Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1004.25 KB, 159 trang )
˜
’ THANH
ˆ N THUY
NGUYE
` TA
ˆ. P
BAI
´ CAO CA
ˆ´P
TOAN
Tˆa.p 2
Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am
’ N DAI HOC QUO
` XUA
ˆ´T BA
ˆ´C GIA HA
` NO
ˆI
NHA
.
.
.
Mu.c lu.c
a liˆ
en tu.c cu’a h`
am sˆ
o´
7 Gi´
o.i ha.n v`
7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n .
7.1.2 Ch´
u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen c´ac
`e gi´o.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . .
di.nh l´
y vˆ
`eu
7.1.3 Ch´
u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen diˆ
kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´
y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . .
`eu
7.1.4 Ch´
u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen diˆ
`an v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´
kiˆe.n cˆ
y hˆo.i tu.
3
4
5
11
17
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
7.2 Gi´o i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`e gi´o.i ha.n . .
y co. ba’n vˆ
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´
27
7.3
41
7.4
H`am liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`eu biˆe´n . . . . . . . .
Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆ
25
27
51
8 Ph´
ep t´ınh vi phˆ
an h`
am mˆ
o.t biˆ
e´n
60
- a.o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1 D
- a.o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1.1 D
- a.o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.1.2 D
8.2 Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
2
MU
. C LU
.C
8.3
8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`e h`am kha’ vi. Quy t˘´ac l’Hospital.
C´ac di.nh l´
y co. ba’n vˆ
Cˆong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`e h`am kha’ vi . . . . . . . .
8.3.1 C´ac d i.nh l´
y co. ba’n vˆ
.
8.3.2 Khu’ c´ac da.ng vˆo di.nh. Quy t˘´ac Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Cˆong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
`eu biˆ
9 Ph´
ep t´ınh vi phˆ
an h`
am nhiˆ
e´n
- a.o h`am riˆeng . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 . . . . . . . .
9.1.1 D
- a.o h`am cu’a h`am ho..p . . . . . . .
9.1.2 D
9.1.3 H`am kha’ vi . . . . . . . . . . . . .
- a.o h`am theo hu.´o.ng . . . . . . . .
9.1.4 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao . . . . . . .
9.1.5 D
`eu biˆe´n . . . . . . . .
9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ
9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . .
´ du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆ
`an d´
9.2.2 Ap
ung
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan . . . . .
9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . .
9.2.5 Cˆong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . .
9.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n . . . . . . . . .
`eu biˆe´n . . . . . . . . .
Cu..c tri. cu’a h`am nhiˆ
.
9.3.1 Cu. c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . .
`eu kiˆe.n . . . . . . . . . .
9.3.2 Cu..c tri. c´o diˆ
9.3.3 Gi´a tri. l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
84
84
88
96
109
110
110
111
111
112
113
125
126
126
127
127
129
130
145
145
146
147
Chu.o.ng 7
a liˆ
en tu.c cu’a
Gi´
o.i ha.n v`
h`
am sˆ
o´
7.1
Gi´
o.i ha.n cu’a d˜
ay sˆ
o´ . . . . . . . . . . . . . .
o.i
7.1.1 C´
ac b`
ai to´
an liˆen quan t´
o.i di.nh ngh˜ıa gi´
ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆen
`e gi´
y vˆ
o.i ha.n . . . . . . . . . . . .
c´
ac di.nh l´
7.1.3 Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a
`eu kiˆe.n du’ dˆe’ d˜
ay hˆ
o.i tu. (nguyˆen
trˆen diˆ
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . .
7.1.4
4
5
11
l´
y
17
Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆen
`an v`
`eu kiˆe.n cˆ
a du’ dˆe’ d˜
ay hˆ
o.i tu. (nguyˆen
diˆ
l´
y hˆ
o.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
7.2
Gi´
o.i ha.n h`
am mˆ
o.t biˆ
e´n . . . . . . . . . . . . 27
`e gi´
y co. ba’n vˆ
o.i ha.n 27
7.2.1 C´
ac kh´
ai niˆe.m v`
a di.nh l´
7.3
H`
am liˆ
en tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
`eu biˆ
a liˆ
en tu.c cu’a h`
am nhiˆ
e´n . 51
Gi´
o.i ha.n v`
7.4
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
4
7.1
Gi´
o.i ha.n cu’a d˜
ay sˆ
o´
H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho..p N du.o..c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n. D˜ay sˆo´
thu.`o.ng du.o..c viˆe´t du.´o.i da.ng:
a1, a2, . . . , an , . . .
(7.1)
ho˘a.c {an }, trong d´o an = f(n), n ∈ N du.o..c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at
cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay.
`an lu.u y
´ c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:
Ta cˆ
i) D˜ay (7.1) du.o..c go.i l`a bi. ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
M ; v`a go.i l`a khˆong bi. ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
ii) Sˆo´ a du.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∀ ε > 0, ∃ N(ε) : ∀ n
N ⇒ |an − a| < ε.
(7.2)
iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n
N ⇒ |an − a|
ε.
(7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o..c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., trong tru.o`.ng ho..p ngu.o..c
la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k`
y.
v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e nˆe´u lim an = 0 v`a go.i l`a d˜ay
n→∞
vˆo c`
ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v`a viˆe´t
lim an = ∞.
`eu kiˆe.n cˆ
`an dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. l`a d˜ay d´o pha’i bi. ch˘a.n.
vi) Diˆ
Ch´
u ´y: i) Hˆe. th´
u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε.
(7.4)
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
5
u.ng to’ r˘`ang mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay
Hˆe. th´
u.c (7.4) ch´
`eu n˘`am trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan
hˆo.i tu. dˆ
cˆa.n cu’a diˆe’m a.
Nhu. vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu. dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`
u.
`eu n˘a`m trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`
y b´e bao
ra mˆo.t sˆo´ h˜
u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆ
nhiˆeu t`
uy y
´ cu’a diˆe’m a.
´ r˘`ang d˜ay sˆo´ vˆo c`
ung l´o.n khˆong hˆo.i tu. v`a k´
y hiˆe.u
ii) Ta lu.u y
.
lim an = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c`
y hiˆe.u d´o
ung l´o n v`a k´
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n.
7.1.1
C´
ac b`
ai to´
an liˆ
en quan t´
o.i di.nh ngh˜ıa gi´
o.i
ha.n
`an tiˆe´n
Dˆe’ ch´
u.ng minh lim an = a b˘a`ng c´ach su’. du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ
.
.
h`anh theo c´ac bu ´o c sau dˆay:
i) Lˆa.p biˆe’u th´
u.c |an − a|
`eu d´o c´o lo..i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`a
ii) Cho.n d˜ay bn (nˆe´u diˆ
v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k`
y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n:
bn < ε
(7.5)
˜e d`ang. Gia’ su’. (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),
c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆ
`an
f(ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f(ε)], trong d´o [f(ε)] l`a phˆ
nguyˆen cu’a f(ε).
´ V´I DU
CAC
.
n
V´ı du. 1. Gia’ su’. an = n(−1) . Ch´
u.ng minh r˘`ang:
i) D˜ay an khˆong bi. ch˘a.n.
ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c`
ung l´o.n.
Gia’i. i) Ta ch´
u.ng minh r˘`ang an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > 0 sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi. ch˘a.n.
n v`a l´o.n ho.n M . Diˆ
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
6
ung l´o.n. Thˆa.t vˆa.y,
ii) Ta ch´
u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c`
ta x´et khoa’ng (−2, 2). Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’
`eu thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o:
dˆ
n
n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
u. d´o,
Nhu. vˆa.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay. T`
theo di.nh ngh˜ıa suy ra an khˆong pha’i l`a vˆo c`
ung l´o.n.
V´ı du. 2. D`
ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´
u.ng minh r˘a`ng:
1)
lim
n→∞
(−1)n−1
= 0.
n
2)
lim
n→∞
n
= 1.
n+1
`an ch´
u.ng minh
Gia’i. Dˆe’ ch´
u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha.n l`a a, ta cˆ
r˘`ang dˆo´i v´o.i mˆo˜ i sˆo´ ε > 0 cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o..c sˆo´ N (N phu.
thuˆo.c ε) sao cho khi n > N th`ı suy ra |an − a| < ε. Thˆong thu.`o.ng ta
˜e n N qua ε.
c´o thˆe’ chı’ ra cˆong th´
u.c tu.`o.ng minh biˆe’u diˆ
1) Ta c´o:
|an − 0| =
1
(−1)n−1
= ·
n
n
Gia’ su’. ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t`
uy y
´. Khi d´o:
1
1
<ε⇔n> ·
n
ε
`eu kiˆe.n:
V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu.. nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆ
N>
1
1
⇒
< ε.
ε
N
`an nguyˆen
(Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], trong d´o [1/ε] l`a phˆ
cu’a 1/ε).
Khi d´o ∀ n N th`ı:
|an − 0| =
1
n
1
< ε.
N
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
7
(−1)n
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a lim
= 0.
Diˆ
n→∞
n
2) Ta lˆa´y sˆo´ ε > 0 bˆa´t k`
y v`a t`ım sˆo´ tu.. nhiˆen N (ε) sao cho ∀ n >
N (ε) th`ı:
n
− 1 < ε.
n+1
Bˆa´t d˘a’ng th´
u.c
|an − 1| < ε ⇔
1
1
< ε ⇔ − 1.
n+1
ε
`an nguyˆen cu’a
Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N(ε) l`a phˆ
1
− 1, t´
u.c l`a:
ε
N(ε) = E((1/ε) − 1).
Khi d´o v´o.i mo.i n N ta c´o:
n
1
n
1
−1 =
< ε ⇒ lim
= 1.
n→∞ n + 1
n+1
n+1
N +1
V´ı du. 3. Ch´
u.ng minh r˘`ang c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`
y:
1)
an = n,
2)
an = (−1)n ,
3)
n∈N
n∈N
1
an = (−1)n + ·
n
(7.6)
(7.7)
(7.8)
Gia’i. 1) Gia’ su’. d˜ay (7.6) hˆo.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y ε = 1.
`on ta.i sˆo´ hiˆe.u N sao cho ∀ n > N th`ı
Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆ
ta c´o |an − a| < 1 ngh˜ıa l`a |n − a| < 1 ∀ n > N . T`
u. d´o −1 < n − a < 1
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´
y v`ı tˆa.p ho..p c´ac
u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´
sˆo´ tu.. nhiˆen khˆong bi. ch˘a.n.
2) C´
ach 1. Gia’ su’. d˜ay an hˆo.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y lˆan
1
1
cu’a diˆe’m a. Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng:
cˆa.n a − , a +
2
2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . .
(7.9)
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
8
1
1
l`a b˘`ang 1 nˆen hai diˆe’m −1
V`ı dˆo. d`ai cu’a khoa’ng a − , a +
2
2
1
1
`ong th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.n a − , a +
cu’a diˆe’m a,
v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ
2
2
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a o’. ngo`ai
v`ı khoa’ng c´ach gi˜
u.a −1 v`a +1 b˘`ang 2. Diˆ
1
1
c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´
u
lˆan cˆa.n a − , a +
2
2
y
´ o’. trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay.
1
C´
ach 2. Gia’ su’. an → a. Khi d´o ∀ ε > 0 (lˆa´y ε = ) ta c´o
2
1
∀ n N.
|an − a| <
2
V`ı an = ±1 nˆen
1
|1 − a| < ,
2
| − 1 − a| <
⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)|
⇒2 < 1,
1
2
|1 − a| + |a + 1|
1 1
+ =1
2 2
vˆo l´
y.
1
`e v´o.i n´o
´ r˘`ang v´o.i n = 2m ⇒ a2m = 1 +
. Sˆo´ ha.ng kˆ
3) Lu.u y
2m
c´o sˆo´ hiˆe.u le’ 2m + 1 (hay 2m − 1) v`a
a2m+1 = −1 +
T`
u. d´o suy r˘`ang
1
1
< 0 (hay a2m−1 = −1 +
2m + 1
2m − 1
0).
|an − an−1 | > 1.
`au t`
Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (an ) th`ı b˘´at dˆ
u. sˆo´ hiˆe.u n`ao
1
d´o (an ) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ng th´
u.c |an − a| < . Khi d´o
2
1 1
|an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
2 2
`e nhau bˆa´t k`
u.a hai sˆo´ ha.ng kˆ
y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon
Nhu.ng hiˆe.u gi˜
`eu mˆau thuˆ˜a n n`ay ch´
l´o.n ho.n 1. Diˆ
u.ng to’ r˘`ang khˆong mˆo.t sˆo´ thu..c
n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho.
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
9
` TA
ˆP
BAI
.
H˜ay su’. du.ng di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n dˆe’ ch´
u.ng minh r˘`ang
2n − 1
1. lim an = 1 nˆe´u an =
n→∞
2n + 2
3n2 + 1
3
´
2. lim an = nˆeu an = 2
n→∞
5
5n − 1
`au t`
u. sˆo´ hiˆe.u N n`ao th`ı:
B˘a´t dˆ
|an − 3/5| < 0, 01
3. lim an = 1 nˆe´u an =
n→∞
(DS. N = 5)
3n + 1
.
3n
cos n
= 0.
n→∞
n
2n + 5 · 6n
5. lim
= 5.
n→∞ 3n + 6n
√
3
n2 sin n2
= 0.
6. lim
n→∞
n+1
7. Ch´
u.ng minh r˘`ang sˆo´ a = 0 khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an =
n2 − 2
.
2n2 − 9
8. Ch´
u.ng minh r˘`ang
4. lim
n2 + 2n + 1 + sin n
lim
= 1.
n→∞
n2 + n + 1
9. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay: an = (−1)n + 1/n phˆan k`
y.
10. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay; an = sin n0 phˆan k`
y.
11. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
˜
˜e n an du.´o.i da.ng
Chı’ dˆ
a n. Biˆe’u diˆ
an = 0, 22 . . . 2 =
22
2
2
+
+ ··· + n
10 10
10
n
(DS. lim an = 2/9)
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
10
ha.n
12.
T`ım
gi´o.i
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .
cu’a
d˜ay
sˆo´:
n
˜
˜e n an du.´o.i da.ng
Chı’ dˆ
a n. Biˆe’u diˆ
an =
3
3
2
3
+
+ 3 + ··· + n
2
10
10
10
10
(DS. 7/30)
`an dˆe´n
13. Ch´
u.ng minh r˘`ang nˆe´u d˜ay an hˆo.i tu. dˆe´n a, c`on d˜ay bn dˆ
`an dˆe´n 0.
∞ th`ı d˜ay an /bn dˆ
14. Ch´
u.ng minh r˘`ang
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
˜
u.c:
Chı’ dˆ
a n. i) Su’. du.ng hˆe. th´
2n = (1 + 1)n = 1 + n +
n(n − 1)
n2
n(n − 1)
+ ··· + 1 > n +
>
·
2
2
2
v`a u.´o.c lu.o..ng |an − 0|.
ii) Tu.o.ng tu.. nhu. i). Su’. du.ng hˆe. th´
u.c:
an = [1 + (a − 1)]n >
n(n − 1)
(a − 1).
2
15. Ch´
u.ng minh r˘`ang
lim an = 2 nˆe´u an = 1 +
1
1
+ ··· + n
2
2
´ du.ng cˆong th´
˜
`oi
Chı’ dˆ
a n. Ap
u.c t´ınh tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan dˆe’ t´ınh an rˆ
u.´o.c lu.o..ng |an − 2|.
16. Biˆe´t r˘a`ng d˜ay an c´o gi´o.i ha.n, c`on d˜ay bn khˆong c´o gi´o.i ha.n. C´o
`e gi´o.i ha.n cu’a d˜ay:
thˆe’ n´oi g`ı vˆ
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
`on ta.i. H˜ay ch´
(DS. i) lim{an + bn } khˆong tˆ
u.ng minh.
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
11
ii) C´o thˆe’ g˘a.p ca’ hai tru.`o.ng ho..p c´o gi´o.i ha.n v`a khˆong c´o gi´o.i ha.n,
v´ı du.:
an =
7.1.2
n−1
, bn = (−1)n ;
n
an =
1
, bn = (−1)n .
n
Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆ
en
`e gi´
y vˆ
o.i ha.n
c´
ac di.nh l´
Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su’. du.ng c´ac di.nh l´
y v`a
kh´ai niˆe.m sau dˆay:
Gia’ su’. lim an = a, lim bn = b.
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
`au t`
iii) Nˆe´u b = 0 th`ı b˘a´t dˆ
u. mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o d˜ay an /bn x´ac
di.nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`a:
lim
lim an
a
an
=
= ·
bn
lim bn
b
`au t`
iv) Nˆe´u lim an = a, lim bn = a v`a b˘´at dˆ
u. mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o
an zn bn th`ı lim zn = a (Nguyˆen l´
y bi. ch˘a.n hai phi´a).
v) T´ıch cu’a d˜ay vˆo c`
ung b´e v´o.i d˜ay bi. ch˘a.n l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e.
1
vi) Nˆe´u (an ) l`a d˜ay vˆo c`
l`a d˜ay vˆo
ung l´o.n v`a an = 0 th`ı d˜ay
an
1
c`
ung b´e; ngu.o..c la.i, nˆe´u αn l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e v`a αn = 0 th`ı d˜ay
αn
l`a vˆo c`
ung l´o.n.
`an lu.u y
Nhˆ
a.n x´et. Dˆe’ ´ap du.ng d´
´ mˆo.t
ung d˘´an c´ac di.nh l´
y trˆen ta cˆ
sˆo´ nhˆa.n x´et sau dˆay:
`e gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o..c nˆe´u
i) Di.nh l´
y (iii) vˆ
tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜
u.u ha.n ho˘a.c mˆa˜ u sˆo´ c´o gi´o.i ha.n
b˘a`ng 0. Trong nh˜
u.ng tru.o`.ng ho..p d´o nˆen biˆe´n dˆo’i so. bˆo. d˜ay thu.o.ng,
ch˘a’ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a.c nhˆan tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ v´o.i c`
ung mˆo.t
biˆe’u th´
u.c.
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
12
`an pha’i thˆa.n tro.ng khi ´ap du.ng.
ii) Dˆo´i v´o.i di.nh l´
y (i) v`a (ii) c˜
ung cˆ
.
.
.
`an pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´
Trong tru `o ng ho. p n`ay ta cˆ
u.c an ± bn v`a
an · bn tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha.n (xem v´ı du. 1, iii).
iii) Nˆe´u an = a ≡ const ∀ n th`ı lim an = a.
n→∞
´ V´I DU
CAC
.
V´ı du. 1. T`ım lim an nˆe´u:
1) an = (1 + 7n+2 )/(3 − 7n )
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)
ung l´
y thuyˆe´t cˆa´p sˆo´
Gia’i. Dˆe’ gia’i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`
u.c v´o.i 7−n ta c´o:
1) Nhˆan tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ phˆan th´
1 + 7n+2
7−n + 72
=
an =
3 − 7n
3 · 7−n − 1
Do d´o
lim an = lim
7−n + 72
= −49 v`ı lim 7−n = 0, n → ∞.
3 · 7−n − 1
`eu l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng nˆen ta c´o:
2) Tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ dˆ
2 + 2n
· n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) =
(n + 1).
2
2 + 4 + 6 + · · · + 2n =
Do d´o
an =
n
⇒ lim an = 1.
n+1
3) Nhu. ta biˆe´t:
12 + 22 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
13
v`a do d´o:
6n3
n(n + 1)(2n + 1)
6
= 3.
= lim
(1 + 1/n)(2 + 1/n)
lim an = lim
V´ı du. 2. T`ım gi´o.i ha.n
1
1 1
+ + ··· + n
2 4
2
lim
1
1 1
1 + + + ··· + n
3 9
3
`eu l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan nˆen
Gia’i. Tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ dˆ
1+
1
+ ··· +
2
1
1 + + ··· +
3
1+
v`a do d´o:
1
2(2n − 1)
=
,
2n
2n
1
3(3n − 1)
=
3n
2 · 3n
2n − 1 2
3n
2 · 3n
2(2n − 1)
=
2
lim
lim
·
·
2n
3(3n − 1)
2n
3
3n − 1
1
4
2
2
= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim
= 2·1· ·1 = ·
n
3
1 − (1/3)
3
3
lim an = lim
V´ı du. 3.
√
1) an = n2 + n − n
√
√
2) an = 3 n + 2 − 3 n
√
3) an = 3 n2 − n3 + n
Gia’i.
1) Ta biˆe´n dˆo’i an b˘a`ng c´ach nhˆan v`a chia cho da.i lu.o..ng liˆen ho..p
√
√
n
1
( n2 + n − n)( n2 + n + n)
√
=√
=
an =
n2 + n + n
n2 + n + n
1 + 1/n + 1
Do d´o
lim an =
1
lim (
n→∞
1 + 1/n + 1)
=
1
·
2
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
14
2) Biˆe´n dˆo’i an tu.o.ng tu.. nhu. 1) ta c´o:
√
√ 3
3
3
n+2 − 3n
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3 n+2· 3 n+ 3 n
2
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3 n+2· 3 n+ 3 n
2
2
Biˆe’u th´
u.c mˆa˜ u sˆo´ b˘a`ng:
n2/3
3
1 + 2/n
2
+
3
1 + 2/n + 1 → ∞
khi n → ∞ v`a do d´o lim an = 0.
√
3
3) Ta c´o thˆe’ viˆe´t n = n3 v`a ´ap du.ng cˆong th´
u.c:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√
√
√
2
3
3
n2 − n3 + n
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
an =
√
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
= √
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
=
2/3
[1/n − 1] − [1/n − 1]1/3 + 1
1
·
3
V´ı du. 4. T`ım gi´o.i ha.n cu’a c´ac d˜ay sau
n
n
an = √
, bn = √
,
2
2
n +n
n +1
1
1
1
+√
+ ··· + √
·
cn = √
n+1
n2 + 2
n2 + n
`au tiˆen ta ch´
Gia’i. Dˆ
u.ng minh lim an = 1. Thˆa.t vˆa.y:
suy ra lim an =
lim an = lim
n
n
1 + 1/n
= lim
1
1 + 1/n
= 1.
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
15
Tu.o.ng tu.. lim bn = 1.
Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n cu’a cn ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´
y bi. ch˘a.n hai ph´ıa.
Mˆo.t m˘a.t ta c´o:
cn < √
1
n2
+1
+√
1
n2
+1
+ ··· + √
1
n2
n
=√
= bn
2
+1
n +1
nhu.ng m˘a.t kh´ac:
cn > √
1
1
+√
+ ··· + √
= an .
n2 + n
n2 + n
n2 + n
1
Nhu. vˆa.y an < cn < bn v`a lim an = lim bn = 1. T`
u. d´o suy ra
n→∞
n→∞
lim cn = 1.
n→∞
ung l´o.n nˆe´u
V´ı du. 5. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay (q n ) l`a: 1) d˜ay vˆo c`
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`
ung b´e khi |q| < 1.
y. T`
u. d˘a’ng th´
Gia’i. 1) Gia’ su’. |q| > 1. Ta lˆa´y sˆo´ A > 0 bˆa´t k`
u.c
|q|n > A ta thu du.o..c n > log|q| A. Nˆe´u ta lˆa´y N = [log|q|A] th`ı ∀ n > N
ta c´o |q|n > A. Do d´o d˜ay (q n ) l`a d˜ay vˆo c`
ung l´o.n.
1
1 n −1
2) Gia’ su’. |q| < 1, q = 0. Khi d´o q n =
> 1 nˆen
. V`ı
q
q
1 n
1 n −1
d˜ay
l`a d˜ay vˆo c`
ung l´o.n v`a do d´o d˜ay
l`a vˆo c`
ung
q
q
b´e, t´
u.c l`a d˜ay (q n ) l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e khi |q| < 1.
n
ung b´e.
3) Nˆe´u q = 0 th`ı q = 0, |q|n < ε ∀ n v`a do d´o (q n ) l`a vˆo c`
` TA
ˆ. P
BAI
T`ım gi´o.i ha.n lim an nˆe´u
n→∞
n2 − n
√ .
(DS. ∞)
n− n
√
2. an = n2 (n − n2 + 1).
(DS. −∞)
1. an =
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
16
1 + 2 + 3 + ··· + n
√
.
(DS. 1/6)
9n4 + 1
√
n cos n
.
(DS. 0)
4. an =
n+1
sin n
5n
+
.
(DS. 5)
5. an =
n+1
n
3n2
n3
−
.
(DS. 1/3)
6. an = 2
n + 1 3n + 1
cos n
n
−
.
(DS. 1)
7. an =
n + 11
10n
n3 + 1
8. an = 2
(DS. ∞)
n −1
3n
1
cos n3
−
.
(DS. − )
9. an =
n
6n + 1
2
n
(−1)
10. an = √
.
(DS. 0)
5 n+1
√
√
n2 + 1 + n
11. an = √
(DS. +∞)
√ .
3
n3 + n − n
√
12. an = 3 1 − n3 + n.
(DS. 0)
√
n2 + 4n
.
(DS. 1)
13. an = √
3
n3 − 3n2
(n + 3)!
.
(DS. −∞)
14. an =
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
− 2.
(DS. −1)
15. an =
n+2
√
1
(DS. )
16. an = n − 3 n3 − n2 .
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n
1
√
√
.
(DS. − )
17. an =
3
n2 + 1 + 4n2 + 1
1
1
1
18. an =
+
+ ··· +
.
1·2 2·3
n(n + 1)
1
1
1
´ du.ng
˜
Chı’ dˆ
a n. Ap
= −
(DS. 1)
n(n + 1)
n n+1
3. an =
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
17
1
(−1)n−1
1 1
3
+ ··· +
)
.
(DS.
19. an = 1 − + −
3 9 27
3n−1
4
2n+1 + 3n+1
20. an =
.
(DS. 3)
2n + 3n
n + (−1)n
21. an =
.
(DS. 1)
n − (−1)n
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√
22. an = √
n
2n − 1 + 2n + 1
1+ 3
3+ 5
˜
Chı’ dˆ
a n. Tru.c c˘an th´
u.c o’. mˆ˜a u sˆo´ c´ac biˆe’u th´
u.c trong dˆa´u ngo˘a. c.
1
(DS. √ )
2
1
1
1
+
+ ··· +
23. an =
1·2·3 2·3·4
n(n + 1)(n + 2)
.
.
.
˜ n. Tru ´o c hˆe´t ta ch´
u ng minh r˘`ang
Chı’ dˆ
a
1
1
1
1
1
=
−
(DS. )
n(n + 1)(n + 2)
2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
4
1
1
1
1
)
+
+ ··· +
.
(DS.
24. an =
a1a2 a2 a3
an an+1
a1 d
trong d´o {an } l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng v´o.i cˆong sai d = 0, an = 0.
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ).
(DS. )
2
n+2
˜
Chı’ dˆ
a n. B˘a`ng quy na.p to´an ho.c ch´
u.ng to’ r˘a`ng an =
.
2n + 2
7.1.3
Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆ
en
`eu kiˆ
e.n du’ dˆ
e’ d˜
ay hˆ
o.i tu. (nguyˆ
en l´
y
diˆ
Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo´ an du.o..c go.i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe´u an+1 > an ∀ n
ii) D˜ay gia’m nˆe´u an+1 < an ∀ n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on du.o..c go.i l`a d˜ay do.n diˆe.u. Ta lu.u y
´
r˘a`ng d˜ay do.n diˆe.u bao gi`o. c˜
ung bi. ch˘a.n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t ph´ıa. Nˆe´u d˜ay
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
18
`au tiˆen cu’a n´o, d˜ay
do.n diˆe.u t˘ang th`ı n´o bi. ch˘a.n du.´o.i bo’.i sˆo´ ha.ng dˆ
.
.
`au. Ta c´o di.nh l´
do n diˆe.u gia’m th`ı bi. ch˘a.n trˆen bo’ i sˆo´ ha.ng dˆ
y sau dˆay
thu.`o.ng du.o..c su’. du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay do.n diˆe.u.
- i.nh l´
a bi. ch˘
a.n th`ı hˆ
o.i tu..
D
y Bolzano-Weierstrass. D˜
ay do.n diˆe.u v`
`on ta.i cu’a gi´o.i ha.n m`a khˆong chı’
`e su.. tˆ
Di.nh l´
y n`ay kh˘a’ng di.nh vˆ
`eu tru.`o.ng
ra du.o..c phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha.n d´o. Tuy vˆa.y, trong nhiˆ
`on ta.i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınh
ho..p khi biˆe´t gi´o.i ha.n cu’a d˜ay tˆ
n´o. Viˆe.c t´ınh to´an thu.`o.ng du..a trˆen d˘a’ng th´
u.c d´
ung v´o.i mo.i d˜ay hˆo.i
tu.:
lim an+1 = lim an .
n→∞
n→∞
u.a nˆeu tiˆe.n lo..i ho.n ca’ l`a su’.
u.c v`
Khi t´ınh gi´o.i ha.n du..a trˆen d˘a’ng th´
`oi.
du.ng c´ach cho d˜ay b˘`ang cˆong th´
u.c truy hˆ
´ V´I DU
CAC
.
V´ı du. 1. Ch´
u.nh minh r˘`ang d˜ay:
an =
1
1
1
+ 2
+ ··· + n
5+1 5 +1
5 +1
hˆo.i tu..
Gia’i. D˜ay d˜a cho do.n diˆe.u t˘ang. Thˆa.t vˆa.y v`ı:
an+1 = an +
1
5n+1 + 1
nˆen an+1 > an .
D˜ay d˜a cho bi. ch˘a.n trˆen. Thˆa.t vˆa.y:
1
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 3
+ ··· + n
< + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1
5 +1
5 5
5
1
1
− n+1
1
1
1
5
5
1− n < ·
=
=
1
4
5
4
1−
5
Nhu. vˆa.y d˜ay an d˜a cho do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n trˆen nˆen n´o hˆo.i
an =
tu..
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
19
2n
hˆoi tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a
V´ı du. 2. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay an =
n! . .
n´o.
2n
2 22
Gia’i. D˜ay d˜a cho c´o da.ng , , . . . , , . . .
1 2
n!
D˜ay an do.n diˆe.u gia’m. Thˆa.t vˆa.y
2n
2
2n+1
an+1
:
=
< 1 ∀ n > 1.
=
an
(n + 1)! n!
n+1
`an tu’. a1 . Ngo`ai ra
Do d´o an+1 < an v`a d˜ay bi. ch˘a.n trˆen bo’.i phˆ
an > 0, ∀ n nˆen d˜ay bi. ch˘a.n du.´o.i. Do d´o d˜ay do.n diˆe.u gia’m v`a bi.
y Weierstrass. Gia’ su’. a l`a gi´o.i ha.n cu’a n´o.
ch˘a.n. N´o hˆo.i tu. theo di.nh l´
Ta c´o:
an+1
2
2
⇒ an+1 =
an .
=
an
n+1
n+1
T`
u. d´o
lim an+1 = lim
2
2an
= lim
lim an
n+1
n+1
2n
= 0.
v`a nhu. vˆa.y: a = 0 · a → a = 0. Vˆa.y: lim
n!
√
√
V´ı du. 3. Cho d˜ay an = 2, an+1 = 2an . Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay hˆo.i
tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o.
Gia’i. Hiˆe’n nhiˆen r˘`ang: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´o l`a d˜ay do.n diˆe.u
√
t˘ang v`a bi. ch˘a.n du.´o.i bo’.i sˆo´ 2. Ta ch´
u.ng minh r˘a`ng n´o bi. ch˘a.n trˆen
bo’.i sˆo´ 2.
Thˆa.t vˆa.y
a1 =
√
2; a2 =
√
2a1 <
Gia’ su’. d˜a ch´
u.ng minh du.o..c r˘a`ng an
Khi d´o:
an+1 =
√
2an
√
√
2 · 2 = 2.
2.
2 · 2 = 2.
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
20
`e quy na.p ta c´o an 2 ∀ n.
Vˆa.y theo tiˆen dˆ
.
Nhu thˆe´ d˜ay an do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n nˆen n´o c´o gi´o.i ha.n d´o
l`a a.
Ta c´o:
an+1 =
√
2an ⇒ a2n+1 = 2an .
Do d´o:
lim a2n+1 = 2 lim an
hay a2 − 2a = 0 v`a thu du.o..c a1 = 0, a2 = 2.
V`ı d˜ay do.n diˆe.u t˘ang ∀ n nˆen gi´o.i ha.n a = 2.
V´ı du. 4. Ch´
u.ng minh t´ınh hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay
x1 =
xn =
√
a; x2 =
a+
a+
√
a, . . . ,
a + ··· +
√
a, a > 0, n dˆa´u c˘an.
Gia’i. i) R˜o r`ang: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ıa l`a
d˜ay d˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´
u.ng minh d˜ay xn l`a d˜ay bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o:
√
√
a< a+1
√
√
x2 = a + a < a + a + 1 <
x1 =
√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.
√
Gia’ su’. d˜a ch´
u.ng minh du.o..c r˘a`ng: xn < a + 1.
√
`an ch´
Ta cˆ
u.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o:
xn+1 =
√
a + xn <
a+
√
a+1<
√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.
Do d´o nh`o. ph´ep quy na.p to´an ho.c ta d˜a ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay d˜a
√
cho bi. ch˘a.n trˆen bo’.i a + 1.
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
21
√
u.c xn = a + xn−1 hay
iii) Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n ta x´et hˆe. th´
x2n = a + xn−1 .
T`
u. d´o:
lim x2n = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1
hay nˆe´u gia’ thiˆe´t lim xn = A th`ı: A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v`a
√
√
1 + 1 + 4a
1 − 1 + 4a
A1 =
, A2 =
·
2
2
V`ı A2 < 0 nˆen gi´a tri. A2 bi. loa.i v`ı xn > 0.
Do d´o;
√
1 + 1 + 4a
·
lim xn =
2
V´ı du. 5. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an du.o..c x´ac di.nh nhu. sau: a1 l`a sˆo´
t`
uy y
´ m`a
0 < a1 < 1,
an+1 = an (2 − an ) ∀ n
1.
(7.10)
`au tiˆen ch´
Gia’i. i) Dˆ
u.ng minh r˘`ang an bi. ch˘a.n, m`a cu. thˆe’ l`a b˘`ang
ph´ep quy na.p to´an ho.c ta ch´
u.ng minh r˘a`ng
0 < an < 1.
(7.11)
u.ng minh v´o.i n v`a ta
Ta c´o 0 < a1 < 1. Gia’ su’. (7.11) d˜a du.o..c ch´
s˜e ch´
u.ng minh (7.11) d´
ung v´o.i n + 1 .
T`
u. (7.10) ta c´o; an+1 = 1 − (1 − an )2.
T`
u. hˆe. th´
u.c n`ay suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v`ı 0 < an < 1.
T`
u. d´o suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n.
ii) Bˆay gi`o. ta ch´
u.ng minh r˘a`ng an l`a d˜ay t˘ang.
Thˆa.t vˆa.y, v`ı an < 1 nˆen 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu
.
.
du o. c:
an+1
= 2 − an > 1.
an
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
22
T`
u. d´o an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆa.y d˜ay an do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n.
`on ta.i v`a ta k´
Do d´o theo di.nh l´
y Weierstrass, lim An tˆ
y hiˆe.u n´o l`a a.
iii) T`
u. (7.10) ta c´o:
lim an+1 = lim an · lim(2 − an )
hay a = a(2 − a).
T`
u. d´o a = 0 v`a a = 1. V`ı x1 > 0 v`a d˜ay an t˘ang nˆen
a = 1 = lim an .
n!
V´ı du. 6. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = n hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a
n
n´o.
Gia’i. i) Ta ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay an do.n diˆe.u gia’m, thˆa.t vˆa.y:
an+1 =
n!
n!
nn
nn
(n + 1)!
=
=
·
=
an
(n + 1)n+1
(n + 1)n
nn (n + 1)n
(n + 1)n
v`ı
nn
< 1 nˆen an+1 < an .
(n + 1)n
`on ta.i, k´
V`ı an > 0 nˆen n´o bi. ch˘a.n du.´o.i v`a do d´o lim an tˆ
y hiˆe.u
lim an = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim an 0.
ii) Ta ch´
u.ng minh a = 0. Thˆa.t vˆa.y ta c´o:
(n + 1)n
n+1
=
n
n
n
n
= 1+
1
n
n
1+
n
= 2.
n
Do d´o:
1
nn
<
n
(n + 1)
2
1
v`a an+1 < an .
2
Chuyˆe’n qua gi´o.i ha.n ta du.o..c a
a
⇒ a = 0.
2
` TA
ˆ. P
BAI
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo´:
1) an =
5n2
·
n2 + 3
2) bn = (−1)n
2n
sin n. 3) cn = n cos πn.
n+1
H˜ay chı’ ra d˜ay n`ao bi. ch˘a.n v`a d˜ay n`ao khˆong bi. ch˘a.n.
(DS. 1) v`a 2) bi. ch˘a.n; 3) khˆong bi. ch˘a.n)
2. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay:
a0
a1
a2
, a2 =
, a3 =
,...,
a + a0
a + a1
a + a2
an−1
an =
, . . . (a > 1, a0 > 0)
a + an−1
a1 =
hˆo.i tu..
3. Ch´
u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo.i tu.
n2 − 1
1) an =
n2
1
1
1
2) an = 2 + + + · · · +
2! 3!
n!
˜
u. n!
Chı’ dˆ
a n. T´ınh bi. ch˘a.n du.o..c suy t`
2n−1 v`a do d´o
1
1
1
1
+ 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3.
2 2
2
2
ung
4. Ch´
u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n a cu’a ch´
√
√
√
1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5)
2n
2) an =
(n + 2)!
2
an+1
˜
< 1. (DS. a = 0)
=
Chı’ dˆ
a n.
an
n+3
E(nx)
`an nguyˆen cu’a nx.
trong d´o E(nx) l`a phˆ
3) an =
n
˜ n. Su’. du.ng hˆe. th´
u.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x)
Chı’ dˆ
a
an
2+
n
5. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = a1/2 hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o
(a > 1).
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
24
˜ n. Ch´
(DS. a = 1. Chı’ dˆ
a
u.ng minh r˘a`ng an l`a d˜ay do.n diˆe.u gia’m
v`ı
an+1 = a1/2
n+1
n·2)
= a1/(2
=
√
an , an > 1)
6. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay
an = 1 +
1
1
1
+
+
·
·
·
+
22 32
n2
hˆo.i tu..
˜
Chı’ dˆ
a n. Ch´
u.ng to’ r˘a`ng d˜ay do.n diˆe.u t˘ang, t´ınh bi. ch˘a.n cu’a n´o
du.o..c x´ac lˆa.p b˘`ang c´ach su’. du.ng c´ac bˆa´t d˘a’ng th´
u.c:
1
1
1
1
=
− ,
<
2
n
n(n − 1)
n−1 n
n
2.
7. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay
an =
1
1
1
+ 2
+ ··· + n
3+1 3 +2
3 +n
c´o gi´o.i ha.n h˜
u.u ha.n.
˜
Chı’ dˆ
a n. T´ınh bi. ch˘a.n cu’a an du.o..c x´ac lˆa.p b˘a`ng c´ach so s´anh an
v´o.i tˆo’ng mˆo.t cˆa´p sˆo´ nhˆan n`ao d´o.
8. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay
1+
1
n
lim 1 +
n→∞
n+1
1
n
n+1
do.n diˆe.u gia’m v`a
= e.
9. T´ınh lim an , nˆe´u
n→∞
1) an = 1 +
1
n+k
n
, k ∈ N.
(DS. e)
n
1
n
. (DS. )
n+1
e
n
√
1
3) an = 1 +
. (DS. e)
2n
2n + 1 2n
4) an =
. (DS. e)
2n
2) an =
