SKKN MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 4 GIẢI ĐÚNG TOÁN “TÍNH NHANH”

1
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 4
GIẢI ĐÚNG TỐN “TÍNH NHANH”
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn các giải pháp:
Trong chương trình mơn Tốn ở tiểu học, số học là nội dung rất quan
trọng, là hạt nhân của toàn bộ q trình dạy học Tốn bao gồm các kiến thức
liên quan đến số tự nhiên, phân số, ... Đây là một môn học giúp học sinh phát
triển các năng lực tư duy (so sánh, lựa chọn, phân tích, tổng hợp, trừu tượng
hố, khái qt hố..), kĩ năng tính tốn cộng, trừ, nhân, chia với nhiều dạng như
tính giá trị biểu thức, tìm thành phần chưa biết, tính nhanh,…
Với học sinh Tiểu học thì việc hiểu cặn kẽ và giải thành thạo các dạng tốn
khơng phải là việc dễ đạt được. Mỗi dạng tốn đều có đặc điểm riêng và phương
pháp giải riêng. Một trong những dạng toán làm cho học sinh lớp 4 phải lo ngại,
lúng túng đó là tốn “ Tính nhanh”. Để tạo được sự hứng thú trong học tốn nói
chung và giải các bài tính nhanh nói riêng đặc biệt là dùng để bồi dưỡng học
sinh khá giỏi. Điều này địi hỏi giáo viên cần có sự đầu tư và hệ thống các dạng
tốn, từ đó tìm ra cách giải thích hợp. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài: Một số
biện pháp giúp học sinh lớp 4 giải đúng tốn “Tính nhanh” nhằm nâng cao
chất lượng giáo dục.
2. Phạm vi và đối tượng thực hiện:
- Phạm vi nghiên cứu: Áp dụng trong dạy học môn Tốn về phương pháp tính
nhanh cho học sinh lớp 4.
- Đối tượng nghiên cứu:
Tìm hiểu về phương pháp dạy tốn “Tính nhanh” cho học sinh lớp 4 nhằm
giúp các em:
- Biết sử dụng một cách linh hoạt các tính chất cơ bản của phép tính (cộng, trừ,
nhân, chia) vào giải toán.
- Phát hiện được quy luật của các cặp số, hoặc của dãy số ở dạng đặc biệt.
- Bước đầu rèn luyện năng lực tư duy, khả năng suy luận logic và vận dụng linh
hoạt các kiến thức đã học để thực hành giải một cách hợp lý nhất.

- Kiên nhẫn, tự tin, linh hoạt, sáng tạo, khéo léo trong khi giải tốn.
PHẦN NỘI DUNG
1. Trình bày các bước thực hiện giải pháp mới:
Để giúp học sinh lớp 4 giải các bài tốn dạng “Tính nhanh” theo đúng u cầu,
tơi đã thực hiện các biện pháp sau:
Biện pháp 1: Giúp học sinh nhận dạng tốn tính nhanh


2
Qua nghiên cứu sách giáo khoa toán lớp 4 và các tài liệu tham khảo… Tôi đã hệ
thống được một số dạng tính nhanh khác nhau, cụ thể là:
Dạng thứ nhất: “ Tính nhanh” dựa vào tính chất của phép tính đã học
* Tính chất giao hốn:
a+b=b+a
axb=bxa
* Tính chất kết hợp:
( a + b) + c = a + (b + c) = ( a + c ) + b
( a x b) x c = a x ( b x c) = ( a x c ) x b
* Nhân một số với 1 tổng, nhân một số với 1 hiệu.
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b - c) = a x b - a x c
Dạng thứ hai: “Tính nhanh” dựa vào quy luật đặc biệt của cặp hoặc dãy số.
Dạng thứ ba : Tính nhanh về phân số.
Dạng thứ tư: Tính nhanh về phân số có tính chất đặc biệt
Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức, áp dụng vào giải các
bài tập theo từng dạng cụ thể
Hướng dẫn các bước giải như sau
Bước 1: Đọc đề và nắm yêu cầu đề bài.
Bước 2: Nhận dạng và lựa chọn những kiến thức đã biết để áp dụng vào giải
tính

Bước 3: Tiến hành giải bằng cách tính tối ưu.
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả sau khi thực hiện.
Dạng thứ nhất: “ Tính nhanh” dựa vào tính chất của phép tính đã học
Mảng 1: Dựa vào tính chất giao hốn, tính chất kết hợp của phép cộng,
phép nhân để tính nhanh.
Trong một biểu thức có cả phép cộng, phép trừ. Cách thực hiện các phép tính
các em đã được thực hiện ngay từ lớp dưới, đó chính là nền tảng để tính tốn
nhanh hơn.
Ví dụ: 463 + 327 + 537
56 + 399 + 1 + 4
Khi gặp bài tốn này thì nhiều học sinh đã thực hiện theo thứ tự phép
tính, khơng biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học nên vẫn được kết quả
đúng nhưng lại sai so với yêu cầu của bài. Ta hướng dẫn học sinh như sau:
Bước 1: Học sinh đọc kĩ đề và xác định yêu cầu của đề bài là gì?
Bước 2: Xác định dạng tốn và lựa chọn những kiến thức đã học để giải
tốn.
Đây là dãy tính có nhiều số hạng mà 2 số hạng khác nhau có thể tạo thành
những số trịn trăm, trịn nghìn. Do đó với bài tốn này ta phải sử dụng tính chất
giao hốn và tính chất kết hợp của phép cộng để giải.


3
Bước 3: Lựa chọn phương pháp tối ưu để thực hiện giải bài tốn
Hướng dẫn giải: Để tính nhanh dược dãy tính trên chúng ta phải làm gì?
(Giao hốn và kết hợp các số hạng lại với nhau để được số trịn chục, trịn
trăm, trịn nghìn,… )
463 + 327 + 537
56 + 1 + 399 + 4
= ( 463 + 537) + 327
= (56 + 4) + (399 + 1)

= 1000 + 327
= 60 + 400
= 1327
= 460

Bước 4: Kiểm tra kết quả sau khi làm bài
Ví dụ 2: Tính nhanh
3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347
Với biểu thức này, ta thấy có ba số trừ là 246, 145, 347. Mà 3145 – 145 =
3000; 4246 – 246 = 4000; 2347 – 347 = 2000 để tính nhanh ta nhóm như sau:
= (3145 - 145) + (4246 - 246) + (2347 - 347)
= 3000 + 4000 + 2000
= 7000 + 2000
= 9000


4

Mảng 2: Đặt thừa số chung
Dạng toán vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng ( hoặc một hiệu )
Khi dạy dạng toán này giáo viện cần khắc sâu kiến thức và yêu cầu học sinh
phải nắm chắc công thức tổng quát và sử dụng linh hoạt 2 chiều, từ đó giúp
các em phát hiện được bài tốn để đưa về dạng đã học.
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b - c) = a x b - a x c
Ví dụ 1: Tính nhanh.
a) 25 x 42 + 25 x 57 + 25 x 1
? Trong biểu thức a, theo em có mấy tích? Có 3 tích: 25 x 42; 25 x 57; 25 x 1
? Các tích đó có đặc điểm gì?
Thừa số 25 giống nhau.

? Những thừa số nào không giống nhau?
42; 57; 1
? Em hãy đưa về dạng nhân một số với một tổng? 25 x (42 +57 + 1)
? Kết quả trong ngoặc bằng bao nhiêu?
100
? Kết quả của biểu thức là bao nhiêu?
1500
Giải
25 x 42 + 25 x 57 + 25 x 1
= 25 x (42 +57 + 1)
= 25 x 100 = 2500

Kiểm tra kết quả sau khi làm bài.
Ví dụ 2: Tính nhanh
a)

99 x 38 + 38

b) 998 x 35 + 35 + 35

Với những biểu thức chưa có thừa số chung, tơi gợi ý để học sinh tìm ra thừa số
chung bằng cách phân tích một số thành một tích 38 = 38 x 1; 35 = 35 x 1. Cách
làm như sau:


5
a)

99 x 38 + 38

b)

998 x 35 + 35 + 35

=

99 x 38 + 38 x 1

= 998 x 35 + 35 x 1 + 35 x 1

=

( 99 + 1 ) x 38

= (998 + 1 + 1) x 35

=

100 x 38 = 3800

=
=

1000

x 35

35000

Ví dụ 3: Tính bằng cách thuận tiện nhất

326 x 78 + 327 x 22
Biểu thức này chưa có thừa số chung, tơi gợi ý để học sinh nhận thấy:
327 = 326 + 1. Từ đó học sinh sẽ tìm được thừa số chung là 326 và tính nhanh
dễ dàng.
326 x 78 + 327 x 22
= 326 x 78 + (326 + 1) x 22
= 326 x 78 + 326 x 22 + 1 x 22
= 326 x (78 + 22) + 22
= 326 x 100 + 22
= 32600 + 22
= 32622
Ví dụ 4: Tính bằng cách thuận tiện nhất
a) 42 x 8 + 48 x 4 x 2+ 5 x 16
Trường hợp này ta nhận thấy có thể đặt thừa số chung là 8. Vì vậy ở tích
thứ hai ta lấy 4 x 2 = 8 , tích thứ ba phân tích số 16 = 2 x 8. Cách giải như sau:
42 x 8 + 48 x 4 x 2+ 5 x 16
= 42 x 8 + 48 x 4 x 2+ 5 x 2 x 8
= 42 x 8 + 48 x 8 + 10 x 8


6
= ( 42 + 48 + 10) x 8
= 100 x 8 = 800.
b)
4 x 115 x 25 + 5 x 185 x 20
Với biểu thức này, GV cần gợi ý giúp học sinh nhận thấy được 4 x 25 = 100 và
5 x 20 = 100. Từ đó học sinh sẽ đặt được thừa số chung là 100 . Cụ thể:
4 x 115 x 25 + 5 x 185 x 20
= ( 4 x 25 ) x 115 + ( 5 x 20 ) x 185
= 100 x 115 + 100 x 185

= 100 x ( 115 + 185 )
= 100 x 300
= 30 000

Tương tự như vậy sẽ giúp cho học sinh cũng có thể áp dụng một số nhân với
một hiệu để tính nhanh.
* Các bài tốn vận dụng linh hoạt giữa quy tắc một số nhân với một tổng
và một số nhân với một hiêu. (Dạng tốn này u cầu học sinh phải nắm chắc
cơng thức tổng quát và quy tắc.)
a x (b + c – d) = a x b + a x c – a x d
Ví dụ: Tính nhanh
45 x 70 + 35 x 45 – 45 x 5
= 45 x (70 + 35 – 5)
= 45 x

100 = 4500

Dạng thứ 2: Tính nhanh tổng của dãy số có quy luật với một khoảng cách
nhất định.


7

-

-

-

Đây là dạng toán tương đối trừu tượng đối với học sinh tiểu học. Để giải dạng

toán này trước tiên tôi tập trung ôn tập cho học sinh những kiến thức sau và yêu
cầu học sinh phải hiểu và thuộc các cơng thức.
Đối với dạng tốn này, tơi hướng dẫn học sinh phương pháp tìm quy luật và
giới thiệu các quy luật thường gặp.
Cách tìm quy luật của dãy số
Bước 1: Quan sát số đầu (hoặc số cuối) ; kết hợp các kĩ năng nhân, chia,
cộng, trừ để tìm mối quan hệ chung (quy luật giữa các số).
Bước 2: Thử dùng mối quan hệ chung đó để tìm ra các số còn lại.
Nếu trùng giữa các số cuối (số đầu) của đề tốn thì kết luận quy luật của dãy số.
Nếu không trùng với các số cuối (số đầu) của đề tốn thì phải tìm lại.
Các quy luật dãy số thường gặp.
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng hoặc trừ
với một số tự nhiên.
Ví dụ: 1; 3; 5; 7; 9……; 15
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc
chia) với một số tự nhiên khác 0.
Ví dụ: 2; 4; 8; 16; 32; …
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó.
Ví dụ: 1; 3; 4; 7; 11; 18;…
Sau khi xác định nhanh được quy luật của dãy số, tôi tập trung hướng dẫn học
sinh “ Tính nhanh tổng của dãy số có quy luật với một khoảng cách nhất định”.
Đối với dãy số có quy luật sau:
Số bất kì = số liền trước nó + a (a là khoảng cách) thì:
+ Trung bình cộng của dãy số = (số hạng đầu + số hạng cuối) : 2
+ Số các số hạng = (số hạng cuối - số hạng đầu) : khoảng cách a + 1
(Với dãy số tăng dần)
+ Số các số hạng = (số hạng đầu – số hạng cuối) : khoảng cách a + 1
(Với dãy số giảm dần)
+ Tổng dãy số = Trung bình cộng x số các số hạng
+ Tổng dãy số = (số đầu + số cuối) x số các số hạng: 2

+ Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách a x (n – 1)
(Với dãy số tăng dần)
+ Số hạng thứ n = số đầu – khoảng cách a x (n - 1)
(Với dãy số giảm dần)
Ví dụ : Tính tổng của dãy số bằng cách nhanh nhất. (Sách Ơn tập và nâng
cao Tốn 4)
10 + 12 + 14 + … + 30


8
Bước 1: Xác định đề: Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? (Tính tổng dãy số
bằng cách nhanh nhất)
Bước 2: Xác định dạng toán và lựa chọn kiến thức đã học để giải ? Tìm quy
luật của dãy số đó?
(Đây là dãy số tăng dần và cách đều, ta áp dụng quy luật của dãy cách đều để
giải.)
Bước 3: Lựa chọn phương pháp ?
Giải
Nhận xét: 10 + 2 = 12 ; 12 + 2 = 14
Vậy dãy số trên là dãy số cách đều có khoảng cách là 2
Số các số hạng là: ( 30 – 10) : 2 + 1 = 11 (số)
Vậy tổng của dãy số đó là: ( 10 + 30) x 11 : 2 =
220
Bước 4: Giáo viên cùng học sinh kiểm tra lại từng bước xem có sai sót nhầm lẫn
gì khơng?

Dạng 3: Tính nhanh dưới dạng phân số.
Cũng như số tự nhiên, phân số cũng có tính chất giao hốn và tính chất kết
hợp.
a) Tính chất giao hốn:

a c c a
+ = +
b d d b

;

a c c a
× = ×
b d d b

b) Tính chất kết hợp:


9
a c e a  c e 
 +  + = +  + 
b d f 
b d  f

Và :

a c e a c e 
 ×  × = ×  × 
b d  f b d f 

Phương pháp chung: Là dạng tốn có các phép tính về phân số, khi giải các
loại này cần tập trung chú ý vào các phân số tính chất đặc biệt, phải biết biến
đổi để được các phân số giống nhau, sau đó rút gọn lại rồi tính. Cách giải:
- Phân tích các phân số để có các phân số giống nhau.
- Đưa bài toán về dạng các phân số giống nhau nhưng khác nhau về cấu

trúc (phép tính)
- Rút gọn các phân số với nhau.
- Tính kết quả
Ví dụ 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất
3 6 7 2 16 19
+ + + + +
5 11 13 5 11 13

Bước 1: Xác định các phân số có cùng mẫu số
Bước 2: Áp dụng tính chất giao hốn và kết hợp của phân số để giải.
Bước 3: Thực hiện tính
3 6 7 2 16 19
+ + + + +
5 11 13 5 11 13

=

 3 2   6 16   7 19 
 +  +  +  +  +  =1+ 2 + 2 = 5
 5 5   11 11   13 13 

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

Ví dụ 2: Tính nhanh:

6 5 7 7 8
X X X X
7 8 3 6 5

Vận dụng tính chất giao hốn và kết hợp của phép nhân phân số

10
6 5 7 7 8
X X X X
7 8 3 6 5
6 7
5 8
7
= ( X )X ( X )X
7 6
8 5
3
7 7
= 1X 1X =
3 3

Dạng thứ 4: Tính nhanh về phân số có tính chất đặc biệt
Ví dụ 1: Tính nhanh
( Sách ơn tập và nâng cao tốn 4 )
373737 4545
414141 4141

+
Bước 1: Học sinh nhận xét gì về tử số vào mẫu số của mỗi phân số?
Bước 2: Rút gọn các phân số thành phân số tối giản trước khi tính.
373737 4545 373737: 10101
414141 4141 414141: 10101

+

=

+

4545: 101
4141: 101

=

37
41

+

45
41

=

82
41

=2


11

Ví dụ 2: Tính nhanh

1
1
1
+
+
3x 4 4 x5 5 x 6

( Sách ơn tập và nâng cao tốn 4 )

Giáo viên xây dựng hệ thống câu hỏi:
Em có nhận xét gì về biểu thức trên ? Các phân số đều có tử số là 1, cịn mẫu
số: thừa số thứ 2 của mỗi mẫu số đứng trước là thừa số thứ nhất của mẫu số liền
sau nhân với số liền sau nó.
Hiệu của 2 thừa số như thế nào với tử số của 2 phân số đó? ( bằng 1 ).
Giáo viên hướng dẫn học sinh tính:
1
1 1
= −
3x4 3 4

1
1 1
= −
4 x5 4 5

Bước 1: Ta thấy
Bước 2: Thay các giá trị tương ứng vào bài tập

1
1 1

= −
5 x6 5 6

1
1
1
+
+
3x 4 4 x5 5 x 6
1 1 1 1 1 1
− + − + −
3 4 4 5 5 6
1 1 2 1 1
= − = − =
3 6 6 6 6
=

2. Những ưu điểm, nhược điểm của biện pháp mới:
Sau một thời gian thực hiện giảng dạy các biện pháp mới tính nhanh ở trên
tơi thấy:
+ Ưu điểm:
- Học sinh hiểu, nắm vững kiến thức về tính nhanh một cách có hệ thống, từ đó
vận dụng linh hoạt vào các dạng bài tập một cách dễ dàng, giải được các bài tập
khó mà khơng ngại, khơng sợ.
- Kĩ năng giải các bài tập được hình thành qua nhiều bài luyện tập như tìm hiểu
bài tốn, phân tích các dữ liệu, thực hiện các bước giải nhanh hơn, khoa học
hơn.
- Khả năng lập luận, diễn đạt trong việc giải toán của các em chặt chẽ hơn, logic
hơn.
- Ngồi ra các em cịn rất hứng thú và u thích học tốn, nhất là các bài tốn

tính nhanh, nhiều em có kĩ năng, kĩ xảo giải tốn tốt.
+ Nhược điểm:
- Để vận dụng tính nhanh bắt buộc học sinh phải thuộc các tính chất, quy tắc,
cơng thức tốn học của dạng toán.


12
- Học sinh khó phân biệt các dạng tốn để áp dụng cơng thức phù hợp.
- Địi hỏi phải vận dụng toàn bộ các hiểu biết về số học của mình. Huy động tối
đa “sức nhớ” của bộ não để tìm ra kết quả bài tốn một cách nhanh nhất.

-

3. Đánh giá về báo cáo biện pháp
a) Tính mới:
Đã đưa ra được các dạng tốn tính nhanh cụ thể hơn từ đơn giản đến phức tạp.
Học sinh đã biết sử dụng các quy tắc nhân nhẩm để giải tính nhanh mà không
thực hiện một cách thông thường như trước nữa.
Học sinh biết sử dụng một cách linh hoạt các tính chất cơ bản của phép tính
(cộng, trừ, nhân, chia) vào giải tốn.
Học sinh khơng làm sai thứ tự thực hiện các phép tính.
Học sinh phát hiện được quy luật của các cặp số, hoặc của dãy số ở dạng đặc
biệt.
b) Hiệu quả áp dụng:
Sau đây là một số kết quả cụ thể đã đạt được:
Giải các bài tốn có dạng tính nhanh (tính bằng cách thuận tiện nhất) đối với
học sinh lớp 4, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi chiếm phần hết
sức quan trọng. Sau khi áp dụng những biện pháp trên vào giảng dạy nhằm giúp
học sinh làm tính tốn nhanh hơn tơi thấy học sinh khi gặp những dạng bài tập
này các em đã thoải mái tự tin và khơng cịn lo sợ và lúng túng như trước nữa.

Không những vậy mà các em còn hứng thú hơn, tư duy các em linh hoạt và sáng
tạo hơn. Các em đã biết kịp thời suy luận để tìm ra cách giải tốn hợp lý nhất.
* Chất lượng giáo dục học sinh năm học 2020-2021 đạt như sau :
- Kết quả đánh giá định kì cuối năm:

Tổng số
HS : 43/23
Tốn

Hồn
thành

TL%

tốt
28

65,12

Hồn
thành

TL%

Chưa hồn
thành

TL
%

15

34,88

0

0%

- Kết quả kiểm tra cuối năm học:

Tổng số
HS : 43/23

1-5
điểm

TL
%

5-6
điểm

TL
%

7-8
điểm

TL
%

9-10
điểm

TL
%


13
Tốn

0

0

3

7

25

58

15

35

- Sáng kiến này đã được tơi áp dụng cho lớp 4/4 Trường Tiểu học Phan Chu Trinh
năm học 2020-2021 và đã đạt được những kết quả rất khả quan.
- Sáng kiến có thể áp dụng trong lĩnh vực giảng dạy mơn Tốn lớp 4

- Sáng kiến hồn tồn có thể áp dụng trong tất cả các trường Tiểu học trên cả
nước. Tơi tin rằng sự sáng tạo tích cực của quý đồng nghiệp và các em học
sinh sẽ giúp cho đề tài phát triển hoàn thiện hơn nữa.
PHẦN KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng báo cáo các
biện pháp.
Vận dụng các biện pháp trên vào thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi
ở lớp bước đầu tôi đã thu được kết quả và đã rút ra được các một số kinh
nghiệm sau:
* Giáo viên:
- Khi dạy phải phân loại các dạng bài tập cụ thể.
- Tạo cho học sinh kĩ năng sáng tạo, linh hoạt trong tính tốn.
- Khuyến khích, động viên kịp thời tạo hứng thú học tập cho học sinh.
* Học sinh:
- Đọc kĩ yêu cầu đề bài, phát hiện chính xác dạng tốn để vận dụng
các tính chất, quy luật.
- Học thuộc lịng và nhớ chính xác các quy tắc, tính chất, các quy luật
của cặp số, dãy số đặc biệt.
- Nắm vững quy tắc, quy trình tính giá trị của biểu thức; thực hiện
đúng, đủ các bước.
- Kiên nhẫn, tự tin, linh hoạt, sáng tạo, khéo léo trong khi giải toán.
2. Những kiến nghị, đề xuất điều kiện để triển khai, ứng dụng báo cáo biện
pháp vào thực tiễn.
Mặc dù phạm vi bài viết của tơi chỉ trình bày được một số biện pháp giúp học
sinh giải tốn tính nhanh. Nhưng lượng kiến thức nhỏ này đã góp phần giúp các
em có kết quả cao hơn trong khi làm các bài kiểm tra cũng như tham gia các
cuộc thi. Rất mong sự góp ý chân thành của hội đồng khoa học các cấp, của bạn
bè đồng nghiệp.
3. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Sáng kiến này bản thân tôi đã mạnh dạn thay thế, đổi mới một phần giải pháp

đã có. Nên khơng có sự sao chép hoặc vi phạm bản quyền của bất cứ tác giả nào.


14
Tơi rất mong nhận được sự góp ý của hội đồng giáo dục nhà trường cũng
như của tất cả các q thầy cơ để cho đề tài ngày càng hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Biên Hịa, ngày 14 tháng 2 năm 2022.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
01.Sách giáo khoa toán lớp 4 của NXBGD.
02.Ơn tập và nâng cao tốn 4 – Nhà xuất bản Đại học sư phạm. Tác giả: Ngô
Long Hâu – Ngô Thái Sơn.
03. Tuyển tập các bài tốn hay và khó 4 – Nhà xuất bản Đà Nẵng. Tác giả: Trần
Huỳnh Thống – Bảo Châu – Lê Phú Hùng.
04. Tham khảo trên mạng xã hội.