XÁC ĐỊNH NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ ĐỨNG VÒM CYCLOID CHỊU NHIỀU TẢI TRỌNG TẬP TRUNG

Tạp chí KHCN Xây dựng số 1/2013

XÁC ĐỊNH NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ ĐỨNG VÒM CYCLOID
CHỊU NHIỀU TẢI TRỌNG TẬP TRUNG
NCS. LÂM THANH QUANG KHẢI
Trường Đại học Cửu Long
Tóm tắt: Bài báo này trình bày cách xác định nội lực và chuyển vị đứng của vòm cycloid phẳng chịu nhiều
tải trọng tập trung thẳng đứng theo phương pháp thế năng cực tiểu. Với cách xây dựng này, bài báo đã thiết lập
được phiếm hàm cho bài tốn vịm trong 2 trường hợp là khi xét lực dọc trục và khi xét mơ men uốn với trục
thực vịm dạng cong.
Từ khố: nội lực, chuyển vị đứng, vòm cycloid, phương pháp thế năng cực tiểu.
1. Đặt vấn đề
Trước đây để đơn giản hóa q trình tính vịm, người ta sử dụng tính xấp xỉ bằng việc thay thế các đoạn
vòm bằng các đoạn thẳng như phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn,… Tất nhiên khi chia đoạn
vòm thành các đoạn và xem các đoạn cong này như các đoạn thẳng dẫn đến độ chính xác khơng cao, đặc biệt
độ chính xác càng giảm khi thanh có độ cong càng lớn. Mặt khác khi tính vịm hầu như người ta chỉ xét thành
phần lực dọc trục mà đã bỏ qua mơ men uốn trong q trình tính tốn.
Về mặt lý thuyết tính các thanh vịm phẳng cịn nhiều hạn chế do nhiều nguyên nhân khác nhau hay mức
độ phức tạp của nó nên nhiều tác giả cũng như nhiều tài liệu chỉ nói rất ít hay trong q trình phân tích, tính
tốn chỉ đưa ra phương pháp tính chung chung mà chưa tính tốn cụ thể cho các cơng trì nh có những hình
dạng nhất định.
Trong bài báo này, tác giả dùng trực tiếp độ dài của vòm là đường cong thực mà không xấp xỉ thành những
đoạn thẳng gãy khúc và có xét đến sự ảnh hưởng của mơ men uốn trong tính tốn vịm.
Các vấn đề nghiên cứu về thanh cong đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trên cả hệ tĩnh và hệ
động. Tuy nhiên, ý nghĩa khoa học của bài báo này ở chỗ đề xuất phương pháp tính nội lực và chuyển vị thẳng
đứng cho bài tốn vịm cycloid phẳng chịu nhiều tải trọng tập trung thẳng đứng theo phương pháp thế năng
cực tiểu với trục thực vịm là đường cong mà khơng xấp đường cong thành những đoạn thẳng gãy khúc.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1 Thành lập cơng thức tính nội lực, chuyển vị đứng của vòm cycloid khi xét lực dọc trục [1]

Hình 1. Vịm cycloid chịu nhiều tải trọng tập trung

Ta chia vòm cycloid phẳng thành n đoạn bằng nhau, chịu
thẳng đứng, hướng từ trên xuống.

(n − 1) lực tập trung tác dụng. Lực Pi có phương

n

Chiều dài vịm cycloid:

∑ ∫ ds = 8a

(đơn vị độ dài).

i =1 S0i

Ta thành lập cơng thức tính vịm theo phương pháp thế năng cực tiểu với trục thực vòm là đường cycloid
khi xét lực dọc trục. Thế năng tổng cộng của vịm (hình 1):

(

)

n −1
1 N i2
Π=∑ ∫
ds −∑ Pi . y 0*i − y i* ⇒ min
i =1 2 S 0 i EA
i =1
n

Với

S 0i =

8a
: độ dài ban đầu của đoạn vòm thứ i trước khi biến dạng.
n


Dùng phương pháp thừa số Lagrange để đưa bài toán cực trị phiếm hàm với các điều kiện ràng buộc về bài
tốn cực trị khơng có ràng buộc với phiếm hàm mở rộng:

1
Π=
2 EA

S '01

S'

{ (

Với

(

S'

0n

1 02 2
1
2
∫0 N ds + 2 EA S∫' N 2 ds + ... + 2 EA S ' ∫ N n ds −
01
0 ( n −1 )

2
1

)

(

)

(

)}

m

*
*
− P1 . y 01
− y1* + P2 . y 02
− y 2* + ... + Pn −1 . y 0*(n −1) − y (*n −1) + ∑ λ j g j ⇒ min

λ j , λ j = 1, m

j =1

) là thừa số Lagrange, cũng là ẩn của bài tốn.

Để nghiên cứu, ta có chia vịm thành 4 đoạn bằng nhau chịu 3 lực tập trung Pi = P (hình 2):

Hình 2. Vịm cyclid chịu 3 tải trọng tập trung

1
Π=
2 EA

{ [

∫[ ]

2a

4a

[ ]

6a

[ ]

8a

[ ]

1
1
1
N ds +
N 22 ds +
N 32 ds +
N 42 ds +
∫
∫
∫
2 EA 2 a
2 EA 4 a
2 EA 6 a
2
1

0

]

[

]

[

]}

m

[ ]

*
*
*
− P . y 01
− y1* + P . y 02
− y 2* + P . y 03
− y 3* + ∑ λ j g j ⇒ min

(1)

j =1

Tại A, B là các gối tựa cố định (khơng có chuyển vị đứng và ngang) nên điều kiện ràng buộc là y A=yB=0 và

tổng hình chiếu của các đoạn vịm đã biến dạng lên phương ngang x bằng L = 2πa .
2


N  
g = 1 − 1 2a  − y1* − 0
 EA  
2

(


N  
+ 1 − 3 2a  − y 3* − y 2*

 EA  

2

)

2

 N  
+ 1 − 2 2a  − y 2* − y1*
 EA  
2

(

 N  
+ 1 − 4 2a  − 0 − y 3*
 EA  
*
Ta được hệ phương trình với các ẩn số: N i , yi , λ
Điều kiện cực trị (1):

(

)

2

(

)

)

2

2

+

− 2πa = 0

∂Π
∂Π
∂Π
=0
= 0; * = 0;
∂λ
∂N i
∂y i

Từ đây ta sẽ có hệ phương trình với các biến là các thông số

N i , yi* , λ . Tác giả dùng chương trình

Matlab để viết đoạn chương trình trên. Giả sử vịm có a=3, độ cứng dọc trục là EA=10 kN, tải trọng P=10 kN.
6

Giải ra ta được lực dọc trục, chuyển vị đứng của vòm:
Bảng 1. Lực dọc trục và chuyển vị đứng khi xét lực dọc trục

Điểm/đoạn

(S = 0 ÷ 2a )
2 (S = 2a ÷ 4a )
3 (S = 4a ÷ 6a )
(S = 6a ÷ 8a )
1

Chuyển vị đứng
tại các điểm (m)

Lực dọc trục
trên từng đoạn (kN)

0.3

-19.56

0.8

-13.51

0.3

-13.51
-19.56

Lưu ý: lực dọc mang dấu âm (chịu nén). Chuyển vị đứng mang dấu dương (hướng xuống)

2.2 Thành lập cơng thức tính nội lực, chuyển vị đứng của vịm cycloid khi xét mơ men uốn [3]
Ta thành lập cơng thức tính vịm theo phương pháp thế năng cực tiểu với trụ c thực vòm là đường cycloid
khi xét mô men uốn. Thế năng tổng cộng của vịm (hình 1):
n

Π=∑
i =1

(

)

n −1
1 M i2
ds
Pi . y0*i − yi* ⇒ min
−
∑
∫
2 S0 i EI
i =1

Dùng phương pháp thừa số Lagrange để đưa bài toán cực trị phiếm hàm với các điều kiện ràng buộc về bài
toán cực trị khơng có ràng buộc với phiếm hàm mở rộng:

Π=

EI
2

S '01

∫
0

2

 d 2 y1 
EI
 2  .ds +
2
 ds 

{ (

)

(

2

)

(

2

 d 2 yn 
 2  .ds −
∫

ds 
S '0 ( n −1 ) 

 d 2 y2 
EI
∫S '  ds 2  .ds + ... + 2
01

S '02

S '0 n

)}

m

*
*
− P1 . y01
− y1* + P2 . y02
− y 2* + ... + Pn−1 . y0*(n−1) − y(*n−1) + ∑ λ j g j ⇒ min

Với

(

λ j , λ j = 1, m

j =1

) là thừa số Lagrange, cũng là ẩn của bài toán.

Để nghiên cứu, ta chia vòm thành 4 đoạn bằng nhau chịu 3 lực tập trung Pi =P (hình 2):

EI
Π=
2

2

 d 2 y1 
EI
∫0  ds 2  .ds + 2

2a

( [

]

2

 d 2 y2 
EI
∫2a  ds 2  .ds + 2
4a

[

]

2

 d 2 y3 
EI
∫4a  ds 2  .ds + 2

6a

[

])

m

2

 d 2 y4 
∫  2  .ds −
6 a  ds

8a

[ ]

*
*
*
− P . y 01
− y1, S = 2 a + P . y 02

− y 2, S = 4 a + P . y 03
− y 3, S =6 a + ∑ λ j g j ⇒ min

(2)

j =1

Lập phương trình đường đàn hồi

yi của các đoạn vòm dưới dạng đa thức bậc 6 như sau:

y1 = a 0 + a1 s + a 2 s 2 + a3 s 3 + a 4 s 4 + a5 s 5 + a 6 s 6

y 2 = b0 + b1 s + b2 s + b3 s + b4 s + b5 s + b6 s
2

3

4

5

6

y 3 = c0 + c1 s + c 2 s 2 + c3 s 3 + c 4 s 4 + c5 s 5 + c6 s 6
y 4 = d 0 + d1 s + d 2 s 2 + d 3 s 3 + d 4 s 4 + d 5 s 5 + d 6 s 6

(s = 0 ÷ 2a )
(s = 2a ÷ 4a )
(s = 4a ÷ 6a )

(s = 6a ÷ 8a )

Vịm đang xét có 2 liên kết khớp tại các đầu mút. Do đó ta có độ võng tại các đầu mút này bằng khơng, từ
đó ta có các ràng buộc:

y1, S =0 = 0 ⇒ g = a 0 = 0 ; y 4, S =8 a = 0 ⇒ g1 = y 4, S =8 a = 0
Ngồi ra cịn có điều kiện về tính liên tục của đường đàn hồi y và góc xoay

β

do mơ men uốn tại vị trí có

lực tập trung:

y1, S = 2 a = y 2, S = 2 a ⇔ g 2 = y1, S = 2 a − y 2, S = 2 a = 0
y 2 , S = 4 a = y 3, S = 4 a ⇔ g 3 = y 2 , S = 4 a − y 3, S = 4 a = 0

y 3, S = 6 a = y 4 , S = 6 a ⇔ g 4 = y 3, S = 6 a − y 4 , S = 6 a = 0

β1, S = 2 a = β 2, S = 2 a ⇔ g 5 = β1, S = 2 a − β 2, S = 2 a = 0

β 2 , S = 4 a = β 3, S = 4 a ⇔ g 6 = β 2 , S = 4 a − β 3, S = 4 a = 0

β 3, S = 6 a = β 4 , S = 6 a ⇔ g 7 = β 3, S = 6 a − β 4 , S = 6 a = 0
Điều kiện về mô men tại 2 gối của vịm có liên kết khớp bằng khơng.


=0



Thế các điều kiện ràng bu ộc vào phương trình (2), ta đư ợc hệ phương trình với các ẩn số: ai , bi , ci , d i , λ j
M 1, S =0

 d 2 y1, S =0
= 0 ⇔ g 8 = EI 
 ds 2



 d 2 y 4 , S =8 a
 = 0 ; M 4, S =8 a = 0 ⇔ g 9 = EI 

 ds 2




∂Π
∂Π
∂Π
∂Π
∂Π
=0
= 0;
= 0;
= 0;
= 0;
∂λ j
∂ci
∂ai

∂bi
∂d i

Điều kiện cực trị (2):

Từ đây ta sẽ có hệ phương trình với các biến là các thông số

ai , bi , ci , d i , λ j để xác định các phương

trình đường đàn hồi y i. Tác giả dùng chương trình Matlab để viết đoạn chương trình trên . Giải ra ta được
phương trình đường đàn hồi của các đoạn vịm:

P 3
10 Pa 2
.s −
.s
EI
4 EI
− 4 Pa 3 12 Pa 2
Pa 2
P
y2 =
+
.s −
.s −
.s 3
3EI
EI
EI
12 EI

3
2
− 12 Pa
P
20 Pa
3Pa 2
y3 =
+
.s −
.s +
.s 3
EI
EI
EI
12 EI
− 48 Pa 3 38 Pa 2
P 3
6 Pa 2
y4 =
+
.s −
.s +
.s
EI
EI
EI
4 EI
y1 =

(s = 0 ÷ 2a )

(s = 2a ÷ 4a )
(s = 4a ÷ 6a )
(s = 6a ÷ 8a )

Kết quả mô men uốn, lực cắt và chuyển vị đứng trình bày ở bảng sau:
Bảng 2. Mơ men uốn, lực cắt và chuyển vị đứng khi xét mô men uốn
Điểm/đoạn

Mô men uốn tại
các điểm

(S = 0 ÷ 2a )

− 3Pa

2

(S = 2a ÷ 4a )

− 4 Pa

3

(S = 4a ÷ 6a )

− 3Pa

1

(S = 6a ÷ 8a )

Lực cắt trên
các đoạn

Chuyển vị đứng
tại các điểm

− 3P
2
−P
2
P
2
3P
2

18 Pa 3
EI
76 Pa 3
3EI
18 Pa 3
EI

3. Kết luận
- Tác giả đã xây dựng được phương pháp tính nội lực và chuyển vị thẳng đứng của vòm cycloid phẳng chịu
nhiều tải trọng tập trung thẳng đứng theo phương pháp thế năng cực tiểu với trục thực vòm là đường cong với
2 trường hợp: khi xét lực dọc trục và khi xét mô men uốn;
- Tác giả có thể sử dụng phương pháp đề xuất này để tính nội lực cho các loại vịm khác như: vịm trịn,
vịm parabol;...
- Hạn chế của phương pháp tính này là phải tìm được trục của đường cong hay nói khác đi phải tìm được

độ dài của cung vịm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

PHẠM VĂN TRUNG, Phương pháp mới tính tốn hệ kết cấu dây và mái treo. Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc
Hà Nội, 2006.

2.

NGUYỄN TRÂM, Phương pháp phần tử hữu hạn và dải hữu hạn. Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội, 2012.

3.

VŨ THANH THỦY, Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của hệ thanh chịu uốn khi xét tới ảnh hưởng của biến dạng trượt.
Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội, 2010.

4.

th

SEUNG KYU LEE, BRIAN MACE, MICHAEL BRENNAN, In-plane free vibrations of curved beams. 15 International
Congress on sound and vibration, Korea, 2008.

5.

PETER I. KATTAN, Matlab guide to finite elements. An Interactive Approach, Second editor, Springer, New York, USA,
2006.