Giáo trình cơ học ứng dụng (nghề công nghệ ô tô trung cấp)

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN
TRƢỜNG CAO ĐẲNG CƠ ĐIỆN XÂY DỰNG VIỆT XƠ

GIÁO TRÌNH

CƠ HỌC ỨNG DỤNG
NGHỀ: CƠNG NGHỆ Ơ TƠ
TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP

(Ban hành kèm theo Quyết định số:/QĐ –CĐVX ngày tháng năm 20... của
Hiệu trưởng Trường Cao đẳng nghề cơ điện xây dựng Việt Xô)

P1
Q

P2

P
A
d

2a

b)
B

b
c

Ninh Bình - 2019

1
LỜI GIỚI THIỆU
Giáo trình cơ học ứng dụng này dùng cho đối tượng chính là học sinh, sinh
viên nghề Cơng nghệ ơ tơ, giáo trình cung cấp những kiến thức cơ bản đã thu
gọn về cơ học lý thuyết, sức bền vật liệu, nguyên lý, chi tiết máy để đáp ứng
theo mục tiêu chương trình đào tạo của nghề Cơng nghệ ơ tơ. Ngồi ra giáo trình
này cịn dùng làm tài liệu tham khảo cho các ngành, nghề cơ khí khác. Giáo
trìnhđược biên soạn trên cơ sở tập hợp và chọn lọc các giáo trình, tài liệu đang
được sử dụng để giảng dạy trong các trường cao đẳng, trung cấp. Nội dung giáo
trình bao gồm ba chương:
Chương1. Cơ học lý thuyết
Chương 2. Sức bền vật liệu
Chương 3. Chi tiết máy
Kiến thức trong giáo trình được biên soạn theo chương trình đào tạo đã được
phê duyệt. Trong các nội dung bài, giáo trình cho các ví dụ minh họa để làm
sáng tỏ thực chất của các hiện tượng cơ học và các phương pháp giải các bài tập.
Sau mỗi chương đều có các câu hỏi, bài tập đi kèm để học sinh, sinh viên có thể
nâng cao tính thực hành của mơn học. Do đó, người đọc có thể hiểu một cách dễ
dàng các nội dung trong chương trình.
Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn khơng
tránh khỏi sai sót, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của người đọc để
lần xuất bản sau giáo trình được hồn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Ninh Bình, ngày 18 tháng 10 năm 2019

Chủ biên Vũ Hữu Tín


2

MỤC LỤC
Trang
Chương 1. Cơ học lý thuyết
7
1.1. Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học
7
1.1.1. Những khái niệm cơ bản.
Error! Bookmark not d7
1.1.2. Các tiên đề tĩnh học

9

1.1.3. Liên kết và phản lực liên kết

11

1.2. Hệ lực phẳng đồng qui và hệ lực phẳng song song
1.2.1. Hệ lực phẳng đồng qui
1.2.2. Hệ lực phẳng song song – Ngẫu lực.
1.3. Mô men của một lực đối với một điểm
1.3.1. Khái niệm về mô men của một lực đối với một điểm
1.3.2. Nhận xét
1.3.3. Định lý Varinhon
1.3.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song
1.3.5. Cân bằng ổn định
1.4. Ma sát
1.4.1. Ma sát trượt
1.4.2. Ma sát lăn
1.5. Chuyển động của điểm và vật rắn

1.5.1. Những khái niệm cơ bản về chuyển động
1.5.2. Chuyển động của chất điểm
1.5.3. Chuyển động cơ bản của vật rắn
1.6. Các tiên đề cơ bản của động lực học – Lực quán tính
1.6.1. Các tiên đề cơ bản của động lực học

14
14
22
27
27
28
28
30
31
32
32
35
36
36
37
44
49
49

1.6.2. Lực qn tính – ngun lý Đalambe

50

1.7. Cơng và cơng suất

52

1.7.1. Công của lực

52

1.7.2. Công suất

56

1.7.3. Hiệu suất cơ học

58

Chương 2. Sức bền vật liệu

61

2.1. Những khái niệm cơ bản về sức bền vật liệu

61

2.1.1. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của sức bền vật liệu

61


3
2.1.2. Các giả thuyết về vật liệu

61

2.1.3. Ngoại lực và nội lực

63

2.1.4. Ứng suất

64

2.1.5. Ứng suất cho phép-Hệ số an toàn

65

2.2. Kéo-Nén đúng tâm

67

2.2.1. Định nghĩa.

67

2.2.2. Nội lực – Biểu đồ nội lực

67

2.2.3. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

69

2.2.4. Biến dạng dọc - Định luật Húc trong kéo nén đúng tâm

70

2.2.5. Tính tốn về kéo nén đúng tâm

73

2.3 Cắt, dập

74

2.3.1 Cắt

75

2.3.2. Dập

76

2.4 Thanh chịu xoắn thuần tuý

78

2.4.1. Định nghĩa.

78

2.4.2. Nội lực – Biểu đồ nội lực

79

2.4.3. Quan hệ giữa mơmen xoắn ngoại lực với cơng suất và số vịng
quay

80

2.4.4. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần tuý

80

2.4.5. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn thuần t

83

2.4.6. Tính tốn về xoắn

84

2.5 Uốn phẳng thanh thẳng

85

2.5.1 Khái niệm về uốn phẳng

85

2.5.2. Nội lực – Biểu đồ nội lực

86

2.5.3. Dầm chịu uốn phẳng thuần túy

91

2.5.4. Tính tốn về uốn

94

Chương 3. Chi tiết máy

98

3.1. Những khái niệm cơ bản về cơ cấu và máy

98

3.1.1. Khái niệm về máy

98

3.1.2. Khái niệm về cơ cấu máy

98

3.1.3. Khâu và khớp động

99

4
3.2. Cơ cấu tay quay con trượt

100

3.2.1. Khái niệm

100

3.2.2. Nguyên lý kết cấu

100

3.2.3. Nguyên lý làm việc

101

3.2.4. Phạm vi ứng dụng

102

3.3. Cơ cấu bánh răng

102

3.3.1. Khái niện chung

102

3.3.2. Một số bộ truyền bánh răng thông dụng

105

3.4. Cơ cấu truyền động đai

112

3.4.1. Khái niện chung

112

3.4.2. Lực tác dụng lên cơ cấu

114

3.4.3. Các thông số cơ bản của bộ truyền

115

3.5. Cơ cấ u truyền động xić h

117

3.5.1. Khái niện chung

117

3.5.2. Những thông số cơ bản của truyền động xích.

119

3.6. Cơ cấu truyền động cam

121

3.6.1. Định nghĩa

121

3.6.2. Nguyên lý kết cấu và truyền động

121

3.6.3. Phân loại cơ cấu cam

121

3.6.4.Phạm vi ứng dụng

122

3.7. Các cơ cấu truyền động khác

122

3.7.1. Cơ cấu bánh răng-thanh răng

122

3.7.2. Cơ cấ u bánh vit́ tru ̣cvít

123

3.7.3. Cơ cấ u cóc

125

3.7.4. Cơ cấu các đăng

126

3.8. Trục và ổ trục

128

3.8.1. Trục

128

3.8.2. Ổ trục

130


5
CHƢƠNG TRÌNH MƠN HỌC CƠ ỨNG DỤNG
Mã số của mơn học: MH 09
I. Vị trí, tính chất của mơn học:
Vị trí: mơn học được bố trí giảng dạy song song với các môn học/ mô đun sau: MH

07, MH 08, MH 10, MH 11, MH 12, MH13, MH 14, MH 15, MĐ 16, MĐ 18, MĐ 19
- Tính chất: là môn học kỹ thuật cơ sở của nghề
II. Mục tiêu của mơn học:
- Trình bày được các khái niệm cơ bản trong cơ học ứng dụng;
- Trình bày được phương pháp tổng hợp và phân tích lực;
- Trình bày được các khái niệm cơ bản trong chuyển động của điểm và vật rắn;
- Trình bày được các khái niệm về các hình thức chịu lực cơ bản của vật rắn;
-Trình bày được nguyên lý cấu tạo, hoạt động và phạm vi ứng dụng của các cơ cấu
máy thông dụng.
- Thiết lập được điều kiện cân bằng và tính tốn được các bài toán về cân bằng của
hệ lực phẳng đồng qui và hệ lực phẳng song song;
- Phân tích được chuyển động và thiết lập được phương trình chuyển động của chất
điểm và của vật rắn tại từng thời điểm;
- Tính tốn được nội lực, ứng suất và tính tốn được bài tốn thơng thường trong các
hình thức chịu lực kéo, nén, cắt, dập, xoắn, uốn của vật rắn;
- Chuyể n đổ i đươ ̣c các khớp, khâu, các cơ cấu truyền động thành các sơ đồ truyền
đô ̣ng đơn giản;
- Tuân thủ đúng quy phạm, quy định của môn học. Rèn luyện tác phong làm việc
nghiêm túc, cẩn thận.


6
III. Nội dung môn học
1. Nội dung tổng quát và phân phối thời gian:

Số
T
T

1

2

3

4

Tên chƣơng/mục

Tổng
số

Bài mở đầu
Chương 1: Cơ học lý thuyết
1. Những khái niệm cơ bản và các
tiên đề tĩnh học
2. Hệ lực phẳng đồng qui và hệ lực
phẳng song song – Ngẫu lực
3. Mô men của một lực đối với một
điểm
4. Ma sát
5. Chuyển động của điểm và vật rắn
6. Các tiên đề cơ bản của động lực
học – Lực qn tính
7. Cơng và cơng suất
Chương 2: Sức bền vật liệu
1. Những khái niệm cơ bản về sức
bền vật liệu
2. Kéo và nén
3. Cắt dập
4. Thanh chịu xoắn thuần tuý

5. Uốn phẳng thanh thẳng
Chương 3: Chi tiết máy
1. Những khái niệm cơ bản về cơ cấu
và máy
2. Cơ cấu tay quay con trượt
3. Cơ cấu bánh răng
4. Cơ cấu truyền động đai
5. Cơ cấu truyền động cam
6. Cơ cấu truyền động xích
7. Các cơ cấu truyền động khác
8. Trục và ổ trục
Tổng cộng

1
11

Thời gian (giờ)
Thực
hành, thực
Lý
Kiểm
tập, thí
thuyết
tra
nghiệm,
Thảo luận,
bài tập
1
11

1

1

3

3

0.5

0.5

0.5
3

0.5
3

1

1

2
10

2
9

1

1

2
1
2
4
8

2
1
2
3
7

0.5

0.5

1
1
1
0.5
1
1
2
30

1
1
1

0.5
1
1
1
28

1

1
1

1
2


7
CHƢƠNG 1. CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Mã số của chƣơng 1:MH 09-01
Giới thiệu:
Cơ học lý thuyết nghiên cứu về cơ học của vật rắn bao gồm ba phần:
- Tĩnh học: Nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các
lực. Trong phần này chỉ nghiên cứu các hệ lực phẳng đặc biệt trong đó tập
chung vào hai vấn đề chính đó là thu gọn hệ lực về dạng đơn giản nhất và thiết
lập các điều kiện cân bằng của hệ lực.
- Động học: Nghiên cứu chuyển động của chất điểm và vật rắn trong đó thiết
lập phương trình chuyển động và tìm các đại lượng đặc chưng cho chuyển
động đó là quãng đường, vận tốc, gia tốc trong chuyển động của chất điểm và
chuyển động cơ bản của vật rắn.
- Động lực học: Nghiên cứu chuyển động của chất điểm và vật rắn dưới tác
dụng của lực. Tính cơng và năng lượng của chuyển động

Mục tiêu:
- Trình bày được các tiên đề, khái niệm và cách biểu diễn lực
; các loại liên kết cơ bản
- Trình bày được phương pháp xác định các đại lượng đặc trưng trong chuyển động
của điểm và vật rắn;
- Trình bày được các tiên đề về động lực học và phương pháp xác định các thông số
động động lực học học của điểm và vật rắn;
- Thiết lập được điều kiện cân bằng và tính tốn được các bài tốn về cân bằng của
hệ lực phẳng đồng qui và hệ lực phẳng song song;
- Phân tích được chuyển động của điểm và vật rắn;
- Tính tốn được năng lượng phát sinh trong quá trình chuyển động của điểm và vật
rắn;
- Tuân thủ các quy định, quy phạm về cơ học lý thuyết.
Nội dung:
1. Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học
1.1.Những khái niệm cơ bản.
1.1.1. Vật rắn tuyệt đối.
Vật rắn tuyệt đối là vật có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật ln
khơng đổi. Hay nói đơn giản vật rắn tuyệt đối là vật có hình dạng hình học khơng đổi
trong suốt q trình chịu lực.
Trong thực tế các vật rắn khi chịu lực đều bị biến dạng xong nếu vật rắn có biến
dạng rất nhỏ khơng đáng kể so với kích thước của vật ta có thể bỏ qua trong trường
hợp đó vật có thể coi như là vật rắn tuyệt đối đểnghiên cứu hiện tượng đơn giản hơn.
1.1.2. Lực


8
a. Định nghĩa
Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là gây nên sự biến đổi trạng
thái chuyển động của các vật đó.

Thí dụ: Quả bóng đang nằm yên, dùng chân đá vào quả bóng, quả bóng sẽ
chuyển động.
b. Các yếu tố của lực
Lực được đặc trương bởi ba yếu tố:
- Điểm đặt: Là điểm thuộc vật mà tại đó lực tác dụng và truyền tới vật.
- Phương và chiều:Phương và chiều của lực biểu diễn khuynh hướng chuyển động
mà lực gây cho vật
- Cường độ (Còn gọi là trị số của lực hoặc độ lớn của lực): Biểu thị độ mạnh yếu của
lực, nó chính là độ lớn của lực so với lực nhận làm đơn vị.
Đơn vị để đo trị số của lực là Niu tơn, ký hiệu là N. Bội số của Niu tơn là Ki lô
Niu tơn ký hiệu kN, Mê gaNiu tơn ký hiệu MN
1MN = 103 kN =106 N
Ký hiệu độ lớn của lực: F, P,Q .....
Thí dụ: F = 10 kN, P = 20 N.
c. Biểu diễn lực
Lực là một đại lượng véc tơ. Véc tơ lực là
một đoạn thẳng có hướng (hình 1.1)

B
A
x

Kí hiệu:𝐴𝐵 = 𝐹
- Điểm gốc A của véc tơbiểu diễn điểm đặt của
lực.

Hình 1.1

- Phương, chiều của véc tơ biểu diễn phương, chiều của lực
- Độ dài của véc tơ biểu diễn độ lớn của lực theo tỉ lệ xích đã chọn.

Đường thẳng x-x chứa véc tơ lực gọi là đường tác dụng của lực (giá của lực).
Vectơ lực được ký hiệu là 𝐹 , 𝑃, 𝑄…

1.1.3. Trạng thái cân bằng
Trạng thái cân bằng là trạng thái vật rắn đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
1.1.4. Một số định nghĩa khác
a. Hai lực trực đối:Là hai lực có cùng đường tác
dụng, cùng trị số nhưng ngược chiều nhau (hình
1.2).
Ký hiệu: 𝐹 = - 𝐹 ′

F’
F
Hình 1.2

b. Hệ lực: Là tập hợp các lực cùng tác dụnglên một vật rắn (hình 1.3)

x


9
Ký hiệu: (𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 )

F1

F2

Fn

F3

Hình 1.3

c. Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi làtương đương khi chúng gây ra cho
một vật rắncác trạng thái chuyển động như nhau
Ký hiệu: (𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 ) ~(𝐹1′ ,𝐹2′ , ..., 𝐹𝑛′ )

d. Hệ lực cân bằng: Là hệ khi tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi trạng thái
chuyển động của vật ấy hay là hệ lực tương đương 0
Ký hiệu: (𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 ) ~0

e. Hợp lực:Là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của hệ lực (hình 1.4)
Ký hiệu: 𝑅~(𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 )
F1

F2
R
~

Fn
F3

Hình 1.4

1.2. Các tiên đề tĩnh học
1.2.1. Tiên đề 1(tiên đề về hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn cân bằng là
chúng phải trực đối (hình 1.5).
𝐹1 + 𝐹2 = 0
F1

A

B

F1

F2

A

B
b)

a)
Hình 1.5
1.2.2. Tiên đề 2(tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng)

F2


10
Tác dụng của hệ lực không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân
bằng.
Nếu (𝐹 , 𝐹 ’) là hai lực cân bằng thì:(𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 )~(𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 , 𝐹 ,

𝐹 ’)(hình 1.6a)

F1

F2

F1
F

~
Fn

F2
F’

Fn

F3

F3

Hình 1.6a

Nếu hệ có hai lực 𝐹1 , 𝐹2 cân bằng thì: (𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 )~(𝐹3 , 𝐹4 , …. 𝐹𝑛 ) (hình 1.6b)
F3

F4

F1

F3

~

F2

Fn

F4

Fn

F5

F5

Hình 1.6b
* Hệ quả: Tác dụng của lực không thay đổi khi ta trượt lựctrên đường tác dụng
của nó.
Chứng minh: Giả sử có một lực𝐹 tác dụng lên vật tại điểm A, trên đường
tác dụng của lực𝐹 , tại điểm B, ta đặt vào đó hai lực cân bằng𝐹1 và 𝐹2 . Các lực
này cùng phương, cùng cường độ với lực 𝐹 . Theo tiên đề 2ta có:𝐹 ~(𝐹, 𝐹1 , 𝐹2 )

Nhưng hai lực𝐹 và 𝐹1 lại tạo thành hệ hai lực cân bằng và do đó, theo tiên đề 2

ta lại bớt hai lực này đi. Vậy, ta có: 𝐹 = 𝐹2

Như vậy 𝐹2 chính là𝐹 đã trượt từ A tới B(hình 1.7)
A

F

~~

A

F

F1

B

F2

A

B

F2

Hình 1.7
1.2.3.Tiên đề 3(tiên đề hình bình hành lực)
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đặt
chung ấy và được biểu diễn bằng vectơ đường chéo hình bình hành mà hai cạnh
là hai vectơ biểu diễn các lực đã cho(hình 1.8).


11
Hai lực 𝐹1 và 𝐹2 cùng đặt tại điểm O thì ta có:
F1

R

O

𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

F2

Hình 1.8
1.2.4. Tiên đề 4(tiên đề tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng cường độ,
cùng đường tác dụng nhưng ngược chiều nhau (hình 1.9).
N
* Chú ý rằng lực tác dụng và lực phản tácdụng
không phải là hai lực cân bằng vì chúng khơng
cùng tác dụng lên một vật.
P

Hình 1.9
1.3. Liên kết và phản lực liên kết
1.3.1. Vật tự do và vật chịu liên kết
Vật tự do là vật có thể chuyển động tuỳ ý theo mọi phương trong không gian mà
khơng bị cản trở (Thí dụ: quả bóng bay tự do trong khơng gian)
Vật chịu liên kết là vật có một hoặc một vài phương trong không gian bị cản
trởchuyển động (Thí dụ: quả bóng bay được buộc vào sợi dây và được buộc vào một
điểm cố định khi đó quả bóng bay là vật chịu sự liên kết)
1.3.2. Liên kết và phản lực liên kết
Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật. Vật gây ra sự cản trở
chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết. (Trong ví dụ trên thì sợi dây là
kiên kết, còn điểm cố định thuộc vật nào đó thì vật đó là vật gây liên kết)
Do tác dụng tương hỗvật chịu liên kết tác dụng lên vật gây liên kết một lực thì
vật gây liên kếtcũng tác dụng lên vật chịu liên kết một lực,lực đó được gọi là phản
lực liên kết.
Tính chất của phản lực liên kết: Có điểm đặt ở vật chịu liên kết(vật khảo sát) tại

vị trí tiếp xúc chung, cùng phương, ngược chiều với chiều chuyển động bị cản trở, có
độ lớn phụ thuộc vào lực tác dụng.
Chú ý: Khi liên kết cản chở chuyển động của vật theo nhiều chiều thì phương
chiều của phản lực cũng chưa biết, lúc đó ta cần phân tích phản lực liên kết ra thành
các phương cơ bản và giả định chiều cho các thành phần phản lực liên kết. Phương
và chiều đúng của nó chỉ được xác định sau khi giải xong bài toán.
1.3.3. Một số loại liên kết thƣờng gặp
a. Liên kết tựa.


12
Là loại liên kết mà các vật chỉ có tác dụng đỡ lấy nhau. Trong trường hợp này,
chuyển động của vật theo phương vng góc với mặt tiếp xúc chung của liên kết là
bị cản trở.
Phản lực là một lực hướng theo phương pháp tuyến của mặt tiếp xúc chung của
liên kết, có chiều hướng từ vật gây liên kết vào vật khảo sát (hình 1.10).
Trong loại liên kết này chỉ có một yếu tố chưa biết đó là trị số của lực.
N3

N1
N
N2

a)

b)

Hình 1.10

b. Liên kết dây mềm khơng dãn.

Loại liên kết này cản trở chuyển động của vật khảo sát theophương căng của
dây. Phản lực liên kết hướng dọc theo dây, chiều của nó từ vật khảo sát đi ra, điểm
đặt trên vật tại vị trí liên kết giữa dây và vật (hình1.11).

T

a)

T1

T2

b)

Hình 1.11
c. Liên kết bản lề phẳng.
Có hai loại liên kết bản lề là: Gối đỡ bản lề di động và gối đỡ bản lề cố định.
* Gối đỡ bản lề di động (hình 1.12).
Đối với loại gối đỡ này chỉ cho phép vật khảo sát quay quanh trục bản lề và di
chuyển song song với mặt phẳng tựa. Liên kết này có chuyển động của vật tựa theo
phương pháp tuyến bị cản trở.
Phản lực liên kết đặt tại tâm của gối đỡ, có phương vng góc với mặt tựa, có
chiều chưa biết, khi tính tốn ta có thể giả định chiều của nó, nếu kết quả tính mang
dấu dương thì chiều giả định là đúng, nếu mang dấu âm thì chiều đúng của nó ngược
với chiều giả định.


13

Y

Y

a)

b)
Hình 1.12

* Gối đỡ bản lề cố định (hình 1.13).
Đối với loại gối đỡ này chỉ cho phép vật khảo sát quay quanh tâm của gối đỡ còn
tất cả các chuyển động khác bị hạn chế.
Phản lực liên kết là một lực đặt ở tâm bản lề, nhưng chưa biết phương, chiều và
trị số.
Để tiện cho việc tính tốn, ta thường phân tích phản lực liên kết theo hai phương
vng góc với nhau là x và y, chiều của các thành phần này được xác định theo
phương pháp giả định giống như gối đỡ bản lề di động.
Y

R

Y

a)

R

b)
X

X

Hình 1.13


Phản lực R được xác định thông qua hai thành phần𝑋 và 𝑌.
𝑅=𝑋+𝑌

d. Liên kết thanh
Là liên kết bằng cách dùng các thanh cứng để liên kết giữa các vật với nhau
trong đó thỏa mãn các điều kiện là chỉ có lực tác dụng ở hai đầu thanh và bỏ qua
trọng lượng của thanh (hình 1.14).
Liên kết này cản trở chuyển động theo phương của đường nối hai khớp bản lề ở
hai đầu của thanh.
Phản lực liên kếtđặt tại tâm của khớp bản lề, có phương theo phương của đường
nối hai khớp bản lề, có chiều đi vào vật chịu liên kết.
S2
S

S1

Hình 1.14


14
đ. Liên kết ngàm
Là loại liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác. Loại liên kết này hạn
chế tất cả các chuyển động của vật (hình 1.15).
Phản lực liên kết bao gồm: Phản lực tập trung và mô men phản lực.
Phản lực tập trung đặt ở tâm của ngàm, có phương chiều chưa biết và được xác định
giống như xác định phản lực của gối đỡ bản lề cố định.

Mô men phản lực đặt ở tâm của ngàm, có
chiều chưa biết và được xác định theo phương
Y
R
pháp giả định, khi tính tốn ta có thể giả định
chiều của nó, nếu kết quả tính mang dấu
X
dương thì chiều giả định là đúng, nếu mang
m
dấu âm thì chiều đúng của nó ngược với chiều
giả định.
Hình 1.15
2. Hệ lực phẳng đồng qui và hệ lực phẳng song song
2.1. Hệ lực phẳng đồng qui
2.1.1. Định nghĩa
Hệ lực phẳng đồng qui là hệ bao gồm các lực có đường tác dụng cùng nằm
trong cùng một mặt phẳng và giao nhau tại một điểm. Điểm giao nhau được gọi là
điểm đồng quy (hình 1.16).
Để khảo sát hệ lực phẳng đồng quy ta trượt
các lực về điểm đồng quy và thu gọn hệ.
Kết quả thu gọn có thể xảy ra một trong hai
trường hợp sau:
- Hệ tương đương với một lực (hợp lực)
- Hệ cân bằng
Có hai phương pháp khảo sát: phương pháp
hình học và phương pháp giải tích.

F2

F1

Fn
O

F3

Hình 1.16
2.1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phƣơng pháp hình học.
a. Qui tắc hình bình hành lực.
Giả sử có hai lực 𝐹1 ,𝐹2 đồng qui tại điểm O và hợp với nhau một góc α. Theo

ngun lý hình bình hành lực, chúng có hợp lực là𝑅. Hợp lực này đặt tại O và được

xác định bởi đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai lực thành phần 𝐹1 ,
𝐹2 (hình1.17)


15
A

B


F1

R



α

O
C

F2

Hình 1.17
Theo tiên đề 3 Ta có 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

(1-1)

Trị số của hợp lực được xác định theo công thức:
R

F F
2

2

1

2

 2 F 1. F 2 . cos 

(1-2)

Phương của hợp lực được xác định thơng qua góc  và 
Xét tam giác OAB ta có
𝐹1

𝐹2

=

sin 

sin 

Vì

Nên

𝐹1

𝑅

𝑅

sin (180 𝑜 –𝛼 )

sin(180o – α) = sinα

sin 
𝐹1

=>sin  =

=

=

𝐹2

=

sin 

* Các trường hợp đặc biệt:

(1.3a)

sin 𝛼
𝐹2

sin  =

sin 𝛼 ;

𝑅

𝑅

sin 𝛼(1-3b)

- Nếu hai lực 𝐹1 , 𝐹2 có cùng phương chiều, thì khi đó  = 0; cos = 1;
R = F1 + F2
- Nếu hai lực𝐹1 , 𝐹2 có cùng phương ngược chiều, thì khi đó  =1800;
cos = -1;
R = | F1 - F2|

- Nếu hai lực𝐹1 , 𝐹2 có phương vng góc với nhau, thì khi đó  = 90o ;
cos = 0;
R

F F
2

2

1

2

b. Qui tắc tam giác lực.
Từ cách hợp hai lực đồng quy như trên, ta
thấy để xác định hợp lực 𝑅 . Từ mút 𝐹1 ta

đặt nối tiếp vec tơ 𝐹2 ′

F1

song song, cùng

chiều, cùng trị số với 𝐹2 . Vec tơ 𝑅 có gốc

tại O, có mút trùng với mút của Vec tơ𝐹2 ′

ta nói vec tơ 𝑅 đóng kín tam giác lựcOAB

F’2

A
R
α
O
F2

Hình 1.18

B


16
được lập bởi 𝐹1 và𝐹2 (hình 1.18)

Như vậy 𝑅 có điểm đặt tại O, trị số và phương được xác định theo cơng thức (1-2),
(1-3)
c. Phân tích một lực thành hai lực đồng qui.
Trong thực tế nhiều khi ta gặp những bài tốn

II

ngược lại: Biết lực 𝑅cần phân tích lực đó ra thành hai

thành phần 𝐹1 và 𝐹2 theo hai phương I và II cho
trước.

B

R

F2

Muốn vậy, từ đầu mút của 𝑅ta lần lượt kẻ hai đường
I
F1
thẳng song song với hai phương Ivà II cho trước,
O
A
giao của hai đường thẳng vừa kẻ với Ivà II chính là
Hình 1.19
điểm mút của các lực thành phần𝐹1 và 𝐹2 mà ta cần
tìm (hình 1.19).
Điểm đặt và phương chiều của 𝐹1 và 𝐹2 đã biết, trị số của chúng được xác định
theo cơng thức (1-3)
Thí dụ: Một vật có trọng lượng P = 960 N treo trên hai sợi dây AB và AC, các dây
hợp với đường thẳng đứng những góc 30o và 45o (hình 1.20). Hãy xác định lực tác
dụng lên mỗi dây.
C
a)
Bài giải:
Trọng lực 𝑃 của vật hướng theo phương

thẳng đứng xuống dưới. Ta phân tích 𝑃 làm

hai thành phần 𝐹1 và 𝐹2 nằm trên phương các

sợi dây AB và AC.𝐹1 và 𝐹2 chính là các lực
thành phần mà vật nặng tác dụng lên mỗi dây
đó.
Sức căng của dây AB: TAB =F1;

Sức căng của dây AC: TAC =F2
Theo cơng thức (1.3a) ta có:
𝐹1

sin 45 𝑜

=> F1 =

=

𝐹2

B
45o

30o

F2
F1
P

Hình 1.20

𝑅

=

sin 75 𝑜
sin 30 𝑜
0,707

sin 45 𝑜

P =

sin 75 𝑜
sin 30 𝑜

F2 =

sin 75 𝑜

960 = 703N

0,966
0,5

P=

0,966

960 =

497N

Vậy TAB = 703 N; TAC = 497N
d. Xác định hợp lưc của hệ lực phẳng đồng quy – Quy tắc đa giác lực


17
Giả sử hệ (𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 ) đồng quy tại O (hình 1-21)

F’2

A

Theo quy tắc tam giác lực, hợp hai lực 𝐹1 , 𝐹2 được

R1

F1

𝑅1 = 𝐹1 + 𝐹2

B

O

=>(𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 ) ≡ ( 𝑅1 , 𝐹3 )

R

F3

Tiếp tục hợp hai lực 𝑅1 , 𝐹3 ta được hợp của hệ

F2

𝑅 = 𝑅1 + 𝐹3 => 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3

F’3

C

Hình 1.21

=>(𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 ) ≡ ( 𝑅1 , 𝐹3 ) ≡ 𝑅

Vậy 𝑅 chính là hợp lực của hệ, 𝑅 được xác định bằng vec tơ đóng kín đa giác

lực OABC được lập bởi các vec tơ lực 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 đã cho.

Tổng quát, nếu hệ lực đồng quy gồm n lực (𝐹1 , 𝐹2 ,… 𝐹𝑛 ) thì lần lượt hợp hai

lực với nhau được hợp của hai lực 𝑅1 , hợp 𝑅1 với lực tiếp theo được 𝑅2 và tiếp tục
cho đến hết ta sẽ được hợp lực 𝑅 của hệ
𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + …. + 𝐹𝑛 =

𝐹

𝑅 cũng được xác định bởi vec tơ đóng kín đa giác lực được lập bởi các vec tơ

lực 𝐹1 , 𝐹2 , …. 𝐹𝑛 đã cho.
Vậy: Hệ lực phẳng đồng quy có hợp lực. Hợp lực đặt tại điểm đồng quy và được
xác định bằng vec tơ đóng kín đa giác lực được lập bởi các lực thuộc hệ đã cho.
Với hệ lực phẳng đồng quy đã cho, để xác định hợp lực ta dựng chính xác đa
giác lực của hệ theo tỷ lệ xích chọn trước bằng cách từ mút vec tơ lực 𝐹1 dựng vec tơ

song song cùng chiều, cùng độ dài với𝐹2 và tiếp tục như thế cho đến vec tơ lực cuối

cùng và vec tơ hợp lực 𝑅 là vec tơ đóng kín đa giác lực sau đó đo độ dài của 𝑅 để
tính trị số và đo góc để xác định phương của 𝑅.

đ. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp hình học.
Để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng thì hợp lực của hệ phải có trị số bằng
không. Muốn vậy đa giác được lập bởi các lực thuộc hệ phải tự đóng kín
Vậy, điều kiện cần và đủ để cho một hệ lực phẳng đồng qui tác dụng lên một vật
rắn được cân bằng là đa giác lực của hệ phải tự đóng kín.
Thí dụ: Quả cầu đồng chất trọng lượng
P = 100N tựa trên mặt phẳng nghiêng, nhẵn
và được giữ bởi sợi dây AB song song với mặt
nghiêng (H 1.22a). Hãy xác định sức căng của
sợi dây và phản lực của mặt nghiêng lên quả
cầu. Biết α = 30o.

A
T
N

α

B

P

Hình 1.22a
Bài giải


18
Xét sự cân bằng của quả cầu dưới tác dụng của các lực:
Trọng lực 𝑃, Phản lực pháp tuyến 𝑁, sức căng của sợi dây 𝑇, các lực này tạo

thành một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng (𝑃, 𝑁, 𝑇) đồng quy tại tâm O. Do cân
bằng nên tam giác lực thuộc hệ phải tự đóng kín.
O

Từ một điểm bất kỳ O vẽ vec tơ 𝑃, từ gốc và mút của vec tơ 𝑃,
dựng các đường thẳng song song với phương của các lực

𝑁 và 𝑇, chúng gặp nhau tại D, OCD chính là tam giác lực được
tạo bởi các lực thuộc hệ (hình 1.22b)
Xét tam giác OCD ta có:
N = P.cos30o= 100.0,866 = 86,6N
T = P. sin30o = 100. 0,5 = 50N.

N
α

P

D

C

T

Hình 1.22b
1.21b b

2.1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phƣơng pháp giải tích.
a. Chiếu một lực lên hai trục toạ độ.

Giả sử có lực 𝐹 hợp với trục oxcủa hệ trục xoy một góc nhọn α (hình 1-23). Ta

phải xác định hình chiếu của 𝐹 trên hai trục tọa độ ox và oy. Hình chiếu của vec tơ

lực 𝐹 trên một trục là đoạn thẳng được giới hạn bởi điểm chiếu gốc và điểm chiếu
mút của véc tơ lực trên trục đó.
y

y
F

Y
α
o

X

F

Y
α
x

a)

o

X

x

b)
Hình 1.23

Gọi X và Y là hình chiếu của 𝐹 lên trục ox và oy, ta có:
X = ± Fcosα;
(1- 4)
Y = ± Fsinα;
Trong các biểu thức trên ta lấy dấu (+) khi đi từ điểm chiếu gốc tới điểm chiếu mút
cùng chiều dương của trục, (hình 1.23a) và lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại
(hình1.23b)
X, Y có đơn vị đo như đơn vị đo trị số của lực (N)
Trường hợp lực song song với trục thì hình chiếu của lực lên trục đó bằng trị số
lực cịn khi lực vng góc với trục thì hình chiếu hình chiếu của nó lên trục đó bằng
khơng.
Nếu biết hai hình chiếu X và Y của lực 𝐹 ta cũng có sẽ xác định được lực.


19
Về trị số: F =

X 2 Y 2

(1-5)

Về phương chiều của 𝐹 được xác định qua góc α:
cosα =

sinα =

𝑌

𝐹

(1-6)

𝑋
𝐹

Thí dụ : Xác định hình chiếu của lực F = 500N lên một hệ trục toạ độ vng góc
xoy trong hai trường hợp như ở hình1.23. Cho biết α = 30o.
Bài giải
- Khi lực 𝐹 đặt như ở hình 1-23a.
Ta có: X = Fcosα = 500.cos300 = 500.0,866 = 433N.
Y = Fsinα = 500sin300 = 500.0,5 = 250N.
- Khi lực 𝐹 đặt như ở hình 1-23b.
Ta có: X = - Fcosα = - 500cos300 = - 500.0,866 = - 433N
Y = - Fsinα = - 500sin300 = - 500.0,5 = - 250N.
b. Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui bằng giải tích.
Giả sử có hệ lực phẳng đồng qui (𝐹1 , 𝐹2 ,… 𝐹𝑛 ) như hình 1.24. Từ qui tắc đa

giác lực ta xác định hợp lực 𝑅.

Gọi hình chiếu của các lực 𝐹1 , 𝐹2 ,… 𝐹𝑛 và của hợp lực 𝑅 trên trục ox lần lượt
là: X1, X2, ..., Xn, Rx và trục oy lần lượt là: Y1, Y2, ..., Yn; Ry
Theo định lý hình chiếu: hình chiếu của véc tơ tổng hợp bằng tổng đạisố hình
chiếu các véc tơ thành phần.
Ta có:
Rx = X1 + X2 + ... + Xn = X
Ry = Y1 + Y2 +... + Yn = Y

y
Yn

Y2

F2

Y1

F1

Fn

F2

Ry

R

Fn

o
Hình 1.24

x
X1

X2
Rx

Xn

Hai biểu thức trên cho phép ta xác định được hình chiếu của hợp lực theo hình
chiếu của các lực thành phần.


20
Xác định được hình chiếu của hợp lực, kết hợp với các cơng thức trên, ta có thể
xác định được véc tơ hợp lực𝑅của hệ.
2

Về trị số: R = Rx2  R y2 = ( 𝑋) + ( 𝑌)

2

(1-7)

Phương chiều:
cosα =

Rx
R

sinα =

𝑋

=

Ry

R

=

(1-8)

𝑅
𝑌

y

𝑅

Thí dụ: Cho một hệ lực phẳng đồng qui
như hình vẽ 1.25 có: F1 = F2 = 100N; F3=
150N; F4 = 200N, góc giữa các lực cho
như hình vẽ 1.25. Hãy xác định hợp lực 𝑅
của hệ lực đó.

F4
F1

o
α
R

80o

x

50o
70o
F2

F3

Hình 1.25
Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ xoy như hình vẽ. Hình chiếu của các lực lên trục ox và oy
được xác qua tính tốn theo bảng sau:
Lực

F1

F2

F3

F4

Hình chiếu

X
Y

F2cos50o
- F3cos60o
- F2sin50o - F3sin60o

F1

0

-F4cos20o
F4sin20o

Ta có:
Rx=  X = X1 + X2 + X3 + X4 = F1 + F2cos50o- F3cos60o - F4cos20o
= 100 + 100. 0,6428 – 150 . 0,5 – 200 . 0,9397 = - 98,7N
Ry=  Y = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 0- F2sin50o- F3sin60o + F4sin20o
= 0– 100 . 0,766 – 150. 0,866 + 200 . 0,3420 = -138,1N
Do đó hợp lực có trị số:
R = Rx2  R y2 = (98,7) 2  (138,1) 2 = 170N
Và phương xác định bởi:
sinα =

Ry
R

−98,7
Rx
=
= - 0,580
170
R
− 138,1

cosα =

=

170

= - 0,812

Cả cosα và sinα đều âm do đó 𝑅nằm ở góc phần tư thứ ba với α = 54o33’


21
c. Điều kiện cân bằng của một hệ lực phẳng đồng qui theo giải tích.
Muốn hệ cân bằng thì hợp lực R = 0. Theo phương pháp giải tích

khi:

R = ( 𝑋)2 + ( 𝑌)2 Vì ( 𝑋)2 và ( 𝑌)2 ln dương do đó R chỉ bằng khơng
 X  0

 Y  0

(1-9)
Vậy, điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là tổng đại số hình
chiếu các lực thuộc hệ lên hai trục toạ độ đều phải bằng khơng.
Hệ phương trình (1-9) được gọi là các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng
đồng qui.
Thí dụ: Một giá đỡ cấu tạo bởi các thanh AB và BC được liên kết với nhau và với
tường bằng các khớp trục. Tại điểm B của giá gắn một rịng rọc (hình 1.26). Người ta
vắt qua rịng rọc một sợi dây một đầu buộc vào tường tại D, cịn đầu kia treo trọng
vật có trọng lượng Q = 100N. Bỏ qua trọng lượng các thanh và kích thước của ròng
rọc. Hãy xác định phản lực của các thanh AB và BC. Cho biết α = 30o, β = 45o.
Bài giải:
y

Xét sự cân bằng của ròng rọc B, ròng rọc
B chịu tác dụng của các lực: Trọng lực 𝑄,
sức căng của nhánh dây BD là 𝑇, phản lực
của hai thanh là 𝑆𝐴𝐵 và 𝑆𝐵𝐶 . Vì bỏ qua kích
thước của rịng rọc cho nên coi rịng rọc như
một điểm khi đó các lực trên tạo thành một
hệ lực phẳng đồng quy cân bằng và ma sát
tại ròng rọc được bỏ qua cho nên T = Q =
100N.
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ, chiếu
các lực lên hai trục tọa độ ta có kết quả sau:

D
SBC

T


A

SAB

x

B

α
C

Q

Hình 1.26
Lực

Hình chiếu

X
Y

Q

T

SAB

0
-Q

- T.cos45o
T.sin45o

- SAB
0

 X  0

áp dụng phương trình cân bằng (1-9) 

 Y  0

𝑿 = - T.cos45o - SAB + SBC.cos60o = 0

(1)

SBC
SBC.cos60o
SBC.sin60o


22
𝒀 = - Q + T.sin45 + SBC.sin60 = 0
o

Từ (2) => SBC =

𝑄 – 𝑇𝑠𝑖𝑛 45 𝑜
𝑠𝑖𝑛 60 𝑜

o

=

(2)

100 – 100.0,7071
0,866

= 33,8N

Thay vào (1) ta có:
SAB = SBC.cos60o- T.cos45o=33,8. 0,5 – 100.0,7071 = - 53,8N
SAB mang dấu (-) do đó chiều của nó ngược với chiều đã chọn.
* Phƣơng pháp giải bài tốn hệ lực phẳng đồng qui
Trình tự giải có thể tiến hành theo các bước sau
1. Chọn vật cân bằng:Vật được chọn để xét cân bằng thường là vật chứa lực cần tìm
hoặc chứa lực mà thơng qua đó biết được lực cần tìm.
2. Đặt lực:Đặt tất cả các lực lên vật đang xét cân bằng. Thường ta chia lực tác dụng
ra làm hai loại: Lực cho trước và phản lực liên kết
3. Giải bài tốn.Có thể giải bài tốn theo phương pháp hình học hoặc giải tích.
- Phương pháp hình học chỉ nên áp dụng khi giải bài tốn có ba lực bằng cách dựng
tam giác lực ta sẽ xác định được lực cần tìm.
- Phương pháp giải tích: Trước hết phải chọn hệ trục tọa độ, sau đó viết phương trình
hình chiếu cân bằng và giải phương trình cân bằng ta sẽ tìm được yếu tố cần tìm.
4.Nhận định kết quả: Thử lạikết quả hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù
hợp không.
2.2. Hệ lực phẳng song song – Ngẫu lực.
F2
2.2.1. Hệ lực phẳng song song
a. Định nghĩa.
Hệ lực phẳng song song là hệbao gồm các lực có
đường tác dụng cùng nằm trong một mặt phẳng
F1
và song song với nhau (hình 1.27).
Fn
Trong thực tế hệ lực phẳng song song ta cũng
gặp khá phổ biến như:áp lực của nước vào thành
bể, xe cần trục đặt trên đường ray thẳng…
Hình 1.27
Trong phần học này ta cũng phải thu gọn hệ lực phẳng

song song nhưng chỉ xét về hợp lực của hệ còn điều kiền cân bằng của hệ ta sẽ xét ở
phần sau.
b. Hợp hai lực song song cùng chiều.
Giả sử có hai lực song song cùng chiều 𝐹1 , 𝐹2 đặt tại A và B như hình 1.28.Ta

cần tìm hợp lực 𝑅của chúng.
Muốn vậy ta biến hệ lực song song này thành hệ lực đồng qui bằng cách tại A và
B đặt hai lực cân bằng 𝑆1 , 𝑆2 nằm trên phương AB.


23
Theo nguyên lý thêm
hoặc bớt một hệ lực cân

𝑆1,

bằng, tác dụng của𝐹1 và 𝐹2
vẫn không thay đổi, tức là:

A’

(𝐹1 , 𝐹2 ) ~(𝐹1 , 𝐹2 , 𝑆1 , 𝑆2 )
Hợp lần lượt từng cặp lực
đồng qui tại A và B được:

𝑆2,

O

𝐹1,

M 𝐹2,
N

S1

𝐹1 + 𝑆1 =𝑅1 𝐹2 + 𝑆2

B’
B S2

C

A

R1

=𝑅2

F1

Như vậy:

F2

(𝑅1 , 𝑅2 )~(𝐹1 , 𝐹2 )

R2

R

Hình 1.28

𝑅1 , 𝑅2 là hai lực đồng quy do đó chúng có hợp lực. Trượt 𝑅1 , 𝑅2 đến điểm
đồng qui O và phân tích ra các thành phần như ban đầu:
𝑅1 = 𝐹1, + 𝑆1,

𝑅2 = 𝐹2, + 𝑆2,
𝑆1, và 𝑆2, cân bằng nhau, ta có thể bỏ đi.

Do đó: (𝐹1 , 𝐹2 )~ (𝑅1 , 𝑅2 )~ (𝐹1, , 𝐹2, )

Hợp 𝐹1, và 𝐹2, ta được hợp lực 𝑅

Như thế: 𝑅 ~(𝐹1 , 𝐹2 ) do đó 𝑅 là hợp của 𝐹1 và 𝐹2

Như vậy hai lực song song cùng chiều có hợp lực 𝑅
- Về trị số:
R = F1 + F2
(1-10)

- Về phương chiều: 𝑅 cùng phương chiều với hai lực 𝐹1 và 𝐹2

-Để tìm điểm đặt, trượt𝑅trên đường tác dụng của nó đến điểm C nằm trên đoạn
AB. Do các tam giác OAC đồng dạng với tam giác OA’M, tam giác OBCđồng dạng
với tam giác OB’N, ta có:
CA S
(a)

CO F1

và

CB
S
(b)

CO F2
𝐶𝐴

Chia (a) cho (b) ta được:

𝐶𝐵

=

𝐹2
𝐹1

(1- 11)

Do tính chất của tỷ lệ thức cơng thức (1- 11) có thể viết dưới dạng khác
𝐶𝐴
𝐹2

=

𝐶𝐵
𝐹1

=

𝐶𝐴 + 𝐶𝐵
𝐹2 + 𝐹1

=

𝐴𝐵
𝑅

(1-12)

Vậy:Hai lực song song cùng chiều có hợp lực, hợp lực song song và cùng chiều với
hai lực đã cho, có trị số bằng tổng trị số của hai lực và đặt tại điểm chia trong của


24
đoạn thẳng nối điểm đặt của hai lực đã cho thành những đoạn thẳng tỷ lệ nghịch với
trị số của hai lực ấy.
Thí dụ: Thanh AB dài 0,6m tựa trên điểm D, ở hai đầu A và B treo những trọng
vật P1 = 60kN; P2 = 20kN (hình 1.29). Xác định khoảng cách từ A đến D để thanh
nằm ngang.
Bài giải
A
D
Để thanh cân bằng thì điểm tựa D phải
B

là điểm đặt hợp lực 𝑅 của 𝑃1 và 𝑃2
Trị số của hợp lực: R = P1 + P2

R = 60 + 20 = 80kN
Điểm đặt D: Ta có
AD =

𝑃2
𝑅

𝐴𝐷

𝑃2
20

. AB =

80

=

R

𝐴𝐵
𝑅

P2

P1

. 0,6 = 0,15m

Hình 1.29

c. Hợp hai lực song song ngược chiều.
Giả sử có hai lực song song ngược chiều 𝐹1 , 𝐹2 đặt tại A và B (F1> F2) như hình
1.30.Ta cần tìm hợp lực của chúng.
Áp dụng kết quả trên, trước hết phân
F2
tích 𝐹1 thành hai lực 𝐹2, và 𝑅 trong đó 𝐹2,
C
A
B
đặt tại B và trực đối với 𝐹2
(𝐹1 , 𝐹2 )~(𝐹2 , 𝐹2, , 𝑅 ). Ta thấy 𝐹2 , 𝐹2, là hai
lực cân bằng do đó ta có thể bớt đi
=>(𝐹1 , 𝐹2 )~(𝐹2 , 𝐹2, , 𝑅 ) ~𝑅

Vậy 𝑅 chính là hợp lực của 𝐹1 , 𝐹2

R

𝐹2,

F1

Hình 1.30

Hợp lực 𝑅được xác định như sau:
- Về trị số:
R = | F1 – F2 |
(1-13)
- Về phương chiều: Cùng phương, chiều với lực có trị số lớn hơn

- Về điểm đặt: Đặt tại điểm C chia ngồi đoạn AB và được xác định theo cơng thức
𝐶𝐴
𝐹2

=

𝐶𝐵 𝐴𝐵
𝐹1

=

𝑅

(1-14)

Vậy:Hai lực song song ngược chiều (không cùng trị số) có hợp lực, hợp lực có
trị số bằng hiệu trị số của hai lực đã cho, song song và cùng chiều với lực có trị số
lớn hơn, và có điểm đặt chia ngoài của đoạn thẳng nối điểm đặt của hai lực đã cho
thành những đoạn thẳng tỷ lệ nghịch với trị số của hai lực ấy.
Thí dụ: Hai lực F1 , F2 song song ngược chiều nhau(hình 1.31). Biết: F1 = 30kN; F2
= 20kN, đoạn AB = 0,2. Xác định hợp của hai lực.
Bài giải
Hai lực F1 , F2 có hợp lực 𝑅 được xác định như

sau:
- Trị số: R = | F1 – F2| = 30 – 20 = 10 kN

- Phương chiều: 𝑅 cùng phương chiều với F1