Giáo trình sức bền vật liệu (nghề cắt gọt kim loại CĐTC)

TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ ĐỒNG THÁP
KHOA CƠ KHÍ – XÂY DỰNG

GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC: SỨC BỀN VẬT LIỆU
NGHỀ: CẮT GỌT KIM LOẠI
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG/TRUNG CẤP
(Ban hành kèm theo Quyết định số:……, ngày……, tháng……, năm 2017
của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Nghề Đồng Tháp)

Đồng Tháp, năm 2017


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được
phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các tiêu đề đích về đào tạo và tham
khảo.
Mọi tiêu đề đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với tiêu đề đích kinh
doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.

1


LỜI NĨI ĐẦU

Mơn cơ học nói chung, sức bền vật liệu nói riêng là mơn học cơ bản cho sinh
viên tất cả các nghành của trường đại học kỹ thuật. u cầu chính của mơn học nhằm
cung cấp các kiến thức cơ bản về ứng xử của hệ vật rắn trong kỹ thuật dưới tác động
bên trong. Vì mục đích trên giáo trình được gọi tên là sức bền vật liệu.
Quan điểm của tác giả khi biên soạn là: đi từ cơ bản đến chi tiết, sự chặt chẽ và
thống nhất xun suốt về cơ sở tốn học. Do đó, để thuận lợi cho người sử dụng, mỗi

chương của sách có tóm tắt lý thuyết, được trình bày khá cơ đọng và một số cơ sở toán
học mới đã được đưa vào. Ngồi ra mỗi chương cịn có một số ví dụ cụ thể vừa để
minh họa cho phần lý thuyết vừa làm bài giải mẫu.
Với kinh nghiệm giảng dạy và tham khảo các tài liệu khác có liên quan đến nội
dung mơn cơ kĩ thuật. Nhưng, giáo trình này sẽ khơng tránh khỏi nhược điểm và thiếu
sót. Tơi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và quý bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả:

2


MỤC LỤC

Trang
LỜI GIỚI THIỆU .................................................................................................. 4

Chƣơng 1: Những khái niệm chung ............................................................................. 5
1.1. Giới thiệu lịch sử môn học SBVL ........................................................................ 5
1.2. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn học ................................................ 5
1.3. Các giả thuyết cơ bản về vật liệu ......................................................................... 6
1.4. Các dạng chịu lực và biến dạng ........................................................................... 8
1.5. Ngoại lực liên kết và phản lực liên kết ................................................................ 9
1.6. Nội lực và ứng suất ............................................................................................ 10
Chƣơng 2: Kéo và nén đúng tâm ............................................................................... 13
2.1. Khái niệm về kéo (nén) đúng tâm ...................................................................... 13
2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực .................................................................................. 13
2.3. Ứng suất và biến dạng ........................................................................................ 17
2.4. Đều kiện bền. Ba bài toán về cơ bản về cường độ ............................................. 19

2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu kéo nén đúng tâm ............................................... 21
2.6. Bài tập ứng dụng ................................................................................................ 23
Chƣơng 3: Đặc trƣng hình học của hình phẳng ....................................................... 25
3.1. Khái niệm ........................................................................................................... 25
3.2. Trọng tâm của hình phẳng.................................................................................. 26
3.3. Moment qn tính chính trung tâm của 1 số hình đơn giản .............................. 28
3.4. Moment chống uốn ............................................................................................ 29
Chƣơng 4: Uốn ngang phẳng ...................................................................................... 34
4.1. Khái niệm ........................................................................................................... 34
4.2. Biểu đồ nội lực của bài toán phẳng và các quy ước ........................................... 35
4.3. Vẽ biểu đồ nội lực bằng phương pháp mặt cắt .................................................. 35
4.4.Vẽ biểu đồ nội lực bằng phương pháp cộng tác dụng ......................................... 38
Kiểm tra
Chƣơng 5: Thanh chịu lực phức tạp .......................................................................... 40
5.1. Khái niệm thanh chịu lực phức tạp .................................................................... 40
5.2. Thanh chịu uốn xiên ........................................................................................... 40
5.3. Ba dạng bài toán cơ bản ..................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 48

3


CHƢƠNG 1:KHÁI NIỆM VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU
NỘI DUNG
- Đưa ra các khái niệm cơ bản: Thanh, ngoại lực, Phản lực trong phần 1.
- Các khái niệm về chuyển vị và biến dạng.
- Khái niệm về nội lực.
HƢỚNG DẪN CÁCH HỌC CUA CHƢƠNG TRÊN NHƢ SAU
Học viên cần tự đọc và nghiên cứu trước các khái niệm và đồng thời chuẩn bị
trước những câu hỏi giáo viên đã giao, kể cả những vấn đề chưa hiểu rõ để trao đổi

trên lớp, cụ thể là đọc các phần đã trình bày trong nội dung trên .
Giảng viên sẽ phân tích nội dung chính là khái niệm về nội lực và đồng thời
giành cho học viên hỏi và trao đổi các khái niệm trên.
YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƢỢC SAU KHI HỌC CHƢƠNG NÀY
Hiểu được các khái niệm mà nội dung của chương đã đưa ra và từ đó vận dụng
chúng để hiểu được các chương tiếp theo.
1.1. Giới thiệu lịch sử môn học SBVL
Sức bền vật liệu là môn học cơ sở cung cấp các khái niệm và kiến thức cho nhiều
nghành kỹ thuật như xây dựng, cơ khí, thủy lợi, giao thong, hang hải, hang không…
Nên được giảng dạy trong nhiều trường cao đẳng và đại học. Do vị trí đặc biệt của
môn sức bền vật liệu trong hệ thống kiến thức của các nghành kỹ thuật nên việc nắm
vững kiến thức mơn học này càng có ý nghĩa cần thiết.
1.2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, NHIỆM VỤ MÔN HỌC
- Đối tượng: Là môn học nằm trong ngành cơ học vật rắn biến dạng. Khác với cơ học
lý thuyết, khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối. Môn SBVL khảo
sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng.
- Nhiệm vụ: Tính tốn, thiết kế các kết cấu, chi tiết... đảm bảo:
- Đủ độ bền: đảm bảo khả năng chống lại sự phá hoại do gãy, vỡ, nứt.
- Đủ độ cứng: đảm bảo khả năng chống lại sự biến dạng lớn gây trở ngại cho việc sử
dụng bình thường của vật thể chịu lực.
- Đủ độ ổn định: đảm bảo khả năng không bị biến dạng hình học làm thay đổi sơ đồ
tính ban đầu.
- Đảm bảo độ chịu mỏi: đảm bảo khả năng không bị phá hoại do mỏi.
Lý thuyết về SBVL là môn khoa học thực nghiệm với phương pháp quan sát thực
tế, từ đó đề ra các giả thuyết và tính tốn, sau đó tiến hành thí nghiệm để kiểm tra.
- SBVL là môn học kỹ thật cơ sở nhằm kết nối những kiến thức cơ bản như toán, vật
lý, cơ lý thuyết … với các môn chuyên ngành khác như chi tiết máy, cơ kết cấu, phần
tử hữu hạn … do đó, nghiên cứu về SBVL để làm nền tảng quan trọng đối với các kỹ
sư cơ khí, xây dựng …

4


1.3.GIẢ THUYẾT VỀ VẬT LIỆU TRONG SBVL

 Vật liệu có cấu tạo vật chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.

- Vật liệu liên tục nghĩa là có cấu trúc liên tục, không bị gián đoạn bởi các lỗ rỗng. Với
giả thiết này thì tọa độ của các điểm vật chất trong vật thể cũng như các liên hệ giữa
chúng với các đại lượng khác như nội lực, biến dạng … là liên tục. Điều này cho phép
thực hiện các phép tính vi phân, tích phân khi nghiên cứu. Trên thực tế, trong không
gian của vật liệu luôn tồn tại những khoảng trống giữa các hạt. Tuy nhiên kích thước
của các khoảng trống này là vi mơ so với kích thước vĩ mơ của các chi tiết nghiên cứu,
do đó giả thiết này có thể chấp nhận được.
- Vật liệu đồng nhất có nghĩa là tại mọi điểm trong vật thể đều có tính chất cơ học
giống nhau.
- Vật liệu đẳng hướng có nghĩa là tại một điểm bất kỳ trong vật thể, tính chất cơ học
theo mọi phương là như nhau.
1.3.1.BIẾN DẠNG CỦA VẬT THẾ LÀ ĐÀN HỒI TUYỆT ĐỐI VÀ CĨ GIÁ
TRỊ SỐ BÉ
b)

a)
Hình 1.11: Đàn hồi tuyệt đối
L

k

L

và đàn dẽo.
D

Dd

D
P1

P2

- Biến dạng là đàn hồi tuyệt đối (hình 1.11a) có nghĩa là lị xo ban đầu có chiều
dài L, tác dụng lên lò xo bởi một lực P1 làm cho nó giãn ra một đoạn  , khi thơi tác
dụng lực P1 thì lị xo trở về lại với chiều dài ban đầu. Trên hình 1.11b, khi thơi tác
dụng lực P2 thì lị xo khơng trở lại đúng với chiều dài ban đầu, trường hợp này ngoài
phần biến dạng đàn hồi cịn có thêm phần biến dạng dẽo d .
- Biến dạng được coi là bé khi các trị số biến dạng tỷ đối  , , nhỏ hơn nhiều so với
đơn vị, chúng là những đại lương vô cùng bé  ,  ,   1 nên trong các biểu thức chứa
biến dạng ta có thể bỏ qua tích của những biến dạng là vơ cùng bé bậc cao, chỉ giữ lại
những số hạng bậc nhất của biến dạng, dẫn đến ta nhận được các biểu thức tuyến tính
của biến dạng làm cho việc tính toán đơn giản hơn nhiều.
1.3.2.VẬT LIỆU LÀM VIỆC TUÂN THEO ĐỊNH LUẬT HOOKE
Độ giản dài của lò xo tỷ lệ bậc nhất với lực tác dụng (hình 1.11a).
P  k
(1.5)
Phát biểu định luật dưới dạng tổng quát: biến dạng của vật thể tỷ lệ thuận với lực
tác dụng, quan hệ giữa biến dạng và nội lực là quan hệ bậc nhất thuần nhất.
Ta sẽ xét định luật Hooke trong hai trường hợp đơn giản của một phân tố tách ra
từ vật thể, có các cạnh bằng một đơn vị dài (hình 1.12).

5

t
Hình 1.12: Ứng suất và biến

a)

b)
s

s

g

t

t

dạng trên phân tố.
1đv

1đv t

e

Phân tố chỉ chịu ứng suất pháp theo một phương (hình 1.12a): biến dạng dài 
theo phương ứng suất tỷ lệ thuận với ứng suất pháp:

hoặc:   E.
(1.6)


E

Với E – hằng số tỷ lệ gọi là môđun đàn hồi của vật liệu (môđun đàn hồiYoung).



, được xác định bằng thực
2
 chiều dài  

E phụ thuộc vào vật liệu có thứ ngun 
nghiệm

lực

Bảng 1.1.
Vật liệu

Thép 0 ,15 0 0 C  0 ,20 0 0 C 

Thép lò xo
Thép Niken
Gang xám
Đồng
Đồng thau
Nhôm
Gỗ thớ dọc



E KN / cm 2



4

2.10
2,2.10 4
1,9.10 4
1,15.10 4
1,2.10 4
1  1,2.10 4

0 ,7  0 ,8 .10 4
0 ,08  1,2.10 4

Phân tố chỉ chịu ứng suất tiếp (hình 1.12b): biến dạng góc  tỷ lệ thuận với ứng
suất tiếp:

hoặc:   G.
(1.7)

G

Với G – hằng số tỷ lệ gọi là môđun đàn hồi trượt của vật liệu (môđun đàn hồi



 , được xác định bằng thực

 chiều dài  

cắt). G phụ thuộc vào vật liệu có thứ ngun 
nghiệm.

lực

2

1.4. Các dạng chịu lực và biến dạng
- Thanh được mô tả bằng trục và tiết diện.
Chuyển vị của thanh là sự thay đổi vị trí của tiết diện trước và sau khi thanh bị
biến dạng.
- Chuyển vị tịnh tiến: là chuyển vị thẳng của trọng tâm tiết diện.
- Chuyển vị xoay: là chuyển vị xoay của mặt phẳng tiết diện quanh trọng tâm.
Biến dạng của thanh là sự thay đổi kích thước, hình dáng của tiết diện, sự thay
đổi chiều dài, độ cong, độ xoắn của trục thanh. Các trường hợp chịu lực cơ bản lần
lượt được xét như sau:

6


a)

a)
A

A

B

DB

M

b)
A1

A1

b)

P
B1

j

Hình 1.4: Thanh chịu kéo.

Hình 1.5: Thanh chịu xoắn.

Thanh chịu kéo hoặc nén (hình 4.12), trường hợp này thanh có biến dạng
dài dọc trục, đó chính là lượng thay đổi về chiều dài của thanh. Chuyển vị được
khảo sát là sự dịch chuyển của trọng tâm tiết diện dọc theo trục thanh.
Thanh chịu xoắn (hình 4.13), dưới tác dụng của mô men gây xoắn làm
cho các tiết diện phát sinh những chuyển vị xoay quanh trục của thanh và biến
dạng trong trường hợp này là sự trượt tương đối giữa các tiết diện lân cận với nhau.
j

P

M

y
P
Hình 1.6: Thanh chịu cắt.

Hình 1.7: Thanh chịu uốn.

Thanh chịu cắt (hình 1.6), với ảnh hưởng của lực vng góc với trục
thanh gây ra cắt, tại những nơi này các tiết diện lân cận sẽ có sự trượt tương đối và
trục thanh bị gián đoạn.
Thanh chịu uốn (hình 1.7), trường hợp này chiều dài của trục thanh
không thay đổi (thay đổi không dáng kể, có thể bỏ qua) nhưng sẽ thay đổi về độ
cong, trọng tâm của tiết diện có chuyển vị thẳng y đồng thời có cả chuyển vị xoay
của tiết diện  .
1.5. NGOẠI LỰC, PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.5.1. PHÂN LOẠI NGOẠI LỰC
- Định nghĩa: ngoại lực là tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các vật thể
khác lên vật thể khảo sát.
Ngoại lực bao gồm tải trọng và phản lực liên kết.
- Tải trọng: là những lực chủ động tác dụng lên vật thể trong đó vị trí, tính chất
và trị số đã được cho trước.
- Phản lực liên kết: là những lực thụ động, phát sinh tại nơi tiếp giáp giữa vật thể
khảo sát và vật thể xung quanh khi có tác dụng của tải trọng.
Theo hình thức tác dụng tải trọng được phân thành các loại:
- Lực tập trung hoặc mô men tập trung: là loại tải trọng tác dụng lên vật khảo sát
thơng qua diện tích rất nhỏ so với kích thước của vật thể, coi như tác dụng lên vật thể
tại một điểm. Thứ nguyên là lực  chiều dài. Theo hệ thống đo lường quố tế (CI) lực có
đơn vị là Niutơn (N), chiều dài có đơn vị đo là mét (m). Trên hình 1.1a có lực tập
trung P và mơmen tập trung là M.

7


P

M

a)
p=p(x,z)
Hình 1.1: Các loại tải trọng.

y
b

c)

b)

x

a
p=p(z)

g
d)

q=q(z)

z

b
x y

z

z

e)
y

- Tải trọng phân bố: là loại tải trọng bao gồm những hệ lực tác dụng lên vật khảo
sát trên một không gian của vật thể. Nếu hệ lực phân bố này cùng phương thì sẽ có
hợp lực là trị đại số giữa chúng, điểm đặt tại trọng tâm của trường lực.
Tải trọng phân bố theo thể tích: thứ nguyên.lực/[chiều dài]2
Tải trọng phân bố theo bề mặt: thứ nguyên. lực/[chiều dài]2
Tải trọng phân bố theo đường: thứ nguyên lực/[chiều dài]2.
Theo tính chất tác dụng tải trọng được phân loại:
- Tải trọng tĩnh: là tải trọng tăng chậm theo thời gian cho đến khi đạt trị số cuối
cùng, lực qn tính khơng đáng kể, có thể bỏ qua. Các dạng tải trọng tĩnh như áp lực
của nước lên đập, các trọng lượng đặt tĩnh tại trên kết cấu, trọng lượng bản thân các
kết cấu…
M
h
a)
Hình 1.2: Tải trọng động.

m

w

b)

- Tải trọng động: là tải trọng gây ra gia tốc biến dạng lớn, lực quán tính là đáng
kể, không thể bỏ qua. Tùy theo gia tốc phát sinh trong hệ, tải trọng động được chia
thành những dạng chính sau.
Va chạm: là loại tải trọng có gia tốc thay đổi đột ngột, lực tác dụng tăng
nhanh, như trường hợp vật nặng M va chạm lên dầm trên hình ( 1.2a ).
Dao động: khi gia tốc của tải tác dụng là hàm tuần hồn theo thời gian,
hình ( 1.2b ) khối lượng m đặt lệch tâm quay với vận tốc  sẽ làm cho dầm dao
động.
Vật chuyển động có gia tốc a  const : ngoài các ngoại lực tác dụng lên
hệ, cịn kể đến lực qn tính F  m  a .

8


1.6.NỘI LỰC, PHƢƠNG PHÁP MẶT CẮT, ỨNG SUẤT
1.6.1.NỘI LỰC
Dưới tác dụng của ngoại lực, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể sẽ thay
đổi để chống lại sự dịch chuyển bên trong vật thể. Sự thay đổi của lực tương tác giữa
các phân tử trong vật thể đó được gọi là nội lực.
Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài như ngoại lực, sự thay đổi
nhiệt độ… thì được gọi là vật thể ở trạng thái tự nhiên và lúc đó nội lực của nó được
coi bằng khơng.
p
P3

a)
Hình 1.8: Phương pháp mặt

P2

P3

b)
I

Pi

C

P2

I

cắt và nội lực.

C
II

P1

Pn-1

P1

Pn

1.6.2. PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT:
Để khảo sát nội lực trong một vật thể ta tưởng tượng cắt qua vật thể tại điểm

điểm cần khảo sát bằng mặt phẳng  và chia vật thể thành hai phần I và II (hình 1.8a),
hai phần này sẽ tác dụng lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên diện tích mặt tiếp xúc theo
tiên đề tác dụng và phản tác dụng. Nếu ta tách riêng phần I để kảo sát thì hệ lực tác
dụng từ phần II vào nó phải cân bằng với ngoại lực ban đầu như trên (hình 1.8b).
Hình 1.9: Hợp của nội lực trên
tiết diện và ứng suất.

P3

a)
P2

M
I

b)

R1

C

Pi

C
dF

P1

p
A

R

II
M1

Pn-1
Pn

Hợp của hệ nội lực trên mặt cắt (hình 1.9b) khi thu về trọng tâm của tiết diện sẽ


được một véc tơ chính R và mơmen chính M (hình 1.9a). Đối với phần II, trên mặt
cắt của nó cũng xuất hiện hệ nội lực do phần I tác dụng lên và khi thu về trọng tâm


cũng nhận được hợp lực là véc tơ chính R1 , mơmen chính M 1 trực đối với cặp véc tơ


chính R và mơmen chính M của phần I (hình 1.9b).
Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm khảo sát A trên mặt cắt  có

phương pháp tuyến n (hình 1.9a), Gọi p là véc tơ nội lực tác dụng trên diện tích DF.
1.6.3. ỨNG SUẤT
Ứng suất tồn phần tại điểm khảo sát là:


p dp

p  lim


(1.3)
F 0 F
dF
Vậy ứng suất tại một điểm trên mặt cắt là cường độ của nội lực trên một đơn vị
diện tích tại điểm đó, nó là đại lượng véc tơ.

9


Thứ ngun của ứng suất là


lực 

.

chiều dài 

2

Có thể phân ứng suất p thành hai thành phần: một trên phương pháp tuyến n của
mặt cắt gọi là ứng suất pháp tuyến ký hiệu  , một nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất
tiếp tuyến ký hiệu  (hình 1.9a). Ta có hệ thức:
(1.4)
p2   2  2
Hình 1.10: Ứng suất tồn phần
và các hình chiếu.

p

a)

b)

t

n

dF
A

s

t

y
tzy

p

tzx
sz
x dF A

z

Nếu ta gắn một hệ trục tọa độ Axyz sao cho Az trùng với phương pháp tuyến

ngoài của mặt cắt lúc này ứng suất p sẽ được phân làm ba thành phần: thành phần ứng



suất pháp là hình chiếu của p lên trục z ký hiệu  z , với  là hình chiếu của p lên mặt
cắt, lại tiếp tục chiếu  lên hai trục x, y nhận được hai thành phần  zx và  zy , trong đó
hai chỉ số được ký hiệu bao gồm chỉ số thứ nhất cho biết phương pháp tuyến của mặt
cắt và chỉ số thứ hai cho biết phương của ứng suất tiếp đó (hình 1.10b).
- Ứng suất đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại một điểm.
Nếu ứng suất vượt q một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại, việc xác định
ứng suất là cơ sở để đánh giá mức độ an toàn của vật liệu, và xác định ứng suất là
mục tiêu quan trọng của môn học SBVL.

Câu hỏi ôn tập
Câu 1: anh (chị) hãy cho biết Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn học
Câu 2; anh (chị) hãy cho biết các dạng chịu lực và biến dạng
Câu 3: Ngoại lực liên kết và phản lực liên kết

10


CHƢƠNG 2: KÉO NÉN ĐÚNG TÂM
NỘI DUNG
- Trong chương này chỉ có một thành phần nội lực N Z, và cách tìm ta đã
tìm ở chương trước.
- Đưa ra được cơng thức tính ứng suất pháp và cơng thức tính chuyển vị
của thanh kéo nén.
- Đưa ra bài toán siêu tỉnh của thanh và ba bài toán cơ bản của thanh kéo
nén.
HƢỚNG DẪN CÁCH HỌC CUA CHƢƠNG TRÊN NHƢ SAU
Học viên phải đọc trước ở nhà các phần :
- Ứng suất trên tiết diện
- Biến dạng của thanh

- Một số hiện tượng phát sinh trong vật liệu khi chịu lực
- Các quan điểm tính tốn kết cấu
Trước khi lên lớp học viên đặt các câu hỏi ở phần mà học viên chưa rõ
Giảng viên cần phân tích rõ cho học viên hiểu rõ thành phần nội lực của chương
kéo (nén) và cách tìm thành phần nội lực bằng phương pháp mặt cắt ngang và vẽ biểu
đồ nhanh, giải một bài tập mẫu cho học viên sau đó cho học viên bài tập về nhà.
YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƢỢC SAU KHI HỌC CHƢƠNG NÀY
Học viên phải làm được các bài tập tìm nội lực Nz bằng phương pháp mặt cắt
ngang và phương pháp vẽ biểu đồ nhanh, hiểu và giải các dạng bài tập mà giảng
viên đưa ra.
2.1. Khái niệm về kéo (nén) đúng tâm
Thanh chịu kéo – nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại một
thành phần ứng lực N z , ( hình 2.1a ).
Nếu lực dọc hướng ra ngồi mặt cắt thì gọi là thanh chịu kéo, và hướng vào
mặt cắt thì gọi là thanh chịu nén.
a)

z
x

d)

c)

Nz

P1 P2

P3

e)

y
T
b)

q

P
P
Hình 2.1: Các trường hợp thanh chịu kéo (nén) đúng tâm.

Trong ( hình 2.1b ) cần piston của xi lanh chịu nén. ( Hình 2.1c ) là một ròng
rọc kéo vật nặng P và dây của ròng rọc chịu kéo. ( Hình 2.1d ) là cột gạch chịu nén
dưới tác dụng của trọng lượng của bản thân. Các thanh trong dàn trên ( hình 2.1e )
có thể chịu kéo hoặc nén.

11


2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực
 Hợp lực của nội lực trên tiết diện - ứng lực
- Một chi tiết dạng thanh được đặc trưng bởi trục thanh mặt cắt ngang của nó.
Chúng ta hay thường xét những mặt cắt vng góc với trục của nó và gọi là tiết diện.
q

p

P3

Pn

P2
Hình 5.1: Phương pháp
mặt cắt ngang.
P1

Pi

- Để tìm nội lực trên tiết diện của thanh ta sử dụng phương pháp mặt cắt: tưởng
tượng cắt thanh tại tiết diện cần khảo sát bằng mặt cắt  (hình 5.1). Xét sự cân bằng
của một phần nào đó, chẳng hạn phần bên trái (hình 5.2a). Phần này được cân bằng
nhờ tác dụng của ngoại lực và hệ các nội lực trên tiết diện của phần bên phải tác dụng
lên nó. Hợp của hệ nội lực phân bố trên mặt cắt khi thu về điểm nằm trên trục thanh
được véctơ chính R và mơmen chính M như trên hình 5.2a.
- Véctơ chính R đƣợc phân ra ba thành phần theo ba trục tọa độ N z , Qx , Q y ; Véctơ mơmen chính M đƣợc phân ra ba thành phần quay quanh ba trục tọa độ
M x , M y , M z hình 5.2b. Kết quả là nhận đƣợc sáu thành phần nội lực trên tiết diện
gọi là các ứng lực.
P3
P2
Hình 5.2: Hợp của nội

P2
R

a)

lực trên tiết diện.

Mx

b)

z
x

P3
Mz
Qx
x

z

M
y
P1

P1

Nz
Qy
y

My

Trong hệ tọa độ Cxyz : Trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt ngang,
còn hai trục kia nằm trong mặt cắt ngang.
- Thành phần lực dọc theo phương z ký hiệu là N z gọi là lực dọc
- hai thành phần nằm trong mặt cắt và hướng theo trục x và y ký hiệu là
Q x và Qy được gọi là lực cắt.

- Các mômen quay quanh trục x và y ký hiệu là M x và M y được gọi là mơmen
uốn, cịn mơmen quay quanh trục z ký hiệu là M z được gọi là mômen xoắn.
Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang hay
còn gọi là các ứng lực hình 5.2b. Chúng được xác định từ 6 phương trình cân bằng độc
lập.
Ba phương trình cân bằng hình chiếu lên ba trục tọa độ:
n

N z   Z Pi   0
i 1
n

Q y   Y Pi   0

(5.1)

i 1
n

Q x   X Pi   0
i 1

12


Trong đó X Pi  , Y Pi  , Z Pi  là hình chiếu của các lực Pi xuống các trục x, y, z.
Ba phương trình cân bằng mômen đối với ba trục tọa độ:
n

M x   m x ( Pi )  0

i 1
n

M y   m y ( Pi )  0

(5.2)

i 1
n

M z   m z ( Pi )  0
i 1

Trong đó: m y Pi  , mz Pi  , mz Pi  - mômen của các lực Pi đối với các trục x, y, z.
Các thành phần nội lực có liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:
- Lực dọc là tổng các ứng suất pháp.
- Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó.
- Mơmen uốn là tổng các mơmen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y.
- Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z.
x
tzx
Mz

Hình 5.3: Nội lực và ứng
suất trên tiết diện.

x

A
tzy

Qx

sz y
Mx
Nz

y

Qy

z

My

Nếu gọi  z ,  zx ,  zy là các thành phần ứng suất tại điểm A(x,y) trên mặt cắt ngang
hình 5.3, ta có các biểu thức sau:
N z    z dF M x    z ydF
F

F

Qy    zy dF

M y    z xdF

Q x    zx dF

M z   ( zx . y   zy .x)dF

F

F

(5.3)

F

F

Trong đó dF là phân tố diện tích bao quanh điểm Ax , y  .
Nhờ các quan hệ (5.3) mà ta có thể tìm được các thành phần ứng suất khi biết các
thành phần nội lực.
Nz>0

Nz>0

Qy>0 Qy>0
c)

a)
Mx>0

Mx>0

Mz>0
Mz>0
d)

b)

Hình 5.4: Chiều dương của nội lực.

Mx>0 Mx>0
e)

13


 Qui ƣớc dấu của các thành phần nội lực
- Lực dọc được xem là dương khi có chiều hướng ra ngoài mặt cắt (nghĩa là gây
kéo cho đoạn thanh đang xét), hình 5.4a.
- Mơmen xoắn qui ước dương khi nhìn vào mặt cắt thấy quay cùng chiều kim
đồng hồ, hình 5.4b.
- Lực cắt được xem là dương khi có khuynh hướng làm quay đoạn thanh đang xét
theo chiều kim đồng hồ, hình 5.4c.
- Mơmen uốn được xem là dương khi có xu hướng làm căng lớp vật liệu bên dưới
đối với những thanh nằm ngang, hình 5.4d hoặc có xu hướng làm cho các thanh cong
bị cong thêm, hình 5.4e.
2.3. Ứng suất và biến dạng
2.3.1.GIẢ THUYẾT VỀ BIẾN DẠNG CỦA THANH
Xét thanh có chiều dài L, tiết diện mặt cắt ngang F không đổi. Kẻ những
đường thẳng song song và vng góc với trục, các đường kẻ này đặc trưng cho các
lớp vật liệu dọc trục và tiết diện cắt ngang của thanh, ( hình 2.2 ).
x
Hình 2.2: Biến dạng của thanh
y

L

chịu kéo đúng tâm.

z

1 dz 2
P
1

2
L+DL

Dưới tác dụng của hệ hai lực ngược chiều nhau, quan sát ta thấy góc vng vẫn
khơng thay đổi, các đường vng góc với trục vẫn thẳng, các đường song song với
trục vẫn giữ khoảng cách gần như không thay đổi và giãn dài ra những đoạn bằng
nhau. Với những nhận xét trên ta đi đến các giả thiết.
- Các tiết diện ngang vẫn phẳng và vng góc với trục.
- Các lớp vật liệu dọc trục không chèn ép, xô đẩy nhau ( bỏ qua ứng suất
pháp trên mặt cắt song song trục).
Các thớ vật liệu dọc trục có biến dạng dài bằng nhau.
2.3.2. BIỂU THỨC ỨNG SUẤT
Góc vng khơng đổi dẫn đến ứng suất tiếp bằng không.
Ứng suất pháp tỷ lệ với biến dạng dài theo định luật Hooke:
 z  E z
(2.1)
Vì biến dạng dài bằng nhau ở mọi thớ nên ứng suất pháp là hằng số trên tiết
diện nên:
N z    z dF   z  dF   z F , do đó:
F

z 

F

Nz
F

(2.2)

14


Biểu đồ ứng suất pháp trên tiết diện: Ứng suất pháp phân bố điều trên tiết diện
như ( hình 2.3 ).
e’
x



z

s

Nz
F

s
1đv

y
Hình 2.3: Biểu đồ phân bố ứng

e

Hình 2.4: Biến dạng dọc và biến
dạng ngang của phân tố

suất pháp trên tiết diện.

2.3.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH

ậ

ệ

ị ứ

ất pháp.

2.3.3.1. BIẾN DẠNG DÀI DỌC TRỤC
Theo (2.1) biến dạng dài dọc trục của một đơn vị chiều dài là:

N
(2.3)
z  z  z
E

EF

Biến dạng dài của một vi phân chiều dài dz là:  .dz .
Biến dạng dài của cả chiều dài L của thanh là:
Nz
dz

EF
L

L    z dz  
L

(2.4)

N
Khi z  const trên suốt chiều dài L :
EF
N L
L  z
EF
N
Khi z  const trên từng đoạn L i của chiều dài L :
EF
N L
L    z 
i  EF  i

(2.5)

(2.6)

Khi EF  const trên từng đoạn L i của chiều dài L :
L  
i

S Nzi

Ei Fi

(2.7)

EF – được gọi là độ cứng khi kéo - nén của tiết diện.

EF
được gọi là độ cứng
L

khi kéo - nén của thanh. (đây là hình thức thể hiện của định luật Hooke về biến dạng
dài).
2.3.3.2 BIẾN DẠNG NGANG

Bằng thực nghiệm cho thấy với một biến dạng dọc thì sẽ kèm theo một biến
dạng ngang ngược dấu dấu với biến dạng dọc như trên ( hình 2.4 ).
Độ lớn giữa hai loại biến dạng này luôn tỷ lệ với nhau với một hệ số  nào đó
phụ thuộc vào vật liệu. Nếu biến dạng dọc  z theo phương z thì biến dạng ngang là
 ' theo phương vng góc với phương z có quan hệ:

 '    z    z
(2.8)
E

15


Với: 0    0 ,5 là hệ số biến dạng ngang (hệ số Poisson), là đại lượng không
thứ ngun. Một số vật liệu thơng dụng có hệ số Poisson như trong bảng 3.1.
Bảng 2.1.



Vật
Vật
liệu
liệu
Thép
0,25 
Đá
0,2  0
,34
0,3
Gang
0,23 
Bê
0,16 
tông
0,27
0,18
Đồn
0,31 
Cao
0,47
g
su
0,34
Nhô
0,32 
Đất
0,2  0

0,36
m
sét
,4
Thuỷ
0,25
tinh
2.3.3.3. CHUYỂN VỊ CỦA TIẾT DIỆN
Gọi chuyển vị dọc trục tại tiết diện có tọa độ z là w thì ở tọa độ lân cận z  dz
có chuyển vị dọc trục là w  dw . Do đó biến dạng dài của vi phân chiều dài dz là
dw :
dw   z dz 

Nz
dz
EF

(2.9)
Tích phân các số hạng ta tìm được chuyển vị dọc trục của tiết diện:
w    z dz  C  

Nz
dz  C
EF

(2.10)
Các hằng số tích phân tìm được nhờ vào điều kiện liên kết ở hai đầu đoạn (điều
kiện biên).
2.4. Đều kiện bền. Ba bài toán về cơ bản về cƣờng độ
2.4.1.QUAN ĐIỂM TÍNH THEO ỨNG SUẤT CHO PHÉP



max

   

0
n

(2.2.1)
Với  0 gọi là ứng suất nguy hiểm.
n là hệ số an toàn, được chọn tùy thuộc vào các yếu tố:
- Phương pháp công nghệ sản xuất vật liệu, kết cấu.
- Mức độ tin cậy số liệu về tải trọng.
- Phương pháp và kết quả tính toán.
- Điều kiện làm việc cụ thể của kết cấu.
- Ý nghĩa kinh tế xã hội của cơng trình.
- kinh nghiệm của người thiết kế.
+ Đối với vật liệu dòn:  0   b :

16


 k



 0k

;  n 

n

 0n
n

.

+ Đối với vật liệu dẽo:  0   tl (hoặc  0   ch ).
Thanh chịu kéo nén đúng tâm điều kiện bền (2.21) được viết lại:


max



Nz
F

  
max

(2.22)
Ba bài toán cơ bản từ điều kiện bền.
+ Kiểm tra bền:
Ta kiểm tra xem ứng suất trong thanh có thỏa điều kiện bền hay không?
z 

Nz
    5% .

F

+ Chọn kích thước mặt cắt ngang:
Đây là bài tốn thiết kế, ta phải định kích thước mặt cắt ngang của thanh sao
cho đảm bảo điều kiện bền. Từ (2.22) ta có: F 

Nz

 

 5% .

+ Định tải trọng cho phép: từ (2.22) ta dễ dàng xác định được nội lực lớn nhất
có thể đạt được của thanh là:
N z   F  5% . Hay: N z    F
Từ N z  ta có thể tìm được trị số cho phép của tải trọng tác dụng lên cơng trình
hay chi tiết máy.
Điều kiện cứng:
- biến dạng, chuyển vị phát sinh  biến dạng, chuyển vị cho phép.
Điều kiện cứng trong các thanh chịu kéo – nén đúng tâm được thể hiện trong
các dạng sau:
Theo biến dạng tỷ đối:  max    .
Theo biến dạng tuyệt đối của thanh: Lmax  L  .
Theo chuyển vị: wmax  w .
Ba bài toán cơ bản theo điều kiện cứng tương tự như đối với điều kiện bền.
2.5. Đặc trƣng cơ học của vật liệu kéo nén đúng tâm
2.5.1.KHÁI NIỆM CHUNG
Vấn đề của chúng ta là cần phải so sánh độ bền, độ cứng của vật liệu khi chịu
lực với ứng suất biến dạng của vật liệu cùng loại đã biết. Ta cần thí nghiệm kéo, nén
đề tìm hiểu tính chất chịu lực và q trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến lúc

phá hỏng của các loại vật liệu khác nhau.
Căn cứ vào biến dạng và sự phá hỏng, khả năng chịu kéo, nén khác nhau người
ta phân vật liệu thành hai loại cơ bản: Vật liệu dẻo và vật liệu bị phá hoại khi biến
dạng khá lớn như thép, đồng, nhơm… vật liệu dịn là vật liệu bị phá hoại khi biến
dạng còn nhỏ như gang, đá, bêtơng v.v…
Như vậy ta có bốn thí nghiệm cơ bản sau:

17


d0
a)

c)

h0

L0
d0
b0
d)

h0

b)
L0

Hình 2.5: Hình dạng của mẫu thí nghiệm.

2.5.2. THÍ NGHIỆM KÉO VẬT LIỆU DẺO ( THÉP )

2.5.2.1. Mẫu thí nghiệm
Theo tiêu chuẩn TCVN 197 - 85 mẫu thí nghiệm có hình dáng như ( hình 2.5.a,b ).
Chiều dài Lo thí nghiệm là đoạn thanh đường kính do, diện tích Fo.
2.5.2.2. Thí nghiệm
Tăng lực kéo thì từ 0 đến khi mẫu đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận
được đồ thị quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài L của mẫu như ( hình 2.6 ).
Ngoài ra sau khi mẫu bị đứt ta chắp mẫu lại, mẫu sẽ có hình dáng như (hình 2.7 ).
2.5.2.3. Phân tích kết quả
Q trình chịu lực của vật liệu có thể chia làm ba giai đoạn.
OA: giai đoạn đàn hồi, tương quan giữa P và L thuần nhất bậc nhất. Lực lớn
nhất trong giai đoạn này là lực tỉ lệ Ptl , ứng suất tương ứng trong mẫu là giới hạn tỉ
lệ.
D

P

B

B
A
Ptl



E

C

Pb

A

DL
O
Hình 2.6: Biểu đồ khi kéo vật liệu dẽo.

C

sb

a



L

L0
O
Hình 2.7: Biểu đồ qui ước s - e khi kéo vật liệu dẽo.

Ptl
Fo

 tl 

E

D

sch

stl

Pch

P
F0

(2.15)

BC: giai đoạn chảy, đặc trưng của giai đoạn này là lực kéo không tăng nhưng
biến dạng tăng liên tục. Lực kéo tương ứng là lực chảy Pch và ta có giới hạn chảy.
 ch 

Pch
Fo

(2.16)

CDE: giai đoạn củng cố (tái bền), tương quan giữa lực P và biến dạng L là
đường cong phi tuyến. Lực lớn nhất là lực bền Pb và ta có giới hạn bền.
b 

Pb
Fo

(2.17)

L1
Hình 2.8: Vật liệu dẽo bị dứt khi chịu kéo.

18


Nếu ta gọi chiều dài mẫu sau khi đứt ( hình 2.8 ) là L1 và diện tích mặt cắt
ngang nơi đứt là F1 thì ta có các định nghĩa đặc trưng cho tính dẻo của vật liệu như
sau:
Biến dạng dài tương đối (tính bằng phần trăm):


L 0  L1
 100%
Lo

(2.18)

Độ thắt tỷ đối (tính bằng phần trăm):


Fo  F1
 100%
Fo

(2.19)

Biểu đồ    (biểu đồ qui ước) như trên ( hình 2.7 ).
Từ biểu đồ P  L ta dễ dàng suy ra biểu đồ tương quan giữa ứng suất  z 
và biến dạng dài tương đối  z 

L

L0

P
F0

.

Biểu đồ này có hình dạng giống như biểu đồ P  L (hình 2.8). Trên biểu đồ
chỉ rõ  tl , ch , b và cả môđun đàn hồi:
E


 tg


Nếu kể đến sự biến đổi diện tích mặt cắt ngang ta sẽ có biểu đồ tương quan
giữa  z và ứng suất thực (đường nét đứt) trên ( hình 2.8 ).
2.6. Bài tập ứng dụng
Ví dụ: Cho thanh như hình vẽ: q
F2 = 2F1

F1
B

A

C
4P
a

q

P=30 KN

a

a ) - Xác định F1, F2 để hệ thõa bền.
b ) - Tìm chuyển vị đoạn AC.
Cho: a = 1 m, q = 10 KN/m, ứng suất cho phép = 40 KN/cm2

19


Bài Giải:
F2 = 2F1
q
4P

F1
P = 30KN
A

C
B
a

a

80
+

30
40

a) - Xác định F1, F2 để hệ thõa bền:
AB =

-NAB/F1 = 40/F1
BC =

-NBC/F1

=

40/F1

Mà ta có đk bền:
max  
 F1 ≥ 40/  hay F1 = 1cm2, F2 = 2cm2.
Đáp số:

F1 = 1cm2
F2 = 2cm2
b) - Tính chuyển vị của đoạn AC:
αAC = αAB + αBC = 5a/EF1

Câu hỏi ôn tập:
Câu 1: Anh (chị) hãy cho biết nội lực và biểu đồ nội lực
Câu 2: Anh (chị) hãy cho biết khái niệm về kéo (nén) đúng tâm.
Câu 3: Anh (chị) hãy cho biết đều kiện bền. Ba bài toán về cơ bản về cường độ.

20


CHƢƠNG 3: ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG
NỘI DUNG
- Trong chương này đưa ra các vấn đề sau:
- Mômen tĩnh, trục trung tâm của mômen tĩnh, trọng tâm của mặt cắt.
- Mơmen qn tính của hình phẳng, hệ trục qn tính chính trung tâm.
- Cơng thức tính trọng tâm của hình phẳng và mơmen qn tính của một
số mặt cắt đơn giản.
- Đặc biệt là công thức chuyển trục song song.
HƢỚNG DẪN CÁCH HỌC CỦA CHƢƠNG TRÊN NHƢ SAU
Học viên phải đọc trước ở nhà các phần :
- Khái niệm chung
- Các định nghĩa về Mômen tĩnh, Mômen quán tính, Cơng thức tính trọng tâm của
hình phẳng, mơmen qn tính của một số mặt cắt đơn giản.
Trước khi lên lớp học viên đặt các câu hỏi ở các phần mà học viên chưa rõ
Giảng viên cần phân tích rõ cho học viên hiểu rõ trục trung tâm của mômen tĩnh,
mơmen qn tính và đồng thời giải cho sinh viên hiểu các bài tập mẫu trong giáo trình
YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƢỢC SAU KHI HỌC CHƢƠNG NÀY
Học viên phải hiểu các lý thuyết mơmen tĩnh, mơmen qn tính và hiểu được các
bài tập mà giảng viên đã giải và đồng thời giải các bài tập mà giảng viên cho về nhà.
3.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Trong chương thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất trong thanh phụ
thuộc vào diện tích F của tiết diện mặt cắt ngang. Tuy nhiên, đối với các trường hợp
thanh chịu xoắn, hoặc chịu uốn thì ứng suất trong thanh khơng những phụ thuộc vào
diện tích mặt cắt ngang F mà cịn phụ thuộc vào hình dáng của mặt cắt, vị trí tác dụng
của ngoại lực đối với mặt cắt.
Xét ví dụ như trên ( hình 3.1 ), cùng một thanh chịu tác dụng một lực như nhau.

Bằng trực giác ta thấy trong trường hợp ( hình 3.1a ) tiết diện được đặt nằm bị uốn
nhiều hơn trường hợp ( hình 3.1b ) khi tiết diện đặt đứng. Mặc dù trong cả hai trường
hợp tiết diện mặt cắt ngang như nhau, nhưng phương tác dụng của ngoại lực đối với
mặt cắt ngang thay đổi đã ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của thanh, tức là ảnh
hưởng đến ứng suất phát sinh trong thanh. Trong chương này sẽ xét đến các đặc trưng
hình học của mặt cắt ngang liên quan đến khả năng chịu lực của thanh.

a)

b)

y

y0

y

y0

dF
A

P

F

P
x

y

z
Hình 3.1: Thanh chịu uốn khi đặc

yC
x

z
y

x0
r

x0

C

x
xC
x
O
Hình 3.2: Hình phẳng và các hệ toạ độ.

trưng hình học khác nhau.

21


Xét hình phẳng F , lấy một vi phân diện tích dF có tọa độ Ax, y  và hệ trục tọa
độ như trên ( hình 3.2 ) ta có các định nghĩa sau:
3.2. DIỆN TÍCH, MƠMEN TĨNH, TRỌNG TÂM

Diện tích của hình phẳng F :
F   dF

(3.1)

F

Mơmen tĩnh của hình phẳng F đối với trục x và trục y là biểu thức tích phân sau:
S x   ydF ;
S y   xdF
F

F

Mơmen tĩnh có thứ ngun là: chiều dài  .
Mơmen tĩnh có thể có giá trị âm, dương hặc bằng không.
Trục trung tâm: là trục có mơmen tĩnh của diện tích F đối với trục đó bằng
khơng. Nếu x là trục trung tâm thì S x  0 .
Trọng tâm của hình phẳng: là giao điểm của hai trục trung tâm của hình phẳng
đó.
Như vậy, mơmen tĩnh của hình phẳng đối với mọi trục đi qua trọng tâm đều bằng
không.
Định lý Varignon: Mômen của hệ lực đối với một trục bằng mômen của hợp lực
đối với trục đó.
Giả sử C xC , yC  là trọng tâm mặt cắt, qua C dựng hệ trục x 0 , y 0 song song với
hệ trục x, y ban đầu ( hình 3.2 ), ta có mối liên hệ của tọa độ điểm A trong hai hệ trục
tọa độ như sau:
x  x C  x 0 ; y  yC  y 0 .
Thay vào (3.2) ta được:
S x   ydF   yC  y 0 dF  yC  dF  S x 0 ;

3

F

F

F

F

F

F

S y   xdF   xC  x 0 dF  xC  dF  S y 0 .

Vì x 0 và y 0 là các trục trung tâm nên S x 0  S y 0  0 , do đó:
S y  xC F .
S x  yC F ;
Nếu hình phẳng bao gồm nhiều hình phẳng ghép lại thì ta cũng có:
S x   yC Fi ; S y   xC Fi .
Với x Ci , yCi và Fi là tọa độ của trọng tâm và diện tích của hình phẳng thứ i .
Do đó, ta có cơng thức xác định mơmen tĩnh của hình phẳng đối với một trục khi
biết tọa độ trọng tâm và diện tích của hình phẳng hoặc biết tọa độ các trọng tâm và
diện tích của nhiều hình phẳng ghép lại:
S x   ydF  yC F   yC Fi ; S y   xdF  xC F   xC Fi
(3.3)
i

i

i

i

F

F

Từ (3.3) ta có thể tìm được trọng tâm của hình phẳng:
xC 

Sy
F



x F
F
Ci

i

i

; yC 

Sx

F

y F
F
Ci

i

i

22

(3.4)


Diện tích và tọa độ trọng tâm của một số hình phẳng đơn giản được cho trên bảng 3.3.

Hình phẳng

Diện tích F

y

F

c

h

Bảng 3.1
Trọng tâm

x

x

F  hb

x

F

xC

xC 

1
b
2

b
y
F

h

c
xC
b
y
xC1
F1

c1

h

F2

y

c2

h n
x
bn

1
xC  b
3

F1 

n
hb
n 1

F2 

1
hb
n 1

x

xC2
b

1
hb
2

xC1 

n 1
b
2n  2

xC2 

n 1
b
n2

3.3. MƠMEN QN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN
3.3.1. MẶT CẮT CHỮ NHẬT
Cho hình chữ nhật có kích thước b h ( hình 3.3a ). Cần tìm các mơmen qn
tính chính trung tâm của nó.
Hình phẳng có hai trục đối xứng x và y nên x, y  là hệ trục qn tính chính
trung tâm. Để xác định mơmen quán tính đối với trục x , ta lấy diện tích vi phân dF là
một giải có bề rộng b , bề dày dy , khoảng cách đến trục x là y . Ta có: dF  b  dy .
h/ 2

y3
J x   y dF   by dy  b
3
F
h / 2
2

h/ 2

2


h / 2

bh 3
, Tương tự:
12

b3h
Jy 
12

(3.9)

dF

y
dy

a)

y
x

h

y
b)

r
j

d
dj

y

dr
dF c)

dF

dy
h

x

y

b*
C
b

b
Hình 3.3: Mơ men qn tính của một số mặt cắt đơn giản.

23

x0
x


3.3.2. MẶT CẮT TRÕN
Cho hình trịn đường kính d ( hình 3.3b ). Cần tìm mơmen qn tính cực đối với
gốc tọa độ O và các mơ men qn tính chính trung tâm của nó.
Để đơn giản, ta tính mơmen quán tính cực trước, chọn diện tích vi phân là một
hình
giới hạn bởi hai tia  ,   d và hai đường trịn bán kính  ,   d như trên
( hình 3.3 ). Ta có: dF  d  d .
J     dF 

d / 2 2



2

F

0

  dd  2
3

0

4
4

d/2


0

d 4
32

 0 ,1d 4

(3.10)

Vì tính đối xứng nên: J x  J y , mặt khác theo (7.8): J   J x  J y do đó, ta có:
Jx  Jy 

J
2



d 4
64

 0,05d 4

(3.11)

3.3.3. MẶT CẮT TAM GIÁC
Cho hình tam giác cạnh đáy bằng b chiều cao h . Cần tìm mơmen qn tính của
tam giác đối với trục qua cạnh đáy và trọng tâm của tam giác ( hình 3.3c ).
Ta có: b * 

hy
hy
b ; dF  b *  dy 
bdy . Do đó:
h
h

hy
b  y3
y4

J x   y dF   y
bdy   h 
h
h 3
4
F
0

h

2

2

(3.12)

2h / 3

y4 
bh 3
b  y3
hy
(3.13)
  y dF   y

bdy   h  
4  h / 3 36
h 3
h
F
h / 3
2h / 3

J x0

h



bh 3
 
 0 12

2

2

3.4. Moment chống uốn
3.4.1. MƠMEN QN TÍNH
- Mơmen qn tính của hình phẳng F đối với trục x và trục y là biểu thức tích
phân sau:
J x   y 2 dF ;
J y   x 2 dF
(3.5)
F

F

3.4.2. MƠMEN QN TÍNH LY TÂM
Mơmen qn tính ly tâm của hình phẳng F đối với hệ trục tọa độ x, y  là biểu
thức tích phân sau:
J xy   xydF
(3.6)
F

3.4.3. MƠMEN QN TÍNH CỰC
Mơmen qn tính cực của hình phẳng F đối với điểm cực O là biểu thức tích
phân sau:

24