1441 nghiên cứu nghiệm ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số tuần hoàn bằng phương pháp phổ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TẠP CHÍ KHOA HỌC
ISSN:
1859-3100

HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION

JOURNAL OF SCIENCE

KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập
14, Số 6 (2017): 146-156

NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY
Vol. 14, No. 6 (2017): 146-156
Email: ; Website:

MỘT LỚP MỞ RỘNG KÉP CỦA MỘT VÀI ĐẠI SỐ LIE TOÀN
PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC 7 CHIỀU
Nguyễn Thị Mộng Tuyền*
Khoa Sư phạm Toán Tin - Trường Đại học Đồng Tháp
Ngày Tòa soạn nhận được bài: 15-3-2017; ngày phản biện đánh giá: 05-5-2017; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2017

TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một lớp mở rộng kép của một vài đại số Lie toàn phương giải được
7 chiều đã được liệt kê trong [4]. Kết quả thu được là một phần trong bài toán phân loại các đại số Lie toàn
phương giải được 9 chiều bằng phương pháp mở rộng kép.
Từ khóa: đại số Lie tồn phương giải được, mở rộng kép.
ABSTRACT
A double extension class of some solvable quadratic Lie algebras of dimension 7
In this paper, we study and come up with result that a class double extension of some of solvable

quadratic Lie algebras of dimension 7 listed in [4]. The result is a part of classification of solvable
quadratic Lie algebras of dimension 9 by applying the method of double extension.
Keywords: solvable quadratic Lie algebra, double extension.

1.

Mở đầu
Trong vài thập niên gần đây, bài toán phân loại các đại số Lie tồn phương (giải được hay khơng
giải được) luôn là một vấn đề thời sự được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Nhắc lại rằng, đại
số Lie toàn phương là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường đóng đại số F cùng với một dạng song
tuyến tính đối xứng, bất biến và khơng suy biến. Để thấy rõ tính thời sự của vấn đề, trước hết chúng ta
điểm lại một số cơng trình tiêu biểu trong khoảng ba thập niên gần đây.
• Năm 1987, Favre và Santharoubane [1] đã phân loại các đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé hơn
hoặc bằng 7 bằng phương pháp mở rộng kép trên khơng gian véctơ tồn phương.
• Năm 2003, Baum và Kath [2] đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được
chiều bé hơn hoặc bằng 6.
• Năm 2007, Kath [3] đã phân loại các đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé hơn
hoặc bằng 10 bằng phương pháp đối đồng điều tồn phương.
• Năm 2014, Duong [4] đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được chiều bé hơn hoặc bằng 8 bằng
phương pháp mở rộng kép trên khơng gian véctơ tồn phương.
* Email:

1


TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP
TPHCM

Tập 14, Số 6 (2016): 146156

• Năm 2008, Campoamor và Stursberg [6] đã phân loại các đại số Lie tồn phương
khơng giải được chiều bé hơn hoặc bằng 9.
• Năm 2014, Benayadi [7] đã phân loại các đại số Lie tồn phương khơng giải được
chiều bé hơn hoặc bằng 13.
Như vậy, cho đến thời điểm này, vẫn chưa có một kết quả nào về phân loại lớp các
đại số Lie toàn phương giải được chiều lớn hơn hoặc bằng 9. Đây chính là động lực để
chúng tơi hướng đến nghiên cứu bài tốn phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 9
chiều bằng cách mở rộng kép các đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều trong [4]. Mặc
dù đã hạn chế trên số chiều 9, vấn đề vẫn còn rất phức tạp. Trong bài báo này, chúng tôi
giới thiệu được một lớp mở rộng kép hoàn toàn mới của ba đại số Lie toàn phương giải
được 7 chiều.
Bài báo được bố cục như sau: Phần 1 nêu vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Phần 2
nhắc lại phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 7 chiều trong [4]. Phần 3 giới
thiệu các kết quả chính của bài báo về một lớp hoàn toàn mới các đại số Lie giải được 9
chiều.
2.
Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 7-chiều
Định nghĩa 2.1. [5]
Cho một đại số Lie hữu hạn chiều G trên trường F. Một dạng song tuyến tính
B : G× G →F được gọi là:
1. Đối xứng nếu B(X ,Y ) = B(Y , X ), ∀X ,Y ∈G.
2. Không suy biến nếu B(X ,Y ) = 0,∀Y ∈G
X = 0.
thì
3. Bất biến (hay kết hợp) nếu B([ X ,Y ], Z ) = B(X ,[Y , Z ]),∀X ,Y , Z ∈G.
Khi đó, (G, B) được gọi là đại số Lie tồn phương.
Ta

kiểm

tra

được

nếu

I

là

iđêan

của

G

thì

I⊥

(tức

là,

I ⊥ = { X ∈G B ( X ,Y ) = 0, ∀Y ∈ I } ) cũng là iđêan của G. Hơn nữa, nếu I không suy
biến

(tức là, B I ×
I

khơng suy biến) thì I ⊥ cũng không suy biến và G= I ⊕ I ⊥. Trong trường hợp

này, ta kí hiệu G = I  I ⊥. Nhớ lại rằng, một đại số Lie toàn phương G được gọi là bất khả
⊕
phân nếu nó khơng chứa bất kì một iđêan thực sự khơng suy biến nào. Ngược lại, chúng ta
gọi G là khả phân. Rõ ràng, nếu X ∈ Z ( G) , B ( X , X ) ≠ 0 thì G là khả phân.
Định nghĩa 2.2. [5]
Cho (h, [.,.]h , B) là một đại số Lie toàn phương và D là đạo hàm phản xứng của h
(tức là, D thỏa mãn B(D( X ),Y ) = −B(X , D(Y )),∀X ,Y ∈h). Chúng ta định nghĩa trên
không gian véctơ G = h⊕ Fe ⊕ Ff


TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP
TPHCM

tích:

Nguyễn Thị Mộng
Tuyền

[ X ,Y ] = [ X ,Y ]h + B( D( X ),Y ) f , [e, X ] = D( X ), ∀X , Y ∈h, [ f , G] = 0.


Khi đó G được gọi là một đại số Lie tồn phương với dạng song tuyến tính bất biến
BG được xác định bởi:
BG (e, e) = BG( f , f ) = BG(e,h) = BG ( f ,h) = 0, BG( X ,Y ) = B( X ,Y ), B(e, f ) = 1, ∀X ,Y ∈G.
Chúng ta gọi G là mở rộng kép của h bởi D hoặc là mở rộng kép một chiều của h. Kí
hiệu (G, BG, D).
Mở rộng kép là phương pháp hữu ích và được sử dụng thường xuyên trong bài toán
phân loại. Trong định nghĩa trên, nếu h là aben và D ≠ 0 thì G2 = { 0} hoặc dimGd2 = 1

(với
G2 =   [ G,G] , [ G, G]   ) và G là mở rộng kép một bước.

Mệnh đề 2.3. [5]
Cho G là đại số Lie toàn phương và D ,
1
D2

là các đạo hàm phản xứng của G. Nếu

D1 − D2 = ad ( X ), X ∈G thì các mở rộng kép của G
bởi

D1 ,
D2

là đẳng cấu.

Mệnh đề 2.4. [5]
Cho (G, B) là đại số Lie toàn phương giải được, dimG = n, (n ≤ 6).
1. Nếu n ≤ 3 thì G là aben.
2. Nếu n = 4
thì G đẳng cấu đẳng cự với F 4
hoặc

G4 = span{X , P, Q, Z}, trong đó

B(X , Z ) = B(P,Q) = 1, [ X , P] = P, [ X , Q] = −Q, [P,Q] = Z.
⊥

3. Nếu n = 5 thì G đẳng cấu đẳng cự với F 5 , G ⊕ F hoặc G = span{X , X ,T , Z , Z }
4

5

1

2

1

2

sao cho B(X1, Z1) = B( X 2 , Z2 ) = B(T ,T ) = 1, [ X , X ] = T , [X ,T ] = −Z , [X ,T ] =
1
2
1
2
2
và
Z1.
⊥

4. Nếu

n=
6

thì

G

đẳng

cấu

G6 = span{X1 , X 2 , X 3 , Z1 , Z2 , Z3}, trong
đó đẳng cấu đẳng cự với mỗi đại số Lie

⊥

F 6 , G4 ⊕F 2 , G5⊕F

hoặc

B( X1, Z1) = B( X 2 , Z2 ) = B( X 3 , Z3 )
=1

và G

đẳng

cự

với

sau:
(i) G6,1 : [ X1 , X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1 , [ X 3 , X1 ] = Z2 .
(ii) G6,2 ( λ ) : [ X 3 , X1 ] = X1, [ X 3 , X 2 ] = λ X 2 , [ X 3 , Z1 ] = −Z1, [ X 3 , Z2 ] = − λZ2 ,[ X1, Z1 ]

= Z3 , [ X 2 , Z2 ] = λZ3.
(iii) G6,3 :
4


[ X 3, X 1] = X
1, [ X 3, X 2] =
X 1 + X 2, [ X 3
, Z1 ] = −Z1 −
Z2 , [ X 3 , Z 2 ]
= − Z2 ,

[ X1, Z1 ] = Z3 , [ X2 , Z2 ] = Z3 , [X 2 , Z1 ] = Z3.
Mệnh đề 2.5. [4]
Cho (G, B) là đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều.
⊥

1. Nếu G là khả phân thì G đẳng cấu đẳng cự với G6 ⊕F, trong đó G6 là đại số Lie
toàn phương giải được 6 chiều trong Mệnh đề 2.4.

5


2. Nếu G là bất khả phân thì tồn tại một cơ sở {X1, X 2 , X3 ,T , Z1, Z2 , Z3} của G sao cho
dạng song tuyến tính B được xác định B( X , Z ) = B(X , Z )
1
1
2
2
=

B(X 3 , Z3) = B(T ,T ) = 1

và G đẳng cấu đẳng cự với các đại số Lie sau:
(i)
Z3 ,

G7,1 : [ X3 , X2 ] = X1, [X 3 ,T ] = X 2 , [X 3 , Z1 ] = −Z2 , [ X3 , Z2 ] = −T , [ X 2 , Z1 ] =

[T , Z2 ] = Z3.
(ii) G7 ,2 : [ X3, X1] = X1, [ X3,T ] = X2 , [ X3, Z1] = −Z1, [ X3, Z2 ] = −T , [ X1, Z1]
= Z3,
[T , Z2 ] = Z3.
(iii) G7,3 : [ X3, X1] = X1, [X3, X 2 ] = − X2 , [ X3, Z1] = −Z1, [X3, Z2] = −Z2, [ X1,
Z1] =
Z3 , [ X 2 , Z2 ] = −Z3 , [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X 2 ,T ] = Z1.
Với kết quả của Mệnh đề 2.5, chúng tơi đã nghỉ đến việc giải quyết bài tốn phân
loại đại số Lie toàn phương giải được 9 chiều bằng phương pháp mở rộng kép các đại số
Lie toàn phương giải được 7 chiều. Dưới đây là một vài kết quả ban đầu mà chúng tôi thu
được:
3. Một lớp mở rộng kép của một vài đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều
trong Mệnh đề 2.5
Định lí 3.1.
⊥

Gọi D là một đạo hàm phản xứng của đại số Lie tồn phương G6,1 ⊕ F. Khi đó ma
trận biểu diễn của D đối với cơ sở {X1, X 2 , X 3 , Z1, Z2 , Z3 ,Y} được xác định như sau:
 −
−x2
x1


−y
−
y
2
 1
 − z1 −z2

D=
0
0

t
 0

 0

 −t
 1

0

−
x3
−y
3

x1 + y2
0
0

0
0

0
0

0
0

0 
0

0
x

0
y

0
z


0

t , x , y , z , ∈F, i = 1, 2, 3.

1
i

1

1

x

y

z

2

2

0

0

x3

y3

−t

−t

0

0

2

3

2

−(x1 + y2
)
0


t 
2
t3 
0
1



⊥

i

i

i


Nếu các ti = 0, i = 1, 2, 3 thì mở rộng kép của G6,1 ⊕ F bởi D là:
1. G9,1 : [ X1 , X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1 , [ X 3 , X1 ] = Z2 .

= Z2 .

2. G9 ,2 : [e, X2 ] = X1,[e, Z1] = −Z2 , [ X1, X2 ] = Z3,[ X2, X3 ] = Z1, [X 2 , Z1] = f ,[X3,
X1]
3. G9,3 : [e, X 2 ] = X1, [e, X3] = X2, [e, Z1] = −Z2, [e, Z2 ] = −Z3, [X1, X 2 ] = Z3, [X 2,
X3]
= Z1, [ X 2 , Z1] = f , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X 3 , Z2 ] = f .
4. G9 ,4 : [e, X 2 ] = X2 , [e, X3] = − X3, [e, Z2 ] = −Z2, [e, Z3] = Z3, [ X1, X 2 ] = Z3,[ X 2,
X3]
= Z1, [ X 2 , Z2 ] = f , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X 3 , Z3 ] = − f .


5. G9,5 : [e, X1 ] = X1,[e, X 2 ] = X1 + X 2 ,[e, X 3 ] = −2 X 3 ,[e, Z1] = −Z1 − Z2 ,[e, Z2 ] = −Z2 ,
[e, Z3 ] = 2Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X 2 , X 3 ] = Z1,[ X 2 , Z1] = f ,
[ X 2 , Z2 ] = f , [ X3 , Z3 ] = −2 f .
6. G9 ,6 : [e, X1 ] = X1 ,[e, X 2 ] = α X 2 ,[e, X 3 ] = (−1− α ) X 3 , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = − α Z2
,

[e, Z3 ] = (1+ α )Z3 , [X 1 , X 2 ] = Z3 , [X 3 , X1 ] = Z2 , [X1, Z1 ] = f , [X 2 , X 3 ] = Z1,[X 2 , Z2 ] = α f ,
[ X 3, Z3 ] = (−1− α ) f .
Chứng minh.
Giả

sử

⊥

h = G6,1 ⊕ F = span{X1 , X 2 , X 3 , Z1 , Z2 , Z3 ,Y }, với

[ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X3 ] = Z1, [ X 3 , X1 ] =
Z2

và

dạng

song

móc

Lie

tuyến

tính

B( X1 , Z1 ) = B( X 2 , Z2 ) = B( X 3 , Z3 ) = B( X , X ) = 1. Nếu D là một đạo hàm phản xứng
của

h đối với cơ sở đã chọn. Ta tính được ma trận biểu diễn của D :
 −
x1

−
y
 1
 −z1
D=
0

−x2
−y
2

−z2
−b

−x3
−y
3

x1 + y2
−c


 b
1

0


 c1

c2

0

 −t
 1

−t

−t

1

1

−c

0
0

0
0

0
0

0
x

0
y

0
z

1

1

1

x2

y2

z2

x3

y3
)
0

−(x1 + y2

2

2

0

0

3

0 

0

0

t1  , xi , yi , zi , ti , b1, c1, c2
t2

t3 
0


Theo Mệnh đề 2.3 ta chọn b1 = c1 = c2 = 0. Khi đó ta xét ma trận D như sau:
D=

0
0 
 A
0 − At B


−B t 0
0




với −x1
A=

−y

 −z1
 1

−x2
−y
2

−z

2

) . Đặt

−x3 
, B=(t t
−y
t
3
x +y 
1
2
⊥

1

2

⊥

3

∈ F, i = 1, 2, 3.

G = h⊕ Fe ⊕ Ff .


Xét đẳng cấu P : G6,1 ⊕ F →G6,1 ⊕ F sao cho P = Q ⊗
id

với Q là đẳng cấu của G6,1

và id là ánh xạ đồng nhất của F. Nếu chọn B = và vết của A bằng 0 thì chúng ta xét
0
các trường hợp sau của ma trận A :
 0 0 0 
1. A = 0 0 0 thì móc Lie của G được xác định bởi: [ X , ] = Z [ X , ] = Z ,
X
,
X

1
2
3
2
3
1

 0 0 0



[ X 3 , X1 ] = Z2 .


 0 1 0



2. A = 0 0 0

 0 0 0


thì móc

Lie của

G

được

xác định bởi:

[e,
X

2

] = X1,

[e, Z1] = −Z2 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z1 ] = f , [ X 3 , X1 ] = Z2 .
 0 1 0


thì móc Lie của G được xác định bởi: [e,
3. A = 0 0 1

X
 0 0 0


2

] = X1, [e, X 3 ] =

X 2 , [e, Z1 ] = −Z2 , [e, Z2 ] = −Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z1 ] = f , [ X 3 , X1 ] =
Z2 ,

[ X 3 , Z2 ] = f .
4. A =

 0 0 0 
0 1 0 thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X , [e, X ] =
2
2
3
 0 0 −1



− X3 , [e, Z2 ] = −Z2 ,[e, Z3 ] = Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X3 ] = Z1 , [ X 2 , Z2 ] = f , [ X3 , X1] =
Z2 ,
[ X 3 , Z3 ] = − f .
5. A =

 1 1

0 1
 0 0


0 

0
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X 1] = X 1, [e, X 2 ] =
−2 


X1 + X 2 , [e, X 3 ] = −2 X 3 , [e, Z1 ] = −Z1 − Z2 , [e, Z2 ] = −Z2 , [e, Z3 ] = 2Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 ,
[ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z1] = f ,[ X 2 , Z2 ] = f , [
X 3 , Z3 ]
6. A =

0
 1 0
0 α
0
 0 0 −1− α





= −2 f .

thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X ,
1

1



[e, X 2 ] = α X 2 , [e, X 3 ] = (−1− α ) X 3 , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = − α Z2 , [e, Z3 ] = (1+ α )Z3 , [ X1,
X 2]
= Z3 , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z2 ] = α f , [ X 3 , Z3 ] = (−1− α ) f .
⊥

Nhận xét 3.2. Ta có các mở rộng kép của G6,1 ⊕ F trong Định lí 3.1 là khả phân, vì

X ∈ Z (G) và B(X , X ) ≠ 0.


Định lí 3.3.
⊥

Gọi D là một đạo hàm phản xứng của đại số Lie G 5⊕F 2. Khi đó ma trận biểu diễn
của D đối với cơ sở {X1, X 2 ,T , Z1, Z2 ,Y1,Y2} được xác định bởi:


 −x1

−x

− y1

0

x1
0
 2
0
0
0 
D= 0
A
0
1
2


 0

0
0
y
−
x
B
1
1



− At −Bt 0 0
0 C
Nếu x3 = y3 = y4 = 0, x4 = 1


với A = (x3 y3 ), B = (x4 y4 ), C ∈ o(2), xi , yi ∈ F, i = 1, 2, 3,
4.
0
0
0
0

0
0
0
x

0
0
0
x

⊥

thì mở rộng kép của G5 ⊕F 2 bởi D là:
1. G9 ,7 : [e, X1] = −Y2 , [e,Y2 ] = Z1, [X1, X2 ] = T , [X1,T ] = −Z2 , [X1,Y2 ] = − f , [X 2 ,T ] =
Z1 .
2. G9,8 : [e, X1 ] = −Y2 , [e, X 2 ] = X1, [e, Z1] = −Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X 2 ] = T ,[ X1,T ] = −Z2
,

[ X1,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] = Z1, [ X 2 , Z1] = f .
3. G9,9 : [e, X1 ] = X1 − Y2 , [e, X 2 ] = − X 2 ,[e, Z1 ] = −Z1,[e, Z2 ] = Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X 2 ]
= T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X1,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] = Z1, [ X 2 , Z2 ] = − f .
4. G9,10 : [e, X1 ] = −Y2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ]
= − f , [ X 2 ,T ] = Z1, [Y1,Y2 ] = f .
5. G9,11 : [e, X1] = −Y2 , [e, X 2 ] = X1, [e, Z1 ] = −Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 −Y1, [ X1, X 2 ]
= T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] = Z1 , [ X 2 , Z1 ] = [Y1,Y2 ] = f .
6. G9,12 : [e, X1 ] = X1 − Y2 , [e, X 2 ] = − X 2 , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ]

= Z1 − Y1, [X1, X 2 ] =
T,

[ X1,T ] = −Z2 , [X1 , Z1 ] =
f,
[ X 2 , Z2 ] = − f , [Y1,Y2 ] = f .
Chứng minh.
Giả

sử

⊥

h = G ⊕ F2
,
5

chọn

cơ

sở

[ X1,Y2 ] = − f , [X 2 ,T ] = Z1,

{X ,
X
1

,T , Z , Z
}
2

1

của

2

[ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X 2 ,T ] = Z1, B( X1, Z1 ) = B( X 2 , Z2 ) = B(T
,T ) = 1
giao

{Y1,
Y2}

của F
2
.

G

sao

cho

5

và cơ sở trực

Gọi D là một đạo hàm phản xứng của G đối với cơ sở

{X1, X 2 ,T , Z1, Z2 ,Y1,Y2}. Ta tính được ma trận biểu diễn của D như sau:


 − x1
−x
 2
 a
D =  01
−c

 c
 1 t
−A


− y1
x

0

0

0
0

0
0

0
−a

0
x

0
x

1

2

1

a2
1

1

0
−Bt

−a2
0

y1 −x1
0
0

0 
0

0 
A

B 
C



với A = (x x ), B = ( y y ), C ∈ o(2), x , y , a , a , c ∈ F, i = 1, 2, 3, 4. Theo Mệnh đề 2.3,
3 4
3 4
i
i
1
2
1
ta
có thể chọn a1 = a2 = c1 = 0. Khi đó
 −x1

−x

−
y1
1
x0
0

 2
D =  0
0

 0
0

− At −Bt


0

0

0

00
0

00
x

00
x

1

2

0
0

−x1
0

y1
0

0

00  .
A

B 
C


Đặt G = h⊕ Fe ⊕ Ff . Nếu đẳng
cấu

⊥

5

là đẳng cấu của

  0 0  0
C∈
−1, 
,

G5 và id

F
 =

⊥

P : G ⊕F 2 →G ⊕F 2 sao cho P = Q ⊗ id

với Q

5

C ∈o(2) nên
F 2.
Vì
đồng dạng với một ma trận dạng Jordan và F

là ánh xạ đồng nhất của

 −x1 − y1




 
−x x
0
0
1
0

 

 2
1


x4 
  0 0  0 1  1 0  
.
xE3 =
 0 1
có vết bằng 0 nên
F∈
,
,
E=
Nếu
 .
Đặt  

 
  −1




0 0
0 0
0 0
 y y
0
 
 
 3 4




thì ta xét các
 trường hợp sau:0 
01. F =
0
thì móc Lie của G được xác định
[e, X ] = −Y ,
 0,C=
bởi:





1
2
0 0
0 0




[e,Y2 ] = Z1, [X 1 , X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [X 2 ,T ] = Z1.

0
02. F =
1
thì móc Lie của G được xác định
[e, X ] = −Y ,
bởi:
 0,C=




1
2
0 0
0 0




[e, X2 ] = X1, [e, Z1] = −Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X 2

,T ] =
Z1, [ X 2 , Z1 ] = f .
 1 0
 0 0
3. F =
,C=
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X
1
1




0 −1
0 0



−Y2 , [e, X 2 ] = −
X2,







[e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y2 ] =
Z1,

[ X1, X 2 ] = T , [ X1 ,T ] = −Z2 ,

[ X1, Z1 ] = f , [X1 ,Y2 ] = − f , [ X2 ,T ] = Z1, [X 2 , Z2 ] = − f .

thì móc Lie của G được xác định bởi:
04. F =
−1
0
[e, X ] = −Y ,
 0,C=





1
2
0 0
1 0 
[e,Y1] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1 ,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] = Z1,
[Y1,Y2 ] = f .


05. F =



thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = −Y ,

−1



1
 0,C=





0 0
1 0




[e, X 2 ] = X1, [e, Z1 ] = −Z2 ,
−Z2 ,

1

2

[e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] =

[ X1,Y2 ] = − f , [X 2 ,T ] = Z1, [ X2 , Z1 ] = [Y1,Y2 ] = f .
 1 0
 0 − 1
6. F =
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X
,C=





1
1
0 −1
1 0




−Y2 , [e, X 2 ] = − X 2 , [e, Z1] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y1] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X 2 ] = T
,
[ X1,T ] = −Z2 ,[ X1, Z1 ] = f ,[ X1,Y2 ] = − f ,[ X 2 ,T ] = Z1,[ X 2 , Z2 ] = − f ,[Y1,Y2 ] = f .
Nhận xét 3.4. Ta thấy G9,7 , G9,8 , G9,9 là khả phân, vì có Y1 ∈ Z ( G) , B ( Y1,Y1

)

là mở rộng kép một bước,
G9,12

G9,10 , G9,11

≠ 0,

là bất khả phân.

Định lí 3.5.
Gọi D là một đạo hàm phản xứng của đại số Lie G7 ,1. Khi đó ma trận biểu diễn của

D đối với cơ sở {X1, X 2 , X3 ,T , Z1, Z2 , Z3} được xác định bởi:
0

0

0

−b4

0
0

 0
0 0
0
0
0

0
 0 0 −x

0

b4

0

0
0

− y1
0

0

0

0

0

0
0

0
0

0
0

 0 0

D=



0

 0 0
 x 0

 2

02
0

Nếu x2 = y1 = b4 =
0

0

y1


0
0

,
x
 2 , y1 , b4
0

∈ F.

0 
0 

thì mở rộng kép của G7,

bởi D là

G9,13 với móc Lie

1

[ X 2 , X3 ] = − X1, [ X 2 , Z1 ] = Z3 , [X 3 ,T ] = X 2 , [X 3 , Z1 ] = −Z2 , [ X 3 , Z2 ] = −T , [T , Z2 ] =
Z3.
Chứng minh.
Chọn một cơ sở chính tắc {X , X , X ,T , Z , Z ,
1
2
3
1
2
Z3}

của G7, sao cho các móc Lie
1


[ X3 , X2 ] = X1, [X 3 ,T ] = X 2 , [X 3 , Z1 ] = −Z2 , [ X3 , Z2 ] = −T , [ X 2 , Z1 ] = Z3 ,
Z3 và

[T , Z2 ] =

dạng song tuyến tính B( X , Z ) = B( X , Z ) = B( X , Z B(T ,T ) = 1. Gọi D là một đạo
1
1
2
2
3

3
)=
hàm phản xứng của G7 ,1. Ta tính được ma trận biểu diễn của D :


 0
−e4

0

 0
D= 0

− f4
0
0
0


 0
0

0
 0
 x −e
 2
2

− f5
0

t

0
−b4
−e4
0
0

y1 

0
b4
− y1
0


0
0

0
0
e

2

4

− x2

0

e2
0

0
−t 2

0
e4
f4

0



0
f5

∈ F.

0  , e2 , e4 , f4 , f5 , t2 , x2 , y1 , b4
0
0
0 

Theo Mệnh đề 2.3 ta có thể chọn f = e = f = e = t = 0. Ta được ma trận D :
4
4
5
2

2
 0 0

D=



0

0 0

 00
00 00

 0
− x2
 0 0
0 0

0


x
Đặt

0

0

0

0

0

b

−b4

00 −0y1

00

0
0

0
0

0
0

y1


0  x , y , ∈ F.
00  b24 1
,
0 
0

0

0

0


0

4

0

2

G = G7,1 ⊕ Fe ⊕ Ff . Nếu x2 = y1 = b4 =
0

thì móc Lie của G xác định bởi:

[ X 2 , X 3 ] = − X1, [ X 2 , Z1 ] = Z3 , [ X 3 ,T ] = X 2 , [ X 3 , Z1 ] = −Z2 , [ X 3 , Z2 ] = −T , [T , Z2 ] =
Z3 .
Nhận xét 3.6. Ta thấy G9,13 là mở rộng kép một bước của
h= span{ e, X1, X 2 ,T , Z1, Z2 , f } .
4. Kết luận
Bài báo đã nêu lại định lí phân loại các đại số Lie toàn phương giải được chiều bé
hơn hoặc bằng 7 trong [4], [5]. Hơn nữa, bài báo còn đưa ra được một lớp mở rộng kép của
⊥

⊥

các đại số Lie toàn phương giải được G6,1 ⊕ F , G5 ⊕F2 và G7 ,1 . Với kết quả này, chúng tôi
hi vọng trong thời gian ngắn sắp tới sẽ hoàn thành bài tốn phân loại các đại số Lie tồn
phương giải được 9 chiều bằng phương pháp mở rộng kép.
Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được hỗ trợ bởi đề tài mã số CS2015.01.37.


[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]

TÀI LIỆU THAM KHẢO
G. Favre and L. J. Santharoubane, “Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a
Lie algebra,” J. Algebra 105, pp.451-464, 1987.
H. Baum and I. Kath, “Doubly extended Lie groups – curvature, holonomy and parallel
spinors,” Differential Geom. Appl. 19, no. 3, pp.253–280, 2003.
I. Kath, “Nilpotent metric Lie algebras of small dimension,” J. Lie Theory 17, no. 1, pp.4161, 2007.
M. T. Duong (2014, Jul), Solvable quadratic Lie algebras of dimension at most 8,
Arxiv:1407.6775v1.
M. T. Duong, G. Pinczon and R. Ushirobira, “A new invariant of quadratic Lie algebras,”
Algebra. Represent. Theory 15, pp.1163-1203, 2012.
R. Campoamor-Stursberg, “Quasi-classical Lie algebras and their contractions,” Int. J.
Theor. Phys. 47, no. 2, pp.583–598, 2008.
S. Benayadi and A. Elduque (2014, Apr), Classification of quadratic Lie algebras of low

dimensio, arXiv: 1404.5174v1 [math.RA].
V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, New York, 1985.