Bài tập có đáp án chi tiết chương hàm số nhiều biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.27 MB, 20 trang )
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 1
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
(Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn)
Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
1.1 Tìm miền xác định của các hàm số:
a.
2 2 2
1
z
a x y
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2 2 2 2 2 2
0a x y x y a
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
2 2 2
( , ):D M x y x y a
b.
2
arcsin
x
z
y
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2
2
22
2
2
22
2
2
10
11
1
0
x x y
yx
yy
x
yx
x
y
x y y x
y
y
Với
0 ( ; ] ;x x x
còn Với
2
0x y x
(luôn đúng)
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
( , ): 0: ; ;D M x y x x x
c.
ln
x
z
y
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
00
x
x y x y
y
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
( , ): 0D M x y x y
d.
u x y z
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
0x y z
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
( , , ): 0D M x y z x y z
1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
1.
( , ) .
x
f x y xy
y
Tính
''
(2,1) (2,1)
xy
ff
Hướng dẫn:
Ta có:
'
2
''
1
11
( , ) (2,1)
2
222
xx
x
xy
y
y
y
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 2
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
2
2
''
2
( , ) (2,1) 0
222
yy
x
x
xy
x
y
xy x
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y
2.
22
.
xy
ze
Tính:
''
,
xy
zy
Hướng dẫn:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
x
z e x y e xe
Chú ý CT: (e
u
)’ = u’.e
u
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
y
z e x y e ye
3.
( , ) ( 1)arcsin .
x
f x y x x
y
Tính:
'
(1,1)
x
f
Hướng dẫn:
Ta có:
''
'
1
( 1)arcsin 1 arcsin arcsin . 1 1 arcsin
x
x x x x x
f x x x
y y y y
yx
( Như chúng ta đã biết
22
dx
ax
là
arcsin
x
C
a
. Khi đó ta coi x ở CT trên chính là
x
,a
ở CT trên chính là
y
. Do đó
'
1
arcsin
x
y
yx
)
Vậy
'
2
(1,1) 1
22
x
f
4.
33
3
( , ) .f x y x y
Tính:
''
(0,0), (0,0)
xy
ff
Hướng dẫn:
Ta có:
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
xx
f x y x y x y x y x y x x y f
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
yy
f x y x y x y x y x y y x y f
5. Cho
lnz y x
.Tìm
'' '' ''
,,
xx xy yy
z z z
.
Hướng dẫn:
Ta có:
''
''
( ln ) '.ln (ln )'.
( ln ) '.ln (ln )'. ln
x
y
y
z y x y x x y
x
z y x y x x y x
Vậy:
'
'' '
2
'
'' '
'
'' '
1
0
xx x
x
xy x
y
yy y
y
y
zz
x
zz
x
zz
6. Cho
lntan .
y
z
x
Tìm:
''
xy
z
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 3
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
Ta có:
''
'
2
'
22
2
tan
2
ln tan
22
tan cos .tan sin .sin
x
yy
y
yy
xx
x
z
y y y y y
x
x
x x x x x
Vậy:
''
'
'
2 2 2 2
'
'' '
2 4 2 4 2
2
2 2 2 2
2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2
2
2 2 2
.sin .sin .sin
2 4 2
2.sin .cos .
2
.sin
xy x
y
y y y y
y x x y x x y
y
x x x x
zz
y y y
x x x
x x x
yy
y
x x x
y
x
x
7. Cho
1
ln
2
u
z
v
với
22
tan , cot .u x v x
.Tìm
'
x
z
.
Hướng dẫn:
Với
22
tan , cot .u x v x
thì
2
24
2
4
2
24
2
sin
1 tan 1 1 sin 1
cos
ln ln ln lntan
cos
2 cot 2 2 cos 2
sin
x
xx
x
zx
x
xx
x
.
Khi đó:
3
'
' 4 3 3
25
1 4sin
tan 4. tan '.tan 4. .tan .
cos cos
x
x
z x x x x
xx
8.
a)
22
lnz x x y
Hướng dẫn:
Ta có:
22
'
22
2 2 2 2
22
'
22
22
2 2 2 2
1
1
ln ,
ln
x
y
x
xy
z z x x y
x x y x y
x
xy
x
z z x x y
x x y
x x y x y
Vậy
22
2 2 2 2
dx xdy
dz
xy
x x y x y
.
b)
cos sin
x
z e y x y
Hướng dẫn:
Ta có:
'
'
cos sin cos sin sin
xx
x
z e y x y e y x y y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 4
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
'
cos sin cos sin
xx
y
z e y x y e x y y
Vậy:
cos sin sin cos sin
x
dz e y x y y dx x y y dy
.
c)
2
.
yz
ux
Hướng dẫn:
Ta có:
2 2 2 2
22
''
' 2 1 '
'
'2
, .2 .ln
. .ln
y z y z y z y z
xy
y z y z
z
u x y zx u x x yz x
u x x y x
Vậy
2 2 2
' ' ' 2 1 2
. 2 .ln . .ln
y z y z y z
x y z
du u dx u dy u dz y zx d x x yz xdy x y xdz
.
9.
10. Cho
2
2
xy
z
xy
với y = 3x + 1. Tìm
dz
dx
.
Hướng dẫn:
Từ đề bài ta có:
2
2
31
31
xx
z
xx
Ta có:
''
( ; ) ( ; )
xy
dz z x y dx z x y dy
Khi đó:
'
( ; )
x
dz
z x y
dx
. Vậy:
'
'
22
'
2
22
2
3 1 6 2 6 20 9
( ; ) 1
3 1 3 1
31
x
x x x x x dz
z x y
x x x x dx
xx
11. Cho
22
ln .z y x y
Tính:
2
(0,1)dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy
'
22
22
'
' 2 2
22
2 2 2 2
2
ln
x
xy
xy
x
z y x y
y x y
x y y x y
'
22
2 2 2 2
'
' 2 2
2 2 2 2 2 2
11
2
1
ln
y
xy
y
x y x y
z y x y
y x y y x y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 5
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
'
2 2 2 2 2 2 2 2
'
'' '
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
22
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xx x
x
x y y x y x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
x y x y
x y y x y x
x y y x y x y x y x x y
xy
x y y x y x y x y y x y
'
'
2 2 2 2
'
'' '
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22
22
22
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xy x
y
x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
y y x y
x y x y
xy
xy y x y xy x y x x y
x y y x y x y x y y x y
'
22
'
'' '
2 2 2 2
22
'
12
yy y
y
xy
y
zz
x y x y
xy
''
''
''
(0,1) 1
(0,1) 0
(0,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z
Vậy:
2 2 2
(0,1)dz dx dy
12. Cho
(2 ).ln
x
z x y
y
. Tính
2
(1,1)dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy
''
'
2
(2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln
x
x x x x x y
z x y x y
y y y y x
''
'
2
(2 )ln ln ln (2 ) ln
y
x x x x x y
z x y x y
y y y y y
'
'
'' '
2
22
2.ln
xx x
x
x x y y
zz
y x x x
'
'
'' '
2 2 1
2.ln
xy x
y
x x y
zz
y x y x
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 6
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
'
'' '
2
2 1 2
ln
yy y
y
x x y x
zz
y y y y
''
''
''
(1,1) 1
(1,1) 1
(1,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z
Vậy:
2 2 2
(1,1)dz dx dxdy dy
13.
14. Cho
22
lnz y x y
.Tính
2
2
2,1 ; 2,1 .
x
dz
x
Hướng dẫn:
Ta có:
''
' 2 2 2 2
22
2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
xy
z y x y x y y
xy
y
z y x y x y x y y x y
xy
'
23
''
2 2 2
22
2
2
xx
xy x y y
z
xy
xy
Vậy:
''
2,1 2,1 2,1 2 2 2
xy
dz z dx z dy dx dy
.
Tính:
2
2
2,1 .
x
x
2
' 2 2
2
22
2 ''
2 3 2 3
2
22
2
2.
x
xx
xy
z x y
x
xy
xz
x y y xy x y y
xy
Vậy:
2
2
2,1 6
x
x
.
15. Chứng tỏ rằng hàm số
22
lnz y x y
thỏa mãn phương trình:
2
11z z z
x x y y y
Hướng dẫn:
Ta có:
''
' 2 2 2 2
22
2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
z xy
z y x y x y y
x x y
zy
z y x y x y x y y x y
y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 7
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Như vậy ta có:
2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
. ln
ln ln ln .
22
z z xy y
VT x y
x x y y x x y y x y
x y x y x y y
y y z
VP
x y y x y y y y
đpcm.
16.
17.
18.
19. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí.
20.
21.
22.
23. Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11)
24. Cho
( , ) cos sin .f x y x y
Tìm
2
0,0 ; 0,0 .df df
Hướng dẫn:
Ta có:
'
'
'
'
cos sin sin .sin
cos sin cos cos .
x
y
f x y x y
f x y x y
Nên:
'
'
0,0 0
0,0 1
x
y
f
f
Vậy
0,0df dy
.
Lại có:
2 '' 2 '' '' 2
0,0 0,0 2 0,0 (0,0)
xx xy yy
df f dx f dxdy f dy
''
''
'' ' '' '
'
'
'' '
sin .sin cos sin ; sin .sin sin cos
cos cos cos sin .
xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x y f f x y x y
f f x y x y
Suy ra :
'' '' ''
0,0 0; 0,0 0; 0,0 0
xx xy yy
f f f
.
Vậy:
2
0,0 0df
25. Cho
3 2 3
( , ) .f x y x xy y
Tính
2
( , ); ( , ).df x y df x y
Hướng dẫn:
Ta có:
''
( , ) .
xy
df x y f dx f dy
Tính:
''
' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2
' ' 2 2 2
3 ; 2 3
( , ) 3 2 3
xy
xy
f x xy y x y f x xy y xy y
df x y f dx f dy x y dx xy y dy
2 '' 2 '' '' 2
, , 2 , ( , )
xx xy yy
df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 8
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
' ' ' '
'' ' 2 2 '' ' 2 2
''
'' ' 2
3 6 ; 3 2
2 3 2 6
xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x f f x y y
f f xy y x y
Vậy:
2 2 2
, 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy
.
1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp.
1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi
2 2 3 3
,,x u v y u v z u v
. Tính:
''
,
xy
zz
Hướng dẫn:
Ta có:
3
33
3.z u v u v uv u v
Vậy:
2
2
3 2 3 3 3
2
2
3 3 3 1 3
2 2 2 2 2
x u v
x u v
y x uv
y u v uv
z x x y x x x xy x xy
Nên ta có:
'
'3
'
'3
1 3 3 3
2 2 2 2
1 3 3
2 2 2
x
y
z x xy x y
z x xy x
2. Cho hàm hợp
1z xy y
(1) với
22
,.x u v y u v
Tính
2
dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy
.
2
(1) y xy
Nên:
''
' 2 2 ' 2
; 1 2
xy
z y xy y z y xy xy
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2
'
'
'' ' 2 2
0; 2 2 ;
1 2 2 2 .
xx x xy x
xy
yy y
y
z z y z z y y u v
z z xy x u v
Vậy
2 2 2 2
22dz u v dxdy u v dy
.
3.
4.
1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học)
1.5 Tìm cực trị của các hàm số:
1.
33
3z x y xy
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 9
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Ta có:
'
23
x
z x y
,
'2
33
y
z y x
'
'' '
'
'' '
''
'' ' 2
2 3 ' 2
2 3 ' 3
3 3 6
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z x y
z z x y
z z y x y
Ta xét hệ phương trình:
'
2
22
'
2
0
2 3 0 2 3 0
2 3 0
3 3 0
0
x
y
z
x y x y
yy
y x y x
z
yx
2
0
0
9
3
4
2
3
2
xy
y
x
y
y
yx
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
12
93
0;0 , ; .
42
MM
Xét điểm
1
0;0M
.
'' '' ''
1 1 1
2, 3, 0.
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy: AC – B
2
= – 9 < 0.
Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại
1
0;0M
.
Xét điểm
2
93
;.
42
M
'' '' ''
2 2 2
2, 3, 9.
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy: AC – B
2
= 9 > 0 và A = 2 > 0.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
2
93
;.
42
M
2.
22
( , ) 1f x y x y
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
22
, : 0D M x y x y
Ta có:
''
' 2 2 2 2
22
1
x
x
z x y x y
xy
''
' 2 2 2 2
22
1
y
y
z x y x y
xy
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xx x
x
xy
zz
x y x y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 10
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
22
'
'' '
2 2 2 2 2 2
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xy x
y
yy y
y
xy x y
x
zz
x y x y x y
yx
zz
x y x y x y
Ta xét hệ phương trình:
'
2 2 2 2
2 2 2
'
22
22
0
0
0
0
0
0
x
y
x
z
x y x x y
xy
x
yy
y x y
z
y x y
xy
.
Vậy hàm số đã cho có điểm dừng
1
0;0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy AC – B
2
= =.
Vậy không có KL gì cho hàm số.
3.
10 20
( , ) , 0, 0f x y xy x y
xy
Hướng dẫn:
MXĐ:
, : 0, 0D M x y x y
Ta có:
''
22
50 20
,
xy
z y z x
xy
.
''
''
'' ' '' '
2 3 2
'
'
'' '
23
50 100 50
;1
20 40
xx x xy x
xy
yy x
y
z z y z z y
x x x
z z x
yy
Ta xét hệ phương trình:
4
3
'
22
'
2
22
2
50 50
50
0
8
0
5
400
20
20 20
20
2
0
0
x
y
y
yy
y
y
z
x
xx
x
y
z
xx
x
y
yy
y
.
Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2).
'' '' ''
4 25
( ) ; ( ) 1; ( )
52
xx xy yy
A z M B z M C z M
.
Ta thấy AC – B
2
= 9 > 0 và
4
0
5
A
.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2).
4.
( , ) .
y
f x y x y x e
.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 11
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
' . ' 1 ; ' . ' 1 . .
y y y y
xy
f x y xe e f x y xe xe
''
''
'' ''
'
'
''
' 1 0; ' 1 .
' 1 . . .
y y y
xx x xy x
xy
xy
yy
yy y
y
y
f f e f f e e
f f xe x e
Ta xét hệ phương trình:
'
'
0
1
1 0 1 1
0
1
0
1 . 0 . 1
yy
x
y
yy
y
f
x
e e x
y
e
f
xe xe
.
Vậy hàm số đã cho có điểm dừng tại
(1,0)M
.
'' '' ''
( ) 0; ( ) 1; ( ) 1
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy: AC – B
2
= – 1 < 0.
Vậy hàm số đã cho đạt cực trị tại
(1,0)M
.
5.
2 2 2 2
, 1 0, 0, 1f x y xy x y x y x y
Hướng dẫn:
MXĐ:
22
, : 0, 0, 1D M x y x y x y
Ta có:
' 2 3 ' 3 2
3 ; 3
xy
z y x y y z x x xy
''
'' ' 2 3
36
xx x
x
z z y x y y xy
''
'' ' 2 3 2 2
''
'' ' 3 2
3 1 3 3
36
xy x
y
yy x
y
z z y x y y x y
z z x x xy xy
Ta xét hệ phương trình:
22
22
22
'
23
'
32
22
22
22
22
22
0
1 3 0
0
0
1 3 0
1 3 0
0
30
0
0
0
30
1 3 0
1 3 0
1 3 0
1 3 0
1 3 0
x
y
xy
xy
y
y
xy
y x y
z
y x y y
x
z
x
x x xy
x x y
xy
xy
xy
xy
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 12
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
2 2 2 2
0
00
0
1
11
1
0
00
2
0
1
00
1
0
11
0
1
1
1 3 0 1 3 0
2
xy
x y x y
xy
x
xx
xy
y
yy
x
x
xx
y
y
yy
xy
x
x y x y
y
x y x y
x
Vậy hàm số đã cho có bốn điểm dừng:
1 2 3 4
11
(0,0); , ; 1,0 ; 0,1
22
M M M M
Xét tại điểm
1
(0 ,0)M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0; ( ) 1; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy:
2
. 1 0AC B
nên hàm số đạt cực trị tại
1
(0,0)M
.
Xét tại điểm
2
11
,
22
M
.
'' '' ''
2 2 2
3 1 3
( ) ; ( ) ; ( )
2 2 2
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
3
. 2 0& 0
2
AC B A
nên hàm số đạt cực đại tại
2
11
,
22
M
.
Xét tại điểm
3
1,0M
.
'' '' ''
3 3 3
( ) 0; ( ) 2; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
. 4 0AC B
nên hàm số đạt cực đại tại
3
1,0M
.
Xét tại điểm
4
0,1M
.
'' '' ''
4 4 4
( ) 0; ( ) 2; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
. 4 0AC B
nên hàm số đạt cực đại tại
4
0,1M
.
6.
4 4 2 2
, 2 2f x y x y y x
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
''
4 4 2 2 3 4 4 2 2 3
' 2 2 4 4 ; ' 2 2 8 2
xy
f x y y x x x f x y y x y y
' ' ' '
'' ' 3 '' ' 3
''
'' ' 3 2
4 4 12 4; 4 4 0
8 2 24 2
xx x xy x
xy
yy x
y
f f x x x f f x x
f f y y y
Ta xét hệ phương trình:
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 13
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
2
'
3
'
3
2
0
1
0
1
1
0
1
2
1
2
1
10
0
4 4 0 1
2
0
0
0
1
8 2 0
4 1 0
1
1
1
2
2
2
1
0
x
y
xy
x
x
x
y
x
y
x
y
xx
f
x x x
x
y
y
f
x
yy
yy
y
y
y
x
y
0
1
1
2
x
y
Vậy hàm số đã cho có 9 điểm dừng:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1
0,0 ; 0, ; 0, ; 1,0 ; 1, ; 1, ; 1, ; 1,0 ; 1,
2 2 2 2 2 2
M M M M M M M M M
Xét tại điểm
1
0,0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 4; ( ) 0; ( ) 2
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy:
2
. 8 0& 4 0AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại
1
0,0M
.
Xét tại điểm
2
1
0,
2
M
.
'' '' ''
2 2 2
( ) 4; ( ) 0; ( ) 4
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy
2
. 16 0AC B
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
2
1
0,
2
M
.
7 điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận.
7.
2
, 2 4 8f x y x xy x y
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
''
' 2 ' 2
2 4 8 2 2 4; 2 4 8 2 8
xy
f x xy x y x y f x xy x y x
''
''
'' ' '' '
'
'
'' '
2 2 4 2; 2 2 4 2
2 8 2
xx x xy x
xy
yy x
y
f f x y f f x y
f f x
Ta xét hệ phương trình:
'
'
0
2 2 4 6
2 8 0 4
0
x
y
f
x y x
yy
f
Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng
6, 4M
.
'' '' ''
( ) 2; ( ) 2; ( ) 2
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy:
2
.0AC B
nên chưa thể kết luận gì cho bài toán.
8.
3 2 2 2
, 2 5f x y y x y y x
.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 14
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
''
' 3 2 2 2 ' 3 2 2 2 2 2
2 5 2 2 ; 2 5 6 10
xy
f y x y y x xy x f y x y y x y x y
''
''
'' ' '' '
''
'' ' 2 2
2 2 2 2; 2 2 2
6 10 12 10
xx x xy x
xy
yy x
y
f f xy x y f f xy x x
f f y x y y
Xét hệ phương trình:
'
22
'
22
22
0
0
0
0
10
2 2 0
5
1
3
6 10 0
0
6 10 0
6 10 0
2
1
2
0
1
0
2
5
3
1
x
y
x
y
x
f
xy
xy x
y
y
y x y
f
y x y
y x y
x
y
x
xy
y
x
x
y
y
Vậy hàm số đã cho có 4 điểm dừng
1 2 3 4
5
0,0 ; 0, ; 2, 1 ; 2, 1 .
3
M M M M
Xét tại điểm
1
0,0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 2; ( ) 0; ( ) 10
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy
2
. 20 0& 2 0AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
1
0,0M
.
Còn 3 điểm còn lại, ta làm tương tự và đi đến kết luận.
9.
32
12 8z x y x y
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
''
' 3 2 2 ' 3 2 3
12 8 3 24 ; 12 8 8
xy
z x y x y x y x z x y x y x
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2 2
''
'' ' 3
3 24 6 24; 3 24 3
80
xx x xy x
xy
yy x
y
z z x y x xy z z x y x x
z z x
Ta xét hệ phương trình:
'
2
'
3
3
0
0
3 24 0 2
80
4
0
80
80
x
y
x
z
x y x x
xy
y
z
x
x
Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng:
2, 4M
'' '' ''
( ) 24; ( ) 12; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 15
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Ta thấy:
2
. 12 0AC B
nên hàm số không đạt cực trị tại
2, 4M
.
10.
3 3 2
3 3 3 3 1z x y x xy x y
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
'
' 3 3 2 2
'
' 3 3 2 2
3 3 3 3 1 3 6 3 3
3 3 3 3 1 3 3 3
x
y
z x y x xy x y x x y
z x y x xy x y y x
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2
''
'' ' 2
3 6 3 3 6 6; 3 6 3 3 3
3 3 3 6
xx x xy x
xy
yy x
y
z z x x y x z z x x y
z z y x y
Ta xét hệ phương trình:
2
'
22
'
24
1
1
0
0
3 6 3 3 0 1
0
0
0
3 3 3 0 0
1
1
x
y
x
xy
z
y
x x y x y
y
z
x
y x y y
y
y
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
12
1,0 ; 0,1MM
.
Xét tại
1
1,0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0; ( ) 3; ( ) 0
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy
2
. 9 0AC B
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
1
1,0M
.
Xét tại
2
0,1M
.
'' '' ''
2 2 2
( ) 6; ( ) 3; ( ) 6
xx xy yy
A f M B f M C f M
Ta thấy
2
. 27 0& 6 0AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
2
0,1M
.
11.
4 4 2 2
2 , 0.z x y x y xy x
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
'
' 4 4 2 2 3
'
' 4 4 2 2 3
2 4 2 2
2 4 2 2
x
y
z x y x y xy x x y
z x y x y xy y y x
' ' ' '
'' ' 3 '' ' 3
''
'' ' 3
4 2 2 12 2; 4 2 2 2
4 2 2 12 2
xx x xy x
xy
yy x
y
z z x x y x z z x x y
z z y y x y
Xét hệ phương trình:
'
3 3 3 3
3
'
3 3 3
0
4 2 2 0 2
0
4 2 2 0 2 2
x
y
z
xy
x x y x x y x y
yy
z
y y x y x y y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 16
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
1
0
1
1
xy
xy
y
xy
y
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
12
1,1 ; 1, 1 .MM
Xét tại
1
1,1M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 10; ( ) 2; ( ) 10
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
. 98 0& 10 0AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
1
1,1M
.
Xét tại
2
1, 1M
.
'' '' ''
2 2 2
( ) 14; ( ) 2; ( ) 14
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
. 194 0& 14 0AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại
2
1, 1M
.
12.
22
22
xy
z x y e
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
''
'
' 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. . .
2 . 2 . . 2 . 1
x y x y x y
x
x y x y x y
z x y e x y e e x y
xe x x y e x e x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
''
'
' 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. . .
2 . 2 . . 2 . 1
x y x y x y
y
x y x y x y
z x y e x y e e x y
y e y x y e y e x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2
'
'
22
2 2 2 2
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 2 .2 .
2. 4 . . 1 4
x y x y x y
xx x
x
x y x y x y
x y x y
z z xe x y xe x y x y xe
x e x e x y x xe
e x e x y x
22
.
xy
e
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2
'
'
22
22
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 4 .
4 . . 1 4
x y x y x y
xy x
y
x y x y x y
x y x y
z z x e x y xe x y x y x e
x e x e x y xye
xy e x y xye
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 17
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2
'
'
2 2 2
2 2 2 2
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 4 .
2. 4 . . 1 4
x y x y x y
yy y
y
x y x y x y
x y x y
z z y e x y y e x y x y y e
y e y e x y y e
e y e x y y e
22
.
xy
Xét hệ phương trình:
22
22
22
'
22
22
'
22
22
22
0
0
0
2 . 1 0
0
1
0
1
0
0
2 . 1 0
1
0
1
00
00
00
1
1
0
xy
x
xy
y
x
y
x
xe x y
z
xy
x
xy
z
y
y e x y
xy
y
xy
xx
yy
xx
y
x
y
1
0
1
1
0
0
1
x
y
y
x
y
x
y
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm dừng
1 2 3 4 4
0,0 ; 0,1 .; 0, 1 ; 1,0 ; 1,0M M M M M
.
Xét tại điểm
1
0,0 .M
'' '' ''
1 1 1
( ) 2; ( ) 0; ( ) 2
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
. 4 0& 2 0AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
1
0,0 .M
Các điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận.
13.
3 2 3 2 4 2 3 3
6 6 ; 0, 0z x y x y x y x y x y x y
Hướng dẫn:
MXĐ:
( , ): 0, 0D M x y x y
Ta có:
'
' 3 2 4 2 3 3 2 2 3 2 2 3
'
' 3 2 4 2 3 3 3 4 3 2
6 18 4 3 .
6 12 2 3 .
x
y
z x y x y x y x y x y x y
z x y x y x y x y x y x y
''
'' ' 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3
''
'' ' 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2
18 4 3 36 12 6
18 4 3 36 8 9
xx x
x
xy x
y
z z x y x y x y xy x y xy
z z x y x y x y x y x y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 18
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
''
'' ' 3 4 3 2 3 4 3
12 2 3 12 2 6
yy y
y
z z x y x y x y x x x y
.
Xét hệ phương trình:
22
22
'
2 2 3 2 2 3
'
3 4 3 2 3
3
0
18 4 3 0
0
18 4 3 0
18 4 3 0
0
12 2 3 0 9 2 0
0
9 2 0
0 ( )
8
9
2
9
8
2
0 ( )
x
y
xy
x y x y
z
xy
x y x y x y
z
x y x y x y x y x
xy
x
xl
y
x
x
y
yl
Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng
9
,8
2
M
.
'' '' ''
32805
( ) 199008; ( ) 11664; ( )
8
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy
2
. 58104216 0AC B
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
9
,8
2
M
.
14.
2
63z x y x y x
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
( , ): 0D M x y y
Ta có:
'
'2
'
'2
6 3 2 6
6 3 1
2
x
y
z x y x y x y x
x
z x y x y x
y
'
'
'' '
'
'
'' '
'
'
'' '
2 6 2;
1
2 6 ;
2
1
24
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z y x
z z y x
y
xx
zz
y y y
Xét hệ phương trình:
'
'
2 6 0
4
2 6 0
0
2
4
10
0
2
2
2
x
y
x
yx
x
x
z
xy
x
x
x
y
z
y
y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 19
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M(4,4).
'' '' ''
11
( ) 2; ( ) ; ( )
48
xx xy yy
A z M B z M C z M
.
Ta thấy
2
3
. 0& 2 0
16
AC B A
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại M(4,4).
15.
2 y
z x y e
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
, : 0
y
D M x y e
Ta có:
'
'
'
' 2 2 2
2
'
'
'
' 2 2 2
. . 2 .
.
2
y y y y
x
y
y y y y
y
y
z x y e x y e e x y x e
e x y
z x y e x y e e x y e
e
'
'
'' '
'
'
'' '
22
'
2
'
'' '
2 . 2;
2
2 . ;
2
. .2 . .
.
4
22
y
xx x
x
y
y
xy x
y
y
y
y y y y
y
y
y
y
yy y
y
y
yy
z z x e
xe
z z x e
e
e
e x y e e e x y
e x y
e
e
z z e
e
ee
Xét hệ phương trình :
'
2
'
0
2 . 0
0
0
0
.
.
0
2
20
0
0
2
2
y
x
y
y
y
yy
y
y
y
y
x
xe
z
x
x
ey
e x y
e
y
e e y
z
e
e
e
Vậy hàm số đã cho có điểm dừng M(0, –2).
'' '' ''
1
( ) 0; ( ) 2; ( )
2
xx xy yy
A z M B z M C z M
e
.
Ta thấy
2
1
. 0& 2 0AC B A
e
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, –2).
16.
17.
18. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí.
19.
20.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 20
Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Gợi ý:
16. Hệ phương trình có các nghiệm là:
'
22
'
1
0
2
0
6 10 0
1
5
2 2 0
0
2
3
0
x
y
x
xy
y
z
x y x
x
xy y
z
x
y
y
.
18. Hệ phương trình có các nghiệm là:
'
2
'
2
0
1
3
0
20
1
0
20
0
0
1
x
y
xy
xy
z
y xy y
x
z
x x xy
y
x
y
.
19. Hệ phương trình có các nghiệm là:
'
'
2
2
2
. . 0
0
2
0
. . 0
2
2
2
2
xy xy
x
xy xy
y
x
y
e x y ye
z
z
e x y xe
x
y
.
20.Hệ phương trình có các nghiệm là:
'
2
'
2
3
3
3
0
0
3
9
0
3
0
3
3
x
y
x
y
z
y
x
z
x
x
y
y
.
