0481 tính liên tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chứa tham số

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

TÍNH LIÊN TỤC CỦA TẬP NGHIỆM YẾU CỦA
PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC CHỨA THAM SỐ
Nguyễn Bích Huy *, Nguyễn Duy Thanh †, Trần Đình Thanh ‡

1.

Mở đầu

Trong bài báo này, chúng tôi muốn nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm yếu dương của bài
toán biên chứa tham số sau:
 − ∆u = λm(x)uα − uβ

u = 0

trong đó

Ω⊂ □ N

là tập mở, bị chặn, có biên trơn ;

dương và hàm m(x) thuộc Lq (Ω) với q thỏa điều kiện
hay q >
*
(2* )′ ≤

2* =

với

2N
N−2

trong Ω,
treân
δΩ,

q.2
qα + 2*

(1)

0 < α < β ≤ 1, λ là tham số

2 *
2* − 1 − α

(2)

. Phương trình (1) gọi là phương trình logistic, nó mơ tả một số

hiện tượng trong y học và sinh học.
Thông thường, nghiệm của phương trình chứa tham số khơng tồn tại đơn lẻ, rời rạc và ta
muốn biết, liệu tập nghiệm của nó có “liên tục” theo một nghĩa nào đó khơng ? Trong [4, 6]
chúng tơi đã chứng minh (1) có nghiệm yếu dương khi λ đủ lớn nhưng chưa xem xét tính
liên tục của tập nghiệm nhận được. Nếu
q>

N
2

thì nghiệm yếu dương của (1) nếu tồn tại, sẽ duy nhất và bị chặn ; khi đó

cấu trúc tập nghiệm của (1) có thể nghiên cứu nhờ các kết quả về phân nhánh toàn cục
dạng định lý Rabinowitz như đã làm trong [1]. Điều kiện (2) mà chúng
tôi đặt ra không đòi hỏi q >

N
2

nên nghiệm yếu dương (nếu tồn tại) có thể khơng

bị chặn. Do vậy, phương pháp nghiên cứu ở [1] không áp dụng được và chúng tôi
*

PGS.TS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM.
ThS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM.
‡
TS, Trường Đại học Y dược Tp.HCM.
†

1


sẽ áp dụng phương pháp chặn dưới đơn điệu của Krasnoselskii ở dạng được phát
triển trong [5].
2.

Các khái niệm và kết quả được sử dụng
2.1 Nghiệm yếu của phương trình elliptic
Xét bài tốn tìm hàm u thỏa mãn
− ∆u = f (x,
u)

trong Ω ; u = 0 trên ∂Ω

trong đó Ω ⊂ □ N là tập mở, bị chặn, có biên trơn, f : Ω ×
□
điều kiện Caratheodory.

(3)

→□ là hàm thỏa

Ta sẽ sử dụng các kí hiệu thơng thường cho các không gian Sobolev :
H = W 1,2 , H −1 = (H
0

0

0

)* , chuẩn trong H0 và Lp được kí hiệu tương ứng

. H, . P.

là
Dưới đây nếu khơng được nói cụ thể hơn thì ta hiểu rằng các tích phân được lấy

trên tập Ω .
Định nghĩa
Hàm

u ∈ H gọi là một nghiệm yếu của phương trình (3) nếu f (x, u) ∈ L1,
0

uf (x.u) ∈ L1 và

∫

∇u∇ϕ =

u)ϕ

∫

f (x,

∀ϕ ∈ H 0∩ L∞ .

Ta có định lí cơ bản sau về sự tồn tại nghiệm yếu.
Định lí [3]
Giả sử hàm Caratheodory g : Ω× □ →□ thỏa mãn các điều kiện sau
i) g (x,0) = 0, g (x, u) tăng theo biến u,
ii) Với mỗi số t>0 tồn tại hàm ϕt

∈ L1 sao cho sup g(x, u) ≤ ϕt (x) .
u ≤t

Khi đó với mọi h ∈ H −1 thì bài tốn


− ∆u + g(x, u) =
h

có duy nhất nghiệm yếu.

trong Ω ; u = 0 trên ∂Ω


2.2

Phương trình chứa tham số trong khơng gian Banach có thứ tự

Giả sử

)

( X, .

là không gian Banach với thứ tự "≤" được sinh bởi nón

K ⊂ X . Cho ánh xạ F : □

K

+

× K →K , ta xét bài tốn tìm cặp (λ, x) ∈ □ + ×

sao

cho
x = F (λ, x) .

(4)

Ta kí hiệu S = {x ∈ K \ {0}: ∃ λ ≥ 0, x = F (λ, x)}.
Định nghĩa
Ta nói rằng tập S có tính chất liên tục, không bị chặn, xuất phát từ 0 nếu với
mọi tập G là mở, bị chặn, chứa 0 thì ta ln có S ∩ ∂ G ≠ φ .
Định lí 2 [5]
Giả sử ánh xạ F : □ + × K →K là hồn tồn liên tục và tồn tại ánh xạ tăng
G : K →K , hàm ϕ : □ + →□ + sao cho
F(λ, x) ≥ G(ϕ(λ)x), ∀(λ, x) ∈ □ + × K .
Hơn nữa, giả sử tồn tại phần tử u0 ∈ K \ {0} và các số dương a, b sao cho
i) G(tu0 ) ≥ atu0 ∀t ∈[0, b] ;
ii) lim ϕ(λ) = ∞, lim G(tu0 )
λ→∞

t→∞

0

= ∞ , trong đó . 0 là một chuẩn trên X thỏa mãn

các điều kiện sau :
x

0

≤ x ∀x ∈ X ; 0 ≤ x ≤ y ⇒ x

0

≤ y 0.

Khi đó tập nghiệm S của (3) có tính liên tục, khơng bị chặn, xuất phát từ 0.
3.

Kết quả chính

Định lí
Giả sử các dữ kiện trong bài toán (1) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) 0 < α < β ≤ 1,
ii)

m(x) ∈ Lq với q thỏa mãn điều kiện (2) và tồn tại số m0 > 0 , tập mở Ω 0


sao cho Ω0 ⊂ Ω, m(x) ≥ m 0 ∀x ∈ Ω0 .


Khi đó tập nghiệm yếu dương của (1) là liên tục, không bị chặn, xuất phát
từ 0.
Chứng minh.
Ta sẽ áp dụng định lí 1 để đưa bài tốn tìm nghiệm yếu của (1) về bài tốn
tìm nghiệm của phương trình dạng (4) trong không gian H0 với thứ tự sinh bởi
nón K các hàm khơng âm rồi áp dụng định lí 2 để có kết quả phải chứng minh.

Bước 1. Đưa về phương trình dạng (4).
Chọn p là số thỏa mãn điều kiện
(2* )′ =

thì do (2) ta có

qp
qα +
p

(5)

p < 2* . Do đó ánh xạ I nhúng H0 vào Lp là compắc.

H ⊂ L2*

Vì
nên

0

H −1 ⊃ L(2*)′ . Do vậy, với mỗi h ∈
L(2*)′

thì theo định lí 1, bài toán

− ∆v +
v β = h trong Ω , v = 0 trên ∂Ω

(6)

có duy nhất nghiệm yếu, kí hiệu là Ph. Ta sẽ chứng minh rằng, ánh xạ P là liên
tục từ L(2*)′ vào H0. Thật vậy, với h, h′ ∈ L(2*)′ , theo định nghĩa nghiệm yếu của (6)
ta có

∫

∇(Ph − Ph′ )∇ϕ +

Cho ϕ = Ph − Ph′ ta có

∫

∫

[(Ph) β − (Ph′ ) β ]ϕ =

∫

| ∇(Ph − Ph′ ) |2 + ∫ [(Ph)β − (Ph′ ) β ](Ph − Ph′ ) =

(h − h′ )ϕ ∀ϕ ∈ H 0 .

∫

(h − h′ )(Ph − Ph′ ) .

Chú ý rằng số hạng thứ hai ở vế trái là không âm và áp dụng bất đẳng thức
Holder ta được
Ph − Ph′ 2 ≤ h −

H
h′

(2*)
′

. Ph − Ph′
2*

Từ đây ta được

Ph − Ph′

H

≤ C. h − h′

(2*)′

.


Với mỗi (λ, u) ∈ □ + × H0 , u ≥ 0 ta có u ∈
2*

L

với t =

và do đó λm(x)uα ∈ Lt

q2 *
> (2*)′ . Do đó bài toán
qα + 2
*
− ∆v +
=
vβ
λm(x)uα

trong Ω , v = 0 trên ∂Ω


có duy nhất nghiệm yếu, ta kí hiệu nó là F (λ, u) . Như vậy ta có ánh xạ
F:□

+

× K →K , nghiệm của phương trình u = F (λ,

sẽ là nghiệm yếu của (1).

u)

Do đó, ta chỉ cần chứng minh tập nghiệm yếu của phương trình u = F (λ, u) có
tính chất nêu trong định lí.
Xét ánh xạ N : (λ, u)  λm(x)uα . Do định nghĩa số p và lí luận tương tự trên
ta thấy N tác động từ Lp vào L(2*)′ , do đó theo định lí Krasnoselskii nó liên tục.
Vì ta có F =
nên F là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Như đã chứng mính trong

PoNoI

[4,6] F đơn điệu tăng theo biến u.
Bước 2. Xây dựng ánh xạ chặn dưới đơn điệu
Ta sẽ chứng minh

thỏa mãn các điều kiện của định lí 2.

G(u) := F (1,
u)

Trước tiên ta có G đơn điệu tăng và
F (λ, u) = F (1, λ1/α u) = G(λ1/α u) .

Gọi ϕ là véctơ riêng tương ứng với giá trị riêng chính của bài tốn
− ∆u = λu trong Ω 0 , u = 0 trên ∂Ω 0

và xét hàm

u0 =
εϕ

trên Ω 0 , u0 = 0 trên Ω \ Ω 0 . Như đã chứng minh trong [2],

khi ε > 0 đủ nhỏ ta có

∫ ∇u ∇ϕ ≤ ∫ m(x)u
0

Xét t ∈ (0,1) ,

nên ta có vì

∫

α
0

∀ϕ ∈

0

,ϕ ≥ 0 .

(7)

G(tu0 ) = F (1, tu0 là nghiệm yếu của (6) với h = m(x)(tu0 )α
)

∇G(tu 0 )∇ϕ +

∫

(G(tu 0 )) β ϕ = m(x)(tu 0 )α ϕ , ∀ϕ ∈ H 0 .

(8)

Nhân (7) với t và trừ (8) rồi cho ϕ = (tu0 − G(tu0 ))+ ta được

∫

∇(tu0 − G(tu ))+ 2
0
≤

∫

u0

trong đó A = {tu 0 ≥ G(tu 0 )}.

β
α
α
{(G(t )) − m(x)u (t − t)}(tu − G(tu0
))

0

0

(9)


Gọi g là thừa số thứ nhất trong tích phân ở vế phải của (9). Ta có g = 0 trên
A ∩ Ω \ Ω0 , còn trên A ∩ Ω ta có
0

g ≤ (tu
0

) β − m uα (tα − t) =
(tu
0

0

)α
{(tu
0

) β −α −
0m

+ m t1−α } .
0

0


Vì hàm u0 bị chặn nên từ đây ta thấy g ≤

trên A khi t >0 đủ nhỏ. Do đó từ (9)

0

ta thấy khi t đủ nhỏ thì (tu − G(tu ))+ =
0

0

hkn hay G(tu0 ) ≥ tu0 . Vậy G thỏa mãn

0

các điều kiện i) của định lí 2.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ t  t −αG(tu 0 ) là tăng. Thật vậy, với
0s

ta đặt u = G(tu0 ), v = G(su0 ) . Từ (8) ta có

∫

∫

(t −α u β − s −α v β

∫

(t

∇(t −α u − s −α v)∇ϕ +

∀ϕ ∈ H 0 .

)ϕ =0

Cho ϕ = (t −α u − s −α v)+ ta được

∫

∇(t

−α

u − s −α v) + 2 +
A

−α

uβ − s−α vβ )(t

−α

u − s−α v) = 0 ,

(10)

trong đó A = {t −α u ≥ s −α v}. Trên A ta có
αβ −α

−1 ≥ 0 .
t −α u β − s −α v β ≥ s −α vβ  t 


 s


Ở đây ta đã sử dụng giả thiết β ≤ 1. Do đó từ (10) ta được
( (t −α u − s −α v)+ = 0 ) hay t −α u ≤ s

−α

v

hkn.

từ điều đã chứng minh ta có với t ≥ 1 .
G(tu 0 ) ≥ t α G(u 0 )

.

=

Do đó điều kiện ii) của định lí 2 được thỏa mãn với chuẩn .
0

. 2* .

Định lí được chứng minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Arcoya D., Carmona J., Pellacci B. (2001), Bifurcations for some quasilinear
operators, Proc. Royal Soc. Edin., 131A, 733 – 765


[2]. Boccardo L., Orsina L. (1994), Sublinear equations in Ls, Houston J. Math.,
20, 99 – 144
[3]. Brezis H., Browder F. (1982), Some properties of higher order Sobolev spaces,
J. Math. Pures Appl. 61 (1982), 245 – 259
[4]. N. B. Huy (2002), Positive weak solution for some semilinear elliptic
equations, Nonl. Analysis 48, 939 – 945

[5]. N. B. Huy (1999), Global continua of positive solutions for equations with
nondifferentiable operators, J. Math. Anal. Appl. 239, 449 – 456.
[6]. Trần Đình Thanh (2002), Nghiệm yếu dương của một lớp phương trình
elliptic.Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Tp HCM, 28, 39 – 42.

Tóm tắt
Tính liên tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chứa tham số
Trong bài báo, chúng tôi sử dụng phương pháp chặn dưới đơn điệu để
chứng minh rằng tập nghiệm yếu của phương trình logistic chưa tham số là
một nhánh liên tục không bị chặn.

Abstract
Global continua of weak solutions of logistic equation depending
on a parameter
In this paper we use the monotone minorant method to prove that


weak solutions of logistic equation form an unbounded continuous branch.