Công thức về hàm số nhiều biến

Cao Văn Tú Email: Website: www.caotu28.blogspot.com


Trang 1

Tóm tắt và phân dạng chương hàm số nhiều biến
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC CHƯƠNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

1. Tính chất của đạo hàm riêng.

 
'
'
x
x
ff




 
'
''
xx
x
f g f g  


 

'
''
. . .
xx
x
f g f g f g


'
''
2

xx
x
f g f g
f
gg






2. Chý ý:
 Lấy đạo hàm riêng của
 
'
,.
x
f x y


 
 
   
2
'
' ''
2
, , ,
x xx
x
f
f x y f x y x y
x





 
 
   
2
'
' ''
,,,
x xy
y
f

f x y f x y x y
xy




 Lấy đạo hàm riêng của
 
'
,.
y
f x y


 
 
   
2
'
' ''
, , ,
y yx
x
f
f x y f x y x y
yx





 
 
   
2
'
' ''
2
, , ,
y yy
y
f
f x y f x y x y
y




Lưu ý:
   
22
0 0 0 0
,,
ff
x y x y
x y y x


   
.

Nhưng: Hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng
' ' '' ''
, , ,
x y xy yx
f f f f
xác định trong lân cận của
 
00
,xy
và kiên tục tại điểm này. Khi đó :
   
22
0 0 0 0
,,
ff
x y x y
x y y x


   

3. Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại
 
00
,xy
:
     
''
0 0 0 0 0 0
, , ,

xy
df x y f x y dx f x y dy

4. Tính chất của vi phân:

 
d f f




 
d f g df dg  


 
. . .d f g g df f dg


2
f g df f dg
d
gg






5. Vi phân cấp 2.

 
2 '' 2 '' '' 2
,2
xx xy yy
d f x y f dx f dxdy f dy  

Mở rộng:
 Vi phân cấp 3.

3 3 3 3
3 3 2 2 3
3 2 2 3
33
f f f f
d f dx dx dy dxdy dy
x x y x y y
   
   
     

 Vi phân cấp 4.
4
4 4 4 4 4
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 4
4 3 2 2 3 4
f f f f f
d f dx f C dx C dx dy C dx dy C dxdy C dy
x y x x y x y x y y


      
      

         



Cao Văn Tú Email: Website: www.caotu28.blogspot.com


Trang 2

Tóm tắt và phân dạng chương hàm số nhiều biến
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
 Vi phân cấp n.

n
n
d f dx f
xy







6. Đạo hàm của hàm hợp.

' ' ' ' '
' ' ' ' '
.
.
x u x v x
y u y v y
f f u f v
f f u f v




Phần quan trọng trong chương hàm số một biến
 Tính vi phân cấp một, cấp 2.
 Tìm cực trị của hàm số.

Phân dạng bài tập và cách giải
 Dạng 1: Tính vi phân cấp một, cấp 2.
Đối với dạng này ta cần học thuộc công thức và các biến đổi sơ cấp.
 Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số.
 Bước 1: Tìm miền xác định.
 Bước 2: Giải hệ phương trình
'
'
0
0
x
y
z
z








. Suy ra các điểm dừng
1 2 3
, , , ,
n
M M M M
.
 Bước 3: Tính
'' '' ''
,,
xx xy yy
z z z
.
Xét tại điểm M
i
:
     
'' '' ''
; ; .
xx i xy i yy i
A z M B z M C z M  

o Nếu
2

0AC B
và A > 0 M
i
là điểm cực tiểu.
o Nếu
2
0AC B
và A < 0 M
i
là điểm cực đại.
o Nếu
2
0AC B
M
i
không phải là điểm cực trị của hàm số.
o Nếu
2
0AC B
thì chưa có kết luận gì cho bài toán.