Chuyên đề Biến đổi Đại số

BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
•

Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 = a .

•

Cho số thực a khơng âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
một số thực khơng âm x mà bình phương của nó bằng a :
x ≥ 0
a ≥ 0
⇔ 2

x = a
 a = x

•

Với hai số thực khơng âm a, b ta có:

•

Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
A≥0
A
2
+ A=
nếu

A
= 
A<0
− A

A2 B
+ =

a là

a ≤ b ⇔ a ≤b.

=
A
B A B với A, B ≥ 0 ;

A2 B = A B = − A B với

A < 0; B ≥ 0

A
+=
B
+

A.B
=
B2

A.B

với AB ≥ 0, B ≠ 0
B

M
M. A
với A > 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
=
A
A

(

)

M A B
M
=
với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi là phép
A− B
A± B
trục căn thức ở mẫu)

+

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:

THCS.TOANMATH.com

1


•

Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là

•

Cho a ∈ R; 3 a =x ⇔ x3 = 3 a

•

Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

•

Nếu a > 0 thì

3

a > 0.

•

Nếu a < 0 thì

3

a <0.

•

Nếu a = 0 thì

3

a = 0.

( )

•

3

a 3a
với mọi b ≠ 0 .
=
b 3b

•

3

ab = 3 a . 3 b với mọi a, b .

•

a

•

A 3 B = 3 A3 B .

•

3

•
•

3

3

A
=
B

A
=
B

3

3

3

3

a là số x sao cho x3 = a

=a

AB 2
với B ≠ 0
B

A
B3

1
=
A±3 B

3

A2  3 AB + 3 B 2
với A ≠ ± B .
A± B

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy
thừa bậc n của nó bằng a.
• Trường hợp n là số lẻ: n = 2k + 1, k ∈ N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

•

2 k +1

a=
x ⇔ x 2 k +1 =
a , nếu a > 0 thì

2 k +1

a < 0 , nếu a = 0 thì

2 k +1

2 k +1

a > 0 , nếu a < 0 thì

a =0

Trường hợp n là số chẵn:
=
n 2k , k ∈ N .
Mọi số thực a > 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn
dương kí hiệu là

2k

a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc

chẵn âm kí hiệu là − 2k a ,

2k

a = x ⇔ x ≥ 0 và x 2k = a ;

− 2 k a = x ⇔ x ≤ 0 và x 2k = a .
THCS.TOANMATH.com

2


Mọi số thực a < 0 đều khơng có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) P
= x4 − 4
b) =
P 8 x3 + 3 3
c) P = x 4 + x 2 + 1
Lời giải:

(

)( x + 2 ) ( x + 2) .
3 )( 4 x − 2 3 x + 3) .

a) P = ( x 2 − 2 )( x 2 + 2 ) = x − 2
b) P =( 2 x ) +
3

c) P=

(x

2

( 3 ) =( 2 x +
3

+ 1) − x 2=
2

(x

2

2

− x + 1)( x 2 + x + 1) .

2

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:

1
khi x ≥ 0 .
4

a) A =

x − x− x +

b) B
=

4 x − 2 4 x − 1 + 4 x + 2 4 x − 1 khi x ≥

1
.
4

c) C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10 7 − 4 3
Lời giải:
a) A =

2

1

x−  x−  =
2


1
x − x− x + =
4

+ Nếu

x≥

1
1
⇔ x ≥ thì
2
4

+ Nếu

x<

1
1
⇔ 0 ≤ x < thì
2
4

THCS.TOANMATH.com

x−

1
=
2

x−

x−

x−

x−

1
2

1
1
.
⇒ A=
2
2

1
1
1
=
− x+ ⇒ A=
2 x−
2
2
2
3


b)
=
B

4 x − 2 4 x − 1 + 4 x + 2 4 x −=
1

Hay =
B
=

(

)

(

2

4x −1 −1 +

4x −1− 2 4x −1 +1 + 4x −1+ 2 4x −1 +1

)

2

4 x − 1 + 1=

4x −1 −1 +

4x −1 +1

4x −1 −1 + 4x −1 +1
4x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 4x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥

+ Nếu

1
thì
2

4 x − 1 −=
1

4 x − 1 − 1 suy

ra
=
B 2 4x −1 .
4x −1 −1 < 0 ⇔ 4x −1 < 1 ⇔

+ Nếu

1
1
≤ x < thì
4
2

4 x − 1 − 1 =− 4 x − 1 + 1 suy ra B = 2 .

(

c) Để ý rằng: 7 − 4 3 =2 − 3

)

2

⇒ 7 − 4 3 =2 − 3

Suy ra

C =9 − 5 3 + 5 8 + 10(2 − 3) =9 − 5 3 + 5 28 − 10 3
=9 − 5 3 + 5
C=

(5 − 3 )

2

9 − 5 3 + 5(5 − 3) =

.Hay
9 − 25 =

9−5 =

4= 2

Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A = 7 − 2 6 − 7 + 2 6 là số nguyên.
84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp

+ 1−
9
9
10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).

b) B = 3 1 +

THCS.TOANMATH.com

4


c) Chứng minh rằng: x = 3 a +
a≥

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
với
+ a−
3
3
3
3

1
là số tự nhiên.
8

(

d) Tính x + y biết x + x 2 + 2015

)( y +

)

y 2 + 2015 =
2015 .

Lời giải:
a) Dễ thấy A < 0,
Tacó

A =
2

(

7−2 6 − 7+2 6

) = 7 − 2 6 + 7 + 2 6 − 2 7 − 2 6. 7 + 2 6
2

=14 − 2.5 =4

Suy ra A = −2 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) = u 3 + v3 + 3uv ( u + v ) . Ta có:
3

3



84 3
84 
84
84
84 3
84 
 = 1+

B =  3 1+
. 1−
+ 1−
+1−
+ 3 3 1 +


9
9 
9
9
9
9 




3


84 3
84 
 3 1+
 . Hay
+ 1−

9
9 



84  
84 
84
3
3
3
B 3 =2 + 3 3 1 +
 1 −
 .B ⇔ B =2 + 3 3 1 − B ⇔ B =2 − B ⇔ B + B − 2
9 
9 
81

2

1 7

⇔ ( B − 1) ( B + B + 2 ) =

0 mà B + B + 2 =  B +  + > 0 suy ra B = 1 .
2 4

Vậy B là số nguyên.
2

2

c) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) = u 3 + v3 + 3uv ( u + v )
3

THCS.TOANMATH.com

5


Ta có

x 3 = 2a + (1 − 2a ) x ⇔ x 3 + ( 2a − 1) x − 2a = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 2a ) = 0

Xét đa thức bậc hai x 2 + x + 2a với ∆ = 1 − 8a ≥ 0
+ Khi a =

1
1
1
ta có x = 3 + 3 = 1 .
8
8
8

1
+ Khi a > , ta có ∆ = 1 − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x = 1
8

Vậy với mọi a ≥

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
1
+ a−
= 1 là
ta có: x = 3 a +
3
3
3
3
8

số tự nhiên.
d) Nhận xét:

(

x 2 + 2015 + x

)(

)

x 2 + 2015 − x =
x 2 + 2015 − x 2 =
2015 .

Kết hợp với giả thiết ta suy ra

x 2 + 2015 − x = y 2 + 2015 + y

⇒ y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y =0
Ví dụ 4)

a) Cho x = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . Tính giá trị biểu thức:
P=

x 4 − 4 x3 + x 2 + 6 x + 12
.
x 2 − 2 x + 12

b) Cho x = 1 + 3 2 . Tính giá trị của biểu thức
B = x 4 − 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 + 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC
Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho x =+
1 3 2 + 3 4 . Tính giá trị biểu thức:
P = x 5 − 4 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 2015
Giải:

THCS.TOANMATH.com

6

a) Ta có:
2



x =
8 + 2 4 + 10 + 2 5 . 4 − 10 + 2 5
 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5  =


2

⇔ x 2 =8 + 2 6 − 2 5 =8 + 2
⇒ x=

(

)

5 −1

2

=8 + 2

(

)

(

)

5 − 1 =6 + 2 5 =

5 +1

2

5 + 1 . Từ đó ta suy ra ( x − 1) =5 ⇔ x 2 − 2 x =4 .
2

Ta =
biến đổi: P

(x

− 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) + 12 42 − 3.4 + 12
= = 1.
x 2 − 2 x + 12
4 + 12
2

2

b) Ta có x =1 + 3 2 ⇒ ( x − 1) = 2 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3 = 0 . Ta biến đổi
3

biểu thức P thành:

P= x 2 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + x ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + 1945
= 1945

c) Để ý rằng: x =

3

22 + 3 2 + 1 ta nhân thêm 2 vế với

3

2 − 1 để tận

dụng hằng đẳng thức: a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) . Khi đó ta có:

) ( 2 − 1) ( 2 + 2 + 1)
⇔ ( 2 − 1) x = 1 ⇔ 2 x = x + 1 ⇔ 2 x

(

3

2 −1 x =
3

3

3

2

3

3

Ta biến đổi:
P = x 5 − 4 x 4 + x3 − x 2 − 2 x + 2015 =

3

(x

2

= ( x + 1) ⇔ x3 − 3 x 2 − 3 x − 1 = 0 .
3

− x + 1)( x3 − 3 x 2 − 3 x − 1) + 2016 = 2016

Ví dụ 5) Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx =
1.
a) Tính giá trị biểu thức:

(1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y )
2

P= x

1 + x2

b) Chứng minh rằng:

2

2

1+ y2

2

2

2

1+ z2

x
y
z
2 xy
+
−
=
2
2
2
1+ x 1+ y 1+ z
(1 + x 2 )(1 + y 2 )(1 + z 2 )

Lời giải:

THCS.TOANMATH.com

7


a) Để ý rằng: 1 + x 2 = x 2 + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z )
Tương tự đối với 1 + y 2 ;1 + z 2 ta có:

(1 + y )(1 + z=)
2

x

2

1+ x

2

x

y)
( y + x )( y + z )( z + x )( z + =
( x + y )( x + z )

x( y + z)

Suy ra P= x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )= 2 ( xy + yz + zx )= 2 .
b) Tương tự như câu a)
Ta có:

x
y
z
+
−=
2
2
1+ x 1+ y 1+ z2

x

y

+

z

−

( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( z + x )
x ( y + z ) + y ( z + x) − z ( x + y)
2 xy
2 xy
= =
( x + y )( y + z )( z + x )
( x + y )( y + z )( z + x ) (1 + x 2 )(1 + y 2 )(1 + z 2 )

Ví dụ 6)
a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:
1 2

( x1 + x22 + ... + xn 2 )
2

x12 − 12 + 2 x2 2 − 22 + .. + n xn 2 − =
n2

4n + 4n 2 − 1
với n nguyên dương. Tính
2n + 1 + 2n − 1
f (1) + f (2) + .. + f (40) .

b) Cho f (n) =

Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:

(

) (
2

x12 − 12 − 1 +

)

2

x2 2 − 22 − 2 + ... +

(

xn 2 − n 2 − n

)

2

=
0

Hay=
x1 2,=
x2 2.22 ,...,=
xn 2.n 2

THCS.TOANMATH.com

8


b) Đặt =
x

 x2 + y 2 =
4n

2n − 1 ⇒  xy
= 4n 2 − 1 .
 x2 − y 2 =
2



2n + 1, =
y

Suy ra

(

1
x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 1 3
3
f (n)=
x − y 3 )=
= 2
=
( 2n + 1) −
(
2
2
2
x+ y
x −y
Áp dụng vào bài tốn ta có:
1
f (1) + f ( 2 ) + .. + f =
( 40 )  33 − 13 + 53 − 33 + .. +
2
1
=

813 − 13= 364
2

(

) (

)

)

(

( 2n − 1)

(

3

).
)

813 − 793 


Ví dụ 7)
1
1
1
+

+ .... +
> 4 . Đề thi
1+ 2
3+ 4
79 + 80

a) Chứng minh rằng:
chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng:

1
1
1
1
1 

+
+
+ ... +
> 2 1 −
.
1 2 2 3 3 4
n n +1
n +1 


1
1
1
1

1
+
+
+
+ ... +
< 2 n − 1 với
1
2
3
4
n
mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

c) Chứng minh: 2 n − 2 <

Lời giải:
1
1
1
,
+
+ .... +
1+ 2
3+ 4
79 + 80
1
1
1
+
+ .. +

2+ 3
4+ 5
80 + 81

a) Xét
=
A
=
B

Dễ thấy A > B .
Ta có A + B =

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
1+ 2
2+ 3
3+ 4
79 + 80
80 + 81

THCS.TOANMATH.com

9


1

Mặt khác ta có:

=
k + k +1

(

Suy ra A + B
=

) (

2− 1 +

(

(

k +1 − k

k +1 + k

)

3 − 2 + ... +

)(
(

)

k +1 − k

=

k +1 − k

)

)

81 − 80=

81 −=
1 8 . Do

A > B suy ra 2 A > A + B =8 ⇔ A > 4 .

1
1
b) Để ý rằng:
=
−
k
k +1

k (k + 1)

(

1
k +1 + k

)

<

1
với
2k k + 1

mọi k nguyên dương.
Suy ra
1   1
1 
1 
1 
 1


VT > 2 1 −
−
−
 + .. + 2 
= 2 1 −

.
 + 2
2  2
3
n +1 
n +1 

 n

c) Đặt P =

Ta có:

1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
1
2
3
4
n

2
n + n +1

<

1
2
2
với mọi số tự nhiên n ≥ 2 .
=
<
n 2 n
n + n −1

Từ đó suy ra
2

(

n +1 − =
n

)

2

(

)

2
2

2
<
<
= 2
n +1 + n 2 n
n + n −1
2
n +1 − n <
< 2 n − n −1
n

(
T < 1 + 2 (


Do đó: 2 


(

(

)

n − n − 1 hay

)

) ( 3 − 2 ) + ... + ( n + 1 − n ) < T và
2 − 1) + ( 3 − 2 ) + .... ( n − n − 1 )  .


2− 1 +

Hay 2 n − 2 < T < 2 n − 1 .
Ví dụ 8)
THCS.TOANMATH.com

10


a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
a 1 − b 2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2 =.Chứng minh rằng:
2
3
a 2 + b 2 + c 2 =.
2
a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x2 =
3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp

10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có
a 1 − b2 + b 1 − c2 + c 1 − a 2 ≤

a 2 + 1 − b2 b2 + 1 − c2 c2 + 1 − a 2 3
+
+
=.

2
2
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
=
a
1 − b2
a 2 = 1 − b 2

 2
3

2
2
2
2
2
b = 1 − c ⇔ b =1 − c ⇒ a + b + c = (đpcm).
2

c 2 = 1 − a 2
c
1 − a2

=
b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2 z 3 − x 2 =
6.
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab ≤ a 2 + b 2 ta có:

2x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2 z 3 − x2 ≤ x2 + 1 − y 2 + y 2 + 2 − z 2 + z 2 + 3 − x2 =
6
. Suy ra VT ≤ VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ

khi:

THCS.TOANMATH.com

11


 x 2 + y 2 +=
z 2 3; x, y, z ≥ 0
 x, y , z ≥ 0
 2
 2
2
2
1
1
x + y =
x + y =
2
⇔ 2
⇔ x = 1; y = 0; z =
2− z ⇔  2
2
2
y +z =
2

y +z =
2


3 − x2
 z 2 + x2 =
 z 2 + x2 =
3
3



=
x


y =

z
=

1− y2

Ví dụ 9) Cho A =

x

(

x+4 x−4 + x−4 x−4

x 2 − 8 x + 16

2

) với x > 4

a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị ngun của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4 .

A
x

(


x


(

2
2 
x−4 +2 +
x−4 −2  x x−4 +2 + x−4 −2
 =
=
2
x−4

( x − 4)

(

)

x−4 +2+

x−4 −2

)

(

)

)

x−4

+ Nếu 4 < x < 8 thì
A=

x

(

x − 4 − 2 < 0 nên

x−4 +2+2− x−4

x−4

)=

4x
16
= 4+
x−4
x−4

Do 4 < x < 8 nên 0 < x − 4 < 4 ⇒ A > 8 .
+ Nếu x ≥ 8 thì

x

(

x − 4 − 2 ≥ 0 nên

x−4 +2+ x−4 −2

)

2x x − 4
2x
8
=
= 2 x−4 +
≥ 2 16= 8
x−4

x−4
x−4
x−4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
8
2 x−4 =
⇔ x−4 = 4 ⇔ x = 8.
x−4
A=

THCS.TOANMATH.com

=

12


Vậy GTNN của A bằng 8 khi x = 8 .
b) Xét 4 < x < 8 thì A= 4 +

16
, ta thấy A ∈ Z khi và chỉ khi
x−4

16
∈ Z ⇔ x − 4 là ước số nguyên dương của 16 . Hay
x−4
x − 4 ∈ {1; 2; 4;8;16} ⇔ x =
{5;6;8;12; 20} đối chiếu điều kiện suy ra x = 5

hoặc x = 6 .
+ Xét x ≥ 8 ta có: A =

2x
, đặt
x−4

=
x m2 + 4
x−4 = m⇒ 
khi đó ta có:
m ≥ 2

2 ( m2 + 4 )
8
=
= 2m + suy ra m ∈ {2; 4;8} ⇔ x ∈ {8; 20;68} .
A
m
m
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5;6;8; 20;68} .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với x > 0 , cho hai biểu thức A =

2+ x
và B
=
x

x −1 2 x +1
.
+
x
x+ x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để > .
B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức A =

x +4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x +2


x
4  x + 16
(với
2) Rút gọn biểu =
thức B 
+
 :
 x +4
x
−

x
+
4
2


x ≥ 0, x ≠ 16 )
THCS.TOANMATH.com

13


3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của
x để giá trị của biểu thức B ( A − 1) là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A =

x
10 x
5
, với x ≥ 0, x ≠ 25 .
−
−
x − 5 x − 25
x +5

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x = 9 .
1
3) Tìm x để A < .

3
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho P =

x
2 x
3x + 9
, với x ≥ 0, x ≠ 9 .
+
−
x +3
x −3 x −9

1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P = .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .

Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
A=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

x
1  
2
6


=
B 
+
+
 : 1 −

x +3 
x x+3 x 
 x+3 x

( x > 0) .

Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
THCS.TOANMATH.com

14


Thu gọn các biểu thức sau:

3  x +3
x
với x ≥ 0, x ≠ 9 .

=
+
A 
.
x − 3  x + 9
 x +3

=
B 21

(

2+ 3 + 3− 5

) (
2

−6

2− 3 + 3+ 5

) −15 15 .
2

Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu
thức P
=

x 2

2x − 2
, với x > 0, x ≠ 2 .
+
x−2
2 x+x 2

Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
1
1
1
1
và
Cho A =
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121
B =1 +

1
1
.
+ ... +
2
35

Chứng minh rằng B > A .

Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)

=
Cho biểu thức P

x3 + y 3
x+ y
. 2
,x ≠ y.
2
2
x − xy + y x − y 2

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi =
x

7 − 4 3 và =
y

4−2 3 .

Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a, b ; a ≠ b .

THCS.TOANMATH.com

15

(

Chứng minh rằng:

(a − b)

3

a− b

)

3

− b b + 2a a

a a −b b

+

3a + 3 ab
0.
=
b−a

Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
A
=

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x

; x > 0, x ≠ 9 .
+
−
x −9
x + x − 12 x + 4 x

Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
Cho biểu thức A =

1
1
2 x
+
−
2+ x 2− x 4− x

( x ≥ 0, x ≠ 4 ) .

1
Rút gọn A và tìm x để A = .
3

Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
3
3
x x+x
. Tìm tất cả
+
+
x −3 − x

x −3 + x
x +1
các giá trị của x để P > 2 .

1) Cho biểu thức P =

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng

y
( d ) :=

mx − 1 ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của

m , đường thẳng ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hồnh
độ x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 ≥ 2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức C =

a
2
2
.
−
−
a − 16
a −4
a +4

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a= 9 − 4 5 .

THCS.TOANMATH.com

16


Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
 2
3
5 x −7  2 x +3
Cho biểu thức A = 
 x − 2 + 2 x + 1 − 2 x − 3 x − 2  : 5 x − 10 x



( x > 0, x ≠ 4 ) .
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
1) Tính giá trị của biểu thức A =

x +1
, khi x = 9 .
x −1

1  x +1
 x−2
2) Cho biểu=
thức P 
với x > 0 và x ≠ 1 .
+

.
x + 2  x −1
 x+2 x

a) Chứng minh rằng P =

x +1
.
x

b) Tìm các giá trị của x để =
2P 2 x + 5 .
Câu 17) Cho a = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Chứng minh rằng
a 2 − 2a − 2 =
0.

Câu 18) Cho a = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
Tính giá trị của biểu thức: T =

a 2 − 4a 3 + a 2 + 6a + 4
.
a 2 − 2a + 12

a.
Câu 19) Giả thiết x, y, z > 0 và xy + yz + zx =
Chứng minh rằng:

( a + y )( a + z ) + y ( a + z ) ( a + x )
2

x

2

a + x2

THCS.TOANMATH.com

2

a + y2

2

( a + x )( a + y ) =
2a .
2

+z

2

a + z2

17


Câu 20. Cho a =

2 + 7 − 3 61 + 46 5 + 1 .

a) Chứng minh rằng: a 4 − 14a 2 + 9 =
0.

b) Giả sử f ( x ) = x 5 + 2 x 4 − 14 x 3 − 28 x 2 + 9 x + 19 . Tính f ( a ) .
Câu 21. Cho a = 3 38 + 17 5 + 3 38 − 17 5 .
Giả sử có đa thức f ( x ) =

(x

3

+ 3 x + 1940 )

Câu 22. Cho biểu thức f ( n ) =

2016

. Hãy tính f ( a ) .

2n + 1 + n ( n + 1)
n + n +1

.

Tính tổng S= f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2016 ) .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1≤

1 1 1
1 5
+ 2 + 2 + ... + 2 < .
2
1 2 3
n
3

Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 , ta có

1 1 1
1 65
+ 3 + 3 + ... + 3 <
.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:

43
1
1
1
44
<
+
+ ... +
<
44 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3
2002 2001 + 2001 2002 45

(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1
1
1
1
+
+ ... +
< 1−
.
2 2 +1 1 3 3 + 2 2
n +1
( n + 1) n + 1 + n n
THCS.TOANMATH.com

18


Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 , ta có:

1 4 7 10 3n − 2 3n + 1
1
. . . ....
.
<
.
3 6 9 12
3n 3n + 3 3 n + 1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1

1). Lời giải:
1) Với x = 64 ta có
=
A

(

)(

) (

2 + 64 2 + 8 5
.
= =
8
4
64

)

x −1 . x + x + 2 x +1 . x x x + 2x
1
x +2
1+
B=
=
=
=
x x+x
x +1

x +1
x. x + x

(

Với x > 0 , ta có:

)

2+ x 2+ x 3
A 3
:
> ⇔
> ⇔
B 2
x
x +1 2

x +1 3
>
2
x

⇔ 2 x + 2 > 3 x ⇔ x < 2 ⇔ 0 < x < 4 (do x > 0 ).
2. Lời giải:
36 + 4 10 5
.
= =
36 + 2 8 4

1) Với x = 36 , ta có =
A
2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có:

(

) (

 x x −4 4 x +4

B=
+

x − 16
x − 16

.
3)=
Biểu thức B ( A − 1)

) 

(

)

x + 2 ( x + 16 ) x + 2
x +2
=
=

 x + 16 ( x − 16 )( x + 16 )
x − 16


x +2 x +4− x −2
2
=


x − 16 
x +2
 x − 16

B ( A − 1) nguyên, x nguyên thì x − 16 là ước của 2 , mà
U ( 2 ) ={±1; ±2} . Ta có bảng giá trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên thì x ∈ {14;15;16;17} .
THCS.TOANMATH.com

19


3). Lời giải:
A=

x.

10 x
5
x
−

−
=
x − 5 x − 25
x +5

x + 5 x − 10 x − 5 x + 25
=
x −5
x +5

(

(
A=

(

)(

)

)

)

(
( x − 5)( x + 5)

x + 5 − 10 x − 5.

x − 10 x + 25
x −5

)(

x +5

x −5

)

)

2

x −5
=
⇒A
x −5
x +5

)(

(

(

x −5
. Với x = 9 ta có:
x +5

)

x = 3 . Vậy

3 − 5 −2
1
=
= − .
3+5 8
4

4). Lời giải:

1) P

(

)

(

)

x x − 3 + 2 x x + 3 − 3x − 9
=
x −3
x +3

(

)(

)

3
x +3

3
1
= ⇒ x + 3 = 9 ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x +3 3
3
3
3) Với x ≥ 0, P =
1 ⇒ Pmax =
1 khi x = 0 (TM).
≤
=
x +3 0+3

2) P =

1
⇔
3

5. Lời giải:
A=

=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

(5 + 5 )(
( 5 + 2)(

= 3 5 −5+

)+
5 − 2) (

5−2

5

(

)

5 +1

)(

5 −1

−

(

3 5 3− 5

)

) (3 + 5 )(3 − 5 )

5 +1

5 + 5 9 5 − 15
5 + 5 − 9 5 + 15
−
= 3 5 −5+
4
4
4

THCS.TOANMATH.com

20


= 3 5 − 5 + 5 − 2 5=

5.

x
1  
2
6


=
B 
+
+
 : 1 −
 ( x > 0)
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x



x
1   x −2
6
=+
+

 :
x +3 
x
x x +3
 x +3



(


x +1
= :
x +3 


(

)






)( x + 3) + 6  =
x
=
x + 1) .
1.
(

x+ x
x ( x + 3)


x −2

6. Lời giải:
Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta có:



x −3 x +3 x +9 x +3

A
=
=
.
 x +3
x −3  x +9



(

)(

1
−3.
x

)

) (

(

2
21
4+ 2 3 + 6−2 5 −3 4−2 3 + + 6+ 2 5
2
2
2
21
=
3 + 1 + 5 − 1 − 3 3 − 1 + 5 + 1 − 15 15
2
2
15
=
3 + 5 − 15 15 = 60 .
2

=
B

(
(

)

(

) −15 15
2

)

)

7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
P=
2x

(

x 2
2+ x

+

) (

2

(

x− 2

x− 2

)(

)

x+ 2

)

=

2
x
+
= 1.
2+ x
x+ 2

8. Lời giải:
1
1
1
1
Ta có: A =
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121
THCS.TOANMATH.com

21

1− 2

+

(1 + 2 )(1 − 2 ) (
=

2− 3
2+ 3

)(

2− 3

)

+ ... +

(

120 − 121
120 + 121

)(

120 − 121

1− 2
2− 3

120 − 121
+
+ ... +
−1
−1
−1
= 2 − 1 + 3 − 2 + ... + 121 − 120 =−1 + 121 =10 (1)

1
Với mọi k ∈ * , ta có: =
k
1
1
Do đó B =1 +
+ ... +
2
35

2
2
>
= 2
k+ k
k + k +1

(

k +1 − k

)

( 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + 36 − 35 )
⇒ B > 2 ( − 1 + 36 ) = 2 ( −1 + 6 ) = 10 (2) . Từ (1) và (2) suy ra B > A .
⇒B>2

9. Lời giải:
1) P

x3 + y 3
x+ y
x+ y
.
.
=
2
2
x − xy + y ( x − y )( x + y ) x − y

2) Với x =7 − 4 3 =
2 − 3 và y = 4 − 2 3 = 3 − 1
Thay vào P ta được: P =

2 − 3 + 3 −1

(2 − 3) − (

)

3 −1

=

1
3+ 2 3
.
= −
3
3− 2 3

10.Lời giải:

THCS.TOANMATH.com

22

)


(

Ta có: Q

(

3

a+ b

)

3

− b b + 2a a
+

a a −b b

a− b

(

(a − b)

)(
3

a+ b

a− b

(

)

)

3

3

− b b + 2a a

)(

a − b a + ab + b

−

)

a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a

(

3a + 3 ab
b−a

)(

a − b a + ab + b

)

−

(

(

(

)

3 a+ a+ b
= 0
a− b
a+ b

3 a
a− b

)(

)

)

3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a
= 0 (ĐPCM).
a − b a + ab + b

(

)(

)

11. Lời giải:
x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x
+

−
A=
x −9
x + x − 12 x + 4 x
x −2
x − 7 x + 19
x −5
=
+
−
x −3
x +4
x −3
x +4

(

=

)(

)

x + 2 x − 8 + x − 7 x + 19 − x + 8 x − 15
=
x −3
x +4

(

)(

)

x − 1)( x + 4 )
(=
( x − 3)( x + 4)

x −1
.
x −3

12. Lời giải:

(

)

1
1
2 x
4
2 x 2 2− x
2
+
−
=
−
=
=

. Với
4− x
2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x
2+ x
1
2
1
1
⇔ x = 4 ⇔ x = 16 (nhận). Vậy A = khi x = 16 .
A=
⇔
=
3
3
2+ x 3
A=

13. Lời giải:

THCS.TOANMATH.com

23


1) ĐKXĐ: x ≥ 3
3
3
x x+x
+
+

x −3 − x
x −3 + x
x +1

=
⇒P

(

)

3 x − 3 + 3 3 + 3 x − 3 − 3 x x x +1
6 x −3
+
=
+ x = x −2 x −3 .
−3
( x − 3) − x
x +1

Vì P > 2 ⇒ x − 2 x − 3 > 2 ⇔ ( x − 3) − 2 x − 3 + 1 > 0
⇔

(

)

2

x − 3 − 1 > 0 ⇔ x − 3 − 1 ≠ 0 ⇔ x − 3 ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 .Vậy x ≥ 3 và

x ≠ 4.
2) Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và ( d ) là:
x 2 + mx − 1 =0 .

có ∆
= m 2 + 4 > 0 với mọi m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 =
−m và x1 x2 = −1
⇒ ( x1 + x2 ) =−
( m ) ⇒ x12 + x22 + 2 x1 x2 =m2
2

2

⇒ ( x1 − x2 ) + 4 x1 x2 = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + 4. ( −1) = m 2
2

2

⇒ ( x1 − x2 ) = m 2 + 4 ≥ 4 với mọi m ⇒ x1 − x2 ≥ 2 với mọi m (ĐPCM).
2

14. Lời giải:
a ≥ 0
a ≥ 0
a − 16 ≠ 0


a ≠ 16

1) Biểu thức C có nghĩa khi: 
⇒
⇒ a ≥ 0, a ≠ 16 .
 a − 4 ≠ 0 a ≠ 16
 a + 4 ≠ 0 ∀a ≥ 0

Rút gọn
2
2
a
C=
−
−
=
a − 16
a −4
a +4
=

(

a

a −4

)(

a +4

)

−

2
2
−
a −4
a +4

a + 4) − 2 ( a − 4) a − 2 a − 8 − 2 a + 8
(=
=
( a + 4)( a − 4)
( a + 4)( a − 4) (

a−2

THCS.TOANMATH.com

a−4 a
a +4

)(

a −4

)
24

(

)

a a −4
=
a −4
a +4

(

)(

)

a
.
a +4

2) Giá trị của C khi a= 9 − 4 5 .
Ta có:

(

a = a = 9−4 5 = 4−4 5 +5 = 2− 5
Vậy C=

(

a

a +4

5−2
=
5 −2+4

=

)

)

2

⇒ a=

(2 − 5 )

2

= 5−2

5−2
= 9−4 5 .
5+2

15. Lời giải:
1) Với x > 0, x ≠ 4 biểu thức có nghĩa ta có:
 2
3

5 x −7  2 3 +3
A = 
+
−
 :
x
x
x
x
2
2
1
2
3
2
−
+
−
−

 5 x − 10 x

=

(

) (

) (
) : 2 x +3

5 x ( x − 2)
( x − 2)( 2 x + 1)
5 x ( x − 2)
2 x +3
5 x
.
.
=
2
3
2
1
+
+
x
x
2
2
1
+
+
x
x
(
)(
)
2 2 x +1 + 3

x −2 − 5 x −7

Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì A =
2) Ta có

5 x
.
2 x +1

A
x > 0, ∀x > 0, x ≠ 4 nên =

5 x
> 0, x > 0, x ≠ 4
2 x +1

5
5 x
5
5
5
=−
< , x > 0, x ≠ 4 ⇒ 0 < A < , kết hợp với A
A=
2
2 x +1 2 2 2 x +1 2

(

)

nhận giá trị là một số nguyên thì A∈ {1, 2} .

A = 1 ⇔ 5 x = 2 x +1 ⇒ x =

1
1
⇔ x = thỏa mãn điều kiện.
3
9

A = 2 ⇔ 5 x = 4 x + 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 không thỏa mãn điều kiện.
THCS.TOANMATH.com

25