Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC
TRUY HỒI BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ngô Hùng Vương1
1. Email:

TĨM TẮT
Bài viết này trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các
hàm số g ( x ) = x và f ( x ) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ
thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm của đồ thị hai hàm số

f ( x ) và g ( x ) ).
Từ khóa: Cơng thức truy hồi, đồ thị, giới hạn dãy số.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Dãy số và tìm giới hạn dãy số là một trong những kiến thức nền tảng của mơn giải tích
Tốn học ở bậc đại học, tuy nhiên các khái niệm về tính hội tụ và giới hạn của dãy số khá trừu
tượng và khó hiểu. Sinh viên, đặc là sinh viên năm thứ nhất gặp nhiều khó khăn khi giải các bài
tập có nội dung liên quan đến dãy số cho bởi công thức truy hồi. Các bài tập dạng này thường
được giải theo phương pháp giải tích, tuy nhiên phương pháp này địi hỏi sinh viên ngồi hiểu
rõ lý thuyết về dãy số cần nắm chắc các kiến thức toán cơ bản khác như bất đẳng thức và phương
pháp quy nạp toán học. Do đó việc tìm ra một phương pháp giải mới để khắc phục các yếu tố
trên là hết sức cần thiết.
Bài tham luận này trình bày một cách giải khác đối với một số bài tốn tìm giới hạn dãy
số cho bởi công thức truy hồi, gọi là phương pháp đồ thị. Thông qua đồ thị của hàm số g ( x ) = x
và f ( x ) – hàm số nhận được từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) , xác định được các số hạng
x1 , x2 ,

, xn ,

của dãy  x n  . Từ đó biết được dãy  x n  có hội tụ hay khơng, nếu dãy hội tụ

thì giới hạn của dãy có thể là một trong các nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm

của đồ thị hai hàm số là f ( x ) và g ( x ) ).

2. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1. Một ánh xạ từ tập số tự nhiên
số. (Võ Khắc Thường, 2013)
Ký hiệu: x1 , x2 ,

, xn ,

vào tập số thực

được gọi là một dãy

hay viết gọn là  x n  . Trong đó ứng với mỗi giá trị n số xn

được gọi là số hạng thứ n của dãy.
650


Ví dụ 1. a) Dãy số  x n  được cho bằng cách liệt kê:  xn  = 3; 4; 27;16; 243; 64;... . Số
hạng thứ 5 của dãy là x5 = 243 .
b) Dãy số  x n  được cho bằng công thức của số hạng tổng quát: x n =
thứ 8 của dãy là x8 =

( − 1)
8

8

=

1

( − 1)
n

n

. Số hạng

.

8

x = 1
c) Dãy số  x n  được cho bằng công thức truy hồi:  1
 x n +1 = 3 x n − 1
Ta tính được:

x 2 = 3 x1 − 1 = 3  1 − 1 = 2
x3 = 3 x 2 − 1 = 3  2 − 1 = 5
x 4 = 3 x3 − 1 = 3  5 − 1 = 14

Định nghĩa 2. Dãy  x n  được gọi là hội tụ nếu tồn tại số l 

sao cho

   0  n0 = n0 ( )  n  n0 : x n − l   .

Khi đó ta nói dãy  x n  có giới hạn và giới hạn này bằng l , ký hiệu:

lim x n = l hay xn → l khi n →  . (Архипов Г.И. và nnk., 2004)
n→ 

Định nghĩa 3. Dãy  x n  được gọi là phân kỳ nếu với mọi c  0 chỉ có hữu hạn các phần
tử của dãy thỏa mãn xn  c . Nói cách khác:
 c  0  n0 = n0 ( c )  n  n 0 : x n  c .

Khi đó ta nói dãy  x n  có giới hạn ở vơ cùng và được ký hiệu như sau:
lim x n =  hay xn →  khi n →  . (Архипов Г.И. và nnk., 2004)
n→ 

Định lý 1 (định lý Weierstrass). Dãy  x n  đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ và
lim x n = sup  a n  .
n→ 

Định lý 2. Dãy  x n  đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim x n = inf  a n  . Bạn
n→

đọc có thể xem chứng minh định lý 1 và 2 trong tài liệu tham khảo [1].
Mệnh đề 1. Nếu dãy  x n  cho bởi công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) hội tụ và có giới hạn
bằng L thì L = f ( L ) , nói cách khác L là nghiệm của phương trình f ( x ) = x ).
Chứng minh. Dãy  x n  hội tụ và có giới hạn bằng L, do đó
lim xn +1 = lim xn = L  lim f ( x n ) = L  f ( L ) = L .
n →

n →

n →

651

3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số
 x = c (c  )
Giả sử cần tìm giới hạn của dãy truy hồi:  1
 x n +1 = f ( x n ), n = 1, 2, 3,

Ta có phương pháp giải bài toán trên bằng đồ thị như sau:
Bước 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy vẽ đồ thị các hàm số y = x và

y = f ( x ) , với f ( x ) là hàm số thu được từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) .
Bước 2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = x bằng cách giải
phương trình f ( x ) = g ( x ) .
Bước 3. (Xem hình 1) Trên đồ thị hàm số y = f ( x ) lấy điểm M 1 ( x1 ; x2 ) , với x1 = c và

x2 = f ( x1 ) .
Từ M 1 ( x1 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt đường thẳng y = x tại

N 1 ( x2 ; x2 ) .
Từ N1 ( x2 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại

M 2 ( x 2 ; x3 ) .
Lập lại như trên đối với điểm M 2 ( x2 ; x3 ) ta tìm được các điểm M 3 ( x3 ; x4 ), M 4 ( x4 ; x5 ),

, M n ( xn ; xn +1 ),
Bước 4. Dựa vào đồ thị nếu M n tiến gần đến giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và
đường thẳng y = x thì dãy số đã cho hội tụ (ví dụ 1, hình 1), ngược lại thì dãy phân kỳ (ví dụ
2, hình 4). Nếu dãy hội tụ thì theo mệnh đề 1 giới hạn của nó bằng hồnh độ và tung độ của
giao điểm đồ thị y = f ( x ) và y = x (nghiệm của phương trình f ( x ) = x ).

Vận dụng phương pháp vừa trình bày để giải một số bài tốn sau.
3.2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1. Chứng minh sự hội tụ và tính giới hạn của dãy số  x n  cho bởi công thức
truy hồi:
 x1 = − 4


xn + 1
 x n +1 =
2


Giải. Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) =

652

x +1
2

và g ( x ) = x .


Hình 1. Sự hội tụ của dãy  x n 
Áp dụng phương pháp đã nêu ta xác định được các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 ,

. Trên

tiến dần tới điểm cố định L (1;1) là giao

đồ thị của f ( x ) các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 ,

điểm của đồ thị hai hàm số g ( x ) và f ( x ) , đồng thời các phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,

của dãy

tăng dần đến x L = 1 . Vậy dãy hội tụ và lim x n = 1 .
n→ 

Kiểm tra kết quả nhận được bằng cách giải lại bài tốn 1 bằng phương pháp giải tích.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh xn  1,  n  1 .
Ta có x1 = − 4  1 . Giả sử xn  1  xn +1 =

xn + 1

Mặt khác từ chứng minh trên suy ra xn +1 − xn =

2



xn + 1
2

1+1
2

= 1 nên dãy bị chặn trên.

− xn =

1 − xn
2

 0 nên dãy  x n  tăng

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên hội tụ và có giới hạn hữu hạn. Giả sử
lim xn + 1
x +1
l +1
lim xn = l  lim xn +1 = l . Vì xn +1 = n
 lim x n +1 = n → 
l=
 l = 1 . Như
n →
n →
n→
2
2
2
vậy giống với phương pháp đồ thị, phương pháp giải tích cũng chứng minh được lim x n = 1 .
n→ 

Dựa vào đồ thị của hình 1 ta có các lưu ý sau:
− Nếu x1  ( −  ;1) thì  x n  tăng và bị chặn trên bởi x L = 1 , nên dãy hội tụ .
− Nếu x1  (1;  ) thì  x n  giảm và bị chặn dưới bởi x L = 1 , nên dãy hội tụ.
− Nếu x1 = 1 thì các phần tử tiếp theo dãy  x n  cũng bằng 1 vì f (1) =
653

1+1
2

=1.


Vậy dãy đã cho hội tụ x1 

và lim x n = 1 .
n→ 

Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy
hồi bằng đồ thị hàm số vừa chứng minh được một dãy số là hội tụ (phân kỳ) vừa xác định được
với giá trị nào của x1 thì dãy hội tụ (phân kỳ), mà phương pháp giải tích khơng tìm được.
Bài tốn 2. Cho dãy số  x n  thỏa mãn
x1  (0;1), xn +1 = xn (2 − xn ) .

Chứng minh  x n  hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Giải. Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = x (2 − x ) và g ( x ) = x . Trên trục
Ox lấy x1 tùy ý sao cho x1  (0 ;1) , từ đó tìm được x2 , x3 , x4 , x5 ,

trên đồ thị của f ( x ) các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 ,

như trên hình 2. Dễ thấy

tiến dần đến giao điểm L (1;1) của hai

đồ thị hàm số g ( x ) và f ( x ) , đồng thời các phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,

của dãy tăng dần đến

x L = 1 . Vậy dãy hội tụ và lim x n = 1 .

n→ 

Hình 2. Sự hội tụ của dãy  x n  khi x1  ( 0;1) .
Mở rộng bài toán: Trường hợp x1  (1; 2 ) theo hình 3 ta thấy dãy số  x n  vẫn hội tụ và
lim x n = 1 . Tuy nhiên nếu giải bài toán này bằng phương pháp giải tích sẽ gặp nhiều khó khăn
n→ 

do dãy số đã cho không phải là dãy tăng ( x1  x2 mà x2  x3 ).
654


Hình 3. Sự hội tụ của dãy  x n  khi x1  (1; 2 ) .
Trường hợp x1 = 0 hay x1 = 2 dãy  x n  hội tụ và lim x n = 0 vì xn = 0,  n  2 .
n→

Trường hợp x1  ( − ; 0)  (2;  ) dãy  x n  phân kỳ và lim x n = −  (hình 4)
n→

Hình 4. Sự phân kỳ của dãy  x n  khi x1  ( − ; 0)  (2;  ) .
Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp giải bằng đồ thị hàm số có thể chứng minh
một dãy số khơng đơn điệu là hội tụ hay phân kỳ.
Bài tập 3. Tính

A=

2 + 2 + 2 + ...

Giải. Xét dãy  x n  được cho bởi công thức truy hồi

 x1 = 0



 x n +1 =

2 + xn

655


Ta có x n =

2 + 2 + ... 2 ( n dấu căn), suy ra A = lim xn . Vậy thay vì tính A ta cần
n →

chứng minh dãy  x n  hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Tương tự bài tập 1 và 2 trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) =

g ( x ) = x . Từ điểm x1 trên trục Ox ta xác định được các điểm x2 , x3 ,
trên đồ thị của f ( x ) các điểm M 1 , M 2 , M 3 ,

2 + x và

như hình 5. Dễ thấy

tiến dần đến điểm cố định L ( 2; 2 ) là giao điểm

của hai đồ thị hàm số g ( x ) và f ( x ) , đồng thời các phần tử x1 , x2 , x3 ,

của dãy tăng dần đến

x L = 2 . Vậy dãy hội tụ và A = lim x n = 2 .
n→ 

Hình 5. Sự hội tụ của dãy  x n  khi x1  (1; 2 ) .
Kết luận. Bài tham luận này trình bày phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn dãy số cho
bởi cơng thức truy hồi dựa vào đồ thị hàm số. So với phương pháp giải tích, phương pháp đồ
thị có một số ưu điểm như sau:
− Lời giải trực quan, đơn giản.

− Có tính toàn cục. Xác định được miền hội tụ (phân kỳ) của dãy số  x n  theo số hạng
đầu tiên của dãy là x1 .
− Có tính tổng qt. Chứng minh được một dãy truy hồi bất kỳ hội tụ hoặc phân kỳ mà
khơng cần biết dãy đó có đơn điệu hay không.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Архипов Г.И., Садовничиий В.А., В.Н. Чубариков (2004). Лекции по математическому
анализу. Москва: издательство Дрофа.
2. Krainer, Thomas (2016). Recursive sequences in first-year calculus. International Journal of
Mathematics Education in Science and Technology, 47, 299–314.
3. Võ Khắc Thường (2013). Tốn cao cấp – Giải tích tốn học. TPHCM: NXB ĐHQG TPHCM.

656