian kiểm tra một sản phẩm phân phối theo luật chỉ số.
Người ta muốn nâng tỷ lệ sản phẩm được kiểm tra và dự định hai phương án như sau:
a/ Tăng thêm 3 máy có năng suất như các máy cũ.
b/ Nâng năng suất gấp 2 lần cho 4 máy hiện có.
Hãy chọn phương án đáp ứng yêu cầu đặt ra cao hơn?
5.3. Một phịng khám có 3 bác sỹ, thời gian mỗi bác sỹ khám cho một bệnh nhân trung
bình là 15 phút. Giả sử dòng bệnh nhân đến khám là dịng Pốt xơng dừng, mỗi giờ trung bình
có 9 bệnh nhân đến phịng khám. Phịng khám có 6 chỗ chờ tối đa cho 6 bệnh nhân.
a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết phịng khám nói trên là hệ thống phục vụ loại gì?
b/ Hãy tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của phòng khám này.
5.4. Một cửa hàng bảo dưỡng xe máy có 5 cơng nhân làm việc và một diện tích để 10
xe chờ. Mỗi cơng nhân bảo dưỡng một xe. Dịng xe có nhu cầu bảo dưỡng giả thiết là dịng tối
giản, trung bình 4 xe/giờ. Thời gian bảo dưỡng trung bình mỗi xe của một cơng nhân hết 1 giờ.
Hãy tính các chỉ tiêu:
- Xác suất phục vụ.
- Số cơng nhân bận trung bình.
- Số xe chờ trung bình và thời gian chờ trung bình.
5.5. Một bưu cục trung tâm có 6 quầy làm việc độc lập, mỗi quầy do một nhân viên đảm
nhận, trung bình một giờ giải quyết được 8 giao dịch. Trung bình mỗi giờ có 36 khách hàng
đến giao dịch tại bưu cục. Nếu khách hàng đến bưu cục gặp lúc có quầy rỗi thì được nhận vào
phục vụ ngay, ngược lại khách hàng phải xếp hàng chờ. Diện tích của bưu cục đủ lớn, dòng yêu
cầu đến bưu cục là dịng Pốt xơng dừng, thời gian phục vụ một khách hàng là một biến ngẫu
nhiên tuân theo quy luật chỉ số.
TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

23


lOMoARcPSD|16911414

Bài tập Tốn Kinh tế

Chương 5 – Mơ hình hệ thống phục vụ công cộng

a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết bưu cục nói trên là hệ thống phục vụ loại gì?
b/ Hãy xác định các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của bưu cục đó.
5.6. Một bưu cục khai thác bưu kiện có 2 tổ làm việc độc lập, năng suất mỗi tổ là 20
bưu kiện một giờ. Dòng bưu kiện về bưu cục là dòng Pốt xơng dừng với cường độ là 100 bưu
kiện một ngày, mỗi ngày làm việc 10 giờ. Thời gian khai thác một túi bưu kiện là một biến ngẫu
nhiên tuân theo quy luật chỉ số.
Một bưu kiện về đến bưu cục gặp lúc có tổ rỗi thì được nhận vào khai thác ngay tại đó,
ngược lại bưu kiện được xếp vào kho theo thứ tự với dung tích kho khơng hạn chế.
a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết hệ thống nói trên là hệ thống phục vụ loại gì?
b/ Hãy xác định các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của hệ thống.
5.7. Một Trung tâm Bưu Điện có 6 nhân viên làm các gói dịch vụ về điện thoại, mỗi giờ
một người hồn thành được các gói dịch vụ của 4 khách hàng. Trung bình mỗi giờ có 18 khách
hàng đến Trung tâm Bưu Điện để yêu cầu được phục vụ. Nếu khách đến Trung tâm gặp lúc có
nhân viên rỗi thì được phục vụ ngay, ngược lại thì phải xếp hàng chờ ở phịng chờ. Phịng chờ
đủ lớn cho mọi khách hàng đã đến Trung tâm Bưu Điện để được phục vụ. Giả sử dòng khách
hàng đến Trung tâm Bưu Điện là dịng Pốt-xơng dừng, thời gian làm xong các gói dịch vụ cho
một khách hàng là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật số mũ.
a/ Vẽ sơ đồ trạng thái của hệ dịch vụ. Trạng thái của hệ thống thay đổi theo quy luật gì?
Vì sao?

b/ Tính các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của hệ thống: P0 , Pc , Ppv , nb , n r , mc , t c .
Từ các chỉ tiêu tính được, nhận xét về chất lượng phục vụ của hệ thống.
5.8. Một bộ phận kiểm tra sản phẩm của một cơ sở sản xuất có 6 máy làm việc tự động,
năng suất mỗi máy đều là 12 sản phẩm/giờ. Mỗi sản phẩm ra khỏi dây chuyền sản xuất đến bộ
phận kiểm tra, nếu gặp lúc có máy rỗi thì sẽ được kiểm tra tại một trong các máy rỗi, ngược lại
sản phẩm được nhập kho không qua kiểm tra. Dòng sản phẩm ra khỏi dây chuyền sản xuất là
dịng Pốt – xơng dừng, mật độ trung bình 24 sản phẩm/giờ. Thời gian kiểm tra một sản phẩm
tuân theo quy luật số mũ.
a/ Vẽ sơ đồ trạng thái của hệ thống. Trạng thái của hệ thống biến đổi theo quy luật gì?
Vì sao?
b/ Tính các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của bộ phận kiểm tra.
c/ Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm được kiểm tra khơng nhỏ hơn 99% thì tối thiểu cần bao
nhiêu máy tự động ở bộ phận kiểm tra.
5.9. Một trung tâm xử lý tin nhanh có 3 tổ làm việc độc lập, năng suất mỗi tổ là 6 bản
tin/giờ. Mỗi bản tin đến trung tâm, nếu gặp lúc có tổ rỗi thì sẽ được xử lý tại một trong các tổ
rỗi, ngược lại bản tin sẽ bị loại ra khỏi trung tâm. Dòng bản tin đến trung tâm xử lý là dòng

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT
Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

24