Giáo trình Cơ Học Ứng Dụng 2

CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

LỜI NÓI ĐẦU
- Môn học " Cơ học ứng dụng II " là một môn khoa học kỹ thuật cơ sở, nhằm trang bị,
cung cấp cho sinh viên Cao đẳng kỹ thuật những kiến thức cần thiết cơ bản nhất về Cơ
học, kết cấu, nguyên lý làm việc và các phương pháp tính toán, lựa chọn kết cấu, kích
thước của các chi tiết, máy móc, thiết bị sao cho phù hợp đảm bảo về độ bền, an toàn và
kinh tế…
- Ngoài ra môn học này còn góp phần bồi dưỡng tư duy khoa học, rèn luyện tính
năng, tác phong làm việc độc lập, cản thận tỷ mỷ gắn liền lý luận với thực tiễn làm cơ sở
để tiếp thu những môn học tiếp theo. Qua đó góp phần tạo nên những kiến thức cơ sở vững
chắc, cụ thể ứng dụng vào nhiều nghành nghề của người cán bộ cao đẳng kỹ thuật sau này.
- Cơ học ứng dụng được biên soạn với khối lượng gồm 2 phần 5 chương, 60 tiết học
làm tài liệu giảng dạy cho các lớp sinh viên các ngành kỹ thuật không chuyên Cơ khí, hệ
Cao đẳng của trường Cao đẳng Kinh tế kỹ thuật Công nghiệp I.
Mục đích của môn học :
Môn học " Cơ học ứng dụng II " là môn học kỹ thuật cơ sở nhằm trang bị cho sinh
viên những kiến thức cần thiết và cơ bản nhất về:
- Điều kiện cân bằng và chuyển động của vật rắn dưới tác dụng của lực.
- Các hình thức biến dạng của vật rắn dưới tác dụng của lực, các phương
pháp tính toán, kiểm tra độ bền, độ cứng, độ ổn định của các chi tiết máy, cấu kiện
thông dụng.
- Kết cấu trạng thái làm việc của các mối ghép cơ khí.
- Nguyên lý làm việc của các cơ cấu truyền động cơ bản.
Ngoài ra môn học còn góp phần bồi dưỡng tư duy khoa học rèn luyện tính
năng, tác phong làm việc độc lập, cẩn thận tỷ mỉ gắn liền lý luận với thực tiễn làm
cơ sở cho việc ứng dụng vào kiến thức chuyên môn sau này.
Yêu cầu môn học :
Sinh viên cần nắm được :

- Những khái niệm cơ bản về cơ học, các phép biến đổi tương đương về lực,
điều kiện cân bằng của các hệ lực và áp dụng các điều kiện cân bằng để tính
phản lực.
- Hình thức biến dạng, biết phân tích tình hình làm việc của các cấu kiện dưới
tác dụng của ngoại lực. Biết tính toán, lựa chọn kích thước, tiết diện ..... theo yêu
cầu về độ bền để áp dụng vào tính toán thiết kế các chi tiết máy thông dụng.
1


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

- Các dạng truyền động cơ bản, biết cách tính toán lựa chọn kết cấu của
chúng.
- Trong quá trình biên soạn chúng tôi cố gắng tham khảo nhiều tài liêu quý trong và
ngoài nước, cố gắng học hỏi ở nhiều người đi trước sao cho bài giảng ngắn gọn, sâu sắc,
thực tế, nhiều hình vẽ, ví dụ để các em sinh viên dễ tiếp thu. Ngoài ra chúng tôi còn đã
soạn xong Ngân hàng dữ liêu thi và kiểm tra để giúp cho các thầy cô giáo và các em sinh
viên dễ dàng hơn trong giảng dạy và học tập.
- Tuy nhiên vì trình độ, thời gian có hạn và giáo trình được viết lần đầu nên mặc dầu
đã có sự cố gắng đã dành nhiêu thời gian và công phu biên soạn xong bài giảng không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong muốn và thành thật cám ơn những ý kiến
đóng góp xây dựng của độc giả và các bạn đồng nghiệp để giáo trình này được hoàn thiện
hơn.
- Với lòng biết ơn sâu sắc chúng tôi chân thành cám ơn các thầy giáo trong khoa cơ
khí, phòng đào tạo và ban giám hiệu trường Cao đẳng kinh tế kỹ thuật công nghiệp I đã tạo
mọi điều kiện cho việc hoàn thành cuốn bài giảng này.
Nam định, Ngày 26 - 3 - năm 2004

2


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Phần I:
CHƯƠNG I :

CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
TĨNH HỌC

Mục đích: Trình bày những kiến thức cơ sở ban đầu về:
- Tìm hợp lực của một hệ lực
- Sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các lực.
Yêu cầu:
Nắm được các khái niệm cơ bản về cơ học, các phép biến đổi tương đương về lực, các
loại phản lực liên kết, cách tìm hợp lực của một hệ lực phẳng đồng quy, hệ lực phẳng
song song, hệ lực phẳng bất kỳ, hệ lực không gian.
- Nắm được điều kiện cân bằng của các hệ lực và áp dụng các điều kiện cân bằng để
tính phản lực liên kết.

1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1.1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong tĩnh học có 3 khái niệm cơ bản:

- Vật rắn tuyệt đối.
- Lực.

- Trạng thái cân bằng.

1. Vật rắn tuyệt đối :
a. Định nghĩa :
Vật rắn tuyệt đối là vật có khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc vật luôn luôn không
thay đổi.
Hay nói cách khác: Vật rắn tuyệt đối là vật rắn có hình dáng hình học và kích thước không
thay đổi trong suốt quá trình chịu lực.
b. Ý nghĩa :
Trong thực tế các vật rắn khi chịu lực đều có biến dạng. Nhưng trong Cơ học vật rắn
tuyệt đối chỉ nghiên cứu các trường hợp có biến dạng rất nhỏ so với kích thước của chúng
và có thể bỏ qua những biến dạng ấy mà không ảnh hưởng đến kết quả nghiên cứu.
2. Lực:
a. Định nghĩa:
Lực là một đại lượng đặc trưng cho sự tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là
gây nên sự thay đổi trạng thái chuyển động của các vật ấy.

3


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Ví dụ 1: Hộp phấn đặt trên bàn thì hộp phấn sẽ tác dụng lên bàn một lực ép, ngược lại
mặt bàn cũng tác dụng lên hộp phấn một lực đẩy.
b. Các yếu tố của lực: Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng lực được đặc trưng bởi ba yếu
tố:
- Điểm đặt: Là phần tử vật chất thuộc vật mà qua đó tác dụng tương hỗ được truyền
đến vật.

- Hướng (phương và chiều) của lực: Biểu thị khuynh hướng chuyển động mà lực đó
gây ra cho vật.
- Trị số (cường độ, mô đun) của lực: Là độ lớn của lực.
Đơn vị đo trị số của lựclà N ; KN ; MN

1MN=10 3KN=106N

c. Biểu diễn lực: Lực là một đại lượng véc tơ ( là một đoạn thẳng có hướng)
Véc tơ lực có: - Gốc trùng với điểm đặt của lực
- Hướng trùng với hướng của lực
- Độ dài tỷ lệ với trị số của lực

A

Véc tơ lực được ký hiệu bằng tên của lực với dấu

F
B
Hình 1-1

mũi tên ở trên chẳng hạn T , N , P, F .... tương ứng trị số của lực được ký hiệu T , N , P, F
Đường thẳng chứa véc tơ lực được gọi là đường tác dụng hay giá của lực.
3. Trạng thái cân bằng:
Vật rắn ở trạng thái cân bằng khi nó đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều đối với hệ
quy chiếu ( Hệ trục tọa độ được chọn làm chuẩn).
4. Một số định nghĩa khác:
a. Hệ lực: Là tập hợp các lực cùng tác dụng lên một vật rắn.
Hệ lực gồm các lực F1 , F2 ,.......Fn được ký hiệu là: ( F1 , F2 ,.......Fn ).
Nếu hệ lực có các đường tác dụng nằm trong cùng một mặt phẳng gọi là hệ lực
phẳng.

Nếu hệ lực phẳng có các đường tác dụng cắt nhau tại một điểm gọi là hệ lực phẳng
đồng quy. Nếu hệ lực phẳng có các đường tác dụng song song với nhau gọi là hệ lực phẳng
song song
b. Hai hệ lực tương đương:
Hai hệ lực được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tác dụng Cơ học. Ví dụ :
Hai hệ lực ( F1 , F2 ,.......Fn ) và ( P1 , P2 ,.......Pn ) tương đương được ký hiệu:
4


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

( F1 , F2 ,.......Fn ) ∼ ( P1 , P2 ,.......Pn ).
c. Hệ lực cân bằng:
Hệ lực được gọi là cân bằng nếu nó tác dụng lên vật rắn mà không làm thay đổi trạng
thái chuyển động của vật.
Hệ lực cân bằng ( F1 , F2 ,.......Fn ) được ký hiệu ( F1 , F2 ,.......Fn ) ∼ 0.
d. Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng đường tác dụng, cùng trị số nhưng ngược chiều
nhau.

F1
F1

F2

F2
Hình 1-2

e. Hợp lực: Là một lực duy nhất tương đương với một hệ lực.

Ký hiệu R ∼ ( F1 , F2 ,.......Fn )
1.1.2 CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC CƠ BẢN

1. Tiên đề 1: Tiên đề hai lực cân bằng
Điều kiện cần và đủ để 2 lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng phải trực đối
nhau.
F1
F2

A

B

A

F1
B

( F1 , F2 ) ∼ 0 hay F1 = − F2

F2
Hình 1-3

2. Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng
Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào (hay bớt đi)
hai lực cân bằng nhau.
Hệ quả: Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta trượt lực trên
đường tác dụng của nó.
F

F

A

A

F2

F1
B
Hình 1-4

Chứng minh: Thật vậy, giả sử tại điểm A của vật rắn có một lực F tác dụng
5

F
B

2


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Tại điểm B bất kỳ trên đường tác dụng của lực F ta đặt thêm vào 2 lực cân bằng F1
và F2 . Hai lực này cùng đường tác dụng và có cùng trị số với lực F .
Ta có: F ∼ ( F , F1 , F2 ) Theo tiên đề 2

(1)

Mặt khác F và F1 tạo ra một cặp lực cân bằng mới ( F , F1 ) ∼ 0 theo tiên đề 2 (2)
Từ (1) , (2) và theo tiên đề 2 ta có thể bớt 2 lực cân bằng này đi.
Ta có: F ∼ ( F , F1 , F2 ) ∼ F2
Ta nhận thấy F2 chính là F đã trượt từ A đến B trên đường tác dụng của nó.
Như vậy lực tác dụng lên một vật rắn tuyệt đối được biểu diễn bằng véc tơ trượt.
3. Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực
Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó và được biểu diễn
bằng véc tơ đường chéo hình bình hành lực mà 2 cạnh là 2 véc tơ biểu diễn 2 lực đã cho.
F1

F1
R

A

R

A

F2

F2

H×nh 1-5

H×nh 1-6

( F1 , F2 ) ∼ R
Theo phép cộng véc tơ ta có R = F1 + F2

4. Tiên đề 4: Tiên đề về lực tác dụng và phản lực tác dụng.
Ứng với mỗi lực tác dụng của vật thể này lên vật thể khác bao giờ cũng có phản lực
tác dụng với cùng phương, ngược chiều, cùng trị số .
Lực tác dụng và phản lực tác dụng luôn bằng nhau về trị số cùng phương, ngược
chiều.
A
N

F'

B
F

F
A

F'
B

H×nh 1-7
P

Nếu vật A tác dụng lên vật B một lực F thì vật B tác dụng lên vật A một lực
F , = −F
6


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------,

Nhưng F và F không tạo thành 1 hệ lực cân bằng vì chúng đặt vào 2 vật khác nhau
Lực tác dụng và phản lực tác dụng không phải là 2 lực cân bằng mà chúng chỉ là hai
lực trực đối.
1.1.3 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT

1. Khái niêm:
a. Vật thể tự do và vật thể không tự do ( Vật chịu liên kết):
- Vật thể tự do là vật thể có khả năng thực hiện mọi di chuyển trong không gian nghĩa
là vật di chuyển được theo mọi hướng.
Ví dụ: Quả bóng bay lơ lửng trên không có thể coi như vật tự do.
- Vật thể không tự do hay vật chịu liên kết là vật thể có một hoặc vài di chuyển bị cản
trở.
Ví dụ: Hộp phấn, quyển sách đặt trên bàn thì Hộp phấn, Quyển sách có chuyển động
thẳng đứng đi xuống bị cản trở nên gọi là vật chịu liên kết.
b. Liên kết và phản lực liên kết:
Những điều kiện cản trở chuyển động tự do của vật được gọi là liên kết.
Vật gây ra cản trở chuyển động của vật khảo sát được gọi là vật gây liên kết.
Lực do vật khảo sát tác dụng vào vật gây liên kết gọi là lực liên kết.
Lực do vật gây liên kết tác dụng vào vật khảo sát gọi là phản lực lực liên kết.
Hay phản lực liên kết chính là lực làm cản trở chuyển động tự do của vật khảo sát.
Theo tiên đề 4 (tiên đề lực tác dụng và phản lưc tác dụng) thì lực liên kết và phản lực
liên kết là 2 lực trực đối.
c. Tính chất của phản lựcliên kết:
- Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt lên vật khảo sát tại vị trí tiếp xúc với vật gây liên
kết.
- Phản lực liên kết cùng phương, ngược chiều với chiều chuyển động bị cản trở của
vật khảo sát.
- Trị số của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật khảo sát.
Qua các tính chất trên ta thấy:

Phản lực liên kết là một loại lực bị động nó phụ thuộc vào vật gây liên kết và các
dạng liên kết, khác với các lực tác dụng lên vật khảo sát đó là các lực đã cho hay lực chủ
động.
2. Các liên kết thường gặp:
7


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

a. Liên kết tựa:

NC
C

N
NB
H×nh 1-8

NA

A
B

Với giả thiết bỏ qua ma sát. Liên kết tựa cản trở chuyển động của vật khảo sát theo phương
vuông góc với mặt tiếp xúc chung giữa vật gây liên kết và vật khảo sát.
Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung, chiều đi từ vật
gây liên kết vào vật khảo sát, và có trị số chưa biết ?
Phản lực liên kết tựa có ký hiệu là N .

b. Liên kết dây mềm:
Liên kết dây mềm cản trở chuyển động của vật
khảo sát theo chiều kéo căng của sợi dây.

T
T1 T2

Phản lực liên kết dây mềm có phương dọc theo
phương của sợi dây, chiều theo chiều từ vật khảo sát
đi ra.
Phản lực liên kết dây mềm được ký hiệu là chữ

P

H×nh 1-9

P

T và còn gọi là sức căng của sợi dây.

c. Liên kết thanh:
Liên kết thanh thường dùng để chống đỡ hoặc treo vật Thanh có cấu trúc khớp ở 2
đầu (như hình vẽ ). Thanh có trọng lượng không đáng kể so với các lực mà thanh phải
chịu.
Phản lực liên kết thanh có phương là đường thẳng nối 2 khớp ở 2 đầu thanh, có chiều
là chiều giả định và được ký hiệu là chữ S .
S1

S1

S

S2

S2
B
A
P
N

H×nh 1-10

B

d. Liên kết bản lề phẳng: Có 2 loại.
B

- Liên kết bản lề phẳng di động: ( gối đỡ bản
lề phẳng di động)

N
A

B

8
H×nh 1-11


CƠ KỸ THUẬT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Liên kết bản lề phẳng di động cho phép vật khảo sát B quay quanh trục bản lề và di
chuyển theo phương song song với mặt tựa. Còn nó bị cản trở chuyển động theo phương
vuông góc với mặt tựa.
Phản lực liên kết bản lề phẳng di động có phương vuông góc với mặt tựa, chiều là
chiều giả định.
Nếu kết quả tính ra mang dấu (+) thì chiều giả định là đúng
Nếu kết quả tính ra mang dấu (-) thì chiều thực ngược với chiều đã giả định
- Liên kết bản lề phẳng cố định: ( gối đỡ bản lề phẳng cố động)
Liên kết bản lề phẳng cố định cho phép
vật khảo sát B quay quanh trục bản lề còn

Y

B

Y

mọi phương di chuyển khác đều bị cản trở
X

A

Phản lực liên kết bản lề phẳng cố định
có phương chưa biết, chiều chiều giả định và

R

α

X

H×nh 1-12

được ký hiệu là chữ R .
Để thuận tiện khi tính toán ta thường phân R làm 2 thành phần X và Y vuông góc
với nhau. Khi đó phản lực này có 2 yếu tố chưa biết là 2 trị số của X và Y .
d. Liên kết ngàm phẳng:
Liên kết này hạn chế mọi di chuyển và quay của vật khảo sát
Phản lực liên kết ngàm có R ( phương và trị số chưa biết) và m .
Y

R
m

α

m

R

α
X

H×nh 1-13

Để thuận tiện khi tính toán ta thường phân R làm 2 thành phần X và Y vuông góc
với nhau. Khi đó trong trường hợp nào ta cũng có 3 ẩn số là α, R và m hoặc X , Y và m .

* Mô hình bài toán: A - Liên kết bản lề phẳng cố định. B - Tựa tự do trên mũi
nhọn.
D - Liên kết bản lề phẳng di động. C - Liên kết ngàm
A

B

C
H×nh 1-14

3. Giải phóng liên kết :

9

D


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Khi khảo sát vật rắn ta tách chúng ra khỏi các mối liên kết và xác định hệ lực tác
dụng lên vật. Hệ đó gồm các lực đã cho và các phản lực liên kết tương ứng. Muốn vậy ta
thay các mối liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng. Quá trình đó gọi là quá trình
giải phóng liên kết. Sau khi giải phóng liên kết thì vật rắn đó được coi như là vật tự do cân
bằng dưới tác dụng của 1 hệ lực.
* Tiên đề 5 : Tiên đề về giải phóng liên kết
Mọi vật không tự do có thể xem như vật tự do nếu vứt bỏ liên kết và thay tác dụng
của chúng bằng các phản lực liên kết. Tức là có thể thay liên kết bằng các phản lực liên kết
tác dụng lên vật khảo sát.

Ví dụ 1: Dầm đồng chất AB có trọng lượng P với các liên kết là mặt phẳng OE, gối
tựa D và dây mềm OH ( như hình vẽ ). Xác định hệ lực tác dụng lên dầm AB.
Giải
B
D

ND

B

H

H
P

NA
P

A

O

A

T
H×nh 1-15

Khảo sát dầm AB. Các lực tác dụng lên dầm AB gồm:
- Trọng lượng của dầm là P
- Phản lực liên kết tựa N A , N D

- Phản lực liên kết dây mềm T
Vậy dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực: ( P, N A , N D , T ,)
Ví dụ 2: Quả cầu đồng chất có trọng lượng P được treo vào mặt tường nhẵn thẳng
đứng nhờ dây mềm OA ( như hình vẽ ). Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu.
Giải

A

Khảo sát quả cầu. Các lực tác dụng lên quả cầu gồm:
- Trọng lượng của quả cầu là P.

T

- Phản lực liên kết tựa N .
B

- Phản lực liên kết dây mềm T .

O

Vậy hệ lực tác dụng lên quả cầu là: ( P, N , T ,)

P
H×nh 1-16

⇒ Quả cầu cân bằng
10

N

CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Ví dụ 3: Quả cầu đồng chất có trọng lượng P được tựa trên 2 gối đỡ (như hình vẽ).
Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu.
Giải
Khảo sát quả cầu. Các lực tác dụng lên quả cầu gồm:
NA

- Trọng lượng của quả cầu là P
A

- Phản lực liên kết tựa N A , N B

NB

B
P

Vậy hệ lực tác dụng lên dầm AB là:
( P, N A , N B ) ⇒ Quả cầu cân bằng

H×nh 1-17

1.2 CÁC HỆ LỰC PHẲNG ĐẶC BIỆT
1.2.1 HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY

1. Định nghĩa:

Hệ lực phẳng đồng quy là một hệ lực gồm các lực có đường tác dụng cùng nằm trên
một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm.
Theo hệ quả của tiên đề 2 thì các lực có thể trượt trên đường tác dụng của nó nên khi
xét các hệ lực đồng quy ta trượt các lực của hệ lực đó về cùng một điểm. Khi đó hệ lực
phẳng đồng quy được thay thế bằng hệ lực phẳng đặt tại một điểm.
F1

F2
F1

A

F2
F3

A

F3

Fn

Fn
R

R

H×nh 1-18

2. Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy:
a. Thu gọn hai lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học:

- Thu gọn hai lực phẳng đồng quy:
Giả sử cho hệ 2 lực F1 , F2 đồng quy tại O. Hãy thu gọn hệ
( F1 , F2 ) thành một lực duy nhất.

A
F1
O

Theo tiên đề 3 ta có: Hợp lực R của F1 , F2 chính là đường
chéo OB của hình bình hành lực OABC : R = OB = F1 + F2

11

B
R
F2
H×nh 1-19

C


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Ta thấy F2 song và bằng AB nên nếu coi AB là F2 dời song song từ O tới A thì hợp
lực R chính là tổng của 2 véc tơ F1 , F2 đặt liên tiếp nhau. R = F1 + F2
Ta nói rằng: Hợp lực R khép kín tam giác lực hợp bởi các lực thành phần F1 , F2
- Quy tắc tam giác lực:
Muón tìm hợp lực của 2 lực đồng quy ta dời song song lực thứ 2 sao cho gốc của lực

thứ 2 trùng với mút của lực thứ nhất thì hợp lực là véc tơ khép kín tam giác lực hợp bởi 2
lực thành phần . Hợp lực R có gốc trùng với gốc của lực thứ nhất có mút trùng với mút
của lực thứ 2.
- Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy:
Cho hệ lực phẳng đồng quy tại O ( F1 , F2 ,.......Fn ). Hãy xác định hợp lực của hệ.
Áp dụng quy tắc tam giác lực lần lượt hợp hai lực lại ta được:
F1 + F2 = R1

F'3

F2'

R1 + F3 = R2 = F1 + F2 + F3

R1
F1

R2 + F4 = R3 = F1 + F2 + F3 + F4

R2

F2

F'4

O

...................................................

R

F3

Rn − 2 + Fn = R = F1 + F2 + ...... + Fn

F4

Ta thấy hợp lực R có gốc trùng với gốc của lực thứ nhất. Có mút
trùng
H×nh
1-20với mút của
lực cuối cùng . đường gẫy khúc F1, , F2, ,......., Fn, gọi là đa giác lực. Hợp lực R khép kín đa
giác lực.
- Quy tắc đa giác lực:
Muốn tìm hợp lực của một hệ lực phẳng đồng quy, ta dời song song liên tiếp nhau
các véc tơ lực sao cho gốc của véc tơ thứ hai trùng với mút của véc tơ thứ nhất, gốc của
véc tơ thứ 3 trùng với mút của véc tơ thứ hai....... cho đến véc tơ cuối cùng thì hợp lực là
một véc tơ khép kín đa giác lực vừa tạo thành . hợp lực có gốc trùng với gốc của véc tơ thứ
nhất có mút trùng với mút của véc tơ cuối cùng.
b. Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích.
- Chiếu một lực lên hai trục tọa độ.
Giả sử có một lực F đặt trong hệ trục tọa độ xoy. Lực F có đường tác dụng hợp với
trục ox một góc là α. Ta phải xác định hình chiếu của lực F lên trục ox và oy.
12


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Gọi hình chiếu của lực F lên trục trục ox là FX , oy là FY.

FX = ± F cosα ; FY = ± F cosα
y

y
F

O

x

Fx

α

α

O

F

Fy

Fx

x

H×nh 1-21

Tùy theo giá trị của góc α mà FX , FY có thể (+) (-) hoặc bằng 0.
Hình chiếu của một lực lên một trục là một đại lượng vô hướng bằng độ dài đại số

của đoạn thẳng giới hạn bởi hình chiếu của điểm gốc và điểm mút của véc tơ lực.
Hình chiếu của một lực lên một trục nào đó có dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của
gốc đến điểm chiếu của mút cùng chiều với chiều dương của trục và có dấu (-) trong
trường hợp ngược lại.
Ngược lại khi biết các hình chiếu FX , FY của lực F lên các trục ox; oy ta hoàn toàn
xác định được lực F .
Trị số : F =

FX2 + FY2

Phương, chiều : cosα =

FX
F
; sinα = Y
F
F

⇒ tgα =

FY
FX

y

* Trường hợp đặc biệt:
Khi lực vuông góc với trục thì hình chiếu của lực lên Fy1

F2

F1

trục bằng 0.
Khi lực song song với trục thì trị số tuyệt đối hình chiếu

Fx2

O

H×nh 1-22

của lực lên trục bằng trị số của lực.
Y

- Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình chiếu.
B

Giả sử có hệ Flực
y2 phẳng đồng quy tại O ( F1 , F2 ,....Fn ). Hãy xác định hợp lực của hệ.
F2

F1

C

R Ta có: R = F + F + .............. + F
y1 cộng véc tơ theo hình đa giác lực.
Áp dụng quyFtắc
1
2

n
Ry

O1

Fy3

F3

O

Fx1

Fx2
13

Fx3
Rx

H×nh 1-23

x

x


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Gọi RX và RY là hình chiếu của lực R lên hai trục tọa độ ox; oy
FX1 ; FX2;.... FXn và FY1 ; FY2;.... FYn là hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ
ox; oy thì theo hình chiếu véc tơ tổng ( hình chiếu của véc tơ hợp lực bằng tổng hình chiếu
của các véc tơ lực thành phần trên cùng một trục tọa độ ).
Ta có : RX = FX1 + FX2+.........+ FXn = ∑ FXi
RY = FY1 + FY2+.........+ FYn = ∑ FYi
Ta xác định được hợp lực R :
Trị số : R = R X2 + RY2
Phương, chiều : cosα =

RY
RX
R
; sinα = Y ⇒ tgα =
RX
R
R

3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy:
Ta thừa nhận hệ lực phẳng đồng quy tương đương với một hợp lực R . Muốn hệ lực
phẳng đồng quy cân bằng thì trị số của hợp lực R phải bằng 0.
a. Điều kiện hình học:
Muốn R = 0 thì đa giác lực của hệ phải tự đóng kín. Nghĩa là đa giác lực có điểm mút
của véc tơ lực cuối cùng phải trùng với điểm gốc của véc tơ lực đầu tiên.
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là đa giác lực của hệ
phải tự đóng kín.
b. Điều kiện giải tích:
Theo phương pháp giải tích ta có: R =

R X2 + RY2

Muốn R = 0 thì đồng thời phải có : RX = 0 hay ∑ FXi
RY = 0

∑ FYi

Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hình chiếu của
các lực thuộc hệ lên 2 trục tọa độ đều phải bằng 0.
4. Phân tích 1 lực thành 2 đồng quy:
a. Khi biết phương của lực:
14


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Giả sử cần phân tích lực R thành 2 lực F1 và F2 theo 2 phương ox và oy.
Muốn vậy, từ mút C của R ta dựng các đường thẳng song song với 2 phương ox và
oy. Các đường thẳng này cắt ox tại A và cắt oy tại B. Giao điểm A, B sẽ xác định độ lớn
của F1 và F2 . Ta có OA = F1 và OB = F2 . Theo tiên đề 3 ta có : F1 + F2 = R
b. Khi biết phương chiều và trị số của 1 lực:
Giả sử cho lực R và 1 thành phần lực F1 cần phân tích lực R thành 2 lực F1 và F2 .
y
R

F2
O

A

C

B

F1

B
R

F1
O

x

A

F2

H×nh 1-24

A

H×nh 1-25

Muốn vậy, từ mút A của lực F1 nối tới mút B của lực R ta sẽ được véc tơ AB . Từ O
ta dựng véc tơ F2 song song, cùng chiều và cùng trị số với AB ta được lực F1 và F2 là
các lực thành phần của R .
Ví

dụ1: Cho hệ lực phẳng đồng quy gồm

các

F1 = F2 = 100 N ,

lực

F3 = 150 N , F4 = 200 N . Góc giữa các lực đặt như hình vẽ. Xác định hợp lực của hệ lực đó.

Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ và ta xác định hình chiếu của từng lực.
Lực F1 có: FX 1 = F1 = 100 N

y

FY 1 = 0
F4

Lực F2 có: FX 2 = F2 cos 50 0 = 100 × 0,6428 = 64,28 N
FY 2 = − F2 sin 50 0 = −100 × 0,766 = −76,6 N

Lực F3 có: FX 3 = − F3 cos 60 = −150 × 0,5 = −75 N
0

F1

α 80°
70°
R

F3

FY 3 = − F3 sin 60 = −150 × 0,866 = −129,9 N

Lực F4 có: FX 4 = − F4 cos 20 0 = −200 × 0,9397 = −187,94 N
FY 4 = F4 sin 20 0 = 200 × 0,342 = 68,4 N
R X = ∑ FX = FX 1 + FX 2 + FX 3 + FX 4 = 100 + 64,28 − 75 − 187,94 = −98,7 N

15

F2

H×nh 1-26

0

RY = ∑ FY = FY 1 + FY 2 + FY 3 + FY 4 = 0 − 76,6 − 129,9 + 68,4 = −138,1N

x

50°


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Trị số của hợp lực: R = R X2 + RY2 = (−98,7) 2 + (−138,2) 2 ≈ 170 N
Hướng của hợp lực: cos α =

Sinα =

RX
98,7
=−
≈ −0,58
R
170
Ry
R

=−

138,1
≈ −0,812
170

Vậy hợp lực R nằm ở góc phần tư thứ 3với α = 54 0 33'
Ví dụ 2: Dây treo vật có trọng lượng P = 80 KN được vắt qua ròng rọc A và giữ bởi
tời D, ròng rọc A có bán kính không đáng kể. Xác định phản lực của các thanh AB và AC
( như hình vẽ ). Bỏ qua ma sát ở ròng rọc, trọng lượng của các thanh và dây.
Giải
Xét cân bằng của ròng rọc A. các lực tác dụng lên ròng A có:
Trọng lực P
Sức căng của sợi dây T ( T=P vì bỏ qua ma sát ở ròng rọc A).
Phản lực của các liên kết thanh S AB , S AC có chiều giả định như trên hình vẽ.
Nhờ ròng rọc A có bán kính không đáng kể nên ta có thể xem P, T , S AB , S AC là hệ lực
phẳng đồng quy.⇒ Ròng rọc A cân bằng dưới tác dụng của hệ lực: ( P, T , S AB , S AC ) .
B
y

30°
x

SAB
A
60°

D
SAC

C

30° T=P

A
60°
P

P

H×nh 1-27

Chọn hệ trục xAy như hình vẽ. Ta có các phương trình cân bằng.
0
0
∑ FX = cos 30 − P cos 60 − S AC = 0

(1)

∑ FY = −T sin 30 0 − P sin 60 0 + S AB = 0

(2)

Từ phương trình (1) ta có: S AC = T cos 30 0 − P cos 60 0 = P(cos 30 0 − cos 60 0 )

16


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

S AC = 80(

3 1
− ) = 29,3KN
2 2

Từ phương trình (2) ta có: S AB = T sin 30 0 + P sin 60 0 = P(sin 30 0 + sin 60 0 )
1
3
S AC = 80( +
) = 109,3KN
2 2

1.2.2 HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Hệ lực phẳng song song là một hệ lực gồm các lực có đường tác dụng cùng nằm trên
một mặt phẳng và song song với nhau.
2. Thu gọn hai lực song song cùng chiều:

Giả sử có 2 lực song song cùng chiều F1 đặt ở A và F2 đặt ở B của thanh AB.
Ta cần phải chứng minh hệ ( F1 , F2 ) có hợp lực và phải xác định hợp lực ấy.
O

Q1
R1
I

Q1

R2

A

Q2

F1 R 2
M

K

F2
N

B

C

F1

F2

R

Q2

R2

H×nh 1-28

Để đưa 2 lực song song thành 2 lực đồng quy thì tại các điểm A và B ta đặt thêm
vào 2 lực cân bằng Q1 và Q2 với ( Q1 = −Q2 ) và chúng có hướng dọc theo đường thẳng AB.
Theo quy tắc hình bình hành lực ta có: F1 + Q1 = R 1
F2 + Q2 = R 2

Theo tiên đề 2 và tiên đề 3 ta có: ( F1 , F2 ) ∼ ( F1 , F2 , Q1 , Q2 ) ∼ ( R1 , R2 ).
Vì R1 , R2 là 2 lực đồng quy có hợp lực nên hệ ( F1 , F2 ) cũng có hợp lực.
Để xác định hợp lực ta trượt R1 , R2 về điểm đồng quy 0 là giao điểm của các đường
tác dụng của chúng rồi lại phân tích chúng ra thành các lực thành phần ban đầu. Khi đó tại
điểm 0 sẽ có:
17


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

2 lực Q1 và Q2 cân bằng nhau nên có thể loại bỏ
2 lực F1 , F2 cùng phương cùng chiều, hợp chúng lại ta có : R = F1 + F2
Ta trượt R = F1 + F2 theo đường tác dụng của chúng về điểm C trên AB

Vậy R chính là hợp lực của các lực song song F1 , F2 đặt tại A và B.
Để xác định điểm C ta xét các tam giác đồng dang:
CA
IN Q1
=
=
OC ON F1

∆ AOC ∼ ∆ ION do đó
∆ BOC ∼ ∆ KOM do đó

(1)

CB MK Q2
=
=
OC OM F2

Chia (1) cho (2) với chú ý Q1 = Q2 ta được:

(2)

CA F2
=
hay CA . F1 = CB . F2 (3)
CB F1

Ta thấy điểm C chia AB thành 2 đoạn tỷ lệ nghịch với trị số của 2 lực F1 và F2 đã
cho.
Do tính chất của tỷ lệ thức ⇒ Công thức (3) còn có thể viết:

CA CB CA + CB
=
=
F2
F1
F2 + F1

CA CB AB
=
=
F2
F1
R

hay

Vậy: Hợp lực của 2 lực song song cùng chiều là một lực song song cùng chiều với
các thành phần đã cho có trị số bằng tổng trị số của các lực thành phần. Còn điểm đặt của
hơp lực nằm trên đường nối 2 điểm đặt của 2 lực thành phần và chia đường nối ấy thành 2
đoạn tỷ lệ nghịch với trị số của 2 lực ấy.
Ví dụ 1: Ở 2 đầu thanh A và B dài 0,6 m người ta treo những tải trọng P 1= 60 KN và
P2 = 20 KN ( như hình vẽ ). Xác định khoảng cách từ A đến điểm đỡ C để thanh AB cân
bằng.
A

C

B

C

A

B

P2
P1

P2

P1
H×nh 1-29

R

Giải
Để thanh AB cân bằng thì điểm đỡ C phải trùng với điểm đặt của hợp lực R của P 1 và
P2. Theo công thức:

R = P1 + P2 = 60 + 20 =80 KN

18


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

hay

CA CB AB
=
=
P2
F1
R

⇒ CA =

AB.P2 0,6.20
=
= 0,15m
R
80

CA CB AB
=
=
P2
F1
R

⇒ CB =

AB.P1 0,6.60
=
= 0,45m
R
80

Ví dụ 2: Trên dầm AB dài l = 7 m người ta treo 1 vật nặng có trọng lượng P = 14 KN
Hỏi phải treo vật nặng ấy cách gối đỡ A là bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số
là FA = 5 KN.

C

A

Giải

B

x

Để thanh AB cân bằng thì nếu áp lực tác dụng lên

FA

gối A là FA = 5 KN thì áp lực tác dụng lên gối B có trị

FB

H×nh 1-30

số: FB =P – FA = 14 – 5 = 9 KN ⇒ P là hợp lực của FA và

P

F B.
Để xác định điểm đặt của hợp lực P thì ta gọi điểm đặt đó là D và D cách gối A một

khoảng là x ⇒ Ta phải tính x = ?
CA CB AB
AD DB AB
x
DB AB
=
=
=
=
=
=
Ta có :
hay
F2
F1
R
FB
FA
P
FB
FA
P

Áp dụng công thức:

⇒ x=

AB.FB 7.9
=
= 4,5m

P
14

3. Thu gọn hai lực song song ngược chiều:
Giả sử có 2 lực song song ngược chiều và không cùng trị số ( F1 đặt ở A và F2 đặt ở
B và F1 > F2 như hình vẽ ) Ta cần phải chứng minh hệ ( F1 , F2 ) có hợp lực và xác định hợp
F1

lực ấy.

F'1=R

F'1
F''1
B
C

A

B

A

F2

C

A

B

F2
H×nh 1-31

Trước hết ta phân tích lực có trị số lớn F1 thành 2 lực song song cùng chiều F1, và
F1,, trong đó F1,, cùng phương ngược chiều và có trị số bằng F2 .
19


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Vậy F1 là hợp lực của 2 lực song song cùng chiều
F1 = F1, + F1,, ⇒ ( F1 , F2 ) ∼ ( F1, , F1,, , F2 )

Mà F1,, và F2 là 2 lực cân bằng nên theo tiên đề 2 ta có:( F1 , F2 ) ∼ ( F1, , F1,, , F2 ) ∼ F1,
Vậy theo định nghĩa thì F1, là hợp lực của ( F1 , F2 )
Ta đổi F1, thành R và xác định R .
Ta có: F1 = F1, + F1,, nên F1, = F1 - F1,,
Mà F1, là R và F1,, = F2

⇒

Trưòng hợp tổng quát thì trị số

R = F1 - F2
R = F1 - F2

''

Ta có:

CA F1
F
= ' = 2
CB F1
R

⇒

CA
F2
=
CA + AB F2 + R

CA F2
=
CB F1

hay

Theo tính chất của tỷ lệ thức thì công thức trên còn có thể viết
CA CB CA − CB
=
=
F2
F1
F2 − F1

hay

CA CB AB
=
=
F2
F1
R

Vậy: Hai lực song song ngược chiều có hợp lực. Hợp lực ấy song song cùng chiều
với lực có trị số lớn, có trị số bằng hiệu trị số của 2 lực thành phần đã cho và có điểm đặt
nằm phía ngoài trên đường nối 2 điểm đặt của 2 lực thành phần và chia đường nối ấy thành
2 đoạn tỷ lệ nghịch với trị số của 2 lực ấy.
Ví dụ: Có 2 lực song song ngược chiều F 1 = 30 KN , F2 = 20 KN đặt ở 2 đầu thanh
AB có chiều dài l = 0,2 m như hình vẽ. Hãy xác định hợp lực của hệ lực ấy.
Giải

F2

Hợp l.ực R của F1 và F2 có độ lớn:
R = F1 - F2 = 30 – 20 = 10 KN

A

CA CB AB
=
=
Hợp lực đặt tại điểm C với :
F2
F1

R

⇒ CA =

C

B

AB.F2 0,2.20
=
= 0,4m
R
10

R

F1

H×nh 1-32

Vậy hợp lực R = 10 KN song song cùng chiều với lực F1 đặt tại C cách A một đoạn là
0,4 m.
1.2.3 NGẪU LỰC VÀ HỆ NGẪU LỰC

1. Ngẫu lực

20


CƠ KỸ THUẬT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

a. Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ lực gồm 2 lực song song cùng phương, ngược chiều,
cùng trị số nhưng không cùng đườngn tác dụng.
Kí hiệu ngẫu lực là ( F , F , )
Mặt phẳng chứa 2 đường tác dụng của 2 lực lập thành ngẫu gọi là mặt phẳng tác
dụng.
Khoảng cách giữa 2 đường tác dụng của 2 lực lập thành ngẫu gọi là cánh tay đòn kí
hiệu là a
Ví dụ: Hệ 2 lực ( F , F , ) song song cùng phương, ngược chiều,

F

cùng trị số (như hình vẽ).

a

Ta thấy: - Hệ ( F , F , ) không có hợp lực vì R = F – F’ = 0
- Hệ ( F , F , ) không phải là 2 lực cân bằng vì 2 lực F và

F'
H×nh 1-33

F , không cùng đường tác dụng

Mà hệ ( F , F , ) có khuynh hướng là cho vật quay và được gọi là ngẫu.
b. Các yếu tố của ngẫu lực: Có 3 yếu tố
- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực là mặt phẳng chứa các lực lập thành ngẫu.
- Chiều quay của ngẫu lực là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên.

- Trị số mô men của ngẫu lực là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn.
m = ± F ×a

Đơn vị Nm

m có dấu (+) nếu ngẫu lực có xu hướng làm cho vật quay ngược chiều kim đồng hồ.
m có dấu (-) nếu ngẫu lực có xu hướng làm cho vật quay theo chiều kim đồng hồ.
c. Véc tơ mô men của ngẫu: Kí hiệu m ( F , F , ) có:
- Phương vuông góc với mặt phẳng chứa các lực của ngẫu.
- Chiều sao cho nhìn từ mút của m xuống mặt phẳng chứa ngẫu thấy các lực của ngẫu
quay ngược chiều kim đồng hồ.
- Độ dài biểu diễn trị số mô men của ngẫu m = F . a
Đối với hệ lực lập thành ngẫu cùng nằm trong 1 thì ngẫu lực đó được định nghĩa bằng
giá trị đại số m = ± F × a
m lấy dấu (+) nếu ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ.
m lấy dấu (-) nếu ngẫu lực quay cùng chiều kim đồng hồ.

Chú ý: m = 0 khi a =0 ⇒ ( F , F , ) trực đối.
21


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

F
m

m

F

F'

m=F.a

m=-F.a

F'

H×nh 1-34

d. Các định lý về sự tương đương của 2 ngẫu lực:
- Định lý 1: Có thểư thay thế ngẫu lực tác dụng lên vật thể bằng bất kỳ một ngẫu lực
nào nằm trên cùng mặt phẳng và có cùng mô men mà không làm thay đổi tác dụng đối với
vật thể.
- Định lý 2: Tác dụng của ngẫu lực đối với vật thể không thay đổi nếu ta dịch chuyển
ngẫu lực từ mặt phẳng này sang mặt phẳng khác song song với nó.
e. Các tính chất của ngẫu lực:
- Tính chất 1: Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi nếu ta di chuyển ngẫu lực
trong mặt phẳng tác dụng của nó.
- Tính chất 2: Có thể tùy ý thay đổi trị số của lực và chiều dài cánh tay đòn của ngẫu
lực mà không làm thay đổi trị số mô men của ngẫu lực.

d1
F

Q
P

P
F'

d

F

P'

h

d2
P

P'
P'

Q

m=F.d=P.h

Q'

F'
H×nh 1-36

H×nh 1-35

2. Hệ ngẫu lực
a. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng:

Giả sử có hệ gồm 3 ngẫu lực m1 ( F1 , F1, ) , m2 ( F2 , F2, ) , m3 ( F3 , F3, ) cùng tác dụng lên 1 vật
như hình vẽ.
22


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Trong đó: F1 = 10 N , a1 = 2m ⇒ m1 = F1 × a1 = 10 × 2 = 20 Nm
F2 = 12 N , a1 = 4m ⇒ m2 = F2 × a 2 = 12 × 4 = −48 Nm
F3 = 8 N , a 3 = 1m ⇒ m3 = F3 × a3 = 10 × 1 = −8 Nm

Ta cần phải thu gọn hệ 3 ngẫu lực đó.
Theo định lý về sự tương đương và tính chất của ngẫu lực thì ta có thể biến đổi 3
ngẫu lực đã cho đó thành 3 ngẫu lực mới có cùng cánh tay đòn a = 2m và cùng đặt tại 2
điểm A và B như hình vẽ.
Khi đó để trị số mô men của 3 ngẫu lực m1 , m2 , m3 đã cho không thay đổi khi chúng
thay đổi cánh tay đòn thì:
F3

F2
a1

F2 = 24

a3

F1

a2

F3 = 4

F'3

A
F'2

F'1

R = 18

F'1

a = 2m

F1 = 10

B
F'3

a = 2m

B

A
R'

F'2

H×nh 1-37
'
m1 ( F1 , F1, ) có F1 = F1 = 10 N và a1 = 2m
'
m2 ( F2 , F2, ) có F2 = F2 = 24 N và a 2 = 2m
'
m3 ( F3 , F3, ) có F3 = F3 = 4 N

và a3 = 2m

Thu gọn các lực tại điểm A ta được: R = F1 + F2 + F3 = 10 − 24 − 4 = −18 N
Thu gọn các lực tại điểm A ta được: R ' = F1' + F2' + F3' = 10 − 24 − 4 = −18 N
Ta thấy R = R ' lập thành 1 ngẫu lực mới, ngẫu lực này tương đương với cả 3 ngẫu lực
đã cho và gọi là ngẫu lực tổng hợp có mô men được kí hiệu là: M
M = R × a = −18 × 2 = −36

Mà mô men tổng hợp của 3 ngẫu lực đã cho là:
∑ m = m1 + m2 + m3 = 20 − 48 − 8 = −36 Nm
Vậy M = ∑ m = m1 + m2 + m3
Trường hợp tổng quát: M = ∑ m K = m1 + m2 + m3 + ..... + mn
Vậy: Hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp trên cùng mặt phẳng
ấy với mô men bằng tổng đại số các mô men của các ngẫu lực thành phần thuộc hệ.
23


CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

Ví dụ: Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực có mô men m1 = 60 Nm , m2 = 120 Nm ,
m3 = −30 Nm . Hãy xác định mô men của hệ ngẫu lực tổng hợp và trị số của ngẫu lực tổng

hợp khi nó có cánh tay đòn là 0.5 m.
Giải
Ta có: M = ∑ m = m1 + m2 + m3 = 60 + 120 –30 = 150 Nm
R=

M 150
=
= 30( N )
a
0,5

b. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng:
Ta biết hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp nên muốn cân
bằng ngẫu lực tổng hợp thì M = 0 mà M = ∑ m ⇒ Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực
phẳng là ∑ m = 0
Vậy: Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng là tổng mô men của các ngẫu lực
thành phần thuộc hệ phải bằng 0.
Ví dụ: Dầm AC chịu tác dụng của các ngẫu lực có trị số mô men m1 = 20 KNm ,
m2 = 15 KNm , m3 = 10 KNm (như hình vẽ ). Hãy xác định phản lực ở các gối đỡ A và B của

dầm.

NA

m1

m2

A

NB

m3

B

C

l = 4m
H×nh 1-38

Giải

Trên dầm AC chỉ có các ngẫu lực tác dụng nên để dầm cân bằng thì ở 2 gối đỡ A và
B xuất hiện các phản lực N A , N B vuông góc với mặt tựa lập thành một ngẫu lực cân bằng
với các ngẫu lực đã cho. ( N A , N B ) có chiều giả định như hình vẽ.
Áp dụng điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng ta có:
∑ m = N A × l − m1 + m2 − m3 = 0
⇒ NA = NB =

m1 − m2 + m3 20 − 15 + 10
=
= 3,75KN
l
4

24

CƠ KỸ THUẬT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KT KT CN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------

1.3 HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ
1.3.1 MÔ MEN CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa:
Giả sử có một lực F tác dụng lên một vật rắn làm vật rắn đó quay quanh điểm cố
định O.
Tác dụng quay mà lực F gây ra cho vật phụ thuộc vào: Trị số của lực, khoảng cách
từ điểm O đến đường tác dụng của lực và chiều quay mà lực F gây ra cho vật. Có thể
ngược hay thuận chiều kim đồng hồ thì: Đại lượng đặc trưng cho cả tác dụng quay và chiều
quay đó được gọi là mo men của một lực đối với một điểm.
Vậy momen của một lực đối với một điểm là một đại lựợng

F

đại số có giá trị tuyệt đối bằng tích số giữa trị số của lực với cánh

a
O

tay đòn.
mo( F ) = ± F.a

H×nh 1-39

Trong đó: mo( F ) - Là ký hiệu mô men của lực F đối với điểm O
F - Là trị số của lực đơn vị là N hoặc KN.
a - Là cánh tay đòn đơn vị là m.
( Cánh tay đòn là khoảng cách từ điểm cần xét tới đường tác dụng của lực).
Quy ước : Momen lấy dấu (+) khi lực F làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ
và lấy dấu (–) trong trường hợp ngược lại.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Xác định mô men của các lực F1 , F2 đối với các điểm O như hình vẽ.
Biết F1 = F2 = 320 N ; α = 30 0 ; OA = 0,4m
Giải

F1

O

Mô men của lực F1 đối với điểm O

α

m0 ( F1 ) = − F1 × OA = −320 × 0.4 = −128 Nm
H

Mô men của lực F2 đối với điểm O

A
F2
H×nh 1-40

m0 ( F2 ) = F2 × OH = F2 .OA. sin α = 320 × 0.4 × 1 = 64 Nm
2

Ta thấy cùng 1 điểm đặt thì lực tác dụng vuông góc với tay quay sẽ cho tác dụng lớn
nhất.
25