Tài liệu học tập môn Toán 11 – La Tuấn Duy (Tập 1)

TÀI LIỆU HỌC TẬP
Năm học: 2019 – 2020

TOÁN 11
TẬP 1

Cuốn sách này của: ______________________________
Biên soạn & giảng dạy: Thầy Duy – THPT Gia Định


LNG GIC

CNG TON 11

PHN 1:
HM S LNG GIC PHNG TRèNH LNG GIC
BI 1: ễN TP CễNG THC LNG GIC
A. TểM TT Lí THUYT
1. Giỏ tr lng giỏc ca mt cung




Trờn ng trũn lng giỏc (hỡnh 1.1) cho cung AM cú s AM :

Hỡnh 1.1
Gi M x M ; yM thỡ ta cú:
sin y M OK

tan

sin
; cos 0
cos

cos x M OH

cot

cos
; sin 0
sin

Lu ý:
1. Cỏc giỏ tr sin ; cos xỏc nh vi mi . V ta cú:
sin k 2 sin , k ;

cos k 2 cos , k .

2. 1 sin 1 ; 1 cos 1
3. tan xỏc nh vi mi


k , k v tan k tan .
2

4. cot xỏc nh vi mi k , k v cot k cot .
2. Cụng thc lng giỏc
H thc c bn
2

Cung liờn kt

2

sin a cos a 1
tan a. cot a 1
sin a
tan a
cos a
cos a
cot a
sin a
1
1 tan2 a
cos2 a
1
1 cot2 a
sin2 a
GV: TUN DUY THPT Gia nh

cos ủoiỏ

sin a sin a

sin buứ
phuù cheựo

cot a cot a

hụn keựm

cheo
ự sin
2

tan a tan a
cos a cos a

cos a

1


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Công thức cộng
sin a  b   sin a . cos b  cos a . sin b
cos a  b   cos a . cos b  sin a . sin b

tan a  tan b
1  tan a. tan b
tan a  tan b
tan a  b  
1  tan a. tan b
tan a  b  

Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc

sin 2a  2 sin a. cos a
cos 2a  cos2 a  sin2 a
 2 cos2 a  1
 1  2 sin2 a



1

sin a. cos a  sin 2a


2


1  cos 2a

2

 sin a 

2


1  cos 2a

2

cos a 



2


sin 3a  3 sin a  4 sin 3 a
cos 3a  4 cos3 a  3 cos a

Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
. cos
2
2
a b
a b
sin a  sin b  2 cos
. sin
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2 cos
. cos
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2 sin
. sin

2
2
sin a  sin b  2 sin

Một số công thức khác



sin a  cos a  2 sin a  
4 



cos a  sin a  2 cos a  
4 

sin2 a. cos2 a 

1
sin2 2a
4

1
3  1 cos 4a
cos4 a  sin 4 a  1  sin2 2a 
2
4
cos6 a  sin6 a  1 

(3sin – 4sỉn)

(4cổ – 3 cô)

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a  b   sin a  b 

2 
1
cos a. sin b  sin a  b   sin a  b 

2
1
cos a. cos b  cos a  b   cos a  b 

2
sin a. cos b 

1
sin a. sin b   cos a  b   cos a  b 

2

Công thức tính sin , cos  theo t  tan


2


2



2t

sin  


1  t2



1  t2

cos  

1  t2


2t


tan  


1  t2



Đặt t  tan

3 2

5  3 cos 4a
sin 2a 
4
8

3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
k 2
k   được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác.
m
Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung  .
Bước 2: Xác định m  1 điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M .
Ví dụ:

Cung lượng giác x   

1. Cung lượng giác x 


 k 2

 k 2  
được biểu diễn bởi một điểm M tại vị trí .
3
3
1
3

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

2

LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

2. Cung lượng giác x 


 k 2

7
được biểu diễn bởi hai điểm M tại các vị trí và
.
 k  
6
6
2
6
6

3. Cung lượng giác x 

 k
 k 2
 3  5 7 
thì có bốn điểm M tại các vị trí ,
,
;
.


 
4
2
4
4
4 4
4 4

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Biến đổi biểu thức lượng giác
Phương pháp:
Sử dụng công thức lượng giác. Thông thường ta thực hiện như sau:
 Có hệ số tự do  biến đổi cho mất số
 Có mũ cao  hạ bậc
 Có tích  biến đổi thành tổng
 Có tổng  nhóm hạng tử và biến đổi thành tích
Các ví dụ
Câu 1. Biến đổi biểu thức sau thành tổng P  cos x . cos 2x . cos 3x
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________





Biến đổi biểu thức sau thành tổng P  sin   x  . sin x . sin   x 
 3
 3


___________________________
___________________________

Câu 2.

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

3

LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Câu 3. Biến đổi biểu thức sau thành tích P  sin 2x  cos 2x  1
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 4. Biến đổi biểu thức sau thành tích P  sin x  sin 2x  sin 3x

___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 5. Biến đổi biểu thức sau thành tích P  1  cos x  cos 2x  cos 3x
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 6. Biến đổi biểu thức sau thành tích P  cos2 x  cos2 2x  sin 2 3x  sin 2 4x
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 7.

Biến đổi biểu thức sau thành tích P  sin 8 x  cos 8 x  2 sin10 x  cos10 x 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 8. Biến đổi biểu thức sau thành tích P  sin 6x  2 sin 3x cos x  cos 2x
___________________________

___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

4


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Dạng 2: Rút gọn, chứng minh biểu thức lượng giác
Các ví dụ
1 1
 cos2 2x
2 2
___________________________
___________________________

Câu 9.

Chứng minh rằng: sin 4 x  cos4 x 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

x
x
5  3 cos 2x
 cos6 
2
2
8
___________________________
___________________________

Câu 10. Chứng minh rằng sin 6

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________







Câu 11. Rút gọn biểu thức P  3 sin4 x  cos4 x  2 sin6 x  cos6 x



___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



2 
2 
Câu 12. Rút gọn biểu thức P  sin2 x    sin2 x  sin2 x  



3 
3 
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

5


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Câu 13. Rút gọn biểu thức P  cos 3x sin 3 x  sin 3x cos 3 x
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Dạng 3: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Phương pháp:
k 2
 có m điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
m
Bước 2: Xác định điểm M biểu diễn cung  trên đường tròn lượng giác
Bước 3: Xác định m  1 điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M

Bước 1: Đưa cung về dạng x   

Các ví dụ

 k 2 k   
2
___________________________

Câu 14. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x 

___________________________
___________________________

___________________________
___________________________


 k 2 k   
4
___________________________

Câu 15. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x  

___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 16. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x  k k  
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

6


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11


 k  k   
2
___________________________

Câu 17. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x  

___________________________
___________________________
___________________________
___________________________


 k  k  
4
___________________________

Câu 18. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x 

___________________________
___________________________
___________________________
___________________________

k 2
k  
3
___________________________

Câu 19. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x 

___________________________
___________________________
___________________________
___________________________

k
k  
2
___________________________

Câu 20. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x 

___________________________
___________________________
___________________________
___________________________

 k

k  
3
2
___________________________

Câu 21. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x 

___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

7


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng 1: Phương trình sin u  m
Phương pháp:
1. Dạng cơ bản: sin u  m 1
 m  1  m  1 : Phương trình vô nghiệm
 1  m  1 : Với m  sin  , ta có:
 u    k 2
1  sin u  sin   u      k 2 k  




sin x  0  x  k 





Đặc biệt: sin x  1  x   k 2

k  

2





sin x  1  x    k 2


2


2. Dạng mở rộng:
u  v  k 2
sin u  sin v  
k  
u    v  k 2
(Với u, v là các biểu thức theo biến x )

Các ví dụ
Câu 1. Giải phương trình sin 2x  1
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 2. Giải phương trình sin 3x  0
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

x

Giải phương trình sin     1
 2 6 
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 3.

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

8


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

1
2
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

1
3
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

x

Giải phương trình 2 sin     3  0
 2 6 
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________


5 
Giải phương trình sin 3x    sin 2x
4 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 4.

Câu 5.

Giải phương trình sin 5x 

Giải phương trình sin 2x  

Câu 6.

Câu 7.



1
Tìm các nghiệm của phương trình sin 2x     trong khoảng ;  


3
2
___________________________
___________________________

Câu 8.

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

9


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11





Tìm các nghiệm của phương trình sin 2x    sin x   thỏa x  2


6 
3 
___________________________
___________________________

Câu 9.

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 10. Giải phương trình 2 sin x    2  0 và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng

4 
giác

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Dạng 2: Phương trình cos u  m
Phương pháp:
1. Dạng cơ bản: cosu  m 1
 m  1  m  1 : Phương trình vô nghiệm
 1  m  1 : Với m  cos  , ta có:
 u    k 2
1  cos u  cos   u    k 2 k  


cos x  0  x    k 

2
Đặt biệt: cos x  1  x  k 2
k  

cos x  1  x    k 2



GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

10


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

2. Dạng mở rộng:
u  v  k 2
cos u  cos v  
k  
u  v  k 2
(Với u, v là các biểu thức theo biến x )

Các ví dụ
Câu 11. Giải phương trình cos 3x  1
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 12. Giải phương trình cos x    0
4 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 13. Giải phương trình cos 2x    1
3 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

3
2
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

x  
Câu 15. Giải phương trình 2 cos     1  0
 3 6 
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 14. Giải phương trình cos 2x 

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

11


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11



3 

Câu 16. Giải phương trình cos 2x    cos x  


4 

4 
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 17. Tìm các nghiệm của phương trình 2 cos x    3  0 trong đoạn 3; 6
4 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



1
Câu 18. Giải phương trình cos x     và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác
3 
2


___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Dạng 3: Phương trình tan u  m và cot u  m
Phương pháp:
1. Dạng cơ bản:
 tan u  m  tan u  tan   u    k  k   
 cotu  m  cot u  cot   u    k  k   
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

12


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

2. Dạng mở rộng:
tan u  tan v  u  v  k  k   

cot u  cot v  u  v  k  k   

(Với u, v là các biểu thức theo biến x )
Các ví dụ
Câu 19. Giải phương trình tan 2x   3
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 20. Giải phương trình 3 cot 3x  3  0
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 21. Giải phương trình tan 2x    tan x
6 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 22. Giải phương trình cot 3x    cot 2x

4 
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

13


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Dạng 4: Đưa về phương trình cơ bản
Phương pháp:
 Đưa dấu " " vào trong

 sin a  sin a 

 tan a  tan a 
 cot a  cot a 

 cos a  cos   a 
 Chuyển giữa sin và cos




sin   a   cos a

2


cos   a   sin a

 2
 Chuyển giữa tan và cot



tan   a   cot a

2


cot   a   tan a
 2

1
1
 cot a;
 tan a
tan a
cot a
 Chú ý các dạng sau

Có sin2 u, cos2 u  hạ bậc
sin u   sin v  sin u  sin v 



sin u  cos v  sin u  sin   v 

2

cos u   cos v  cos u  cos   v 


cos u  sin v  cos u  cos   v 

2


tan u  cot v  tan u  tan   v 

2

tan u. cot v  1  tan u 

1
 tan u  tan v
cot v

Các ví dụ

 1
Câu 23. Giải phương trình sin 2 2x   
6  2


___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

14


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11


 3
Câu 24. Giải phương trình cos2 2x   

4  4
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________




Câu 25. Giải phương trình sin 2x     sin x 
3 


___________________________

 

6 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 26. Giải phương trình cos 3x    cos x  0

3 
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



2 
9 
Câu 27. Giải phương trình sin 3x    cos x  
3 
4 


___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 28. Giải phương trình sin 2x    cos x  0
4 

___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

15


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11





Câu 29. Giải phương trình sin 2 5x    cos2 3x    0

3 
4 

___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________


 4


Câu 30. Giải phương trình sin 3x    sin   3x   3

5 

 5
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________



Câu 31. Giải phương trình tan 3x    tan 2x  0
4 


___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________






Câu 32. Giải phương trình tan 4x    cot   2x 

 6
3 

___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

16


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Dạng 5: Phương trình tích
Phương pháp:
A  0
 Biến đổi phương trình về dạng A.B  0  
B  0
 Chú ý các công thức sau
1. Công thức nhân đôi
________________________________________________________

________________________________________________________
________________________________________________________
2. Công thức hạ bậc
________________________________________________________
________________________________________________________
3. Công thức tổng thành tích:
________________________________________________________
________________________________________________________

________________________________________________________
________________________________________________________
4. Công thức tích thành tổng
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Các ví dụ
Câu 33. Giải phương trình 1  cos x  cos 2x  0
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 34. Giải phương trình sin 4x  cos 4x  1  0
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

17


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Câu 35. Giải phương trình sin 3x  sin 4x  sin 5x  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 36. Giải phương trình cos 3x  sin 2x  cos x  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 37. Giải phương trình cos 6x cos 3x  cos 7x cos 4x
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 38. Giải phương trình sin 3x sin x  sin 8x sin 4x  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau


a. 2 sin 4x    3  0
3 




b. 1  2 cos 3x    0
3 




c. sin 4x    sin 2x  0

5 



2 
9 
d. sin 3x    cos x  

3 
4 


GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

18


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11


2 
e. sin 3x    sin 2x  0
3 



3 
f. sin 2x    cos x  0
4 


x

3 cot   200   1  0

2


i. tan 4x    cot 2x
3 




h. tan 3x    tan 2x  0
4 


g.

j. tan x . cot 2x  1

Bài 2: Giải các phương trình sau
x   1
a. sin2    
 2 6  2

 3x
 3
b. cos2    
4  4
2


 7

2 
c. sin 2 3x    sin 2   x 

3 


 5



d. sin2 5x    cos2 x  0
3 



 4


e. sin 3x    sin   3x   3

5 

 5

 4



f. cos 
 x   cos   x   3
 9

18




 5


g. cos 3x    sin   3x   2

3 

6

Bài 3: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
a. sin 2x  

1
với x  0;  
2

b. tan 2x  150   1 với 1800  x  900


c. cos2 2x  sin2 x   với x  2

3 

Bài 4: Giải các phương trình sau
a. sin 2x  cos 2x  1  0
b. 1  cos 2x  cos 4x  0
c. 1  cos x  cos 2x  cos 3x  0
d. sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x  0
e. cos 5x  cos 6x  cos 7x  0
f. sin 6x sin 2x  cos 3x cos x

g. sin2 x  sin2 2x  cos2 3x  cos2 4x
h. sin2 2x  sin2 3x  sin2 4x  sin2 5x  2

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

19


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

BÀI 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp:
Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

a sin2 x  b sin x  c  0
a cos2 x  b cos x  c  0
a tan2 x  b tan x  c  0
a cot2 x  b cot x  c  0
a sin4 x  b sin2 x  c  0
a sin2 x  b sin x  c  0

a cos4 x  b cos2 x  c  0

a cos2 x  b cos  c  0

MỘT SỐ ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
● sin a cos a 

1
sin 2a
2

● cos 2a  cos2 a  sin2 a  2 cos2 a  1  1  2 sin2 a
● cos 4 a  sin 4 a  cos2 a  sin 2 a cos2 a  sin 2 a   cos 2a
1
3  1 cos 4a
● sin 4 a  cos4 a  1  sin2 2a 
2
4

● sin 6 a  cos6 a  1 

3 2
5  3 cos 4a
sin 2a 
4
8

Các ví dụ
Câu 1. Giải phương trình sin2 2x  3 sin 2x  2  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

20

LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Câu 2. Giải phương trình sin2 3x  cos 3x  1  0
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 3. Giải phương trình cos 4x  3 sin 2x  2  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 4.

Giải phương trình tan2 x 





3  1 tan x  3  0

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

1
 cot 2x  3
sin 2 2x
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 6. Giải phương trình 4 sin4 x  12 cos2 x  7
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 5.

Giải phương trình

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

21


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Câu 7. Giải phương trình cos 2x  3 cos4 x  4  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 8. Giải phương trình cos 4x  12 sin x cos x  5  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 9. Giải phương trình 2 cos 3x cos x  4 sin2 2x  1  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 10. Giải phương trình cos 5x . cos x  cos 4x . cos 2x  3 cos2 x  1
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 11. Giải phương trình cos4 x  sin4 x  cos 4x  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

22


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Câu 12. Giải phương trình sin 4 x  cos 4 x  sin x cos x  0
___________________________
___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

15
1
cos 2x 
8
2
___________________________
___________________________

Câu 13. Giải phương trình cos6 x  sin 6 x 

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Dạng 2: Phương trình đưa về bậc hai
Phương pháp:
Dạng
 2



1 
sin x  1   c  0

a sin x 

b





sin x 
sin 2 x 

Đặt ẩn phụ

Chú ý



1 
1 
  b cos x 
  c  0
a cos2 x 
2

cos x 
cos x 







a tan 2 x  cot2 x  b tan x  cot x   c  0

Các ví dụ




1 
sin x  1   7  0

Câu 14. Giải phương trình 4 sin2 x 

4



sin x 
sin 2 x 

___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

23


LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11


 2
4 
  1  0


Câu 15. Giải phương trình 2 cos2 x 

9


cos
x



cos2 x 
 cos x

___________________________
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Câu 16. Giải phương trình 3 tan 2 x  cot x   4 tan x  cot x   2  0
___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Dạng 3: Phương trình đối xứng – phản đối xứng
Phương pháp:


● sin a  cos a  2 sin a  

4 



● sin a  cos a  2 sin a  

4 



● cos a  sin a  2 cos a  

4 



● cos a  sin a  2 cos a  

4 

Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

a sin x  cos x   b sin x . cos x  c  0

a sin x  cos x  b sin x . cos x  c  0

a sin x  cos x   b sin x . cos x  c  0

a sin x  cos x  b sin x . cos x  c  0

GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định

24