WM giải tích 1 lê xuân đại 8 hệ phương trình vi phân tuyến tính sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

1 / 41


Sự phân rã của chất

C
o

Bài toán thực tế

Sự phân rã của chất

in

hV

ie

nZ

on

e.

Ví dụ

Một số chất A sẽ phân rã thành 2 chất P và Q.
Tốc độ hình thành của mỗi chất P và Q tỉ lệ với
khối lượng chất không bị phân rã. Cho x, y lần
lượt là khối lượng chất P và Q được hình thành
tại thời điểm t. Hãy xác định quy luật phân rã
chất A biết rằng tại thời điểm ban đầu t = 0 thì
3
1
x = 0, y = 0, và sau 1min thì x = c, y = c,
8
8
c là khối lượng
ban đầu của chất A
ới
m
/>TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

2 / 41


C
o

Sự phân rã của chất

hV

ie

nZ

on

e.

Tại thời điểm t tốc độ hình thành chất P và Q sẽ
là


 dx = k1(c − x − y )
dt
dy


= k2(c − x − y )
dt
Nghiệm của hệ này là

 x = C1 + C2e −(k1+k2)t
k2
 y = c + C2e −(k1+k2)t − C1
k1

in

m

Bài toán thực tế

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

3 / 41


C
o

Sự phân rã của chất

1

2

ie

nZ

on

e.

Tìm C1, C2 dựa vào điều kiện đầu khi t = 0 thì

x = 0, y = 0


k1 c

 C1 + C2 = 0
 C1 =
k1 + k2
k2
⇒
k1 c
 C1 − C2 = c


C
=
−
2
k1
k +k

hV

Tìm k1, k2 dựa vào điều kiện khi t = 1 thì
3
1
ln 2
3 ln 2
x = c, y = c ta được k1 =
, k2 =

8
8
4
4

in

m

Bài toán thực tế

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

4 / 41


e.

C
o

Sự phân rã của chất

hV

ie

nZ

on

Vậy quy luật phân rã chất A thành 2 chất P, Q
với số lượng x, y được xác định như sau:

3c
1


1− t
x =
4
2
c
1


1− t
y =
4
2

in

m

Bài toán thực tế

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

5 / 41


C
o

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

e.

Hệ thuần nhất với hệ số hằng-Phương pháp Euler
Xét hệ

nZ

on

dX
= AX
(1)
dt
với những phần tử aij của ma trận A là những hằng số.
Nội dung phương pháp Euler như sau: Tìm nghiệm của

ie

(1) ở dạng X (t) = e λt P, với P là véc-tơ hằng. Thế X (t)

hV

vào (1) ta được λe λt P = APe λt ⇔ AP = λP. Vậy hàm
véc-tơ X (t) = e λt P là nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi λ
là trị riêng và P là véc-tơ riêng của ma trận A.

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

6 / 41


Tìm đa thức đặc trưng

e.

Định lý




nZ

on

a11 a12 a13
Cho A =  a21 a22 a23  ∈ M3(K ), khi đó
a31 a32 a33

ie

χA(λ) = |A − λI | = −λ3 + tr (A)λ2−

in

hV

(a11a22 −a12a21 +a22a33 −a23a32 +a11a33 −a13a31)λ

đây

m

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

C

o

Hệ phương trình thuần nhất

+det(A)

tr (A) = a />11 + a22 + a33 −vết của ma trận A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

7 / 41


C
o

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

ie

nZ

on

e.

Định lý
Nếu ma trận A có n véc-tơ riêng độc lập tuyến
tính P1, P2, . . . , Pn ứng với các trị riêng
λ1, λ2, . . . , λn thì các nghiệm
e λ1t P1, e λ2t P2, . . . , e λn t Pn tạo thành hệ nghiệm cơ
bản. Khi đó nghiệm tổng quát của (1) có dạng
X (t) = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + . . . + Cn e λn t Pn

hV

Chú ý. Định lý không đòi hỏi các trị riêng phải
phân biệt, nhưng các véc-tơ riêng phải độc lập
tuyến tính.
/>
in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

8 / 41


Trường hợp: các trị riêng phân biệt

on

e.

Nếu A có n trị riêng phân biệt thì n véc-tơ riêng
tương ứng sẽ độc lập tuyến tính do đó ta có hệ
quả sau:

hV

ie

nZ

Hệ quả
Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt
λ1, λ2, . . . , λn với các véc-tơ riêng tương ứng
P1, P2, . . . , Pn thì nghiệm tổng quát của (1) có
dạng

in

X

m

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

C

o

Hệ phương trình thuần nhất

t
P 1+ C 2e λ2tP 2+ . . . + Cn e λn t Pn .
(t) = C 1e λ1 />
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

9 / 41


on

e.

C
o

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

Trường hợp: trị riêng thực bội m

hV

ie

nZ

Ứng với λ0 là trị riêng thực bội m thì các nghiệm
cơ bản tương ứng của hệ (1) là x1 =
P1(t)e λ0t , x2 = P2(t)e λ0t , . . . , xm = Pm (t)e λ0t , ở
đây P1(t), P2(t), Pm (t) là các đa thức có bậc
không lớn hơn m − 1 .

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

10 / 41


C
o

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

Trường hợp: trị riêng phức

hV

ie

nZ

on

e.

Nếu λ = α + iβlà trị riêng
của ma trận thực A và
u1 + iv1


 u2 + iv2 
P = U + iV = 
 là véc-tơ riêng
 ... 
un + ivn
tương ứng với λ.
Nghiệm cơ bản có dạng e λt .P = e (α+iβ)t .(U + iV )
= e αt (cos βt + i sin βt).(U + iV ) =
e αt [U cos βt −V sin βt]+i.e αt [U sin βt +V cos βt]

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

11 / 41


C
o

Hệ thuần nhất với hệ số hằng

on

e.

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm thực độc lập
tuyến tính
e αt [U sin βt+V cos βt].

nZ

e αt [U cos βt−V sin βt],

và là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. Vậy

ie

X (t) = C1.e αt [U cos βt − V sin βt]+

hV

+C2.e αt [U sin βt + V cos βt].

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

12 / 41


C
o

Ví dụ

Ví dụ

nZ

on

e.



 dx = 7x + 3y
dt
Giải hệ phương trình
dy


= 6x + 4y
dt

ie

Phương trình đặc trưng của hệ

hV

7−λ 3
= 0 ⇔ λ2 − 11λ + 10 = 0
6 4−λ

⇔ λ1 = 1, λ2 = 10.

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

13 / 41


e.

ie

Ứng với λ2 = 10 ta xét hệ
1
1

hV

⇒ P2 =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

6p1 + 3p2 = 0
6p1 + 3p2 = 0

on

1
−2

nZ

⇒ P1 =

C
o

Ví dụ

Ứng với λ1 = 1 ta xét hệ

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

−3p1 + 3p2 = 0
6p1 − 6p2 = 0

.

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

14 / 41


C
o

Ví dụ

Vậy

e.

1
−2

on

= C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2
+ C2e 10t

1
1

=

C1e t + C2e 10t
−2C1e t + C2e 10t

ie

= C1e t

x
y

nZ

X (t) =

hV

=

⇒

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x = C1e t + C2e 10t
y = −2C1e t + C2e 10t
/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

15 / 41


C
o

Ví dụ

Ví dụ

nZ

on

e.


dx


= 6x − 12y − z


 dt
dy
Giải hệ phương trình
= x − 3y − z

dt




 dz = −4x + 12y + 3z
dt

ie

Phương trình đặc trưng của hệ

hV

6 − λ −12
−1
1
−3 − λ −1 = 0 ⇔ −λ3 + 6λ2 − 11λ + 6 = 0
−4
12
3−λ

in

⇔
m

Hệ phương trình thuần nhất

λ1 = 1, λ2 = 2, />λ3 = 3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

16 / 41


C
o

Ví dụ

nZ

on

e.

Ứng
 với λ1 = 1 ta xét hệ


2
 5p1 − 12p2 − p3 = 0
p1 − 4p2 − p3 = 0 ⇒ P1 =  1 

−4p1 + 12p2 + 2p3 = 0
−2

hV

ie

Ứng
 với λ2 = 2 ta xét hệ


7
 4p1 − 12p2 − p3 = 0
p1 − 5p2 − p3 = 0 ⇒ P2 =  3 

−4p1 + 12p2 + p3 = 0
−8

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

17 / 41

e.

C
o

Ví dụ

on

xét hệ


= 0
3
= 0 ⇒ P3 =  1 
= 0
−3

hV

ie

nZ

Ứng
 với λ3 = 3 ta
 3p1 − 12p2 − p3
p1 − 6p2 − p3

−4p1 + 12p2

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

18 / 41


C
o

Ví dụ

Vậy


x
X (t) =  y  = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + C3e λ3t P3
z







2
7
3
t
2t
3t
= C1e
1 +C2e  3 +C3e  1  =
−2
−8
−3


2C1e t + 7C2e 2t + 3C3e 3t
=  C1e t + 3C2e 2t + C3e 3t 
−2C1e t − 8C2e 2t − 3C3e 3t

hV

ie

nZ

on

e.



in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

19 / 41


C
o

Ví dụ

Ví dụ

nZ

on

e.



 dx = 5x − y
dt
Giải hệ phương trình
dy


= x + 3y
dt

ie

Phương trình đặc trưng của hệ

hV

5 − λ −1
= 0 ⇔ λ2 − 8λ + 16 = 0
1 3−λ

⇔ λ1 = λ2 = λ = 4.

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

20 / 41


C
o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

e.

Ứng với λ = 4 ta có nghiệm cơ bản là x = e 4t (a1 t + a2 )
và y = e 4t (b1 t + b2 ) ⇒ x (t) = a1 e 4t + 4(a1 t + a2 )e 4t ,
y (t) = b1 e 4t + 4(b1 t + b2 )e 4t . Thay x, y , x , y vào hệ ta
được
e 4t [a1 + 4(a1 t + a2 )] = e 4t [5(a1 t + a2 ) − (b1 t + b2 )]
e 4t [b1 + 4(b1 t + b2 )] = e 4t [a1 t + a2 + 3(b1 t + b2 )]


4a1 = 5a1 − b1



4b1 = a1 + 3b1
a1 = b1
⇒
⇒
a + 4a2 = 5a2 − b2
b2 = a2 − b1


 1
b1 + 4b2 = a2 + 3b2
Cho a1 = C1 , a2 = C2 , C1 , C2 là những số tùy ý. Khi đó
x = e 4t (C1 t + C2 )
b1 = C1 , b2 = C2 − C1 . Vậy
y = e 4t (C1 t + C2 − C1 )

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

21 / 41


C
o

Ví dụ

Ví dụ

nZ

on

e.



 dx = 4x − 3y
dt
Giải hệ phương trình
dy


= 3x + 4y
dt

ie

Phương trình đặc trưng của hệ

hV

4 − λ −3
= 0 ⇔ (4 − λ)2 = −9
3 4−λ

⇔ λ = 4 ± 3i.

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

22 / 41


C
o

Ví dụ

1
−i

e (4+3i)t =

ie

=

hV

x
y

nZ

on

e.

Ứng với λ = 4 + 3i ta xét hệ
−3ip1 − 3p2 = 0
3p1 − 3ip2 = 0
1
1
0
⇒P =
=
+i

−i
0
−1
Nghiệm cơ bản

=

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

=

1
−i

= U + iV .

e 4t (cos 3t+i sin 3t) =

e 4t (cos 3t + i sin 3t)
e 4t (−i cos 3t + sin 3t)

=

e 4t cos 3t
e 4t sin 3t
+i

e 4t />sin 3t
−e4t cos 3t

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

23 / 41


C
o

e 4t cos 3t
e 4t sin 3t

e.

=

+ C2

e 4t sin 3t
−e 4t cos 3t

=

nZ

= C1

x
y

Ví dụ

on

Vậy X (t) =

x = e 4t (C1 cos 3t + C2 sin 3t)
y = e 4t (C1 sin 3t − C2 cos 3t)

hV

⇒

C1 cos 3t + C2 sin 3t
C1 sin 3t − C2 cos 3t

ie

= e 4t

in

m

Hệ phương trình thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

24 / 41


C
o

Ví dụ

Ví dụ

nZ

on

e.


dx


= x −z



 dt
dy
Giải hệ phương trình
= x

dt



 dz = x − y
dt

ie

Phương trình đặc trưng của hệ

hV

1 − λ 0 −1
1
−λ 0 = 0 ⇔ (1 − λ)(1 + λ2 ) = 0
1
−1 −λ

in

⇔
m

Hệ phương trình thuần nhất

λ1 = 1, λ2 = ±i.
/>
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

25 / 41