ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 pdf

ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1


Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +
có đồ thị (C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m = −
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
4 2
4 0x x k− + =
.
3. Tìm a để phương trình
4 2
3
4 log 0x x a− − =
có 4 nghiệm phân biệt.
4. Dựa vào đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị hàm số
4 2
4 2y x x= − +
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a. Tại điểm có hoành độ bằng -2.
b. Tại điểm có tung độ bằng -1.
c. Tại điểm x
o
với
( )

'' 100f x =
o
d. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
84 205y x= −
.
e. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2011
16
y x= − +
.
f. Biết tiếp tuyến đi qua A
( )
0;2

6. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x = −
.
7. Tìm m để hàm số có một cực trị.
8. Tìm m để hàm số có ba cực trị.
9. Tìm m để (C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
10. Tìm m để (C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
11. Tìm m để (C
m
) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG

1
BÀI GIẢI CHI TIẾT
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
= −2m
.
Với
2m = −
, ta có :
4 2
4 2y x x= − +
có đồ thị (C)
 Tập xác định : D = R
 Sự biến thiên:
 Đạo hàm:
3
' 4 8 ,y x x x D= − ∀ ∈

( )
( )
3
0 2
' 0 4 8 0
2 2
x y
y x x
x y

= =
= ⇔ − = ⇔


= ± = −





 Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= +∞

lim
x
y
→+∞
= +∞
 Bảng biến thiên:
 Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;0−
,
( )
2;+∞
và nghịch biến trên các khoảng

( )
; 2−∞ −

.
( )
0; 2
Hàm số đạt cực đại tại
0x
=
và
2
CĐ
y =
Hàm số đạt cực tiểu tại
2x = ±
và
2
CT
y = −
Hàm số không có tiệm cận
 Đồ thị :
 Bảng giá trị:


2/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình
4 2
4 0x x k− + =
:
Ta có :
( )
4 2
4 0 *x x k− + =

4 2
4 2 2x x k⇔ − + = − +
Gọi :
4 2
4 2y x x= − +
có đồ thị (C),
2y k= − +
là đường thẳng d vuông góc với Oy.
Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của phương trình (*)
x
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1
Dựa vào đồ thị (C), ta có:

2 2 4:k k
− + < − ⇔ >
phương trình (*) vô nghiệm.

2 2 4:k k− + = − ⇔ =
phương trình (*) có 2 nghiệm.

2 2 2 0 4:k k
− < − + < ⇔ < <
phương trình (*) có 4 nghiệm.

2 2 0 :k k− + = ⇔ =
phương trình (*) có 3 nghiệm.

2 2 0:k k
− + > ⇔ <

phương trình (*) có 2 nghiệm.
3/ Tìm a để phương trình
4 2
3
4 log 0− − =x x a
có 4 nghiệm phân biệt.
Ta có :
( )
4 2
3
4 log *0x x a− − =

4 2
3
4 2 log 2x x a⇔ − + = +
Gọi :
4 2
4 2y x x= − +
có đồ thị (C),
3
log 2y a= +
là đường thẳng d vuông góc với Oy.
Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của phương trình (*)
Dựa vào đồ thị (C), ta có:
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
3 3
1
2 log 2 2 4 log 0 1
81
a a a⇔ − < + < ⇔ − < < ⇔ < <

Vậy :
1
;1
81
a
 
∈
 ÷
 
thỏa yêu cầu đề bài.
4/ Từ đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị các hàm số
3 2
4 2y x x= − +

Gọi
4 2
4 2y x x= − +
có đồ thị (C
1
)
Ta có :
( )
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
4 2 4 2 0
4 2
4 2 4 2 0
x x x x
y x x

x x x x

− + − + ≥

= − + =

− + − + <


−
neáu
neáu
Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
 Phần 1: Phần đồ thị (C) bên trên Ox.
 Phần 2: Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C)
bên dưới Ox. Sau đó, bỏ phần đồ thị (C) bên dưới Ox.
5/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a/ Tại điểm có hoành độ bằng -2:
Gọi
( )
;
o o
M x y
là tiếp điểm.
Ta có:
( )
2 2, ' 16
o o o

x y f x= − ⇒ = = −
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −

( )
2 16 2 16 30y x y x− = − + ⇔ = − −

Vậy: có 1 tiếp tuyến thỏa đề bài là
16 30y x= − −
.
b/ Tại điểm có tung độ bằng -1:
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1
Gọi
( )
;
o o
M x y
là tiếp điểm.
Ta có:
4 2 4 2
1
2 4 2 1 4 3 0
3
o
o o o o o
o
x

y x x x x
x
= ±

= − ⇒ − + = − ⇒ − + = ⇔

= ±



( )
1 ' 4
o o
x f x= − ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −

( )
1 4 1 4 3y x y x+ = + ⇔ = +


( )
1 ' 4
o o
x f x= ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0

'y y f x x x− = −

( )
1 4 1 4 3y x y x+ = − − ⇔ = − +


( )
3 ' 4 3
o o
x f x= − ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( )
1 4 3 3y x+ = − +


4 3 13y x⇔ = − −

( )
3 ' 4 3
o o
x f x= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( )
1 4 3 3y x+ = −
4 3 13y x⇔ = −
Vậy: có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài là
4 3, 4 3, 4 3 13, 4 3 13y x y x y x y x= + = − + = − = − −
c/ Tại điểm
o
x

thỏa
( )
o
'' 10 0=f x
:
Ta có:
( )
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
2 2 2
o
'' 100 12 8 100 12 108 9 3
o o o o
f x x x x x
Gọi
( )
;
o o
M x y
là tiếp điểm.

( )
3 47, ' 84
o o o
x y f x= − ⇒ = = −
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −

( )

47 84 3 84 205y x y x− = − + ⇔ = − −


( )
3 47, ' 84
o o o
x y f x= ⇒ = =
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −

( )
47 84 3 84 205y x y x− = − ⇔ = −

Vậy: có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài là
84 205, 84 205y x y x= − − = −
d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
84 2011y x= +
Gọi
( )
;
o o
M x y
là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 84 2011d y x= +
nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 84
Ta có:
( )

3
0 0 0
' 84 4 8 84f x x x= ⇔ − =
( )
( )
3 2
0 0 0 0 0
2 21 0 3 3 7 0x x x x x⇔ − − = ⇔ − + + =


0
0
2
0 0
3 0
3
3 7 0 :
x
x
x x
− =

⇔ ⇔ =

+ + =



phöông trình voâ nghieäm


3 47
o o
x y= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1

( )
47 84 3 84 205y x y x− = − ⇔ = −

( Trùng với đề bài )
Vậy: Không có tiếp tuyến thỏa đề bài.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2011
16
y x= − +
.
Gọi
( )
;
o o
M x y
là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
: 2011

16
d y x= − +
nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 16
Ta có:
( )
3 3
0 0 0 0 0 0
' 16 4 8 16 2 4 0 2f x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =

0
2x =
, ta có :
0
2y =
. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −

( )
2 16 2 16 30y x y x− = − ⇔ = −

Vậy: có 1 tiếp tuyến thỏa đề bài là
16 30y x= −
.
f/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 0;2).
Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm đi qua A(0;2) và có hệ số góc k

( )
: 2 0 : 2y k x y kx∆ − = − ⇔ ∆ = +

∆ là tiếp xúc với (C) ⇔ hệ phương trình sau đây có nghiệm
( )
( )
4 2
3
4 2 2 1
4 8 2
x x kx
x x k

− + = +


− =




Thay (2) vào (1) ta được:
( )
4 2 3 4 2
0
4 4 8 3 4 0
2
3
x
x x x x x x x
x
=



− = − ⇔ − = ⇔

= ±



0x
=
. Thay vào (2) ta được :
0k
=
: Phương trình tiếp tuyến:
2y =

2
3
x = −
.Thay vào (2) ta được :
16 3
9
k =
: Phương trình tiếp tuyến:
16 3
2
9
y x= +

2
3

x =
.Thay vào (2) ta được :
16 3
9
k = −
: Phương trình tiếp tuyến:
16 3
2
9
y x= − +
Vậy: có 3 tiếp tuyến thỏa đề bài là
16 3 16 3
2, 2, 2
9 9
y y x y x= = + = − +
.
6/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x = −
.

4 2 2
2y x mx m m= + + +
Tập xác định : D = R.
Đạo hàm :
3
' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈
Hàm số đạt cực tiểu tại
1x = −
nên
( ) ( ) ( )

3
' 1 0 4 1 4 1 0 4 4 0 1y m m m− = ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ = −
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1
Với
1m = −
, ta có :
3
' 4 4y x x= −
,
2
'' 12 4y x= −

( ) ( )
2
'' 1 12. 1 4 8 0y − = − − = >
Suy ra :
1x
= −
là điểm cực tiểu.
Vậy:
1m = −
thỏa yêu cầu đề bài.
7/ Tìm m để hàm số có một cực trị:

4 2 2
2y x mx m m= + + +
Tập xác định : D = R.
Đạo hàm :
3

' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈

( )
3 2
2
0
' 0 4 4 0 4 0
x
y x mx x x m
x m
=

= ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −

Hàm số có một cực trị
0 0m m
⇔ − ≤ ⇔ ≥
Vậy:
[
)
0;m∈ +∞
thỏa yêu cầu đề bài.
8/ Tìm m để hàm số có ba cực trị:

4 2 2
2y x mx m m= + + +
Tập xác định : D = R.
Đạo hàm :

3
' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈

( )
3 2
2
0
' 0 4 4 0 4 0
x
y x mx x x m
x m
=

= ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −

Hàm số có ba cực trị
0 0m m⇔ − > ⇔ <
Vậy:
( )
;0m∈ −∞
thỏa yêu cầu đề bài.
9/ Tìm m để ( C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

4 2 2
2y x mx m m= + + +
Tập xác định : D = R.

Đạo hàm :
3
' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈
;
( )
3 2
2
0
' 0 4 4 0 4 0
x
y x mx x x m
x m
=

= ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −

(C
m
) có ba điểm cực trị
0 0m m⇔ − > ⇔ < (*)
.
Khi
0m
<
, ta có:
2
x m x m= − ⇔ = ± −


2
0x y m m= ⇒ = +


x m y m= − − ⇒ =

x m y m= − ⇒ =
Gọi
( )
2
0;A m m+
,
( )
;B m m− −
,
( )
;C m m−
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1

4
AB m m= −
,
4
AC m m= −
,
2BC m= −
Ta có: AB = AC. Suy ra:
ABC∆
đều

2 2
AB BC AB BC⇔ = ⇔ =

4 3
3
4 3 3m m m m m⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = −
( thỏa (*))
Vậy:
3
3m = −
thỏa yêu cầu đề bài.
10/ Tìm m để ( C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

4 2 2
2y x mx m m= + + +
Tập xác định : D = R.
Đạo hàm :
3
' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈
;
( )
3 2
2
0
' 0 4 4 0 4 0
x
y x mx x x m
x m

=

= ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −

(C
m
) có ba điểm cực trị
0 0m m⇔ − > ⇔ < (*)
.
Khi
0m <
, ta có:
2
x m x m= − ⇔ = ± −

2
0x y m m= ⇒ = +


x m y m= − − ⇒ =

x m y m= − ⇒ =
Gọi
( )
2
0;A m m+
,
( )

;B m m− −
,
( )
;C m m−

4
AB m m= −
,
4
AC m m= −
,
2BC m= −
Ta có: AB = AC. Suy ra:
ABC
∆
vuông cân
⇔
ABC
∆
vuông cân tại A

2 2 2 2 2
2.BC AB AC BC AB⇔ = + ⇔ =

( )
4 4
4 2 2 2m m m m m⇔ − = − ⇔ = −
3
1 1m m⇔ = − ⇔ = −
( thỏa (*))

Vậy:
1m = −
thỏa yêu cầu đề bài.
11/ Tìm m để ( C
m
) cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục Ox

4 2 2
2 0x mx m m+ + + = (1)
Đặt:
2
, 0t x t= ≥
. Khi đó phương trình (1) trở thành:
2 2
2 0t mt m m+ + + = (2)
(C
m
) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
⇔
phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

2 2
1 0
0

0 0
' 0
0
0 0
0
2 0
a
m m
P
m m m m
S
m
≠

≠



− > <

∆ >
  
⇔ ⇔ ⇔
  
>
+ > + >


 
 

>
− >



0
0
-1
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG
1

1m
⇔ < −
Vậy:
1m < −
thỏa yêu cầu đề bài.