Công thức đạo hàm

Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên.
Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ.
1
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN
ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN
Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên
CÔNG THỨC ÁP DỤNG
(C)’ = 0 (C: hằng số)
Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x
(u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’
(x)’ = 1 ; (Cx)’ = C
(k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)
' '')' (
2121 nn
uuuuuu 

1
.)'(




xx

' )'(
1
uuu






(u.v)’ = u’.v + v’.u
(u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
2
1
)'
1
(
xx

với (x
)0

'.
1
)'
1
(
2
u
u
u

;
'.)'(
2
u

u
C
u
C


2
'.'.
)'(
v
uvvu
v
u 


x
x
2
1
)'( 
với ( x>0)
'.
2
1
)'( u
u
u 
;
'.
2

)'( u
u
C
uC 

2
)(
)'(
dcx
bcad
dcx
bax






xx cos)'(sin 

'.cos)'(sin uuu 

22
2
2
2
)(
)(2)(
)'(
qpxmx

cpbqxcmaqxbmap
qpxmx
cbxax






xx sin)'(cos 

'.sin)'(cos uuu 

2
2
2
)(
2
)'(
qpx
cpbqaqxapx
qpx
cbxax






x

x
x
2
2
tan1
cos
1
)'(tan 
( x
)
2


k

').tan1(
cos
'
)'(tan
2
2
ux
u
u
u 

)0(;)'
1
(
1



x
x
n
x
nn

)cot1(
sin
1
)'(cot
2
2
x
x
x 
; (x
)

k

').cot1(
sin
'
)'(cot
2
2
ux
u

u
u 

)0(;
'.
)'
1
(
1


u
u
un
u
nn

xx
ee )'(

'.)'( uee
uu


xx 2sin)'(sin
2

;
xx 2sin)'(cos
2



aaa
xx
ln.)'( 

'.ln.)'( uaaa
uu


axaax cos)'(sin 
;
axaax sin)'(cos 

x
x
1
)'(ln 

u
u
u
'
)'(ln 

ax
a
ax
2
cos

)'(tan 
;
ax
a
ax
2
sin
)'(cot



ax
x
a
ln.
1
)'(log 


'.
ln.
1
)'(log u
au
u
a


Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên.
Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ.
2
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO



STT
Hàm số
Đạo hàm cấp n
1
x
ey 

 
xn
ey 

2
bax
ey



 
baxnn
eay

 .

3
 

baxy 

 
nnn
baxnay




)).(1) (2)(1(.

4
x
y


1
1

 
 
 
1
1
!
.1




n
n
n
x
n
y

5
x
y


1
1

 
 
1
1
!



n
n
x
n
y

6
xy sin

 







2
sin

n
xy
n

7
y = cosx
 







2

cos

n
xy
n

8
)sin( baxy 

 







2
sin.

n
baxay
nn

9
)cos( baxy 

 








2
cos.

n
baxay
nn

10
y = lnx
 
 
 
n
n
n
x
n
y
!1
1
1




11
)ln( baxy 

 
 
 
n
n
nn
bax
an
y




!1
.)1(
1

12
xy 

 
12
1
.2
!)!32()1(





nn
n
n
x
n
y

13
x
x
y



1
1

 
 
1
1
!2



n
n
x

n
y

14
)( baxfy 

   
).(. baxfay
nnn


15
x
x
y


1

 
 
 
12
.2
)32.()1(
2
12
1






nx
x
n
y
n
n
n
n

Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên.
Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ.
3
1. Công thức Lepnit.
 
         
gfCgfCgfCgfCgf
nn
n
n
n
n
n
knkk
n
n
k
n

'
110
0
)(






2. Công thức Taylor
Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng
a,b
. Khi đó tồn tại một
điểm
 
bax ,
0

sao cho:

 
 
)()(
!
)(
)(
!2
)(''
)(

!1
'
)()(
0
0
2
0
0
0
0
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
k
n

=





3. Công thức Maclaurin:

Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp
n1
tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó :
n
2n
n
f ' 0 f " 0 f 0
f x f 0 x x x R x
1! 2! n!

Với
n1
n1
n
fx
R x x , 0 1
n 1 !
(phần dư dạng lagrange)
Hoặc
n1
n
n1
n
fx
R x 1 x , 0 1
n!
(phần dư dạng Cauchy).

Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số:
2 n n 1

xx
x x x x
1 e 1 e
1! 2! n!
n 1 !


 
)()(
!
)(
0
0
0
xRxx
k
xf
n
k
k
n
k




Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên.
Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ.
4
2 3 n 1

n
n1
x x x 1
2 ln 1 x x 1
23
n1
1x


n
n
1 1 n 1
3 1 x 1 x R x
1! 2! n!


3 5 2k 1
k1
2k
x x x
4 sin x x 1 R (x)
3! 5!
2k 1 !


2 4 6 2k
k
2k 1
x x x x
5 cos x 1 1 R x

2! 4! 6!
2k !

Một số bài tập áp dụng
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.
dcx
bax
y



2.
54
32



x
x
y
3.
nmx
cbxax
y



2
4.

1
1
2



x
xx
y
5.
 


2
1
x
y
x

6.
xxy 2cos.3sin
32

7.
 2y cos x
8.
1
1
x
y

x



9.
2
3
1
x
y
x



10.
2
4
3
x
y
x



11.
 
4
tanyx

12.

 

3
sin 1yx
13.
2
1
cos
y
x

14.
sin cos
sin cos
xx
y
xx



15.

20
(1 )yx
16.



1
1

x
y
x
17.

  


2007
5
1
7y t t
t

18.


2
22
x
y
xa
19.

sin
x
y
x cosx
20.
  

2
cot 1y x x
21.

1
3
3
y cosx cos x
22.

tant
y
t
23.
 sin(2sin )yx


Bài 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1.
1
35
y
x


2.
252
1
2



xx
y
3.
3
2
9
x
y
x



4.
sin5yx
5.
2
sin 2yx
6.
sin sin5y x x