khoi 11 tai lieu hoc tap tuan 1112 dai so 1911202174415

BÀI 3 - NHỊ THỨC NEWTON
A-TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 - Công thức nhị thức Niu-ton
- Khai triển nhị thức Newton là khai triển có dạng :

( a + b)

n

= Cn0 .a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2 b 2 + Cn3 a n −3b3 + ..... + Cnn −1a.b n −1 + Cnn b n
n

= ∑ Cnk a n −k .b k
k =0

2 - Nhận xét:
Cơng thức nhị thức Niu tơn (*) có :
* (n + 1) số hạng.
k
n−k k
* Số hạng thứ k + 1 là Tk +1 = Cn .a b .
k
n−k
k
k
k −1
* Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Cn = Cn ; Cn +1 = Cn + C n .

* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n.
3 - Tam giác Pa-xcan
n

Trên đây ta thấy muốn khai triển (a + b) thành đa thức, ta cần biết n + 1 số

C0n ,C1n ,C2n ,...,Cnn −1 ,Cnn

có mặt trong cơng thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được bằng

cách sử dụng bảng số sau đây :
1
1 1
1 2
1
1
1
1

6

3
4

5 10
15

1
3

6

1
4

10
20 15

1
5

1
6

1

……………………………………………………
Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta gọi là
tam giác Pa-xcan.
Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau :
− Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
− Nếu biết hàng thứ n (n ≥ 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số

liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số
1 ở đầu và cuối hàng.


B - CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai

15
Ví dụ 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai

12

 2
1 
x + 4 ÷
x 


9

Lời giải

 1
3 
 − + 2x ÷ ; x ≠ 0

triển nhị thức  x

Ta có

Lời giải
12

12
 2
1 
k
2
 x + 4 ÷ = ∑ C12 x
x 
k =0



( )

12

= ∑C x
k =0

k
12

24 − 2k

12 − k

x

−4k

12

Đáp số :

= ∑C x
k =0

C69 ( −1) 2 6 = −5376
3

k

 1 
 4÷
x 

k
12

……………………………………………………

24 −6 k

……………………………………………………

Để có số hạng khơng chứa x thì 24 − 6k = 0 ⇔ k = 4 .
Kết luận hệ số của số hạng khơng chứ x là

4
C12

……………………………………………………
……………………………………………………

.

……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………
……………………………………………………
n

n

 2 2
x − ÷
x
Ví dụ 3: Trong khai triển của nhị thức 

1

x+ ÷
x  , hệ số số hạng
Ví dụ 4: Trong khai triển 

cho biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong

thứ ba lớn hơn hệ số số hạng thứ hai là 35. Tính số

khai triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có

hạng khơng chứa x.

4
chứa x .

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………


5

Ví dụ 5: Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu

thức sau thành đa thức
4

4
Ví dụ 6: Tìm hệ số của x trong khai triển

( 1 + 2x + 3x )
2

5

6

7

f(x) = ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) .
5
5
5
5
Đáp số : 2 + 6.2 + 21.2 = 28.2 = 896.

……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………..
Ví dụ 7: Chứng minh rằng
Ckn + 3Ckn +1 + 3Ckn + 2 + C kn + 3 = C kn++33 .

……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

10

Đáp số :
4
3
2
a 4 = C10
C04 2 4 30 + C10
C13 2 2 31 + C10
C 22 2 0 32 = 8085

………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
.
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
……………………………………………………
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng

2C kn + 5C kn+1 + 4C kn+ 2 + Ckn+ 3 = C kn++22 + C kn++ 33 .

……………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………


……………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………
Tính tổng :
Ví dụ 9:
S2 =

C0n

+

2C1n

+2

2

C2n

+ ×××+ 2

n

……………………………………
Ví dụ 10: Chứng minh các đẳng thức sau:
0
1
2
3
2n −1
2n

2n
a). C2n + C 2n + C2n + C2n + ×××+ C2n + C2n = 2

Cnn

……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………….

0
1
2
3
2n −1
2n

b). C2n − C 2n + C 2n − C2n + ×××− C2n + C 2n = 0
0
2
2n
1
3
2n −1
2n −1
c). C2n + C2n + ×××+ C2n = C2n + C2n + ×××+ C2n = 2

……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

C - BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1

Tìm hệ số của x10 trong khai triển (2 + x)15

ĐS :

Bài 2

( 3 − 2x )
Cho khai triển

ĐS :

Bài 3

Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển của (2x3 - xy)15.

Bài 4

x − 2y)
Tìm x biết số hạng thứ 3 trong khai triển (

10

. Tìm hệ số của số hạng chứa x7.

ĐS :

5

theo lũy thừa tăng dần của y là 5y2
ĐS :

x=

1
2

Bài 5

Tìm hệ số của x5 trong khai triển x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10.

Bài 6

Gọi a1 , a2 , … , a11 là hệ số trong khai triển (x+1)10.(x+2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 . Hãy tìm hệ
số a5 .

ĐS : 672


A = ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x ) = a 0 + a1.x + ... + a14 .x14
9

10

14

Bài 7

Cho khai triển

Bài 8

1

x + ÷
x  , hãy tìm số hạng tự do.
Trong khai triển 

. Tìm a9 .

12

n

1

x− ÷
4  bằng 31 . Tìm n
trong khai triển 

Bài 9

n−2
Biết rằng hệ số của x

Bài 10

2

P(x) =  − 3x 2 ÷
x

 . Hãy tìm số hạng khơng chứa x ; số hạng chứa x13
Trong khai triển biểu thức

Bài 11

 1 3
 +x ÷
 . Tìm hệ số của số hạng không chứa x , sh thứ 16 và sh chính giữa trong
Cho khai triển  x

ĐS : 32

20

20

khai triển.
Bài 12

8
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niuton của ( x2 + 2)n biết rằng:

A 3n − 8Cn2 + C1n = 49

với ( n nguyên và n > 3)
n

Bài 13

 nx 2 1 


- ÷
 14 x ÷
 biết n là số nguyên dương
Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton của 
5Cnn−1 = Cn3
thoả:
.

Đs:

−

35 5
x
16

n

Bài 14

 3 3
5
3
 2x − 2 ÷
x  với n là số nguyên dương thỏa: 2Cn + 6 = 7 An + 4 .Tìm số hạng khơng
Trong khai triển của 
chứa x?
2n

Bài 15

 2
3
2
2
2
2
 5 − 5y ÷
C
+
2C
+
2C
+
C
=
149

n+ 2
n+ 3
n+ 4
Biết : n+1
. Tìm số hạng chính giữa của khai triển  x
=5

C0n + 2C1n + 4C 2n + ....... + 2 n C nn = 243

Bài 16

Tìm số nguyên dương n sao cho

Bài 17

Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức

Bài 18

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (2 + x)n, biết :

ĐS : n = 5

2n −1
C12n + C32n + ... + C 2n
= 2048

3n C0n − 3n −1 C1n + 3n −2 C2n − 3n −3 C3n + ... + (−1)n Cnn = 2048
Bài 19

2n
Tìm hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển (2 − 3 x) , biết rằng n là số nguyên dương

C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024.
n

Bài 20

 1
7
 4 +x 

 , biết rằng
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển  x
C12 n +1 + C 22 n +1 + ... + C n2 n +1 = 2 20 − 1.

ĐS : n


8

Bài 21

1 + x 2 (1 − x) 
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 

Bài 22

Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn, trong đó n ∈ N* và các hệ số a0, a1, …, an thỏa mãn hệ

8

thức
Bài 23

a0 +

a1
a
+ ... + nn = 4096
2
2

. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, …, an.

Cho (1+x)n = ao + a1x + a2x2 +…+akxk ...+ anxn , biết rằng tồn tại số nguyên k ( 0 ≤ k ≤ n − 1) sao cho
ak−1
2

=

ak
9

=

ak+1
24 . Hãy tính n .
n

Bài 24

ĐS : 238

1

x + ÷
x  tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24 . Hãy tính tổng
Biết rằng trong khai triển 
các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x.