Tam giác cân Tam giác đều và định lí pitago pptx

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1

TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC ĐỀU VÀ ĐỊNH LÍ PITAGO
Môn:
Hình học 7.


III/ NỘI DUNG:
1/
Tóm tắt lý thuyết:



2/
Bài tập
:
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, biết

C
= 47
0
. Tính góc A và góc B.
Giải :
Vì tam giác ABC cân tại A nên

B
=

C
mà


C
= 47
0
=>

B
= 47
0
Trong tam giác ABC có :

A
+

B
+

C
= 180
0



A
+ 47
0
+ 47
0
= 180
0


A
= 180
0
– 94
0
= 86
0

Vậy

A
= 86
0
;

B
= 47
0

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và AB. Chứng
minh rằng BE = CF.

Giải :
Chủ đề :
+ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh bằng nhau gọi là hai
cạnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy.
 ABC có AB = AC   ABC cân tại A.

+ Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
 ABC cân tại A 


BC=
.
+ Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó
có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau.
+ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
+ Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau và bằng 60
0
.
 ABC có AB = AC=BC   ABC là tam giác đều.
 ABC là tam giác đều 



0
A B C 60= = =

+ Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh:
 Tam giác có ba cạnh bằng nhau.
 Hoặc chứng minh tam giác có ba góc bằng nhau.
 Hoặc chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 60
0
.
 (một số phương pháp khác sẽ được nghiên cứu sau)
+ Đònh lí Pitago thuận: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh
huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
 ABC vuông tại A  BC

2
= AC
2
+ AB
2
.
+ Đònh lí Pitago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng
bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Nếu  ABC có BC
2
= AC
2
+ AB
2
hoặc AC
2
= BC
2
+ AB
2

hoặc AB
2
= AC
2
+ BC
2
thì  ABC vuông.

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2

Ta có AE = EC =
2
AC
và AF = FB =
2
AB
(gt)
Mà AC = AB nên EC = FB
xét

EBC và

FCB
Có : EC = BF (cmt) ;


CB
(

ABC cân ) ; BC chung
Vậy

EBC =

FCB (CGC) => BE = CF. (đđpcm)

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A và có


B 2A=
. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Chứng minh DA = DB.
c) Chứng minh DA = BC.

Giải :
a)Trong tam giác ABC ta có

A
+

B
+

C
= 180
0
(ĐL))
Mà


B 2A=
. (gt) và

B
=


C
(

ABC cân)
Nên

A
+ 2

A
+ 2

A
= 180
0

5

A
= 180
0



A
= 36
0

b) Ta có



B
ABD DBC
2
==
và


B 2A=
=>


ABD A=

Xét tam giác ABD


ABD A=
=> tam giác ABD cân tại D => AD = DB

c) ta có



CDB A ABD
( góc ngồi tam giác )
Mà



ABD A=
=>


2CDB A
=>


CDB B
=> tam giác DBC cân tại B
=> BC = DB mà DA = BD => AD = BC

Bài 4 : Cho

ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm.
Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?

Giải :
Xét tam giác vng ABH và tam giác vng ACH
Có AB = AC (

ABC ) ;


BC
(

ABC )

Nên

vng ABH =

vng ACH (CH – GN )
 BH = HC = BC : 2 = 6 : 2 = 3
Trong tam giác vng ABH có
Có AB
2
= BH
2
+ AH
2

AH
2
= AB
2
- BH
2

AH
2
= 5
2
- 3
2
= 25 – 9 = 16
AH = 4

Bài 5 : Cho

ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh :
a) HB = CK b)


AHB AKC
c) HK // DE




Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3


Chứng minh :
a) HB = CK
Ta có


DBH ABC
(đđ) và


ECK ACB

Mà



ACB ABC
(

ABC )
=>


DBH ECK

Xét

vng DHB và

vng EKC
Có


D B H E C K
(cmt) và DB = CE (gt)
Vậy

vng DHB =

vng EKC (CH - GN)
=> HB = HC ; DH = EK (cạnh tương ứng )

b) Ta có


0

180ABH ABC
và


0
180ACK ACB
mà


A CB AB C
(

ABC )
Nên


HBA ACK

Xét

AHB và

AKC
Có AB = AC ( gt ) ;


HBA ACK
(cmt) và HB = HC(cmt) (gt)
Vậy


AHB =

AKC (cgc)
=>


AHB AKC
(góc tương ứng )

Ta có HD

BC (gt) và EK

BC (gt) => DH // EK =>


HEK EHD
(slt)
c) Xét

EHK và

HED
Có EH = DH ( cmt ) ;


HEK EHD
(cmt) và HE là cạnh chung
Vậy


EHK =

HED (cgc ) =>


EHK HED
(góc tương ứng )
Mà


&EHK HED
ở vị trí so le trong nên KH // DE

Bài 6: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC.

Chứng minh
Trong tam giác vng AHB
Có AB
2
= BH
2
+ AH
2

BH
2
= AB
2
- AH
2

BH
2
= 25
2
- 24
2
= 625 – 576
BH
2
= 49 => BH = 7

Trong tam giác vng AHC
Có AC
2
= CH
2
+ AH
2

CH
2
= AC
2
- AH
2

CH
2
= 26

2
- 24
2
= 676 – 576
CH
2
= 100 => CH = 10
Mà BC = BH + CH ( H nằm giữa B và C)
BC = 7 + 10 = 17

Bài 7 : Cho

ABC cân tại A (

0
90A
), vẽ BD

AC và CE

AB. Gọi H là giao điểm của BD
và CE.
a) Chứng minh :

ABD =

ACE
b) Chứng minh

AED cân

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4

c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED

Chứng minh
a)

ABD =

ACE
xét

vng ABD &

vng ACE
AB = AC (gt) ;

A
chung
Vậy

ABD =

ACE (CH - GN)
 AD = AE (cạnh tương ứng )

b)


AED cân
Tam giác AED có AD =AE (cmt) => tam giác AED cân tại A

c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED
Xét

vng AEH và

ADH
Có AE = DA ( cmt ) ; AH là cạnh chung
Vậy

vngAEH =

ADH (CH + CGV )
=> AE = AD và EH = HD (góc tương ứng ) => AH là trung trực của DE
Bài 8 : .Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc cạnh BC, đường thẳng qua M song song với AC cắt
AB tại N. Chứng minh tam giác NBM cân

Chứng minh

Ta có


NMB ACB
( đồng vị)
mà



ACB ABM
( ABC cân tại A)
do đó


NMB ABM

Vì vậy NMB cân tại N (đpcm)

Bài 9 : Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B, trên tia phân giác của góc
xOy lấy điểm M sao cho OA = OB = OM. Chứng minh rằng tam giác AMB cân.

Chứng minh
Xét

AOM và

BOM
Có OA = OB (gt) ;


12
OO
(gt) và OM là cạnh chung
Vậy

AOM =

BOM (cgc ) => AM = BM (cạnh tương ứng )
Vậy tam giác ABM cân tại M

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối củatia CB lấy
điểm N sao cho BM = CN.
a) So sánh các góc


ÂABM;ACN
.
b) Chứng minh rằng  AMN là tam giác cân.

Chứng minh
a) Ta có


0
180ABM ABC
và


0
180ACN ACB

mà


ACB ABC
(


ABC )
Nên


MBA ACN



A
C
B
M
N




Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5

Xét

AMB và

ANC
Có AB = AC ( gt ) ;


HBA ACK
(cmt) và MB = NC(cmt) (gt)
Vậy


AMB =

ANC (cgc)
=> AM = AN (cạnh tương ứng )
Vậy  AMN là tam giác cân tại A.
Bài 11: Cho  ABD, có


B 2D=
, kẻ AH  BD (H  BD). Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH.
Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh: FH = FA = FD.

Chứng minh
Tam giác BHE cân gì BE = BH (gt)
=>

E
=

1
H
(hai góc đáy)
Và ta có

1
B
là góc ngòai tam giác BHE
Nên


1
B
=

1
H
+

E
= 2

1
H

Mà

1
H
=

2
H
(đđ)
=>

1
B
= 2

2

H

Mà


1
B 2D=

=>

2
H
=

D
=> tam giác HFD cân tại F => FD = FH (1)
Ta có

D
+

2
A
= 90
0
và

2
H
+


AHF
= 90
0
=>

2
A
=

AHF

Vậy tam giác AHF cân tại F => AF = HF (2)
Từ (1 ) và (2) => FA = FH = FD

Bài 13: Cho tam giác MNP có

M
=90
0
. biết NP = 13cm; MP = 5cm. Tính MN.

Chứng minh
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng MNP ta có
NP
2
= MP
2
+ MN
2

MN
2
= NP
2
- MP
2

MN
2
= 13
2
- 5
2
= 169 - 25
MN
2
= 144 => NM = 12

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH  BC (H  BC). Biết AB = 7cm; BH = 2cm; BC =
13 cm. Tính AH, AC.

Chứng minh
Trong tam giác vng ABH có
Có AB
2
= BH
2
+ AH
2

AH
2
= AB
2
- BH
2

AH
2
= 17
2
- 2
2
= 289 – 4= 285
AH = 16,9
Ta có HB + HC = BC => HC = BC – HB = 13 – 2 = 11
Trong tam giác vng ACH có
Có AC
2
= CH
2
+ AH
2
= 9
2
- 285 = 81 + 285 = 366
AC = 19,13