SKKN rèn luyện kỹ năng sử dụng đạo hàm để giải phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LĨNH VỰC: TỐN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3
=====  =====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Tên tác giả

:

Trần Thanh Bình

Trường

:

THPT Tân Kỳ 3

Số ĐT

:

0948240913

Tổ bộ mơn

:

Tốn - Tin

Năm thực hiện

:

2021 - 2022


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
1.5. Điểm mới của đề tài:.................................................................................... 2
2. NỘI DUNG: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỂN ............................ 3
2.1 Cơ sở lý luận ................................................................................................ 3
2.1.1. Kỷ năng và kỷ năng giải toán................................................................ 3
2.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................ 4
2.2.1. Thực tiễn dạy học rèn luyện .................................................................. 4
2.2.2. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh. ................... 4
2.2.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh. ............................................. 5

2.3. Các giải pháp thực hiện: .............................................................................. 6
2.3.1. Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên  a; b : ................... 8
2.3.2. Đối với loại phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm) .................. 15
2.3.3. Đối với loại phương trình dạng f  u   f  v  ..................................... 23
2.3.4. Sử dụng định lí Lagrange .................................................................... 28
2.3.5. Các bài tập làm thêm .......................................................................... 32
2.4. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................... 40
2.4.1. Mục đích của thực nghiệm .................................................................. 40
2.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 40
2.4.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 40
2.4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .............................................. 41
3. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 42
3.1. Kết luận ..................................................................................................... 42
3.2. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài sáng kiến kinh nghiệm ...................... 42
3.3. Những kiến nghị, đề xuất:.......................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 44
PHỤ LỤC............................................................................................................ 45


1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay giáo dục đang có sự chuyển biến mạnh mẻ cả về
mọi mặt, trong đó đổi mới về phương pháp dạy, phương pháp học là chủ đạo. Giáo
dục cần tạo ra sản phẩm là nhửng thế hệ trẻ có tài năng, có năng lực thực sự. Chính
vì vậy theo định hướng chung của giáo dục nước ta và của sở giáo dục và đào tạo
tỉnh Nghệ An nói riêng là thay đổi cách dạy, cách truyền thụ tri thức sao cho phù
hợp với các kỳ thi THPTQG, kỳ thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy của các
trường đại học tốp đầu cả nước.
Hội nghị lần thứ 8 BCH TW Đảng Cộng Sản Việt Nam khóa XI, đã thông

qua nghị quyết số 29/NQ - TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản tòan
diện giáo dục và đào tạo. Chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018 được xây
dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh, trong đó kỹ
năng giải tốn đóng vai trị rất quan trọng đảm bảo mối liên hệ giửa học với hành.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, chính vì tầm
quan trọng của đạo hàm nên trong chương trình mơn tốn THPT hiện nay, đạo hàm
được trình bày ở chương 5 trong chương trình mơn tốn lớp 11 (khác với chương
trình cải cách trước đây) và chương 1 trong chương trình mơn tốn lớp 12 nhằm
giúp học sinh sớm tiếp sớm cận với đạo hàm và giúp các em thấy được một số ứng
dụng cơ bản của đạo hàm.
Học sinh khi tiếp cận với một bài toán trước hết cần phải lựa chọn cơng cụ
giải quyết bài tốn hợp lý và tối ưu. Đối với nhiều bài toán về phương trình thì
cơng cụ đạo hàm là một cơng cụ hữu hiệu, hơn nữa thơng qua đó giúp học sinh
phát triển tư duy về phân tích, đánh giá, tổng hợp và so sánh.... Tuy nhiên trong
chương trình cũng như sách giáo khoa mơn tốn ở bậc THPT, học sinh chỉ mới
được tiếp cận và hiểu biết về đạo hàm ở một mức độ nhất định, chưa có nhiều ứng
dụng và chưa được rèn luyện nhiều về kỹ năng giải toán bằng công cụ đạo hàm.
Với mong muốn thông qua đạo hàm giúp học sinh giải một số bài tốn về phương
trình vơ tỉ, phương trình mũ và logarít cũng như có một cái nhìn mới, nhiều phía
về các vấn đề đã được học, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng Sử
dụng đạo hàm để giải phương trình” để trình bày, trong q trình thực hiện
khơng thể tránh được những khuyết điểm. Rất mong sự góp ý xây dựng từ tất cả
1


đồng nghiệp trong Tổ Tốn - Tin Trường nói riêng và đồng nghiệp trong tồn
trường nói chung.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực
của học sinh thông qua hoạt động tìm tịi, phân tích, tìm dấu hiệu đặc trưng để lựa

chọn cơng cụ giải quyết bài tốn hợp lý và hiệu quả hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh thơng
qua bài tốn giải phương trình vơ tỷ, mủ và logarit.
- Rèn luyện kỹ năng thông qua hoạt động giải toán
- Là học sinh từ mức khá, giỏi của trường THPT Tân Kỳ 3.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu từ sách, báo, mạng
internet về kỹ năng giải toán theo hướng phát triển năng lực cho học sinh.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích những sai lầm của
học sinh khi giải tốn, phân tích dữ kiện của bài tốn, tìm các dấu hiệu và lựa chọn
cơng cụ hợp lý để giải tốn.
- Phương pháp điều tra thực nghiệm: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi
kinh nghiệm với đồng nghiệp, thăm do tình hình học tập của học sinh
1.5. Điểm mới của đề tài:
Thứ nhất: Đề tài được xây dựng thành hệ thống các dạng bài tập. Phương
trình có nghiệm duy nhất trên  a; b , phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm),
phương trình dạng f  u   f  v  , phương trình sử dụng định lí Lagrange.
Thứ hai: Đề tài đưa ra được các quy trình giải qua đó giúp cho học sinh hình
thành được các phẩm chất và năng lực toán học cần thiết
Thứ ba: Rèn luyện cho học sinh một phong cách học tập, làm việc khoa học,
cẩn thận, tránh được những thiếu sót và đạt được hiệu quả cao trong học tập.
Thứ tư: Đề tài giúp cho học sinh làm quen với năng lực sáng tạo, năng lực
sử dụng cơng cụ tốn học.
2


2. NỘI DUNG
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỂN
2.1. Cơ sở lý luận

2.1.1. Kỷ năng và kỷ năng giải toán
2.1.1.1. Khái niệm kỷ năng
Theo từ điển tiếng việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu
nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế’’ [24,tr426]
Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính, bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý
luận hay thực hành xác định’’ [2,tr149]
Như vậy kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức,
phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
2.1.1.2. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán
cần giải về dạng tương đương đơn giản.
Trong các môn học ở trường phổ thơng, mơn tốn là mơn học giử vai trị và
vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh.
Khi học tốn kỹ năng giử một vai trị rất quan trọng vì nến khơng có kỷ năng học
sinh sẽ khơng phát huy được tư duy và củng không đáp ứng được nhu cầu giải
quyết vấn đề.
2.1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán
Việc rèn luyện kỹ năng giải toán là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà học sinh không nắm được bản chất của phát biểu đó
nên khơng biết vận dụng hay khơng vận dụng thành thạo vào việc giải bài tập. Do
đó giải bài tập tốn là “chìa khóa” để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đẻ rèn luyện kỷ năng giải toán giáo viên cần quan tâm chú trọng những vấn
đề sau:
3

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tịi để nhận biết ra yếu tố đã cho, yếu
tố phải tìm và mối liên hệ giữa chúng.
- Hướng cho học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập
cùng loại.
Ngoài ra một yêu cầu hết sức quan trọng là phải kích thích hứng thú cho học
sinh bằng cách rèn luyện các mặt sau.
- Nhìn bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác nhau và so sánh các cách giải
khác nhau để hiểu sâu sắc hơn.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm đặc điểm của bài tốn.
2.1.1.4. Phân loại các kỹ năng trong mơn tốn.
- Kỹ năng nhận thức.
- Kỹ năng thực hành.
- Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức.
- Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.
2.2. Cơ sở thực tiễn
2.2.1. Thực tiễn dạy học rèn luyện
Qua quá trình 20 năm giảng dạy tại đơn vị tôi nhận thấy:
Đa phần các em học sinh khi học khái niệm, khi xây dựng định lý, hệ quả thì
thấy trìu tượng, khó hiều và mơ hồ khi vận dụng vào làm bài tập.
Nhiều học sinh chưa hiểu về khái niệm, định lý và các ví dụ mẫu nên dẫn
đến giải bài tập còn mắc nhiều sai lầm.
Khả năng phân tích bài tốn, tìm dấu hiệu đặc trưng của bài tốn khơng có
Khả năng tìm tịi và tự học của đa số học sinh quá yếu.
Nhiều giáo viên ít có cơ hội dạy lớp mũi nhọn và dạy ơn luyện thi đại học
nên có sa sút về kiến thức do đó dẫn đến tình trạng định hướng giải cho học sinh
cũng mắc nhiều sai lầm trong quá trình dạy học.
2.2.2. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh.
Để khảo sát và tìm hiểu về tình hình học tập của học sinh tơi phát phiếu
khảo sát cho học sinh hai lớp 12A1, 12A6 với nội dung phiếu khảo sát như sau.
4

PHIẾU KHẢO SÁT
Họ và tên học sinh: …………………………. Lớp: …...............................…
Em hãy trả lời các câu hỏi sau.
Nội dung

Câu
1

Em có thích học bộ mơn tốn khơng?

2

Em có gặp khó khăn khi giải phương trình ở các mức
độ vận dụng, vận dụng cao khơng?

3

Em có thành thạo việc sử dụng ứng dụng của đạo
hàm vào việc giải phương trình khơng?

4

Em có hứng thú khi học chương 1: Ứng dụng của
đạo hàm không?

5

Em có nắm được và hiểu được định lý Lagrange

khơng ?

Có

Khơng

2.2.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh.
Bài tốn 1. Giải phương trình: sinx = x. (1)
Phân tích: Có một số học sinh đã giải như sau.
(1)  x  sinx  0 (*)
Xét hàm số: f  x   x  sinx, x 
Ta có f   x   1  cosx  o,x  . Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R, mà
ta lại có f(0) = 0. Nên phương trình (*) có dạng f(x) = f(0)  x  0 là nghiệm của
phương trình đã cho.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh là chưa nắm vững tính đơn
điệu của hàm số. đó là ngồi f   x   0 phải chú ý rằng còn phải xét f   x   0
tại một số hữu hạm điểm thì hàm số mới đồng biến. Ở đây
f   x   0  x  k 2 , k  R là vô số điểm nên chưa thể khẳng định được hàm
số đồng biến trên

.

Bài toán 2. Giải phương trình: x2  3x  1  2 x  1  0 .
5


1
Học sinh giải như sau: ĐK x  . Phương trình đả cho tương đương
2

2 x  1  2 x  1  x2  x  f
Xét hàm: f  t   t 2  t , t 





2 x  1  f  x  (*)

1
1
(do x  )
2
2

1
1
và f   t   0  t  . Suy ra f(t) đồng biến
2
2
 x0
1

 x  1.
trên  ;   . Từ đó phương trình (*) cho ta 2 x  1  x  
2
2

2 x  1  x
Ta có f   t   2t  1  0, t 

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.
Nguyên nhân lời giải sai lầm là việc xét hàm số: f  t   t 2  t trên

 1
1

mà
không
xét
t


;

0; 2  nên làm mất đi nghiệm x  2  2 .
 2

Bài toán 3. Giải phương trình ; 2 x.3x  3x  2 x  1
Phân tích: Học sinh đưa ra lời giải như sau.

1
khơng phải là
2
2x  1
nghiệm nên ta chia cả hai vế cho 2x - 1, được 3x 
. Xét hàm
2x  1
2x  1
1

1
f  x   3x 
, x  . có f   x   0, x  nên hàm số đơn điệu với mọi x  2
2x  1
2
2
Phương trình tương đương

 2 x  1 3x  2 x  1 .

vì x 

Và f(1) = 0 suy ra x = 1 là nghiệm.
Sai lầm của lời giải là học sinh không nhận thấy đồ thị hàm y 
có hai nhánh. nên xét sự tương giao của hai đồ thị y 

2x  1
2x  1

2x  1
và y  3x cắt
2x  1

nhau tại hai điểm có hồnh độ là x = 1 ; x = -1.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng để giải tốn sơ cấp, do khn khổ có hạn,
6


trong đề tài này tơi chỉ trình bày ứng dụng mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi

THPT Quốc gia, kỳ thi đánh giá năng lực vào các trường Đại học đó là:
 Giải các phương trình vơ tỉ, mũ, logarít
Tơi cố gắng trình bày các bài tốn một cách chi tiết, phân tích và nhận xét
cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm có hiệu
quả cao.
Sau đây tơi xin trình bày một số hoạt động thể hiện nội dung đề tài:
Khi giải phương trình vơ tỉ, mũ, logarít học sinh gặp một số phương trình mà
việc giải các phương trình này bằng phương pháp thông thường (phương pháp đặt
ẩn phụ, lũy thừa,...) gặp khó khăn, vậy phải dùng cơng cụ nào để giải quyết đây ?
Nhìn lại định nghĩa về phương trình thì thấy rằng mỗi một phương trình
chẳng qua là sự tương giao của 2 đồ thị của 2 hàm số nào đó trong một phương
trình đã cho, mà một trong những công cụ khảo sát đồ thị của một hàm số một cách
“lợi hại” đó chính là đạo hàm. Vậy thử sử dụng cơng cụ đạo hàm có được khơng ?
nếu sử dụng thì sử dụng như thế nào ?
Trước hết tôi yêu cầu học sinh phải nắm được các tính chất cơ bản sau:
 Tính chất 1. Nếu hàm số f  x  đơn điệu trên tập D 

, với x1 , x2  D

khi đó ta có:

f  x1   f  x2   x1  x2
 Tính chất 2. Nếu hàm số f  x  đơn điệu và liên tục liên tục trên khoảng

 a; b  thì tồn tại nhiều nhất một điểm

x0   a; b  để f  x0   0 .

 Tính chất 3. (Định lí Bolzano-Cauchy )
Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b và f  a . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một

điểm x0   a; b  để f  x0   0 .
 Tính chất 4.
Nếu hàm số f  x  liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình f  x   0 có
khơng q một nghiệm trên D .
7


2.3.1. Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên  a; b
Ví dụ mở đầu.
a) Trước hết ta xét phương trình sau: 4x  3.2x  10
Nhận xét: Đặt t  2 x ; t  0 , ta được phương trình bậc 2 theo t. Giải phương
trình này tính được t từ đó tính được nghiệm x của phương trình.
Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới: vế trái “có vẻ” là
hàm số tăng trên TXĐ của phương trình, dựa vào tính chất 2 thì phương trình tồn
tại nhiều nhất một nghiệm và dễ dàng thấy x  1 là nghiệm.
b) Xét phương trình phức tạp hơn: 1  x  x  3  2
Nhận xét: Phương trình này giải bằng cách: Phương trình

 1 x  x  3  2
bình phương 2 vế của phương trình 2 lần, tính được nghiệm.
Tuy nhiên: Nếu quan sát kỹ thì vế trái “có vẻ” là hàm số giảm trên TXĐ của
phương trình, dựa vào tính chất 3 thì phương trình tồn tại nhiều nhất một nghiệm
và dễ dàng thấy x  3 là nghiệm.
Từ những nhận xét này tơi hình hành cho học sinh các bước giải như sau:
Bước 0. Bước phán đoán phương trình có nghiệm duy nhất (có thể xem là
bước phân tích).
Bước 1. Xây dựng hàm số f  x  trên MXĐ của phương trình.
Bước 2. Xét dấu đạo hàm f '  x  để phát hiện tính tăng giảm, nên phương
trình nếu có nghiệm thì chỉ có tối đa là một nghiệm.
Bước 3. Tìm một nghiệm x  x0 của phương trình.

Tơi xin minh họa qua các bài tốn cụ thể sau:
Bài tốn 1.
Giải phương trình:

x  1  x  2  7  2 x  10 (1)

Nhận xét: Trong q trình giảng dạy tơi thường chia lớp thành các nhóm để
học sinh trao đổi và thảo luận và nhận thấy.
8


Bài tốn này học sinh thường giải như sau:
+) Bình phương 2 vế của phương trình ta được
(1)  2 x 1  2

 x  1 x  2  3x  39 14

2 x  10

+) Tới đây khơng thể đặt ẩn phụ cũng như bình phương 2 vế được nữa vì rất
phức tạp và lời giải đi vào bế tăc
Do đó tơi hướng học sinh suy nghỉ đến một cách cách giải khác
Bước 0.
Học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề
Dấu hiệu: Nếu quan sát kỹ sẽ nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn là các
hàm số là các hàm số tăng (hàm số bậc nhất có hệ số a > 0).
Học sinh lựa chọn cách thức, cơng cụ để giải quyết đó là sử dụng đạo hàm
và các tính chất nêu ở trên
Học sinh thu thập các thông tin và làm rõ các thông tin
Sau đó học sinh thực hiện giải quyết vấn đề

Giải bài tốn 1.
ĐKXĐ của phương trình là: x  2
Bước 1. Xét hàm số: f  x   x  1  x  2  2 x  10  7 , với x  2
Bước 2. Xét dấu đạo hàm
Ta có:
f ' x 

1
1
1


 0, x  (2; )
2 x 1 2 x  2
2 x  10

 hàm số tăng trên  2;  

do đó theo tính chất 4 thì phương trình f  x   0 nếu có nghiệm thì nghiệm
đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bước 3. Tìm một nghiệm
mặt khác f  3  0 nên x  3 là nghiệm
9


Vậy phương trình có nghiệm x  3 .
Để phù hợp với các kỳ thi THPTQG và các kỳ thi đánh giá năng lực thì u
cầu học sinh phải tính tốn nhanh nên tơi hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính
cầm tay giải bài tốn như sau:
Bước 1. Vào TABLE nhập f  x   x  1  x  2  2 x  10  7 .

Bước 2. Do hàm số đơn điệu và f  2 . f  4   0 nên phương trình chỉ có
một nghiệm   2;4  .
START = 2.
END = 4
Bước 3. Chọn STEP = 0,5 máy tính hiện bảng kết quả
x

f(x)

2

-1.52629

2.5

-0.54908

3

0

3.5

0.46917

4

0,89292

Qua bài tốn này tơi đả hình thành được cho học sinh các năng lực tốn học

như : Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học,
năng lực giao tiếp toán học, năng lực hợp tác và năng lực sử dụng cơng cụ tốn học
Bài tốn 2. Giải phương trình:

x2  4 x  9  x2  4 x  9  6

Nhận xét: Giáo viên cho các nhóm tiến hành trao đổi và thảo luận và tơi
thấy học sinh gặp khó khăn là thường nghĩ tới bình phương 2 vế, nhưng xuất hiện
một phương trình bậc 4 khơng mẫu mực. Vì vậy lời giải bế tắc
Nên tôi hướng học sinh nghĩ đến lựa chọn công cụ đạo hàm để giải quyết bài
toán. Qua bài toán này tơi phát triển các năng lực tốn học cho học sinh như : Năng
lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao
tiếp toán học, năng lực hợp tác.
10


Bước 0.
Dấu hiệu:
2
 Hàm số y  x  4 x  9 tăng với x  2 , giảm với x  2
2
Hàm số y  x  4 x  9 tăng với x  2 , giảm với x  2

Như vậy hàm số vế trái của phương trình tăng với x  2 , giảm với x  2 ,
chỉ còn lại khoảng  2;2 
 Phương trình f '  x   0 chỉ có một nghiệm duy nhất x  0 và giá trị này
cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Do đó phải lập được BBT của hàm số.
Giải bài toán 2.
ĐKXĐ: x 

Bước 1. Xét hàm số: f  x  

x 2  4 x  9  x 2  4 x  9  6 , trên

Bước 2. Xét dấu đạo hàm
Ta có: f '  x  

x2
x2  4x  9



x2
x2  4x  9

 x  2  f '  x   0
 x  2  f ' x   0
 x   2;2  x  2  0; 2  x  0
cho f '  x   0  ( x  2) ( x  2)  5  (2  x) ( x  2)  5
2

2

 u v 2  5  v u 2  5 , với u  x  2; v  2  x
 u 2  v 2  5  v 2  u 2  5
 u 2  v2
 u  v (u  0, v  0)
Hay:

 x22 x

 x0
11


Vậy ta có BBT sau
x



f (x)

2


0


0



2








f(x)
0

Bước 3. Dựa vào BBT ta có phương trình có nghiệm duy nhất x  0 .
Bài tốn 3.
Giải phương trình: ln x 

x 1
x

Phân tích: Giáo viên tổ chức lớp thành các nhóm học tập trao đổi và thảo luận.
Học sinh phát hiện được vấn đề: Để giải phương trình này học sinh có các
lựa chọn
1. khảo sát sự tương giao của hai đồ thị. Với cách lựa chọn này học sinh gặp
x 1
khó khăn khi khảo sát hàm số f  x  
x

x 1
 0 và xét dấu đạo hàm
x
chứng minh hàm đơn điệu trên tập xác định và áp dụng tính chất 1
2. Đưa phương trình về dạng : f  x   ln x 

Bước 0.
Dấu hiệu: Loại phương trình được gọi là phương trình “siêu việt” . Biến đổi
x 1
phương trình về dạng : f  x   ln x 
 0 và nhận thấy hàm đơn điệu trên
x

khoảng  0;  nên theo tính chất 2 phương trình có nhiều nhất một nghiệm
12


Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề
Giải bài toán 3.
ĐKXĐ: x  0
Bước 1. Xét hàm số: f  x   ln x 

x 1
x

Bước 2. Xét dấu đạo hàm
Ta có: f '  x  

1 x 1 2 x  x 1



x 2x x
2x x





x 1
2x x

2

 0; x   0;  

do đó phương trình f  x   0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy
nhất của phương trình.
Bước 3. Tìm một nghiệm
mặt khác f 1  0 nên x  1 là nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm x  1 .
Nhận xét : Ngoài ra giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính
cầm tay đê giải nhanh. Và qua bài tốn 3 này tơi đã hình thành được các các
năng lực toán học như : Năng lực tư duy và lập luận, năng lực giải quyết vấn
đề, năng lực giao tiếp toán học, năng lực hợp tác và năng lực sử dụng cơng cụ
tốn học.
Bài tốn 4.

2
Giải phương trình:  
3

sin 2 x

 3cos 2 x  log 6 1296

Nhận xét: Đầu tiên tơi cố gắng hình thành cho học sinh năng lực tư duy và
lập luận tốn học sinh như sau:
Bước 0.
Dấu hiệu: phân tích và đưa về cùng số mũ

13

2
Ta có:,  
3

sin 2 x

 3cos 2 x

2
 
3

sin 2 x

 312sin

2

x

2
 
3

sin 2 x

1
 3. 
9

sin 2 x

Sau đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề tốn học là nhận thấy các hàm
số vế trái đều là các hàm số giảm và học sinh lựa chọn cách thức, giải pháp giải
quyết bài tốn.
Sau đó ta có thể thay đổi dữ kiện là vế trái của phương trình là tổng của hai
hàm đồng biến ta có bài tốn mới và qua đó hình thành cho học sinh năng lực sáng
tạo tốn học
Tiếp tục hình thành năng lực giao tiếp tốn học ( Trình bày lời giải)
Giải bài tốn 4.
ĐKXĐ: x 
Bước 1.

Ta có:

2
 
3

sin 2 x

2
 3cos 2 x   
3

sin 2 x

2
 312sin x   

3

sin 2 x

2

1
 3. 
9

sin 2 x

Đặt t  sin 2 x , ĐK của t là: t  0;1
t

2
1
Ta được hàm số f  t      3.  
3
9

t

Bước 2. Xét dấu đạo hàm
t

t

2 2
1 1

Ta có: f '  t     ln  3.   ln  0, t   0;1
3 3
9 9
do đó phương trình f  t   0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy
nhất của phương trình.
Bước 3. Tìm một nghiệm
Chú ý là log 6 1296  4
vì f  0   4 nên t  0 là nghiệm
t  0  sin 2 x  0  sin x  0  x  k , k 

14


Vậy phương trình có nghiệm x  k , k  .
Việc nhận dạng phương pháp này trong các phương trình mũ, logarít dễ hơn
so với phương trình vơ tỉ. để nhận dạng ta phải phát hiện được các dấu hiệu đặc
trưng của bài tốn đó là xây dựng được hàm y = f(x) trên miền xác định D . Phải
tính thành thạo đạo hàm và xét dấu đạo ham, chỉ ra được hàm số đơn điệu trên D.
Qua các bài tốn 1 đến đến bài tốn 4 ngồi các năng lực tốn học được hình
thành thì giáo viên cũng rèn luyện được cho học sinh các kỹ năng như: Kỹ năng
nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức và kỹ năng
tự kiểm tra đánh giá.
2.3.2. Đối với loại phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm)
Ví dụ mở đầu.
a) Trước hết ta xét phương trình đơn giản sau: x2  x
Nhận xét: Phương trình này đơn giản vì thực chất nó là phương trình bậc 2
Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới: vế trái, vế phải
đều là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình.
Xét hàm số f  x   x 2  x , đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng

1
lên và yCT    0 do đó phương trình chỉ có 2 nghiệm. Ta tìm được 2 nghiệm đó
4
là x  0, x  1 .
b) Xét phương trình phức tạp hơn:

x  9  2  x  1 (1)

Nhận xét: Phương trình này có thể giải bằng cách bình phương 2 vế của
phương trình 2 lần, tính được nghiệm.
Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới: vế trái, vế phải
đều là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình.
Xét hàm số f  x   x  9  2  x  1
ta có: f '  x  

1
1

 f ' x  0
2 x  9 2 x 1

15


Bảng biến thiên:
x

1

f ( x )

0





2 2 2

0

f ( x)
2

Vậy phương trình có nghiệm x  0 .
Từ những nhận xét này tơi hình hành cho học sinh các bước giải như sau:
Bước 0. Nhận xét dạng phương trình (có thể xem là bước phân tích).
Bước 1. Tìm các nghiệm của phương trình này.
Bước 2. Xét hàm số f  x  trên MXĐ của phương trình và tính đạo hàm

f   x  rồi xét dấu đạo hàm
Bước 3. Lập BBT của hàm số f  x  để từ đó suy ra số nghiệm của phương trình
Tơi xin minh họa qua 4 bài toán:
Bài toán 5.
Giải phương trình: 3x  5x  6x  2
Nhận xét: Bài này nếu áp dụng các kiến thức và các phương pháp các em đã
được học ở lớp 11 giải đều khơng được. Do đó tơi hướng các em đến việc đưa
phương trình về bài tốn xét sự tương giao của hai đồ thị ta dùng bảng biến thiên
hoặc đồ thị để xác định số giao giao điểm để từ đó tìm số nghiệm tương ứng.
Khi dạy học giáo viên cho học sinh trao đổi và thảo luận theo nhóm để học

sinh phát hiện được vấn đề
Bước 0. Nhận dạng phương trình
Dấu hiệu: 2 vế của phương trình cùng đơn điệu tăng
Giải bài tốn 5.
Học sinh thu thập các thơng tin và làm rõ các thơng tin sau đó dùng các kiến
thức đã được học tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm của
hàm số
x
x
f  x   3  5  6 x  2, x  , lập được bảng biến thiên của hàm số.
16


Dự kiến học sinh sẻ gặp khó khăn khi tìm nghiệm của f ( x)  0 vì vây giáo
viên cần định hướng cho học sinh tính và xét dấu f ( x) , x  . Và áp dụng tính
chất 2 và tính chất 3 kết luận được nghiệm của f ( x)  0
Bước 1. Trước hết ta nhận thấy phương trình này có 2 nghiệm là x  0 và

x 1
Bước 2. Lập BBT
Xét hàm số f  x   3x  5x  6 x  2, x 

f '  x   3x ln3  5x ln5  6, x 

f ''  x   3x  ln3  5x  ln5  0, x 
2

2

nên phương trình f '  x   0 , nếu có nghiệm thì có duy nhất một nghiệm

 f '(0)  ln 3  ln 5  6  0
 f '(1)  3ln 3  5ln 5  6  0

hơn nữa 

nên    0;1 để f '    0
Bảng biến thiên:
x
f ( x )





0







0



0

1

0

0







f ( x)

CT

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  0 và x  1 .
Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh
bài toán trên như sau:
Bước 1. Vào TABLE gõ f  x   3x  5x  6 x  2 .
Bước 2. START = - 1.
END = 2
Bước 3. Chọn STEP = 0,5 máy tính hiện bảng kết quả

17


x

f(x)

-1

4,533333

-0,5

2,024563

0

0

0,5

- 1,031881

1

0

1.5

1.376492

2

20

Qua bài tốn này giáo viên sẻ hình thành cho học sinh các năng lực tốn học
đó là năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực
giao tiếp toán học và năng lực sử dụng cơng cụ tốn học.

Bài tốn 6.
Giải phương trình: log 2 1  cos x   2cos x (7)
Nhận xét: Đây một dạng của loại phương trình siêu việt
 7   1  cos x  22cos x . Đặt t  cos x; t 1;1 , ta được phương trình: 1  t  4t
Nên tôi hướng các em đến việc dùng đồ thị để xác định số giao giao điểm để từ đó
tìm số nghiệm tương ứng.
Trong quá trình trao đổi và thảo luận của học sinh tơi nhận thấy học sinh
gặp khó khăn trong việc lập bảng biến thiên của hàm số f  t   4t  1  t , t   1;1
vì khơng tính được f   t   0 có nghiệm như thế nào và dấu của đạo hàm ra sao vì
vây giáo viên định hướng cho học sinh như ở các bài tập 5 ở mục 2.3.1 . qua đó
hình thành cho học sinh các năng lực tư duy và lập luận, năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề
Bước 0. Nhận dạng phương trình
Dấu hiêu: 2 vế của phương trình 1  t  4t cùng đơn điệu tăng.
Giáo viên tiếp tục hình thành năng lực giao tiếp tốn học ( trình bày lời giải)
Giải bài toán 6.
ĐKXĐ: x 

\   k 2 
18


Bước 1.  7   1  cos x  22cos x
Đặt t  cos x; t   1;1 , ta được phương trình: 1  t  4t
nhận thấy phương trình có 2 nghiệm t  0 và t  

1
2

Bước 2. Lập BBT

Xét hàm số f  t   4t  1  t , t   1;1

f '  t   4t ln 4  1, t   1;1

f ''  t   4t  ln 4   0, t  1;1
2

nên phương trình f '  t   0 , nếu có nghiệm thì có duy nhất một nghiệm

 f '(0)  ln 4  1  0

 1 
hơn nữa 
nên     ;0  để f '    0
1 1
f '( )  ln 4  1  0
 2 


2 2
ta có bảng biến thiên như sau:
t



-1

f (t)

1

2






0

0



1



2

1
4
f(t)
0

0
CT

Vậy phương trình có 2 nghiệm t  0 và t  
 Với t  0  cos x  0  x 


2

1
2

 k , k 

1
1
2
 k 2 , k 
 Với t    cos x    x  
2
2
3
19


KL: Phương trình đã cho có nghiệm là: x 


2

 k , x  

2
 k 2 , k  .
3

Bài tốn 7. Cho hàm số có bảng biến thiên
x



1

f ( x )



0

0



0



1

2

0





4

5
f ( x)


Phương trình f

2

2



A. 1





2 x  x 2  3 có bao nhiêu nghiệm.

B. 2

C. 3

D. 4

Nhận xét. Trong q trình giảng dạy tơi cho học sinh thảo luận và trao đổi

theo các nhóm và để học sinh tự đưa ra phương án giải quyết . phần lớn học sinh
cịn lúng túng đối với bài tốn hàm số hợp và nếu giải thì thường chọn đáp án sai
vì các lý do
1. chưa biết đặt ẩn phụ t hoặc nếu biết đặt ẩn phụ t thì việc xác định điều
kiện của ẩn phụ t khó khăn hoặc sai dẫn đến đọc kết quả trong bảng biến thiên sai
2. Tư duy trực quan dựa vào bảng biến thiên đang cịn yếu.
Vì vậy tơi hình thành cho học sinh các kỹ năng và năng lực toán học như
năng lực tư duy và lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học
và năng lực sáng tạo.
Bước 1. Đặt ẩn phụ t và sử dụng công cụ đạo hàm để điều kiện cho ẩn phụ t.
Bước 2. trong bảng biến thiên của hàm t(x) trên 0;2 thì mổi nghiệm t

  0;1 có bao nhiêu nghiệm x   0;2 .
Bước 3. Quay trở về bảng biến thiên đả cho thì f(t) = 3, t   0;1 có bao
nhiêu nghiệm và kết luận về số nghiệm của phương trình.
Bước 4. nếu thay





2x  x 2 bởi 1 – 2sinx, hoặc 3 1 x , hoặc log 2 2  x ta
2

có giải quyết được cá bài tốn đó khơng?

20


Giải bài toán 7

2 x  x 2 , x   0;2

Trước hết, xét hàm số t = t(x) =
Ta có t   x  

1 x
2 x  x2

, x  0;2.t   x   0  x  1 0;2

Bản biến thiên của t(x)
x

0

t ( x)

2

1





0
1

t( x)

0

0

 t  0;1, x  0;2 . Lúc này phương trình f





2 x  x 2  3 trở thành f(t)

= 3 (2) t 0;1 . Theo bảng biến thiên của hàm số f(t) trên [0;1] thì đường thẳng
y = 3 cắt đồ thị hàm y = f(t) tại 1 điểm có hồnh độ thuộc (0;1) nên phương trình
(2) có đúng 1 nghiệm t = t0   0;1. khi đó phương trình (1)  2 x  x 2  t0 (2), t0   0;1 .
Mặt khác theo bảng biến thiên của hàm số t(x), với mổi t0   0;1. thì đường thẳng
y = t 0 cắt đồ thị y = t(x) đúng tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có
2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình f





2 x  x 2  3 có đúng hai nghiệm phân biệt.

Nhận xét. Bài tốn này nếu khơng sử dụng cơng cụ đạo hàm và sự tương
giao của hai đồ thị thí học sinh khó có thể giải được. Khi xét điều kiện của ẩn phụ t
thì lựa chọn cơng cụ đạo hàm và lập bảng biến thiên có vẻ thuận lợi hơn.
Bài tốn 8. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019)
5

Chứng minh rằng phương trình: 4 x  2018 x  2019  0 có duy nhất một

nghiệm thực.
Nhận xét: Để chứng minh phương trình trên có duy nhất một nghiệm thực
nếu khơng dùng cơng cụ đạo hàm thì việc chứng minh phương trình có nghiệm thì
21


khá đơn giản nhưng để khẳng định tính duy nhất của nghiệm thì tương đối phức
tạp bởi vậy khi dạy bài này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát hiện được
sự cần thiết của việc sử dụng công cụ của đạo hàm và đặc biệt là các tính chất 4 và
tính chất 3. Sau khi học sinh nhận biết và phát hiện ra vấn đề thì giáo viên cho học
sinh thực hiện giải quyết vấn đề và trình bày lời giải.
Lời giải
Định hướng 1: (sử dụng kiến thức lớp 12).
Xét hàm số f  x   4 x5  2018 x  2019 liên tục trên

.

Ta có y '  20 x 4  2018  0  x  .
Áp dụng tính chất 4 suy ra phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm
x

1 .
Ta có f  0   2019; f  1  3  f  0  f  1  0 .
Áp dụng tính chất 3 suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm

a   1;0   2  .
Từ 1 ;  2 suy ra phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất a   1;0  .
Do vậy, phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm thực.

Định hướng 2: (sử dụng kiến thức lớp 11).
Xét hàm số f  x   4 x5  2018 x  2019 liên tục trên

.

Ta có f  0   2019; f  1  3  f  0  f  1  0 .
Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm a   1;0 .
Giả sử phương trình f  x   0 có nghiệm b  a .
Ta có f  b   f  a   4  b5  a 5   2018  b  a  .
Nếu b  a thì b5  a 5 . Suy ra 4  b5  a 5   2018  b  a   0 .
Do vậy f  b   f  a   0  f  b   f  a   0 (vô lí).
22