Thủy lực đại cương potx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG



ThS Lê Minh Lưu




G
G
I
I
A
A
Ù
Ù
O
O


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H

T
T
T
H
H
H
U
U
Ủ
Û
Û
Y
Y
Y



L
L
L
Ư
Ư
Ự
Ï
Ï
C
C

C













_Tp.Hồ Chí Minh 2007 _
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 1 _
C
C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G

1
1


MỞ ĐẦU

§1.1 – Định nghĩa môn học.
Thủy lực học còn được gọi là Cơ học chất lỏng ứng dụng, là một môn khoa học
ứng dụng.
Thủy lực nghiên cứu:
− Các quy luật cân bằng và chuyển động của chất lỏng
− Các biện pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn
Thuỷ lực học được chia thành hai nội dung lớn:
− Thuỷ lực đại cương: hình thành trên cơ sở các quy luật chung (phần nội
dung này của môn học có trong tất cả các chương trình đào tạo của tất cả các
chuyên ngành kỹ thuật có liên quan đến chất lỏng).
− Thuỷ lực chuyên môn như: Thủy lực đường ống; Thuỷ lực lòng dẫn hở:
Thuỷ lực công trình; Thuỷ lực sông ngòi; Thủy lực dòng thấm. v v
Hệ đo lường dùng trong Thuỷ lực là: hệ kỹ thuật MkGS (m, kG, sec) và SI (hệ
đo lường quốc tế) – m, kg, sec.
Quan hệ giữa các đơn vị:
− Lực: đo bằng Niutơn, ký hiệu N và cũng được đo bằng kilogam lực, ký
hiệu bằng kG hoặc đo bằng đyn.
1 N = 1 kg.1m/s
2
= 1mkgs
-2
;

1 kG = 9,807 N;
1 N = 0,102 kG;
1 dyn = 10
-5
N = 1,02.10
-6
kG
− Áp suất: đo bằng Pascal (Pa); đyn/cm
2
; kg/cm
2
(atm); atm tuyệt đối; mm
Hg.
1 Pa = 1 N/m
2
= 10 dyn/cm
2
= 1,02.10
-5
kG/cm
2
= 9,87.10
-6
atm tuyệt đối = 7,50.10
-3
mmHg.
− Khối lượng: đo bằng kilogram khối lượng (kg); gam khối lượng (g);
kGs
2
/m

4
.
1 kg = 10
3
g = 0,102 kGs
2
/m
4
.
§1.2 – Lịch sử phát triển.
Cơ học chất lỏng ứng dụng - thủy lực – có một quá trình phát triển lâu đời. Một
số nguyên lý về thủy tĩnh (lý thuyết cân bằng của chất lỏng) đã được Asimed xác
lập trong tác phẩm nỗi tiếng từ năm 250 trước công nguyên và sau đó là Xtevin
(1548 – 1620), Galile (1564 – 1642) và Pascal (1623 – 1662) phát triển.
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 2 _
Giữa thế kỷ XV Leonar de Vanhxi (1452 – 1519) đặt nền móng cho thực
nghiệm thủy lực. Ống đã tiến hành nghiên cứu trong phòng thí nghiệm một số vấn
đề về chuyển động của nước trong kênh, qua lỗ vòi và đập tràn. Torixeli (1608 –
1647) đã đề xuất công thức nổi tiếng về vận tốc của chất lỏng chảy qua lỗ, còn
Niutơn (1642 – 1724) đã phát biểu quy luật cơ bản về ma sát trong của chuyển
động của chất lỏng.
Trong thế kỷ XVIII Danhin Becnui (1700 – 1782) và Leona Ơle (1707 – 1783)
đã đề xuất phương trình tổng quát về chuyển động của chất lỏng lý tưởng và có thể
coi các ông là những người đặt nền móng cho cơ học chất lỏng lý thuyết.
Cuối thế kỷ XVIII nhiều bác học và kỹ sư (Sêdi, Đacxi, Badanh, Vâyxbắc)
trong các trường hợp cụ thể khác nhau và họ đã nhận được một số lượng lớn các
công thức kinh nghiệm. Sự hình thành thủy lực "thực dụng" cứ như vậy càng ngày
càng rời xa cơ học chất lỏng lý thuyết.

Thế kỷ XX với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật hàng không, thủy lợi, nhiệt
năng, máy thủy lực đã phát triển như vũ bão của cơ học chất lỏng kỹ thuật được
dựa trên các tiền đề lý thuyết và các phương pháp nghiên cứu thực nghiệm.
§1.3 – Khái niệm chất lỏng trong thủy lực.
Việc nghiên cứu môn thủy lực dựa vào khái niệm phần tử chất lỏng. Phần tử
chất lỏng được coi là vô cùng nhỏ, tuy nhiên kích thước nó cũng còn vượt rất xa
kích thước của phần tử. Giả thiết phần tử chất lỏng là đồng chất, đẳng hướng và
liên tục và không xem xét đến cấu trúc phân tử, chuyển động phân tử ở nội bộ.
Chất lỏng và chất khí khác chất rắn ở chổ mối liên kết cơ học giữa các phần tử
chất lỏng và chất khí rất yếu nên chất lỏng và chất khí có tính di động dễ chảy
hoặc nói cách khác có tính chảy.
Chất lỏng khác chất khí ở chổ khoảng cách giữa các phần tử trong chất lỏng so
với chất khí rất nhỏ nên sinh ra sức dính phân tử rất lớn; tác dụng của sức dính
phân tử này làm cho chất lỏng giữ được thể tích hầu như không thay đổi dẫu có
thay đổi về áp lực, nhiệt độ, chất lỏng chống lại được sức nén, không co lại, trong
khi chất khí dễ dàng co lại khi bị nén. Vì thế chất lỏng là chất chảy không nén
được và chất khí là chất chảy nén được. Tính không nén được của chất lỏng cũng
là tính không giãn ra của nó, nếu chất lỏng bị kéo thì khối liên tục của chất lỏng bị
phá hoại, trái lại chất khí có thể giản ra chiếm hết thể tích của bình chứa nó.
Tại mặt tiếp xúc giữa chất lỏng và chất khí hoặc với chất rắn hoặc với một chất
lỏng khác, do lực hút đẩy các phần tử sinh ra sức căng mặt ngoài, nhờ có sức căng
mặt ngoài một thể tích nhỏ của chất lỏng đặt ở trường trọng lực sẽ có dạng từng
hạt. Vì vậy chất lỏng còn được gọi là chất chảy dạng hạt, tính chất này không có ở
chất khí.
Trong thuỷ lực, chất lỏng được coi như môi trường liên tục, tức là những phần
tử chất lỏng chiếm đầy không gian mà không có chổ nào trống rỗng. Với giả thiết
này ta có thể coi những đặc trưng cơ bản của chất lỏng như vận tốc, mật độ, áp
suất v v là hàm số của toạ độ điểm và thời gian và trong đa số trường hợp hàm
số đó được coi là liên tục và khả vi.
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 3 _
§1.4 – Những tính chất vật lý cơ bản của chất lỏng.
(1). Đặc tính thứ nhất của chất lỏng, cũng như mọi vật thể là có khối lượng,
được biểu thị bằng khối lượng đơn vị (khối lượng riêng) ρ. Đối với chất lỏng đồng
chất, khối lượng đơn vị ρ bằng tỷ số khối lượng M với thể tích W; tức là:
W
M
=
ρ
(1 – 1)
Thứ nguyên của khối lượng đơn vị là:
[]
[
]
[]
3
L
M
W
M
==
ρ

Đơn vị của ρ là kg/m
3
hoặc
4
2
m

Ns
. Theo hệ MKS, đơn vị của ρ là
4
2
m
kGs

Đối với nước đơn vị khối lượng của nước lấy bằng khối lượng của đơn vị
thể tích nước cất ở nhiệt độ +4
0
C; ρ = 1000kg/m
3
.
(2). Hệ quả của đặc tính thứ nhất là đặc tính thứ hai của chất lỏng, có trọng
lượng; biểu thị bằng trọng lượng đơn vị hoặc trọng lượng riêng. Đối với chất lỏng
đồng chất, trọng lượng đơn vị bằng tích số của khối lượng đơn vị với gia tốc rơi tự
do g (g = 9,81m/s
2
):
W
gM
g
.
. ==
ργ
(1 – 2)
Thứ nguyên của trọng lượng đơn vị là:
[]
[
]

[]
3
L
F
W
Mg
==
γ

Đơn vị của γ là
22
sm
kg
hoặc
3
m
N
. Theo hệ MKS, đơn vị của γ là
3
m
kG

Đối với nước ở nhiệt độ +4
0
C;
33
10009810
m
kG
m

N
==
γ
; với thủy ngân
33
13600134000
m
kG
m
N
==
γ

(3). Đặc tính thứ ba của chất lỏng là tính thay đổi thể tích vì thay đổi áp lực
hoặc vì thay đổi nhiệt độ.
Trong trường hợp thay đổi áp lực, ta dùng hệ số co thể tích β
w
để biểu thị sự
giảm tương đối của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng áp suất p lên một đơn vị
áp suất; hệ số β
w
biểu thị bằng công thức sau:
dp
dW
W
w
.
1
−=
β

m
2
/N (1 – 3)
Thí nghiệm chứng tỏ trong phạm vi áp suất từ 1 đến 500 a1tt-mốt-phe và nhiệt
độ từ 0 đến 20
0
C thì hệ số co thể tích của nước β = 0,00005cm
2
/kG ≈ 0. Như vậy
trong thủy lực, chất lỏng thường coi như không nén được. Số đảo của hệ số co thể
tích β
w
gọi là mô-đuyn đàn hồi K:
dW
dp
WK
w
.
1
−==
β
N/m
2
(1 – 4)
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 4 _
Trong trường hợp thay đổi nhiệt độ, ta dùng hệ số giãn vì nhiệt β
t
, để biểu thị

sự biến đổi tương đối của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng nhiệt độ t lên 1
0
C,
hệ số β
t
biểu thị bằng công thức:
dt
dW
W
t
1
=
β
(1 – 5)
Thí nghiệm chứng tỏ trong điều kiện áp suất không khí thì ứng với t = 4~10
0
C
ta có β
t
= 0,00014(1/t
0
) và ứng với t = 10~20
0
C ta có β
t
= 0,00015(1/t
0
). Như vậy
trong thủy lực chất lỏng coi như không co giản dưới tác dụng của nhiệt độ.
Tính chất này còn được thể hiện bằng đặc tính: mật độ giữ không đổi, tức ρ =

const.
(4). Đặc tính thứ tư của chất lỏng là có sức căng mặt ngoài, tức là khả năng
chịu được ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự do phân chia chất lỏng
với chất khí hoặc trên mặt tiếp xúc chất lỏng với chất rắn.
Do sức căng mặt ngoài mà giọt nước có dạng hình cầu. Trong ống có đường
kính nhỏ cắm vào chậu nước có hiện tượng mức nước trong ống dâng cao hơn mặt
nước tự do ngoài chậu; nếu chất lỏng là thủy ngân thì lại có hiện tượng mặt tự do
trong ống hạ thấp hơn mặt thủy ngân ngoài chậu; đó là hiện tượng mao dẫn, do tác
dụng sức căng mặt ngoài gây nên. Mặt tự do của chất lỏng trong trường hợp đầu là
lõm, trong trường hợp sau là mặt lồi.
Sức căng mặt ngoài đặc trưng bởi hệ số sức căng mặt ngoài σ, biểu thị sức kéo
tính trên một đơn vị dài của đường tiếp xúc. Hệ số σ phụ thuộc vào loại chất lỏng
và nhiệt độ. Trong trường hợp nước tiếp xúc với không khí ở 20
0
C ta thấy σ =
0,0726N/m = 0,0074kG/m. Nhiệt độ tăng lên, σ giảm đi. Đối với thủy ngân cũng
trong những điều kiện trên, ta có σ = 0,540N/m, tức là gần bằng 7,5 lần đối với
nước.
(5). Đặc tính thứ năm của chất lỏng là có tính nhớt. Trong thuỷ lực tính nhớt
rất quan trọng, vì nó là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng
chuyển động.
Khi các lớp chất lỏng chuyển động, giữa chúng nảy sinh ra sức ma sát tạo nên
sự chuyển biến một bộ phận cơ năng thành nhiệt năng mất đi không lấy lại được.
Sức ma sát này gọi là sức ma sát trong. Tính chất nảy sinh ra sức ma sát trong
hoặc nói một cách khác, tính chất nảy sinh ra ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng
chuyển động gọi là tính nhớt của chất lỏng.
Năm 1686, Niutơn đã nêu lên giả thiết về quy luật ma sát trong, tức là ma sát
chất lỏng: "sức ma sát giữa các lớp của chất lỏng chuyển động tỷ lệ với diện tích
tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực, phụ thuộc gradiên vận tốc theo
chiều thẳng góc với phương chuyển động, phụ thuộc loại chất lỏng". Định luật ma

sát trong của Niutơn viết dưới biểu thức:
dn
du
SF .
μ
= (1 – 6)
Trong đó:
F - sức ma sát giữa hai lớp chất lỏng.
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 5 _
S - diện tích tiếp xúc
u - vận tốc, u = f(n) – quy luật phân bố vận tốc theo phương n.
μ - hằng số tỷ lệ, phụ thuộc loại chất lỏng, được gọi là hệ số nhớt hoặc hệ số
động lực nhớt.
Gọi τ là ứng suất tiếp,
S
F
=
τ
, công thức (1 – 6)
Hình 1 – 1.
có thể viết dưới dạng:
dn
du
μτ
= (1 – 7)

Công thức (1 – 6) hoặc (1 – 7) dùng cho chuyển
động tầng của chất lỏng.

Tính nhớt của chất lỏng được đặc trưng bởi
hệ số nhớt μ mà thứ nguyên là:
[]
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
dn
du
S
F
μ
,
[]
L
T
M
L
FT
==
2
μ

Đơn vị đo hệ số nhớt μ trong hệ đo lường hợp pháp là
2
m

Ns
hoặc
ms
kg
; đơn vị ứng
với
2
10
1
m
Ns
gọi là poazơ (p).
Tính nhớt còn được đặc trưng bởi hệ số:
ρ
μ
ν
=
(1 – 8)
trong đó ρ - khối lượng đơn vị; ν gọi là hệ số động học nhớt; thứ nguyên của ν
là:
[]
[]
[]
ρ
μ
ν
=
; hoặc
[]
T

L
2
=
ν

Đơn vị đo hệ số động học nhớt ν trong hệ đo lường hợp pháp là
s
m
2
; đơn vị
s
cm
2
được gọi là stốc.
Bảng (1 – 1) hệ số nhớt của một vài chất lỏng.
Tên chất lỏng t
0
C (poa-zơ)
Dầu xăng thường
Nước
Dầu hoả
Dầu mỏ nhẹ
Dầu mỏ nặng
Dầu tuyếc-bin
Dầu nhờn
Glixêrin
18
20
18
18

18
20
20
20
0,0065
0,0101
0,0250
0,2500
0,4000
1,5280
1,7200
8,7000
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 6 _
Sau đây là bảng cho trị số của hệ số nhớt động học ν của nước, phụ thuộc
nhiệt độ:
Bảng 1 – 2.
t
0
C
ν, cm
2
/s
t
0
C
ν, cm
2
/s

0
5
10
12
15
0,0178
0,0152
0,0131
0,0124
0,0114
20
30
40
50
0,0101
0,0081
0,0065
0,0056
Trong những đặc tính vật lý cơ bản nói trên của chất lỏng, quan trọng nhất
trong môn thủy lực là đặc tính có khối lượng, có trọng lượng, có tính nhớt.
§1.5 – Lực tác dụng.
Tất cả những lực tác dụng lên những phần tử ở bên trong ω chia thành hai loại
sau đây:
ω
Hình 1 – 2.
(1). Những lực trong (nội lực): những phần tử bên
trong ω tác dụng lên nhau những lực từng đôi một cân
bằng nhau (theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng),
những lực đó tạo thành một hệ lực tương đương với số
không.

(2). Những lực ngoài (ngoại lực):
− Những phần tử ở ngoài mặt ω tác dụng lên những
phần tử ở trong mặt ω những lực ngoài. Giả thiết rằng những lực đó chỉ tác dụng
lên những phần tử của mặt ω và gọi chúng là những lực mặt.
− Những trường lực (trọng lực, từ trường, điện trường v v ): có những
tác động lên những phần tử ở trong mặt ω, tỷ lệ với những yếu tố thể tích. Đó là
những lực thể tích hoặc còn gọi là lực khối.
§1.6 – Ứng suất tại một điểm.
(1). Xét một phân tố diện tích dω lấy trên một mặt ω, bao quanh điểm I của mặt
ω (hình 1 – 3)
ω
ω
Hình 1
–
3
.
Hệ lực mặt tác dụng lên dω thu được về một
lực duy nhất
dF đặt tại I và một mô men dM .
Vì có thể coi
dF là vô cùng nhỏ bậc nhất so với dω
và
dM là vô cùng nhỏ bậc cao hơn.
Khi dω tiến tới số không, xung quanh điểm I cố
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 7 _
định, véc tơ
ω
d

dF
tiến tới một véc tơ T gọi là ứng suất tại I trên phân tố ω.
Như vậy ở giới hạn ta viết được:
ω
dTdF .=

Hình 1 – 4.
Véc tơ
T có thể có một hướng tùy ý đối với dω.
(2). Cũng bằng cách như vậy, ta có thể định nghĩa ứng
suất trên một phân tố diện tích tuỳ ý bao quanh điểm I lấy
trong chất lỏng (chỉ cần tưởng tượng một mặt
ω
chứa đựng
phân tố đó).
Vì chất lỏng là môi trường liên tục, đẳng hướng
ta chứng minh rằng muốn biết ứng suất tại I trên một
phân tố diện tích dω chỉ cần biết những ứng suất trên ba
phân tố diện tích đôi một vuông góc với nhau và đều đi
qua I.
Giả sử đã biết những ứng suất của phân bố diện tích đi qua I và đôi một
vuông góc với nhau (hình 1 – 4). Cắt tam diện vuông góc đó bởi một mặt phẳng
mà ta muốn biết ứng suất, mặt này tạo nên mặt thứ tư ABC.
Gọi
1
F
,
2
F
,

3
F và F là những lực mặt tác dụng riêng biệt lên bốn mặt của
tứ diện IABC. Những lực đó đều tỷ lệ với diện tích của những tam giác tương ứng.
Đó là những vô cùng nhỏ bậc hai so với những độ dài của tứ diện.
Tứ diện phải được cân bằng dưới tác dụng của
1
F
,
2
F
,
3
F ,
F
và dưới tác
dụng của những lực thể tích.
Nhưng những lực thể tích này là những lực vô cùng nhỏ bậc ba so với
những độ dài của tứ diện, chúng có thể bỏ đi không tính đến so với những lực mặt.
Do đ1o chỉ tồn tại có một phương và một độ lớn cho lực
F để cân bằng được với
tập hợp ba lực
1
F
,
2
F
,
3
F . Lực F này chia cho diện tích tam giác tương ứng được
ứng suất đặt lên mặt ABC mà ta phải tìm. Đến giới hạn ta sẽ có ứng suất tác dụng

lên một phân tố diện tích bất kỳ đi qua điểm I.
Với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, ứng suất tại điểm I trên phân tố dS sẽ được
xác định nếu ta biết:
− Hướng của dω.
− 9 hình chiếu lên các trục toạ độ, của những ứng suất lên ba phân tố diện
tích song song với ba mặt phẳng toạ độ và đi qua I.
Hình 1 – 5
.
Ta chỉ cần nghiên cứu những ứng suất tác
dụng lên những phân tố diện tích vuông góc với
những trục toạ độ (hình 1 – 5). Thí dụ lên một phân
tố diện tích vuông góc với Ox, ta có:
− Một thành phần σ
xx
song song với trục Ox
mà ta giả thiết là có trị số dương khi thành phần đấy
hướng vào trong thể tích phân tố.
− Một thành phần σ
xy
song song với Oy
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU

_ 8 _
− Một thành phần σ
xz
song song với Oz
Trong ký hiệu này, chỉ số thứ nhất liên quan đến phân tố diện tích, chỉ số thứ
hai đến hướng của thành phần.
Như vậy ta có bảng sau đây của 9 thành phần đó:
Bảng (1 – 3)

Các thành phần theo trục
Phân tố diện tích
Ox Oy Oz
Vuông góc trục x
Vuông góc trục y
Vuông góc trục z
σ
xx
σ
yx
σ
zx
σ
xy
σ
yy
σ
zy
σ
xz
σ
yz
σ
zz
Người ta chứng minh rằng 6 thành phần không ở trên đường chéo trong bảng
trên từng đôi một bằng nhau; đó là những thành phần có chỉ số giống nhau. Ví dụ
σ
xy
= σ
yx

; σ
xz
= σ
zx
v
Như vậy 9 thành phần thu lại còn 6:
− 3 thành phần vuông góc mà ta gọi là σ
1
, σ
2
, σ
3
;
− 3 thành phần tiếp tuyến mà ta gọi là τ
1
, τ
2
, τ
3
.
Vậy ta có bảng sau đây về những ứng suất, đối xứng đối với đường chéo thứ
nhất:
σ
1
τ
3
τ
2
τ
3

σ
2
τ
1
τ
2
τ
1
σ
3
Bảng này còn được gọi là tensơ ứng suất.
§1.7 – Chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực.
Chất lỏng thực có tất cả những tính chất như trên.
Chất lỏng lý tưởng: bao gồm những tính chất sau:
− Không có tính nhớt: μ = 0
− Di động tuyệt đối.
− Không chống được lực kéo và cắt.
− Không nén được.
Chất lỏng ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tưởng.
Ðể có kết quả chất lỏng lý tưởng phù hợp chất lỏng thực, người ta dùng thực
nghiệm để rút ra hệ số hiệu chỉnh.
Ngoài ra một số vấn đề thủy lực, chưa có phương pháp lý luận giải quyết được,
mà phải dùng phương pháp thực nghiệm.

THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 9 _
C
C
H

H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


2
2


THỦY TĨNH HỌC

§2.1 – Áp suất thủy tĩnh –Áp lực.
Lấy một khối chất lỏng W đứng cân bằng (hình 2 – 1). Nếu chia cắt khối đó
bằng một mặt phẳng tuỳ ý ABCD và vứt bỏ phần trên, thì muốn giữ phần dưới
khối đó ở trạng thái cân bằng như cũ ta phải thay thế tác dụng của phần trên lên
phần dưới bằng một hệ lực tương đương.
Trên mặt phẳng ABCD, xung quanh một điểm O
ω
ω


Hình 2 – 1
tuỳ ý ta lấy một diện tích ω; gọi P là lực của phần trên
tác dụng lên ω, tỉ số

tb
P
P
=
ω
gọi là áp suất thủy tĩnh
trung bình. Nếu diện tích ω tiến tới số 0, thì tỉ số
ω
P

tiến tới giới hạn
p
, gọi là áp suất thủy tĩnh tại một điểm,
hoặc nói gọn là áp suất thuỷ tĩnh.
p
P
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→
ω
ω
lim
0

(2 – 1)
Áp suất thủy tĩnh
p
là ứng suất tác dụng lên một phân tố diện tích lấy trong nội
bộ môi trường chất lỏng đang xét.
Trong thuỷ lực, lực
P
tác dụng lên diện tích ω gọi là áp lực thủy tĩnh lên diện
tích ấy.
Chú ý: người ta thường gọi trị số p của
p
là áp suất thủy tĩnh và trị số P của
P

là áp lực thủy tĩnh. Áp suất có đơn vị là
2
m
N
hoặc
2
.sm
kg
.
Trong kỹ thuật, áp suất còn được đo bằng átmốtphe (at)
1 at = 9,81.10
4
(N/m
2
)
1 at = 1(kG/cm

2
)
Áp lực có đơn vị là Niutơn (N)
Áp suất còn được đo bằng chiều cao cột nước.
§2.2 – Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh.
Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng
vào diện tích ấy.
Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD (hình 2 – 2) là một
lực có thể chia làm hai thành phần: p
n
theo hướng pháp tuyến tại điểm O của mặt
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 10 _
ABCD và τ theo hướng tiếp tuyến. Thành phần τ có tác dụng làm mặt ABCD di
chuyển, tức chất lỏng có thể chuyển động tương đối, nhưng như đã giả thiết ban
đầu, chất lỏng đang xét ở trạng thái tĩnh nên phải có τ = 0 và chỉ còn lại thành
phần pháp tuyến p
n
. Thành phần p
n
không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng
không chống lại được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén. Vậy áp suất p tại điểm O
chỉ có thành phần pháp tuyến và hướng vào trong.
t
α

Hình 2 – 2 Hình 2 – 3
Tính chất 2: Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ không phụ thuộc hướng
đặt của diện tích chịu lực tại điểm này.

Lấy một phân tố diện tích ds có tâm I và một hình trụ vô cùng nhỏ có tiết diện
thẳng ds (hình 2 – 3). Đáy kia hình trụ có diện tích dS' và tâm I', đáy này có hướng
bất kỳ xác định bởi góc α. Những kích thước về chiều dài là những vô cùng nhỏ.
Gọi p và p' là những áp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng.
Theo định nghĩa, ta có các trị số áp lực dF và dF' như sau:
dF = p.dS
dF' = p'.dS'
Hình trụ này đứng cân bằng dưới tác dụng của những lực mặt là vô cùng nhỏ
bậc hai và của những thể tích là những vô cùng nhỏ bậc ba. Do đó ta có thể bỏ
qua những lực thể tích. Phương trình này chiếu lên trục II', cho ta:
0cos' =−
α
dFdF
(2 – 2)
Vì những lực mặt tác dụng lên mặt bên và vuông góc với II', đã triệt tiêu nhau.
Vậy: pdS = p'.dS'cosα; vì dS = dS'cosα nên ta rút ra:
'pp = (2 – 3)
Vậy áp suấtt thủy tĩnh tại điểm I là một đại lượng vô hướng p, chỉ phụ thuộc vị
trí của điểm I, nghĩa là trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz thì:
p = f(x, y, z) (2 – 4)
Từ hai tính chất trên của áp suất thủy tĩnh, ta thấy rõ các thành phần tiếp tuyến
đều bằng số không và các thành phần pháp tuyến đều bằng nhau và bằng p. Vì vậy
tensơ ứng suất viết cho áp suất thủy tĩnh có dạng

p 0 0
0 p 0
0 0 p


THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 11 _
§2.3 – Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng
Xét khối chất lỏng hình hộp vô cùng nhỏ ABCDEFGH có cạnh δx, δy, δz (hình
2 – 4) đứng cân bằng. Điều kiện cân bằng là tổng số hình chiếu trên các trục của
các lực mặt và lực thể tích tác dụng lên khối đó bằng không.

Hình 2 – 4.
Gọi p là áp suất tại trọng tâm M của hình hộp, thì áp suất at5i trọng tâm mặt
ADHE bằng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
2
.
x
x
p
p
δ
, tại trọng tâm mặt BCGF bằng
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
2
.
x
x
p
p
δ
; gọi F
x
là
thành phần trên trục Ox của lực thể tích F tác dụng lên lên một đơn vị khối lượng
chất lỏng, ta có thể viết điều kiện cân bằng của hình hộp theo phương x như sau:
0.
2
.
2
. =+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂

∂
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− zyxFzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p
x
δδδρδδ
δ
δδ
δ

rút gọn ta có:
0=+
∂
∂
−

x
F
x
p
ρ
hoặc
0
1
=
∂
∂
−
x
p
F
x
ρ

Suy luận tương tự đối với những hình chiếu các lực trên các trục Oy, Oz và viết
toàn bộ hệ thống phương trình biểu thị sự cân bằng của khối hình hộp, ta có:
0
1
=
∂
∂
−
x
p
F
x

ρ

0
1
=
∂
∂
−
y
p
F
y
ρ

(2 – 5)
0
1
=
∂
∂
−
z
p
F
z
ρ

hoặc
0
1

=− gradpF
ρ

Đó là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng và còn gọi
là hệ phương trình Ơle (do Ơle tìm ra năm 1755). Phương trình này biểu thị quy
luật chung về sự phụ thuộc áp suất thủy tĩnh đối với toạ độ:
p = f(x, y, z)
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 12 _
Hệ (2 – 5) có thể viết dưới dạng vi phân toàn phần của p như sau: nhân những
phương trình trong hệ (2 – 6) riêng biệt với dx, dy, dz rồi công vế đối vế, ta có:
()
0
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+

∂
∂
−++ dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dzFdyFdxF
zyx
ρ
(2 – 6)
Vì p = f(x, y, z) chỉ là hàm số của toạ độ, nên ta co thể viết được:
()
0
1
=−++ dpdzFdyFdxF
zyx
ρ

hoặc dp = ρ(F
x
dx
+
F
y
dy + F

z
dz) (2 – 7)
Phương trình (2 – 7) gọi là phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng.
§2.4 – Mặt đẳng áp.
Mặt đẳng áp là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm đều bằng nhau, tức là mặt
có p = const, do đó dp = 0.
Phương trình vi phân của mặt đẳng áp:
F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz = 0 (2 – 8)
Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau.
Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp.
§2.5 – Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực
Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là
chất lỏng trọng lực.
Trong hệ tọa độ vuông góc mà
trục Oz đặt theo phương thẳng đứng
hướng lên trên, thì đối với lực thể tích
F tác dụng lên một một đơn vị khối
lượng của chất lỏng trọng lực, ta có
F
x
= 0, F
y
= 0 và F
z

= -g (g là gia tốc
rơi tự do) (hình 2 – 5)



Hình 2 – 5.
1. Phương trình cơ bản của chất lỏng ở trạng thái cân bằng.
Từ (1 – 7), thay F
x
= 0, F
y
= 0, F
z
= -g ta có:
dp = -ρgdz (2 – 9)
Sau khi tích phân và chia cho ρg ta có:
const
g
p
z =+
ρ
(với γ = ρg) (2 – 10)
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 13 _
Từ (2 – 10) xét tại hai điểm A và A
0
ta được:
const
p

z
p
z =+=+
γγ
0
0
(2 – 11)

hoặc p = p
0
+ γ(z
0
– z) (2 – 11)'
Gọi z
0
là tung độ của điểm ở trên mặt tự do và h là độ sâu của điểm đang xét có
tung độ z, ta có: h = z
0
– z.
Nên (2 – 11)' co thể viết:
(2 – 12)
p hp=
0
+
γ

Phương trình (2 – 11); (2 – 12) là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, biểu
thị quy luật phân bố áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng đứng cân bằng. Số hạng
γ
p

có thứ nguyên là độ dài.
2. Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực.
Trong trường hợp đang xét lực khối là lực trọng trường, gia tốc là gia tốc rơi tự
do g, vì vậy trong hệ tọa độ đã chọn hình chiều của lực khối đơn vị trên trục Ox,
Oy, Oz sẽ là: F
x
= 0, F
y
= 0, F
z
= -g, còn phương trình mặt đẳng áp được viết dưới
dạng:
- g.dz = 0; do g ≠ 0 nên z = const.
Do vậy mặt đẳng áp trong chất lỏng tĩnh đồng nhất sẽ là các mặt nằm ngang bất
kỳ, trong đó có cả mặt thoáng, không phụ thuộc vào hình dạng bìng chứa chất
lỏng. Mặt nằm ngang cũng sẽ là mặt phân cách của hai loại chất lỏng cùng chứa
trong một bình.
Ví dụ 1: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4m, trọng lượng đơn
vị của nước γ = 9810 N/m
3
(γ = 1000kG/m
3
). Áp suất tại mặt thoáng p
0
=
98100N/m
2
(p
0

= 10.000kG/m
2
).
Giải:
Áp dụng công thức (2 – 12) ta có:
p = p
0
+ γh = 98100 + 9810x4 = 137.340 N/m
2
( = 14.000kG/m
2
)
3. Định luật bình thông nhau.
Hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt
thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất
lỏng đến mặt thoáng sẽ tỷ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng, tức là:
1
2
2
1
γ
γ
=
h
h
(2 – 13)
Trong đó h
1
, h
2

là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng
lượng đơn vị γ
1
, γ
2
. Thực vậy, áp suất p
1
, p
2
trên cùng mặt phân chia A – B (hình 2
– 6) bằng nhau.
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 14 _
Theo (2 – 12): p
1
= p
0
+ γ
1
.h
1
; p
2
= p
0
+ γ
2
.h
2

nên γ
1
.h
1
= γ
2
.h
2
⇒
1
2
2
1
γ
γ
=
h
h

Nếu chất lỏng chứa ở hai bình cùng một loại (γ
1
= γ
2
) thì mặt tự do của chất
lỏng ở hai bình cùng một độ cao; tức h
1
= h
2
.
4. Định luật Patscan.

Gọi p
0
là áp suất tại mặt ngoài của một thể tích chất lỏng cho trước đứng cân
bằng (hình 2 – 7a), áp suất tại một điểm A ở độ sâu h trong chất lỏng đó là: p = p
0

+ γh.

Hình 2 – 6. Hình 2 – 7.
Nếu tăng áp suất ở ngoài lên một trị số Δp thì áp suất mới p' tại A sẽ là:
p' = (p
0
+ Δp) + γh; vậy áp suất mới tại A sẽ tăng lên một lượng bằng p' – p = Δp.
Như vậy: "Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích
chất lỏng cho trước được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm của thể tích
chất lỏng đó". Kết luận đó là định luật Patscan.
Máy ép thủy lực làm việc theo định luật Patscan: máy gồm hai xi lanh có diện
tích khác nhau, chứa cùng chất lỏng và có píttông di chuyển (hình 2 – 8). Khi một
lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ được tăng lên
thành P
1
, áp suất xi lanh nhỏ là
1
1
1
ω
P
p =
. Theo định luật Patscan, áp suất tại xi lanh
lớn cũng tăng lên p

1
; vậy tổng áp lực p
2
tác dụng lên pittông lớn là:
1
1
2212

ω
ωω
P
pP ==


Hình 2 – 8.
Nếu coi P
1
, ω
1
không đổi, muốn tăng P
2
phải tăng ω
2
.
Thí dụ 1: P
1
= 98,1N (10kG), d
1
= 2cm
d

2
= 20cm, ta tính được:
NP 9810
2
20
1,98
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= (hoặc 1000kG)
Thực tế giữa xilanh và pi1ttông có ma sát
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 15 _
nên:
1
2
12
.
ω
ω
η
PP =

trong đó η hiệu suất máy ép thủy lực.
5. Áp suất tuyệt đối – áp suất dư – áp suất chân không.
Áp suất tuyệt đối p
tuyệt
hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công
thức cơ bản (2 – 12)
p = p
0
+ γ.h (2 – 14)
Nếu áp suất tuyệt đối p
tuyệt
ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu số đó là áp suất
dư p
dư
hoặc áp suất tương đối, tức là:
p
dư
= p
tuyệt
– p
a
(2 – 15)
Nếu áp suất mặt thoáng là áp suất khí quyển p
a
thì:
p
dư
= γ.h (2 – 16)
Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương
hoặc âm:

p
dư
> 0 khi p
tuyệt
> p
a
p
dư
< 0 khi p
tuyệt
< p
a
Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất không khí và áp suất
tuyệt đối gọi là áp suất chân không p
ck
, hoặc gọi tắt là chân không.
p
ck
= p
a
– p
tuyệt
(2 – 17)
Áp suất chân không là trị số áp suất còn thiếu để làm cho áp suất tuyệt đối bằng
áp suất khí quyển. Do đó có thể gọi áp suất chân không là áp suất thiếu. So sánh (2
– 15) và (2 – 17) thì thấy áp suất chân không là trị số âm của áp suất dư, tức là:
p
ck
– p
dư

(2 – 18)
Áp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng. Vậy có thể biểu
thị các áp suất như sau:
p
tuyệt
bằng h
tuyệt
=
γ
tuyet
p

p
dư
bằng h
dư
=
γ
du
p
(2 – 19)
p
ck
bằng h
ck
=
γ
ck
p

Ta gọi những độ cao h
tuyệt
, h
dư
, h
ck
là những độ cao dẫn xuất của những áp suất
p
tuyệt
, p
dư
, p
ck
. Trong điều kiện bình thường, áp suất khí quyển tại mặt thoáng
thường lấy bằng áp suất của cột thuỷ ngân cao 760mm. Người ta quy ước lấy p
a
=
98100N/m
2
(=1kG/cm
2
) và gọi là átmốtphe kỹ thuật. Át mốt phe kỹ thuật tương
đương với cột nước cao:
m
p
h
a
10
9810
98100

===
γ

THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 16 _
Hình (2 – 9) cho biết về cách đo áp suất tại một điểm bằng chiều cao cột chất
lỏng. Muốn đó áp suất tuyệt đối tại điểm A, nối bình chứa thông với một ống kín
1; chổ nối đặt dưới mặt thoáng của chất lỏng trong bình, có thể đặt ngang, trên
hoặc đặt dưới điểm A (hình 2 – 9 thì chổ nối đặt ngang điểm A). Trong ống kín
phải hút hết không khí để áp suất tại mặt tự do của chất lỏng trong ống bằng
không; khi đó khoảng cách thẳng đứng h
tuyệt
từ mặt nước tự do trong ống đến
đường nằm ngang đi qua điểm A biểu thị áp suất tuyệt đối tại điểm A. Trị số áp
suất đó là: p
tuyệt
= γ.h
tuyệt
.
Nếu ống nối trên không bịt kín (hình 2 – 9) mà để hở ra không khí (ống 2) thì
khoảng cách thẳng đứng h
dư
kể từ mặt tự do trong ống hở đến đường nằm ngang đi
qua A biểu thị áp suất dư tại A; trị số đó là: p
dư
= γ.h
dư
.
γ

γ
γ
γ

Hình 2 – 9.
Thí dụ 2: Tìm áp suất tuyệt đối p
tuyệt
và áp suất dư p
dư
tại đáy nồi hơi sâu 1,2m,
áp suất tại mặt thoáng là p
0
= 196.200N/m
2
(p
0
= 21.200kG/m
2
), nước có γ =
9.810N/m
3
(γ = 1000kG/m
3
).
Giải:
Áp suất tuyệt đối tính theo (2 – 12):
p
tuyệt
= p
0

+ γh = 198.200 + 9.810x1,2 = 207.972N/m
2
(=22.460kG/m
2
)
m
p
h
tuyet
tuyet
40,22
810.9
972.207
===
γ
cột nước
p
dư
= p
tuyệt
– p
a
= 207.972 - 98.100 = 109.872N/m
2
m
p
h
du
du
20,11

810.9
872.109
===
γ
cột nước
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 17 _
Thí dụ 3: Tại mặt cắt trước khi bơm áp suất chân không là: p
ck
= 68.670N/m
2
.
Xác định áp suất tuyệt đối tại mặt cắt đó:
Giải:
Theo (2 – 17): p
tuyệt
= p
a
– p
ck
= 98.100 – 68.670 = 29.430N/m
2
.
6. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh
học.
− Ý nghĩa hình học: Từ phương trình
const
p
z =+

γ
, có thể nói rằng tổng số
độ cao hình học (z) đối với mặt chuẩn nằm ngang và độ cao áp suất (
γ
p
) là một
hằng số đối với tại bất kỳ điểm nào trong chất lỏng.
− Ý nghĩa năng lượng: Ta thấy rằng khối chất lỏng đang xét mang một thế
năng bằng tổng số vị năng và áp năng.
Đối với một đơn vị trọng lượng, thế năng đó bằng:
hz
+
hoặc
γ
p
z +
và gọi
là thế năng đơn vị; z gọi là vị năng đơn vị;
γ
p
gọi là áp năng đơn vị.
7. Đồ phân bố áp suất thủy tĩnh. Đồ áp lực.
Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học (2 – 12) chứng tỏ rằng đối với một chất
lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất mặt tự do p
0
cho trước, áp suất p
là hàm số bậc nhất của độ sâu h; như vậy trong hệ toạ độ p, h phương trình (2 –
12) được biểu diễn bằng một đường thẳng. Để đơn giản ta giả thiết p
0
= p

a
khi đó
p
dư
= γh.
Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số (2 – 12) trong hệ toạ độ nói trên gọi là đồ phân
bố áp suất thuỷ tĩnh (hình 2 – 10a).
γ
.
γ
.
α
45
γ
γ
γ
γ

Hình 2 – 10
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 18 _
Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối chỉ cần tịnh tiến đường OA' theo phương
thẳng góc Oh một đoạn p
0
và được O''A''. Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình
thang vuông góc OO''AA".
Nếu đường thẳng đứng trên đó xét sự phân bố áp suất thủy tĩnh không bắt đầu
từ mặt tự do , mà bắt đầu từ một độ sâu h' (điểm B – hình 2 – 10b), thì đồ áp lực sẽ
là hình thang vuông BB'A'A (áp suất dư) hoặc BB"A"A (áp suất tuyệt đối).

Sau khi xét đồ áp lực trên những đường thẳng đứng, ta có thể vẽ đồ áp lực trên
đường thẳng nghiêng hoặc đường gãy không khó khăn gì lắm. Trong trường hợp
này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông; (hình 2 – 11) là thí
dụ về vẽ đồ áp lực trên đường thẳng gãy OAB:

Hình 2 – 11.
Tam giác vuông OAA' và hình thang vuông AA
1
'B'B là những đồ áp lực dư
tương ứng với đoạn thẳng OA và AB. Muốn vẽ đồ áp lực tuyệt đối, chỉ cần tịnh
tiến những cạnh OA', A
1
'B' theo phương thẳng góc với OA và AB đi một đoạn
thẳng
γ
0
p
và có được những hình thang OO"A"A và AA
1
"B"B.
Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số
áp suất tại từng điểm theo phương trình (2 – 12) rồi nối lại thành đường cong của
đồ phân bố.
§2.6 – Sự cân bằng của chất lỏng trong bình chứa chuyển động.
Nghiên cứu sự cân bằng của chất lỏng trong trường hợp các phần tử chất lỏng
không có chuyển động tương đối với nhau nhưng có chuyển động đối với quả đất:
khi đó cả khối chất lỏng chuyển động như một vật rắn, ta gọi trạng thái này là
trạng thái tĩnh tương đối của chất lỏng, nó xuất hiện khi bình chứa chuyển động
với một gia tốc không đổi, lực khối tác dụng vào chất lỏng không chỉ có trọng lực
mà còn có cả lực quán tính. Ta nghiên cứu hai trường hợp tĩnh tương đối của chất

lỏng:
1. Khi bình chứa chuyển động thẳng với gia tốc không đổi.
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 19 _
2. Khi bình chứa hình trụ tròn quay đều quanh trục thẳng đứng của bình, hệ toạ
độ gắn chặt với bình chứa.
1. Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc
không đổi.
Trường hợp này thường gặp ở các xe chở dầu, nước. Giả thiết bình chứa đang
chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a. Mỗi phần tử chất lỏng chịu tác dụng
của hai lực khối: trọng lực G = mg và lực quán tính R = – ma, trong đó m là khối
lượng của phần tử chất lỏng. Với hệ toạ độ như hình 2 – 12, hình chiếu F
x
, F
y
, F
z

của các lực khối lên các trục là:
F
x
= – a; F
y
= 0; F
z
= – g

Hình 2 – 12.
Mặt đẳng áp: Theo (2 – 8); phương trình

vi phân mặt đẳng áp viết thành:
– a.dx – g.dz = 0
Tích phân ta co phương trình mặt đẳng áp:
a.x + gz = const
Mặt đẳng áp như vậy là mặt phẳng
nghiêng, ta có một họ các mặt đẳng áp song
song lập thành một góc α đối với mặt nằm
ngang theo
g
a
tg =
α
.
Sự phân bố áp suất: Theo (2 – 7); có thể viết:
dp = ρ( – adx – gdz)
Sau khi tích phân, ta được
p = – ρax – ρgz + C (C là hằng số tích phân).
Tại x = 0, z= H, có p = p
0
(p
0
là áp suất tại mặt thoáng), hằng số tích phân sẽ là:
C = p
0
+ ρgH
Phương trình xác định áp suất tĩnh tương đối tại điểm viết được dưới dạng:
p = – ρax – ρgz + p
0
+ ρgH
Thay trong phương trình này γ = ρg và gh' = ax, ta được:

p = p
0
+ γ(H – z) - γh'
Gọi h là độ sâu của điểm N tuỳ ý trong chất lỏng kể từ mặt thoáng nghiêng, ta
có:
h = H – (z + h')
Cuối cùng ta viết p = p
0
+ γh. Như vậy trở về công thức cơ bản tính áp suất
thuỷ tĩnh, chỉ cần chú ý rằng h là độ sâu kể từ mặt thoáng trong điều kiện cân bằng
tương đối.
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 20 _
2. Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình hình trụ tròn quay đều quanh
trục thẳng đứng qua tâm bình.
Lực tác dụng lên mỗi phần tử chất lỏng bao gồm: trọng lực G = mg và lực quán
tính ly tâm F = mω
2
r (trong đó ω là gia tốc góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử
chất lỏng ta xét đến trục quay). Theo hệ toạ độ như trên hình vẽ (2 – 13), lấy m =
1, hình chiếu F
x
, F
y
, F
z
của các lực khối lên các trục là:
F
x

= ω
2
x; F
y
= ω
2
y; F
z
= – g; trong đó x, y là hình

Hình 2 – 13.
chiếu của r lên trục x, y.
Mặt đẳng áp: Theo (2 – 8); có thể viết:
ω
2
xdx + ω
2
ydy – g.dz = 0
Sau khi tích phân ta có:
Cgzyx =+
222
2
1
2
1
ωω

hoặc:
()
Cgzyx =−+

222
2
1
ω

hoặc:
Cgzr =−
22
2
1
ω

Đây là phương trình của mặt parabôlôít có trục
quay Oz. vậy mặt đẳng áp trong trường hợp này là
một họ các mặt parabôlôít (hình 2 – 13), với các trị số
C khác nhau.
Trên mặt tự do, khi x = y = 0 tức là r = 0,
thì z = z
0
, hằng số tích phân bằng:
C = – gz
0
Do đó phương trình mặt tự do là:
)(
2
1
0
22
zzgr
r

−=
ω

z
r
là tung độ của điểm trên mặt tự do, ở cách trục quay là r.
Gọi h' = z
r
– z
0
thì phương trình mặt tự do thành: '
2
1
22
ghr =
ω

Sự phân bố áp suất:
Theo (2 – 7); có thể viết: dp = ρ(ω
2
xdx + ω
2
ydy – gdz)
Sau khi tích phân ta có:
1
2
2
2
22
Cgz

y
x
p +−+=
ρρωρω
; trong đó C
1
là hằng
số tích phân.
Trên mặt tự do: p = p
0
; khi r = 0, thì z = z
0
; vậy:
C
1
= p
0
+ ρgz
0
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 21 _
và:
00
2
2
)
2
( gzpgz
r

p ρ++−ωρ=

hoặc
() (
zzhgpzzg
r
pp −++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+=
000
2
2
0
'
2
ρωρ
)
∫
ω

gọi h = h' + z
0
– z, thì rõ ràng h là độ sâu của điểm đang xét tính từ mặt tự do
cong ở trạng thái tĩnh tương đối, như vậy: p = p
0

+
γ
h; ta trở về công thức cơ bản
tìm áp suất thủy tĩnh.
§2.7 – Áp lực của chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ.
Trong trường hợp thành rắn là mặt phẳng, thì những áp suất tác dụng lên thành
rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một áp lực tổng hợp P duy nhất. Ta
nghiên cứu trị số và điểm đặt của P.
1. Trị số áp lực:
Hình 2 – 14
Cần xác định áp lực P của chất lỏng
tác dụng lên một diện tích phẳng ω có hình
dạng bất kỳ đặt nghiêng đối với mặt thoáng
một góc α (hình 2 – 14).
Áp lực dP tác dụng lên một vi phân diện
tích dω, mà trọng tâm của nó đặt ở độ sâu h
tính bằng:
dP = pdω = (p
0
+ γh)dω
Áp lực P tác dụng lên toàn bộ diện tích ω bằng:
∫∫
+==
ωω
ωγω
dhppdP )(
0

Trên hình phẳng lấy hệ trục toạ độ Oxy như hình 2 – 14; ta có: h = zsinα
Vậy:

∫∫∫
+=+=+=
ωωω
ωαγωωαγωωαγ
zdpdzdpdzpP sinsin)sin(
000
(2 – 20)
Tích phân , chính bằng mô men tĩnh của diện tích ω đối với trục Oy.
∫
=
ω
ω
Oy
Szd
Gọi z
c
là tung độ của trọng tâm C của diện tích đó, như đã biết trong cơ học lý
thuyết, có thể viết: S
Oy
= z
c
.ω
Gọi h
c
là độ sâu của C thì: h
c
= z
c
sinα
do đó:

α
ω
sin
c
Oy
h
S =
; biểu thức (2 – 20) viết thành:
P = (P
0
+ γh
c
)ω (2 – 21)
(chú ý rằng biểu thức (p
0
+
γ
h
c
) là áp suất tuyệt đối tại trọng tâm C của diện
tích phẳng).
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 22 _
Như vậy: Áp lực thuỷ tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng, ngập
trong chất lỏng bằng tích số của áp suất tuyệt đối tại trọng tâm diện tích phẳng đó
với diện tích ấy.
Nếu p
0
= p

a
, áp lực dư tác dụng lên diện tích phẳng nói trên bằng:
P = γh
c
ω (2 – 22)
Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về
một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí, trong trường
hợp đó mặt phẳng chỉ chịu tác dụng của áp lực dư mà thôi vì áp lực không khí
truyền từ mặt thoáng đến mặt phẳng đã cân bằng với áp lực không khí tác dụng
vào phía khô của mặt phẳng. Vì vậy trong những trường hợp tương tự chỉ cần tính
áp lực dư theo (2 – 22).
Áp lực dư thủy tĩnh tác dụng lên đáy phẳng của bình chứa là trường hợp riêng
của áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng. Nếu diện tích đáy ω và độ sâu h của
đáy giữ không đổi thì áp lực chất lỏng lên đáy thành phẳng P = γhω không phụ
thuộc vào hình dạng bình chứa.
2. Vị trí tâm áp lực:
Điểm đặt của áp lực gọi là tâm áp lực (tuỳ theo áp lực là áp lực tuyệt đối hay
áp lực dư mà tâm áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư)
Ta gọi D(z, y) là tâm áp lực dư (hình 2 – 14); cần xác định các toạ độ z
D
và y
D

của điểm D.
a) Xác dịnh z
D
:
Mômen của áp lực P đối với trục Oy bằng:
M= Pz
D

= γh
c
ωz
D
(2 – 23)
Tổng số mômen đối với trục Oy của áp lực lên diện tích vi phân bằng
(2 – 24); trong đó là
mômen quán tính của diện tích ω đối với trục Oy. Cân bằng (2 – 23) và (2 – 24) ta
có:
∫∫ ∫
====
ωω ω
αγωαγωγω
y
IdzhzdpzdM sinsin
2
∫
=
ω
ω
dzI
y
2
c
y
c
y
D
z
I

h
I
z
.
sin
ω
α
ω
== (2 – 25)
Như đã biết trong cơ học, có thể biểu thị mômen quán tính của diện tích đối với
trục Oy (I
y
) bằng mômen quán tính của diện tích ấy đối với trục O'y' song song với
Oy và đi qua trọng tâm C của diện tích (I
0
) như sau:
2
0
zII
y
ω
+=
Thay trị số I
y
vào (2 – 25) ta có:
c
cD
z
I
zz

ω
0
+=
(2 – 26)
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 23 _
Như vậy vị trí của tâm áp lực bao giờ cũng đặt sâu hơn vị trí của trọng tâm.
Ở phụ lục 1 có công thức tính I
0
, z
c
và ω cho một số hình phẳng hay gặp.
b) Xác dịnh y
D
:
Tương tự như lúc xác định z
D
, ta viết mômen cho trục Oz:
∫
==
ω
ω
pydPyM
D

Thay P theo (2 – 22) và chú ý rằng h
c
= z
c

sinα và p = γh = γzsinα ta có:
∫
=
ω
ωαγαωγ
zydyz
Dc
sinsin
; do đó
c
D
z
zyd
y
ω
ω
ω
∫
=
(2 – 27)
§2.8 – Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm
ngang.
Ta xét trường hợp tổng quát, khi thành phẳng hình chữ nhật đặt nghiêng với
mặt nằm ngang một góc α, có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên hình chữ nhật đặt
ở độ sâu h
1,
đáy

dưới đặt ở độ sâu h
2

(hình 2 – 15), áp suất tại mặt tự do bằng áp
suất không khí p
0
= p
a
.
Vì có thể suy ra dễ dàng áp lực tuyệt đối khi biết áp lực dư, nên ta chỉ cần xét
việc xác định áp lực dư. Trị số tổng áp lực dư trong trường hợp đang nghiên cứu
có thể xác định theo công thức (2 – 22)
P = γh
c
ω
Hình 2 – 15
Ở đây ω = bh,
2
21
hh
h
c
+
=

Vậy:
bh
hh
P
2
21
+
=

γ
(2 – 28)
Trị số
h
hh
2
21
+
ở vế phải của phương trình
(2 – 28) bằng diện tích Ω của đồ áp lực dư AA'BB' (hình 2 – 15)
h
hh
2
21
+
=Ω

Vậy công thức (2 – 18), trở thành:
P = γΩb (2 – 29)
Ta có thể nói rằng: Áp lực dư P tác dụng lên hình chữ nhật bằng tích số diện
tích đồ áp lực với bề dài đáy và trọng lượng riêng của chất lỏng.
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU

_ 24 _
Đường tác dụng của P tất nhiên đi qua trọng tâm thể tích tạo bởi đồ áp lực và
hình chữ nhật chịu lực. Trên hình (2 – 15) lực đi qua trọng tâm của đồ áp lực, vì
hình chiếu trọng tâm của thể tích nói trên lên đồ áp lực trùng với hình chiếu của
tâm đồ áp lực.
Nếu cạnh trên hình chữ nhật đặt tại mặt tự do (hình 2 – 16a) thì h
1

= 0; đồ áp









Hình 2 – 16.
lực thành hình tam giác vuông góc có cạnh không bằng nhau và có diện tích Ω
bằng:
2
2
1
hh=Ω ; vậy áp lực P bằng: hbhbP
2
2
γ
γ
=Ω=
Trong trường hợp này, lực P đi qua trọng tâm của đồ áp (hình 2 – 16a) tức là tại
độ sâu
2
3
2
h . Nếu hình chữ nhật đặt thẳng đứng thì đồ áp lực trên thành tam giác
vuông cân (hình 2 – 16b); do đó:
2

2
1
h=Ω và
2
2
bhbP
γ
γ
=Ω= (2 – 30)
Áp lực dư P đi qua trọng tâm của đồ áp lực, tức là ở độ sâu
2
3
2
h

Thí dụ 4: Tính áp lực nước lên cánh cống chữ nhật có h = 3m, b = 2m, độ sâu
nước ở thượng lưu H = 6m.
Giải:
Ta chỉ cần tính áp lực dư P. Áp dụng (2 – 22), ta phải tính h
c
.
Theo (hình 2 – 17):
Hình 2 – 17
m
h
Hh
c
5,4
2
3

6
2
=−=−=
Theo (2 – 22):
P = γh
c
ω = 9.810x4,5x3x2 =
= 264.870N (P = 27000kG)
Tâm áp lực tính theo (2 – 26) bằng:
c
cD
h
I
hz
ω
0
+=
;
5,4
2
9
12
3.2
12
33
0
====
bh
I

66,4
5,4.2.3
5,4
5,4 =+=
D
z
m