Định lý cơ bản thứ hai Cartan của lý thuyết Nevanlinna

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HÀ THỊ THANH HUYỀN
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN
CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HÀ THỊ THANH HUYỀN
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN
CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH.
Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi
trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Hà Trần Phương và các thầy cô giáo
trong tổ Giải tích trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những
kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng
góp quý báu để hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSP Thái Nguyên và khoa Toán
là nơi mà tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học.

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè là nguồn động viên lớn lao
trong quá trình tôi làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011
Tác giả
Hà Thị Thanh Huyền
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Hàm đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Hàm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP
n
. . . . . . . . . . 4
1.1.4 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát . . . . . . . . . 5
1.2 Một số định lý và mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan 8
2.1 Công thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Bổ đề đạo hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Định lý cơ bản thứ hai Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai trong bài toán xác
định duy nhất ánh xạ chỉnh hình 19
3.1 Định lý Smiley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ các siêu phẳng . 21
Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên

1
Mở đầu
Năm 1925 Nevanlinna công bố một nghiên cứu về sự phân bố giá trị
của hàm phân hình. Kết quả này sau đó nhanh chóng được mở rộng sang
trường hợp chiều cao và hình thành một Lý thuyết mang tên Nevanlinna.
Trọng tâm của Lý thuyết Nevanlinna này là hai định lý cơ bản, thứ nhất
và thứ hai. Trong khi Định lý cơ bản thứ nhất là một hệ quả trực tiếp của
công thức Jensen thì Định lý cơ bản thứ hai còn được biết đến trong rất
ít trường hợp.
Năm 1933 Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp ánh
xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức C sang không gian xạ ảnh phức n chiều
CP
n
: Với ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính f : C → CP
n
và
q siêu phẳng H
1
, , H
q
ở vị trí tổng quát trong CP
n
, H. Cartan đã chứng
minh: với mỗi r > 0 ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn,





(q − n − 1) T

f
(r) ≤
q

j=1
N
[n]
H
j
(f)
(r) + o (T
f
(r)).
Định lý trên không chỉ là kết quả đầu tiên cho trường hợp chiều cao,
mà chứng minh của nó còn có vai trò quan trọng trong việc chứng minh
các Định lý cơ bản thứ hai trong nhiều trường hợp khác. Trong luận văn
này, chúng tôi tìm hiểu cách chứng minh của kết quả có tính chất khơi đầu
nói trên. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tìm hiểu ứng dụng của Lý thuyết
Nevanlinnna trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Nội dung luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết
Nevanlinna.
Chương 2: Chúng tôi trình bày Định lý cơ bản thứ hai Cartan.
Chương 3: Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai Cartan trong bài
toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1

Một số khái niệm cơ bản của Lý
thuyết Nevanlinna
1.1 Một số khái niệm cơ bản
1.1.1 Hàm đếm
Cho ϕ là một hàm phân hình khác đồng nhất không trên C. Kí hiệu ν
ϕ
là divisor các không điểm của ϕ, có nghĩa là ν
ϕ
(a) = m nếu a là không
điểm bội m của ϕ và ν
ϕ
(a) = 0 trong trường hợp còn lại. Với mỗi số
nguyên dương ( hoặc +∞ ) k, đặt
n
[k]
ϕ
(t) =

|z|<t
min {ν
ϕ
(z) , k},
với t > 0.
Định nghĩa 1.1. Hàm đếm các không điểm của ϕ với bội ngắt bởi k được
định nghĩa như sau
N
[k]
ϕ
(r) =
r


1
n
[k]
ϕ
(t)
t
dt.
Trong trường hợp k = +∞, ta bỏ ký tự [k] trong hàm đếm và trong divisor.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
4
1.1.2 Hàm xấp xỉ
Định nghĩa 1.2. Hàm xấp xỉ của ϕ được định nghĩa bởi
m (r, ϕ) =
1
2π

|z|=r
log
+
|ϕ (z)| dθ.
Ở đây ta kí hiệu log
+
x = max {log x, 0}, với x ∈ (0, +∞).
Ta để ý rằng
log x = log
+
x − log
+
1

x
,
|log x| = log
+
x + log
+
1
x
,
log
+
n

j=1
x
j
≤
n

j=1
log
+
x
j
+ log n,
log
+
n

j=1

x
j
≤
n

j=1
log
+
x
j
.
Từ đó suy ra
m

r,
n

j=1
ϕ
j

≤
n

j=1
m (r, ϕ
j
) + O (1),
m


r,
n

j=1
ϕ
j

≤
n

j=1
m (r, ϕ
j
).
1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP
n
Định nghĩa 1.3. Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP
n
hay còn gọi là đường
cong chỉnh hình, trong không gian xạ ảnh CP
n
được định nghĩa là ánh xạ
f = (f
0
: : f
n
) : C → CP
n
z → (f
0

(z) : : f
n
(z))
trong đó f
j
, 0 ≤ j ≤ n, là các hàm nguyên trên C.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
5
1.1.4 Hàm đặc trưng
Cho f : C → CP
n
là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng với biểu diễn
rút gọn f = (f
0
: : f
n
).
Khi đó với mỗi siêu phẳng H : a
0
x
0
+ + a
n
x
n
= 0 thuộc CP
n
, đặt
(f, H) = H (f) := a
0

f
0
+ + a
n
f
n
.
Dễ dàng nhận thấy hàm đếm N
[k]
H(f)
(r) không phụ thuộc vào biểu diễn rút
gọn của f và biểu diễn phương trình của H.
Kí hiệu f =

|f
0
|
2
+ + |f
n
|
2
.
Định nghĩa 1.4. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
T
f
(r) =
1
2π


|z|=r
log f dθ −
1
2π

|z|=1
log f dθ, r > 1.
1.1.5 Họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát
Định nghĩa 1.5. Họ các siêu phẳng H
1
, , H
q
thuộc CP
n
được gọi là ở
vị trí tổng quát nếu với mỗi họ k siêu phẳng trong chúng ( k ≤ n + 1 ) thì
giao của k siêu phẳng này là một phẳng có số chiều bằng n − k.
Trong trường hợp q ≥ n + 1, thì họ các siêu phẳng nói trên ở vị trí tổng
quát nếu và chỉ nếu giao của mỗi họ n + 1 siêu phẳng trong chúng bằng
rỗng.
1.2 Một số định lý và mệnh đề
Mệnh đề 1.6. Cho n+1 siêu phẳng H
0
, , H
n
ở vị trí tổng quát trong CP
n
và ánh xạ chỉnh hình khác hằng f : C → CP
n
. Đặt F = (H

0
(f) : : H
n
(f)).
Khi đó
T
f
(r) = T
F
(r) + O (1) .
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chú ý 1.7. Ta sử dụng kí hiệu P để chỉ mệnh đề P đúng với mọi
r ∈ [0, +∞) trừ một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Định lý 1.8. (Định lý Stoke) Cho D là một miền trong C với biên ∂D
thuộc lớp C
1
. Xét η = P dz + Qd¯z là 1− dạng thuộc lớp C
1
trong một lân
cận mở của
¯
D. Khi đó ta có

∂D
dη =

D
dη =


D

−
∂P
∂¯z
+
∂Q
∂z

dz ∧ d¯z.
Cho ϕ là một hàm khả vi trên C ( = R
2
), nhận giá trị phức. Biểu diễn
ϕ = u (x, y) + iv (x, y).
Kí hiệu
∂ϕ
∂x
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
,
∂ϕ
∂y
=
∂u
∂y
+ i

∂v
∂y
,
∂ϕ
∂z
=
1
2

∂ϕ
∂x
− i
∂ϕ
∂y

,
∂ϕ
∂¯z
=
1
2

∂ϕ
∂x
+ i
∂ϕ
∂y

,
dz = dx + idy, d¯z = dx − idy,

∂ϕ =
∂ϕ
∂z
dz,
¯
∂ϕ =
∂ϕ
∂¯z
d¯z,
d
c
ϕ =
i
4π

¯
∂ϕ − ∂ϕ

=
1
4π

∂ϕ
∂x
dy −
∂ϕ
∂y
dx

,

dϕ = ∂ϕ +
¯
∂ϕ.
Ta có dd
c
∂ =
i
2π
∂
¯
∂ϕ =
i
2π
∂
2
ϕ
∂z∂ ¯z
dz ∧ d¯z.
Đối với toạ độ cực, z = re
iθ
, ¯z = re
−iθ
, ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
7
dϕ =
∂ϕ
∂r
dr +
∂ϕ

∂θ
dθ,
dz = e
iθ
dr + rie
iθ
dθ,
d¯z = e
−iθ
dr − rie
−iθ
dθ,
d
c
ϕ =
1
4π

r
∂ϕ
∂r
dθ −
1
r
∂ϕ
∂θ
dr

.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Chương 2
Định lý cơ bản thứ hai Cartan
2.1 Công thức Jensen
Cho ϕ là một hàm nhận giá trị thực( bao gồm cả ±∞) trên C sao cho
Z = {z : ϕ (z) = ±∞} là một tập rời rạc. Giả sử ϕ thuộc lớp C
2
trên
C\Z và tại mỗi điểm a
ν
∈ Z có một C
2
− hàm ψ
ν
trên một lân cận của
a
ν
và tồn tại số thực λ
ν
thoả mãn ϕ (z) = λ
ν
. log |z − a
ν
| + ψ
ν
(z).
Ta có
∂
¯
∂ log |z − a

ν
| =
1
2
∂
¯
∂ log (z − a
ν
) (z − a
ν
)
=
1
2
∂
2
∂z∂ ¯z
log (z − a
ν
) (z − a
ν
)dz ∧ d¯z
=
1
2
∂
∂z

z−a
ν

(z−a
ν
)(z−a
ν
)

dz ∧ d¯z
=
1
2
∂
∂z

1
z−a
ν

dz ∧ d¯z = 0.
Do đó (1, 1)− dạng ∂
¯
∂ϕ được thác triển liên tục tới a
ν
bằng cách đặt
∂
¯
∂ϕ (a
ν
) = ∂
¯
∂ψ

ν
(a
ν
).
Định lý 2.1. (Công thức Jensen)
Cho ϕ là hàm thực trên C thoả mãn điều kiện nêu trên. Khi đó, với
0 ≤ s < r nếu ϕ (0) = ±∞ và với 0 < s < r cho trường hợp tổng
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
9
quát ta có
1
2π

|z|=r
ϕ (z) dθ −
1
2π

|z|=s
ϕ (z) dθ = 2
r

s
dt
t

∆(t)
i
2π
∂

¯
∂ϕ +
r

s
dt
t


|a
ν
|<t
λ
ν

.
Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh công thức Jensen cho các trường hợp
sau:
Trường hợp 1: Nếu {a
ν
} = ∅.
Ta có d
c
log |z| =
1
4π

r
∂
∂r

(log r) dθ −
1
r
∂
∂θ
(log r) dr

=
1
4π
dθ.
Do đó
1
2π

|z|=r
ϕ (z) dθ −
1
2π

|z|=s
ϕ (z) dθ
= 2

|z|=r
ϕ (z) d
c
log |z| − 2

|z|=s

ϕ (z) d
c
log |z|
= 2

∆(r)\∆(s)
d (ϕ.d
c
log |z|) (do công thức Stoke)
= 2

∆(r)\∆(s)
dϕ ∧ d
c
log |z| + 2

∆(r)\∆(s)
ϕ ∧ dd
c
log |z|
= 2

∆(r)\∆(s)
dϕ ∧ d
c
log |z|
= 2

∆(r)\∆(s)
d log |z| ∧ d

c
ϕ
(do df ∧ d
c
g =

∂f +
¯
∂f

∧
i
4π

¯
∂g − ∂g

=
i
4π
∂f ∧
¯
∂g −
i
4π
¯
∂f ∧ ∂g
=
i
4π


∂f ∧
¯
∂g + ∂g ∧
¯
∂f

nên df ∧ d
c
g = dg ∧ d
c
f ).
= 2

[s,r]×[0,2π]

∂
∂t
(log t) dt +
∂
∂θ
(log t) dθ

∧
1
4π

t
∂
∂t

ϕdθ −
1
t
∂
∂θ
ϕdt

= 2

[s,r]×[0,2π]
1
4π
∂
∂t
ϕdt ∧ dθ
= 2
r

s

2π

0

1
4π
∂
∂t
ϕ


dθ

dt
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
10
= 2
r

s

1
t

|z|=t
d
c
ϕ

dt = 2
t

s
dt
t

∆(t)
dd
c
ϕ
(do công thức Stoke và để ý rằng


|z|=t
1
t
d
c
ϕ =

|z|=t
1
t

1
4π
t
∂ϕ
∂t
dθ −
1
t
∂ϕ
∂θ
dt

=
2π

0
1
4π

∂ϕ
∂t
dθ )
= 2
r

s
dt
t

∆(t)
i
2π
∂
¯
∂ϕ.
Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp này.
Trường hợp 2: Nếu {a
ν
} = a và ϕ = λ log |z − a|, a ∈ ∆
s,r
.
Khi đó
2
r

s
dt
t


∆(t)
i
2π
∂
¯
∂ϕ = 0.
Để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh điều sau
1
2π

|z|=r
λ log |z − a| −
1
2π

|z|=s
λ log |z − a| = λ (log r − log |a|) . (2.1)
Ta có |a| > s nên hàm log |z − a| điều hoà trên ∆
s+|a|
2
.
Do đó
1
2π

|z|=s
λ log |z − a| = λ log |a| . (2.2)
Vậy
1
2π


|z|=s
λ log |z − a| =
1
2π
2π

0
λ log


re
iθ
− a


dθ +
1
2π
2π

0
λ log


e
−iθ


dθ

=
1
2π
2π

0
λ log


r − ae
−iθ


dθ
=
1
2π
2π

0
λ log


r
a
− e
−iθ


dθ +

1
2π
2π

0
λ log |a| dθ
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
11
= λ log


r
a


+ λ log |a| (do Định lý giá trị trung bình)
= λ log |r|. (2.3)
Từ (2.2) và (2.3) ta nhận được (2.1).
Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp này.
Trường hợp 3: Nếu ϕ (z) = λ log |z − a| + ψ (z) với s < a < r.
Khi đó
1
2π

|z|=r
ϕ (z) dθ−
1
2π

|z|=s

ϕ (z) dθ =
1
2π

|z|=r
λ log |z − a|−
1
2π

|z|=s
λ log |z − a|
+
1
2π

|z|=r
ψ (z) dθ −
1
2π

|z|=s
ψ (z) dθ
= λ (log r − log |a|) + 2
r

s
dt
t

∆(t)

i
2π
∂
¯
∂ϕ (do các trường hợp 1 và 2 )
= 2
r

s
dt
t

∆(t)
i
2π
∂
¯
∂ϕ + λ (log r − log |a|).
Vậy ta nhận được định lý trong trường hợp này.
Trường hợp tổng quát: Giả sử Z ∩ ∆
s,r
= {a
1
, , a
n
}.
Đặt ψ (z) = ϕ (z) −
n

i=1

λ
i
log |z − a
i
|.
Khi đó ψ (z) là hàm lớp C
2
trên một lân cận của ∆
s,r
.
Áp dụng các trường hợp trên cho hàm ψ (z) và λ
i
log |z − a
i
| ta suy ra
định lý cho trường hợp tổng quát.
Ta đưa ra hệ quả sau của công thức Jensen đối với hàm đếm.
Hệ quả 2.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó
N
f
(r) − N
1
f
(r) =
1
2π

|z|=r
log |f (z)| dθ −
1

2π

|z|=1
log |f (z)| dθ,
với mọi r > 1.
Chứng minh. Gọi {a
ν
} là tập các không điểm và cực điểm của f. Khi đó
tại lân cận của a
ν
ta có
f (z) = (z − a
ν
)
λ
ν
g (z) ,
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
12
trong đó λ
ν
∈ Z và g (z) chỉnh hình, không triệt tiêu tại a
ν
.
Ta có
log |f (z)| = λ
ν
log |z − a
ν
| + log |g (z)| .

Do log |g (z)| thuộc lớp C
2
nên hàm ϕ = log |f (z)| thoả mãn giả thiết của
công thức Jensen.
Vậy
1
2π

|z|=r
log |f (z)| dθ −
1
2π

|z|=1
log |f (z)| dθ
= 2
r

1
dt
t

∆(t)
i
2π
∂
¯
∂ log |f (z)| +
r


1
dt
t


|a
ν
|<t
λ
ν

=
r

1
dt
t


|a
ν
|<t
λ
ν

= N
f
(r) − N
1
f

(r).
2.2 Bổ đề đạo hàm logarit
Bổ đề 2.3. (Bổ đề Borel) Giả sử hàm Φ (r) ≥ 0 (r ≥ 1) là đơn điệu tăng.
Khi đó với mỗi δ > 0 ta có




d
dr
Φ (r) ≤ Φ(r)
1+δ
.
Chứng minh. Do Φ là đơn điệu tăng nên
d
dr
Φ (r) tồn tại hầu khắp nơi. Nếu
Φ ≡ 0 thì ta hiển nhiên nhận được kết luận của bổ đề.
Giả sử Φ ≡ 0. Lấy r
0
≥ 1 sao cho Φ (r
0
) > 0.
Đặt
E (δ) =

r ≥ r
0
:
d

dr
Φ (r) > Φ(r)
1+δ

.
Khi đó ta có
dΦ (r)
Φ(r)
1+δ
> dr
trên E (δ).
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Vậy

E(δ)
dr ≤

E(δ)
dΦ (r)
Φ(r)
1+δ
≤
∞

r
0
dΦ (r)
Φ(r)
1+δ

≤
1
δΦ(r
0
)
δ
.
Vậy E (δ) có độ đo Lebesgue hữu hạn. Ta nhận được điều phải chứng
minh.
Bổ đề 2.4. (Bổ đề đạo hàm logarit) Cho f là một hàm phân hình khác
hằng. Khi đó với mỗi δ > 0, ta có
m

r,
f

f

≤

1 +
(1 + δ)
2
2

log
+
T
f
(r) +

δ
2
log r + O (1) .
Chứng minh. Xét (1, 1) − dạng Φ =
1
(
1+log
2
|ω|
)
|ω|
2
.
i
4π
2
dω ∧ d¯ω trên

C với
các điểm kỳ dị 0, ∞.
Ta có


C
Φ =

C
1

1 + log

2
r

r
2
1
2π
2
rdrdθ
=
∞

0
1
(
1+log
2
r
)
r
2
1
π
rdr = 1.
Đặt
µ (r) =
r

1
dt

t

∆(t)
f
∗
Φ.
Ta có
µ (r) =
r

1
dt
t

∆(t)
|f

|
2

1 + log
2
|f|

|f
2
|
i
4π
2

dz ∧ d¯z
=

ω∈C
r

1
dt
t
n (t, (f − ω)
0
) Φ (ω)
=

ω∈C
N
f−ω
(r) Φ (ω),
ở đó n (t, (f − ω)
0
) là tổng các bội của các không điểm của f − ω trên
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
14
∆ (t).
Mặt khác, theo Định lý cơ bản thứ nhất, tồn tại hằng số c sao cho
N
f−ω
(r) ≤ T
f
(r) + c.

Do đó
µ (r) ≤

ω∈C
(T
f
(r) + c) Φ (ω) = T
f
(r) + c.
Từ tính chất hàm lõm, ta có
m

r,
f

f

=
1
4π

|z|=r
log
+

|f

|
2
(

1+log
2
|f|
)
|f|
2


1 + log
2
|f|

dθ
≤
1
4π

|z|=r
log
+

|f

|
2
(
1+log
2
|f|
)

|f|
2

dθ
+
1
4π

|z|=r
log
+

1 +

log
+
|f| + log
+
1
|f|

2

dθ
≤
1
4π

|z|=r
log


1 +
|f

|
2
(
1+log
2
|f|
)
|f|
2

dθ
+
1
2π

|z|=r
log
+

log
+
|f| + log
+
1
|f|


dθ +
1
2
log 2
≤
1
2
log

1 +
1
2π

|z|=r
|f

|
2
(
1+log
2
|f|
)
|f|
2
dθ

+
1
2


|z|=r
log

1 + log
+
|f| + log
+
1
|f|

dθ +
1
2
log 2
≤
1
2
log

1 +
1
r
d
dr

∆(r)
|f

|

2
(
1+log
2
|f|
)
|f|
2
1
2π
rdrdθ

+ log

1 + m (r, f) + m

r,
1
f

+
1
2
log 2
≤
1
2
log

1 +

π
r
d
dr

∆(r)
f
∗
Φ

+ log
+
T
f
(r) + O (1)
≤
1
2
log


1 +
π
r


∆(r)
f
∗
Φ


1+δ


+ log
+
T
f
(r) + O (1)
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
15
≤
1
2
log


1 + πr
δ

d
dr
r

1
dt
t

∆(t)
f

∗
Φ

1+δ


+ log
+
T
f
(r) + O (1)
(để ý rằng
d
dr
r

1
dt
t

∆(t)
f
∗
Φ =

∆(r)
f
∗
Φ
r

)
≤
1
2
log

1 + πr
δ
µ(r)
(1+δ)
2

+ log
+
T
f
(r) + O (1)
≤

1 +
(1+δ)
2
2

log
+
T
f
(r) +
δ

2
log
+
r + O (1).
Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.5. Cho f là hàm phân hình khác hằng. Khi đó




m

r,
f

f

= o (T
f
(r)) .
Bổ đề 2.6. (Bổ đề đạo hàm logarit cho đạo hàm bậc cao) Cho f là hàm
phân hình khác hằng. Khi đó
a)


T
f
(k)
(r) ≤ (k + 1) T
f

(r) + o (T
f
(r)),
b)



m

r,
f
(k)
f

= o (T
f
(r)),
ở đó f
(k)
là đạo hàm cấp k của f.
Chứng minh. Theo bổ đề đạo hàm logarit ta có các kết luận a), b) đúng
với k = 0, 1.
Giả sử a) đúng với mọi k ≤ n − 1 và b) đúng với mọi k ≤ n, trong đó
n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh a), b) lần lượt đúng với k = n và k = n + 1.
Ta có
m

r, f
(k)


≤ m

r,
f
(k)
f

+ m (r, f) + O (1) = m (r, f) + o (T
f
(r)) ,
và
N
1
f
(k)
(r) ≤ (k + 1) N
1
f
(r) .
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Do đó theo Định lý cơ bản thứ nhất, ta có
T
f
(k)
(r) = N
1
f
(k)
(r) + m


r, f
(k)

≤ (k + 1) T
f
(r) + o (T
f
(r)) ,
và
m

r,
f
(k+1)
f

≤ m

r,

f
(k)


f
(k)

+ m


r,
f
(k)
f

≤ o

T
f
(k)
(r)

+ o (T
f
(r)) = o (T
f
(r)).
Ta nhận được điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.7. (Bổ đề đạo hàm logarit cho trường hợp chiều cao)
Cho f : C → CP
n
là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính. Khi
đó với mỗi bộ n+1 siêu phẳng H
0
, , H
n
ở vị trí tổng quát trong CP
n
ta có





m

r,
W (f
0
, , f
n
)
H
0
(f) H
n
(f)

= o (T
f
(r)) ,
ở đó (f
0
: : f
n
) là biểu diễn rút gọn của f.
Chứng minh. Ta có W (f
0
, , f
n
) = c.W (H

0
(f) , , H
n
(f)), với c là một
hằng số.
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng H
0
(f) ≡ 0.
Khi đó
m

r,
W (f
0
, ,f
n
)
H
0
(f) H
n
(f)

= m

r,
W

1,
H

1
(f)
H
0
(f)
, ,
H
n
(f)
H
0
(f)

H
1
(f)
H
0
(f)

H
n
(f)
H
0
(f)

+ O (1)
≤ O




1≤i,k≤n
m


r,

(
f,H
i
)
(f,H
0
)

(k)
(
f,H
i
)
(f,H
0
)




+ O (1)
= o


n

i=1
T
(
f,H
i
)
(f,H
0
)
(r)

+ O (1) = o (T
f
(r)).
Bổ đề 2.8. Cho f : C → CP
n
là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến
tính. Giả sử H
1
, , H
n
là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP
n
. Khi
đó
q


j=1
ν
H
j
(f)
− ν
W (f)
≤
q

j=1
min

ν
H
j
(f)
, n

.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Chứng minh. Lấy a bất kì thuộc C.
Do H
1
, , H
n
ở vị trí tổng quát nên tồn tại không quá n chỉ số j sao cho
H
j

(f (a)) = 0.
Không mất tính tổng quát, giả sử
ν
H
1
(f)
(a) ≥ ≥ ν
H
n
(f)
(a) ≥ 0 = ν
H
n+1
(f)
(a) = = ν
H
q
(f)
(a) .
Ta có
q

j=1
ν
H
j
(f)
(a) − ν
W (f)
(a) =

n+1

j=1
ν
H
j
(f)
(a) − ν
W (H
1
(f), ,H
n+1
(f))
(a)
≤
n+1

j=1
ν
H
j
(f)
(a) −
n+1

j=1
max

ν
H

j
(f)
(a) − n, 0

=
n+1

j=1
min

ν
H
j
(f)
(a) , n

=
q

j=1
min

ν
H
j
(f)
(a) , n

.
2.3 Định lý cơ bản thứ hai Cartan

Định lý 2.9. (Định lý cơ bản thứ hai Cartan)
Cho f : C → CP
n
là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử
H
1
, , H
n
là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP
n
. Khi đó






(q − n − 1) T
f
(r) ≤
q

j=1
N
[n]
H
j
(f)
(r) + o (T
f

(r)) .
Chứng minh. Do các siêu phẳng H
1
, , H
n
ở vị trí tổng quát nên
log
q

j=1
|H
j
(f)|
|W (f)|
= max
J⊂{1, ,q},#J =q−n−1
log

j∈J
|H
j
(f)|
− max
I⊂{1, ,q},#I=n+1
log
|W (f)|

i∈I
|H
i

(f)|
≥ (q − n − 1) log f −

I⊂{1, ,q},#I=n+1
log
+
|W (f)|

i∈I
|H
i
(f)|
.
Lấy tích phân hai vế trên đường tròn |z| = r, áp dụng công thức Jensen,
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Bổ đề đạo hàm logarit và Bổ đề 2.8 ta có






q

j=1
N
[n]
H
j

(f)
(r) ≥
1
2π

|z|=r
log
q

j=1
|H
j
(f)|
W (f)
dθ + O (1)
≥
1
2π
(q − n − 1)

|z|=r
log f dθ −

I

|z|=r
|W (f)|

i∈I
|H

i
(f)|
dθ + O (1)
= (q − n − 1) T
f
(r) − o (T
f
(r)).
Ta nhận được điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chương 3
Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ
hai trong bài toán xác định duy
nhất ánh xạ chỉnh hình
Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là bài
toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Được lần đầu nghiên cứu bởi
Nevanlinna cho trường hợp hàm phân hình, ngày nay bài toán xác định
duy nhất ánh xạ phân hình thu được nhiều kết quả thú vị bởi đông đảo
các nhà toán học. Chúng tôi đưa ra một trong các kết quả đầu tiên về chủ
đề này cho trường hợp chiều cao đạt được bởi Smiley và một kết quả mở
rộng nó gần đây của Dethloff-Quang-Tan.
3.1 Định lý Smiley
Định lý 3.1. (Định lý Smiley) Cho f và g là hai ánh xạ chỉnh hình không
suy biến tuyến tính từ C vào CP
n
. Giả sử H
1
, , H
3n+2

là các siêu phẳng
ở vị trí tổng quát trong CP
n
. Giả sử các điều sau thoả mãn
i) f
−1
(H
j
) = g
−1
(H
j
) , j = 1, , 3n + 2,
ii) f
−1
(H
i
) ∩ f
−1
(H
j
) = ∅, với mọi 1 ≤ i = j ≤ 3n + 2,
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
20
iii) f = g trên
3n+2

j=1
f
−1

(H
j
).
Khi đó f ≡ g
Chứng minh. Giả sử trái lại f ≡ g.
Lấy siêu phẳng H sao cho f
−1
(H) ∩ f
−1
(H
j
) = ∅, ∀j = 1, , 3n + 2.
Khi đó tồn tại chỉ số i, chẳng hạn i = 1 sao cho
H
1
(f)
H (f)
≡
H
1
(g)
H (g)
.
Thật vậy, nếu trái lại suy ra
H
j
(f)
H (f)
≡
H

j
(g)
H (g)
,
với mọi j = 1, , 3n + 2.
Khi đó
H
j
(f)
H
1
(f)
≡
H
j
(g)
H
1
(g)
,
với mọi j = 1, , 3n + 2.
Vậy f ≡ g. Điều này mâu thuẫn.
Do đó
H
1
(f)
H (f)
≡
H
1

(g)
H (g)
.
Từ iii) suy ra

H
1
(f)
H(f)
−
H
1
(g)
H(g)

= 0 trên
3n+2

j=1
f
−1
(H
j
).
Kết hợp với ii) ta có
3n+2

j=1
N
[1]

H
j
(f)
(r) ≤ N
H
1
(f)
H(f )
−
H
1
(g)
H(g)
(r)
≤ T
H
1
(f)
H(f )
−
H
1
(g)
H(g)
(r) + O (1)
≤ T
H
1
(f)
H(f )

(r) + T
H
1
(g)
H(g)
(r) + O (1)
≤ T
f
(r) + T
g
(r) + O (1).
Tương tự
3n+2

j=1
N
[1]
H
j
(g)
(r) ≤ T
f
(r) + T
g
(r) + O (1) .
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Do đó
2 (T
f

(r) + T
g
(r)) ≥
3n+2

j=1
N
[1]
H
j
(f)
(r) +
3n+2

j=1
N
[1]
H
j
(g)
(r) + O (1) .
Mặt khác theo Định lý cơ bản thứ hai ta có
3n+2

j=1
N
[1]
H
j
(f)

(r) ≥
1
n
3n+2

j=1
N
[n]
H
j
(f)
(r) ≥
2n + 1
n
T
f
(r) − o (T
f
(r)) ,
và
3n+2

j=1
N
[1]
H
j
(g)
(r) ≥
2n + 1

n
T
g
(r) − o (T
g
(r)) .
Do đó ta có
2 (T
f
(r) + T
g
(r)) ≥
2n + 1
n
(T
f
(r) + T
g
(r)) + o (T
f
(r) + T
g
(r)) .
Điều này mâu thuẫn.
Vậy ta nhận được điều phải chứng minh.
3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ các
siêu phẳng
Gần đây Dethloff-Quang-Tan đã mở rộng kết quả trên tới trường hợp
hai họ các siêu phẳng, số lượng siêu phẳng giảm, ánh xạ chỉnh hình khác
hằng. Để tiện trong việc trình bày, chúng tôi phát biểu và chứng minh một

kết quả của Dethloff-Quang-Tan trong trường hợp đặc biệt ánh xạ không
suy biến tuyến tính.
Định lý 3.2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính
từ C vào CP
n
. Cho {H
j
}
2n+3
j=1
và {L
j
}
2n+3
j=1
là hai họ siêu phẳng ở vị trí
tổng quát trong CP
n
. Giả sử
a) f
−1
(H
j
) = g
−1
(L
j
) với mọi 1 ≤ j ≤ 2n + 3 ,
b) f
−1

(H
i
) ∩ f
−1
(H
j
) = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ 2n + 3 ,
Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên