Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí hình học không gian (chương quan hệ vuông góc hìmh học lớp 11

Trờng đại học Vinh
Khoa toán
----------------

Vận dụng quan điểm trực quan vào
việc hình thành khái niệm và định lý
hình học không gian
(Chơng quan hệ vuông góc - hình học lớp 11)

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành học: cử nhân s phạm toán
Chuyên ngành: Phơng pháp dạy học toán

Cán bộ hớng dẫn khoá luận: GS.TS. Đào Tam
Sinh viên thực hiện:

THS. Thái Thị Hồng Lam
Vũ Đoàn Kết
Lớp 40 A2 Toán


Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này tôi xin chân thành cảm ơn:
- PGS.TS Đào Tam Khoa toán Trờng đại học Vinh.
- Thạc sĩ Thái Thị Hồng Lam - Khoa toán Trờng đại học Vinh.
- Thầy giáo Nguyễn Văn Thịnh Giáo viên trờng THPT Triệu Sơn
Thanh Hoá.
- Các thầy cô giáo trong Khoa toán Trờng đại học Vinh cùng gia đình và
toàn thể bè bạn đà giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn .
Do thời gian ít, năng lực bản thân còn hạn chế, kinh nghiệm trong giảng

dạy còn non yếu nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận dợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Tôi xin chân
thành cảm ơn.
Vinh, tháng 4 năm 2003.
Ngời thực hiện:
Vũ Đoàn Kết.


Mục lục.
trang
Mở đầu

1
Chơng I. Cơ sở lý luận

4
1. Khái niệm trùc quan

4

2. C¬ së khoa häc.
3. C¬ së lý luËn dạy học
4. Cơ sở thực tiễn
*) Kết luận chơng I

8
14
21
22

Chơng II. Các biện pháp dạy học trực quan.

23

Phần 1. Cơ sở xây dựng các biện pháp trực quan.
1. Lý luận về hoạt động nhận thức.
2. Toán học là một khoa học trừu tợng.

23

3. Trình độ t duy trừu tợng của học sinh còn thấp .
4. Mâu thuẫn trong nội bộ môn toán
.
5. Quan điểm đổi mới Phơng pháp dạy học
.
Phần 2: Các biện pháp dạy học trực quan.

28

1- Sử dụng ®å dïng d¹y häc.
2- Sư dơng kiÕn thøc ®· biÕt (cã tríc) cđa häc sinh.
3- Sư dơng phÐp t¬ng tù .

23
25
29
31
33
33
39

46

4- Sử dụng phơng tiện trực quan là phần mềm ứng dụng. 53
Chơng III. Thực nghiệm s phạm.
Kết luận.
Tài liệu tham kh¶o .

57
59
60


Mở đầu
I.

Lí do chọn đề tài:
Để học tốt môn toán nói chung và môn hình học không gian (lớp 11) nói

riêng thì ngời học cần nắm vững hệ thống các khái niệm và định lý toán học.
Sách giáo khoa đà trình bày các khái niệm, các định lý và nêu cách
chứng minh một số định lý, song lại cha chỉ ra con đờng hình thành và cách
học khái niẹm và định lý ra sao để học sinh dễ tiếp thu.
Nhìn chung học sinh phổ thông học khái niệm và định lý to¸n häc mét
c¸ch m¸y mãc, ghi nhí nhng cha hiểu bản chất của khái niệm và định lý, điều
đó làm cho t duy toán học cuả các em kém phát triển.
Giáo viên trung học phổ thông cha khai thác và vận dụng tốt quy luật
của hoạt động nhận thức mà Lênin đà nêu ra: Từ trực quan sinh động ®Õn t
duy trõu tỵng, tõ t duy trõu tỵng ®Õn thực tiễn, đó là con đờng biện chứng của
sự nhận thức chân lý, của nhận thức thực tại khách quan. Vì thế học sinh tiếp
thu kiến thức một cách thụ động, ghi chép và học bài một cách máy móc. Điều

đó dẫn đến t duy sáng tạo của các em bị hạn chế ghi nhớ không lôgic.
Toán học là một khoa học trừu tợng cao, song toán học lại nảy sinh và
phát triển từ những vấn đề cụ thể trong ®êi sèng thùc tiƠn. Häc sinh khi häc
cịng sÏ tiÕp thu tốt hơn nếu giáo viên biết sử dụng tốt mô hình trực quan, hình
vẽ, kiến thức có trớc và từ đó khái quát hoá lên cho trờng hợp tổng quát và đi
đến cái trừu tợng.
Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Vận
dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lý hình học
không gian (Chơng quan hệ vu«ng gãc trong kh«ng gian – líp 11)”.


Quan hệ vuông góc trong không gian - đợc chọn làm minh hoạ cho
những ý tởng của đề tài vì chơng này đòi hỏi ở học sinh trí tởng tợng không
gian phong phú, ở khả năng suy diễn linh hoạt, cơ bản và vững chắc. Mặt khác
khi học sinh bớc vào chơng này các em đà nắm vững vị trí tơng đối giữa đờng
thẳng và mặt phẳng trong không gian, đà có những hiểu biét cần thiết về các
phơng pháp tìm tòi và chứng minh, hay các cách thức hành động qua quá trình
nghiên cứu quan hệ song song trong không gian.
Bàn về chủ đề phơng tiện trực quan, đà có một số tác giả nh: PTS. Bùi
Gia Quang phơng tiện dạy học môn toán.(Tài liệu dùng cho hệ đào tạo Cao
học thạc sĩ chuyên ngành: Phơng pháp giảng dạy Toán).
II. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là xây dựng hệ thống các biện
pháp hình thành khái niệm và định lý ở chơng quan hệ vuông góc của hình học
không gian lớp 11 theo quan điểm trực quan.
III. Giả thuyết khoa học:
Nếu quan tâm đúng mức trong việc hình thành khái niệm và định lý về
quan hệ vuông góc sẽ giúp học sinh hiểu và nắm đợc một cách vững chắc kiến
thức hình học không gian tạo điều kiện cho các em học hình học không gian
tốt hơn.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.
1. Nghiên cứu khái niệm trực quan và các cấp độ của nó.
2. Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí
hình học không gian.
3. Xây dựng các phơng pháp hình thành khái niệm và định lý.
4. Tiến hành thực nghiệm s phạm .
V. Phơng pháp nghiªn cøu.
5.1- Nghiªn cøu lý luËn:


Nghiên cứu các tài liệu về lý luận, dạy học, phơng pháp dạy học, tâm lý
học làm sáng tỏ nội dung của đề tài.
Đọc sách giáo khoa và tài liệu tham khảo về phơng pháp dạy học khái
niệm và diịnh lý .
5.2- Điều tra và tìm hiểu:
- Tình hình dạy và học khái niệm, định lý hình học không gian ở trong trờng
phổ thông.
- Những khó khăn mà học sinh và giáo viên gặp phải khi dạy học hình học
không gian.
5.3- Làm các mô hình trực quan giúp việc dạy học hình học không gian.
5.4- Thực nghiệm s phạm.
VI. Cấu trúc của luận văn.
Mở đầu.
Chơng I. Cơ sở lý luận.
Chơng II. Các biện pháp dạy học trực quan.
Chơng III. Thực nghiệm s phạm.

Chơng I. Cơ sở lí luận.
1. Khái niệm trực quan.
1.1 Trực quan.

a, Trực quan trong triết học.
Để khái quát con đờng nhận thức, Lênin viết Từ trực quan sinh động
đến t duy trừu tợng, và từ t duy trừu tợng đến thực tiễn - đó là con ®êng biƯn
chøng cđa sù nhËn thøc ch©n lÝ, cđa sù nhận thức thực tại khách quan.
Trong đó Trực quan sinh động đợc hiểu là giai đoạn đầu tiên của quá
trình nhận thức, gắn liền với thực tiễn. Trực quan sinh động là phản ánh trực


tiếp khách thể bằng các giác quan và diễn ra với các hình thức cơ bản kế tiếp
nhau nh: cảm giác, tri giác và biểu tợng. Nh vậy theo Triết học thì trực quan
rất quan trọng đối với việc nhận thức khách quan, nó là tài liệu, là cơ sở đầu
tiên khởi nguồn cho sự nhận thức của con ngời.
b, Trực quan trong Toán học.
Trong Toán học, trực quan đợc hiểu là những mô hình, giáo cụ, hình vẽ,
sơ đồ, bảng biểu, kiến thức cũ, những ví dụ cụ thể,Chúng ta biết rằng Toán
học là một khoa học trừu tợng nhng khi học tập, giảng dạy và nghiên cứu nó
thì lại phải sử dụng các mô phỏng trực quan rất cụ thể và không hề trừu tợng.
Ví dụ khái niệm về điểm, đờng thẳng và mặt phẳng chẳng hạn, đó là
những khái niệm rất trừu tợng là những khái niệm cơ bản của toán học không
đợc định nghĩa. Khi học tập mọi ngời đều phải công nhận một chấm phấn là
một điểm, một nét kẻ bằng phấn trên bảng đen là một đờng thẳng tuy trong
toán học điều đó là hoàn toàn không đúng.
Trong dạy học toán, vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan là đảm
bảo sự chuyển từ trực quan sinh động sang t duy trừu tợng. Trực quan có
vai trò đặc biệt quan trọng vì môn toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tợng, khái quát cao hớno với cvác môn học khác và vì trực quan nếu sử dụng
đúng thì sẽ góp phần vào việc phát triển t duy trừu tợng cho học sinh.
Mặt khác, do sự phát triển về cấu trúc và chức năng của bộ nÃo cũng
nh tâm sinh lí của học sinh nên t duy của các em vẫn còn xuất phát từ ngôn
ngữ có hình tợng và có khi cả từ trực quan, cụ thể. Năng lực phân tích, tổng
hợp trừu tợng hoá, khái quát hoá còn cha cao.

Vì thế khi dạy học,đặc biệt là dạy hình học không gian chúng ta cần
quán triệt nguyên tắc dạy học trực quan trong dạy học toán học.
Vậy thực hiện nguyên tắc trực quan đó bằng những biện pháp nào?
Chúng ta cã thĨ sư dơng c¸c biƯn ph¸p sau:


1. Sử dụng thực tế xung quanh (mặt bảng, bức tờng, cột nhà, mái nhà,
bút, thớc,)
2. Sử dụng những mô hình, giáo cụ do giáo viên và học sinh tự làm .
3. Sử dụng ví dụ cụ thể, trình bày bảng đẹp, có thứ tự, viết chữ cẩn thận,
sử dụng đúng mức phấn màu
4. Sử dụng hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu
5. Sử dụng những hiểu bết của học sinh (kiến thức cũ), những hiểu biết
này ở một giai đoạn nào đó là trừu tợng nhng ở một giai đoạn khác lại
trở thành cụ thể. Chẳng hạn hình học phẳng là trừu tợng đối với học sinh
THCS nhng đối với học sinh THPT hình học phẳng lại có thể là trực
quan sinh động để làm hiểu rõ một vấn đề của hình học không gian trừu
tợng.
c, Trực quan trong giáo dục học:
Trớc đây, các nhà giáo dục học đà từng nói Giờ đây khi mà tôi
nhìn lại quá khứ và tự hỏi: Thực ra tôi đà làm đợc gì cho nhân loại? Thì
tôi đà tìm thấy ngay điều sau đây: Tôi đà thiết lập đợc nguyên tắc dạy
học tối cao khi thừa nhận trực quan là nền tảng tuyệt đối của bất kỳ quá
trình nhận thức nào Pextaloxi.
Trẻ em suy nghĩ bằng hình vẽ, màu sắc, âm thanh, bằng các cảm
giác nói chung, do đó đối với trẻ em rất cần thiết việc dạy học trực quan
dựa trên những hình ảnh cụ thể, đợc các em cảm thụ một cách trực tiếp,
chứ không phải dựa trên khái niệm và lời nói trừu tợng. K.Đ.
Usinxki.
Trong ý nghĩa nhận thức luận thì trực quan là cái dựa trên những

tri giác và biểu tợng cảm tính của học sinh, vì thế dạy học trực quan
không có ý nghĩa nhất thiết phải sử dụng tài liệu trực quan đồ vật, nh ng
trớc hết phải xây dựng quá trình dạy học sao cho luôn luôn dựa trên cảm
giác, tri giác và chủ yếu trên các biểu tợng của học sinh” – R«zenblat.


Chúng ta nhận thấy sai lầm về phơng pháp luận của Pextaloxi là
ông đà tuyệt đối hoá phơng pháp trực quan. Còn K.Đ.Usinxki đà hiểu
rộng hơn về trực quan, song ông đà gián tiếp gắn liền tính trực quan
với khả năng nhìn thấy.
ở Rozenbat đà hiểu trực quan trong dạy học rộng hơn khả năng
trực tiếp tri giác bằng thị giác . Nhng rồi chúng ta vẫn cha có đợc một
định nghĩa thõa đáng về trực quan!?.
Trong khoa học giáo dục ngày nay trực quan đợc hiểu gồm có hai
thuộc tính đó là: tính đẳng cấu và tính đơn giản. Nh vậy mô hình trực
quan phải là một mô hình đơn giản về mặt tri giác( Đơn giản dễ hiểu đối
với học sinh) và phản ánh một cách đẳng cấu những nét chủ yếu của đối
tợng (phản ánh đúng đắn và đầy đủ đối tợng cần nghiên cứu).
I.2.

Các cấp độ của trực quan(các loại trực quan).
Trong phạm vi của luận án tốt nghiệp này chúng ta chỉ xét 2 loại

trực quan cơ bản sau:
- Trực quan vật chất.
- Trực quan trừu tợng (trực quan phi vật chất).
Trong đó, trực quan vật chất là những vật dụng cụ thể nh : mô hình,
biểu tợng, giáo cụ tự làm, hình vẽ, bản đồ, bảng biểu, máy mócĐối với
loại trực quan này häc sinh cã thĨ trùc tiÕp quan s¸t, sư dơng nghiên cứu
và học tập. Còn trực quan trừu tợng là nh÷ng vÝ dơ cơ thĨ, nh÷ng kiÕn

thøc, nh÷ng kinh nghiƯm mà học sinh đà có. Đối với loại trực quan này
nó không phải là những vật dụng nên học sinh không thể quan sát trực
tiếp mà học sinh phải liên tởng một cách gián tiếp. Để sử dụng đợc loại
trực quan này thì học sinh phải nắm vững kiến thức tr ớc đó, phải nắm đợc
những ví dụ những bài tập ở mức độ trừu tợng thấp để làm trực quan cho
mức độ trừu tợng cao hơn. Ví dụ để xem kiến thức hình học phẳng là trực


quan của kiến thức hình học không gian thì học sinh phải nắm vững kiến
thức của hình học phẳng. Có nh vậy hình học phẳng mới trở thành công
cụ trực quan cho hình học không gian đợc.
Nh vậy, trong quá trình dạy học, tuỳ vào từng đối tợng học sinh
nh thế nào mà ta sử dụng loại trực quan nào cho phù hợp. Kết quả của
việc giảng dạy trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn và sử dụng các phơng tiện trực quan trong từng giai đoạn của quá trình dạy học toán.
Chẳng hạn, trong giai đoạn đầu tiên dạy hình học không gian cần chú
trọng sử dụng thực tế xung quanh và mô hình để học sinh dễ tởng tợng
trên hình vẽ, nhng sau này khi học sinh đà quen đọc đúng hình vẽ không
gian thì không cần mô hình nữa mà khi cần thiết sẽ vẽ riêng một số yếu
tố phẳng nào đó của hình không gian theo đúng hình dạng lên mặt phẳng
để học sinh dễ nhận thức, suy luận.
Việc không sử dụng phơng tiện trực quan và việc lạm dụng trực
quan đều ảnh hởng không tốt đến chất lợng học toán. Chúng ta cần nhớ
trực quan chỉ là phơng tiện chứ không phải là mục đích. Trực quan đóng
vai trò phát triển t duy của häc sinh, Cho nªn nÕu häc sinh cã thĨ nhËn
thøc đợc vấn đề mà không cần đồ dùng trực quan (phơng tiện trực quan)
thì lúc đó trực quan là hoàn toàn không cần thiết. Khi sử dụng trực quan
ta không nên dừng quá lâu mà nhanh chóng chuyển sang giai đoạn t duy
trừu tợng để phát triển t duy cho học sinh lên mức độ cao hơn.
2. Cơ sở khoa học.
2.1. Cơ sở sách giáo khoa:

- Về lý thuyết:
Chơng quan hệ vuông góc là chơng thứ 3 trong 6 chơng của SGK
hình học lớp 11 (chỉnh lý năm 2000).


Quan hệ vuông góc đợc trình bày trong 9 tiết lí thuyết và 7 tiết bài
tập. Bao gồm những chủ đề sau:
Đ1. Hai đờng thẳng vuông góc.
Đ2. Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Đ3. Hai mặt phẳng vuông góc.
Đ4. Khoảng cách.
Đ5. Góc.
Nh vậy, chơng này sách giáo khoa đà đa ra 5 hệ thống khái niệm
mới đợc thể hiện đầy đủ qua hệ thống gồm 15 định nghĩa và các tính chất
đợc thể hiện qua 12 định lý, trong đó có 11 định lý đợc chứng minh chi
tiết.
- Về bài tập:
Sách giáo khoa đà đa ra một hệ thống rất phong phú bao gồm 32
bài tập và 6 bài ôn tập chơng với nội dung chủ yếu là các vấn đề sau:
+) Tính góc giữa 2 đờng thẳng trong không gian.
+) Chứng minh 2 đờng thẳng vuông góc trong không gian.
+) chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+) Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
+) Chứng minh các đẳng thức hình học và bất đẳng thức hình học.
+) Tính khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng.
+) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
+) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song.
+) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
+) Tính khoảng cách giữa hai đờng chéo nhau.
+) Tính góc giữa một đờng và một mặt phẳng.

+) Tính góc giữa một mặt phẳng và một mặt phẳng.
+) Dựng thiết diện của khối đa diện.
+) Tìm quỹ tích.


+) Tính diện tích của thiết diện hoặc của hình chiếu thiết diện trên một
mặt phẳng nào đó.
+) Chứng minh nhiều đờng đồng phẳng.
+) Chứng minh một đờng di động luôn đi qua một điểm cố định.
2.2. Hệ thống định nghĩa SGK gồm có:
+) Định nghĩa 1: Góc giữa 2 đờng thẳng cắt nhau.
Cho hai đờng thẳng a, b cắt nhau tại O chúng tạo thành bốn góc. Số
đo của góc nhỏ nhất trong 4 góc đó đợc gọi là số đo góc hợp bởi 2 đơng
thẳng a, b hay đơn giản là góc giữa hai đờng thẳng a,b kí
ã
ã





hiệu lµ ( a, b) hay (b, a )

.

0
∧
Khi a ≡ b th× ( a, b) =0

∧

Khi a ⊥ b th× ( a, b) = 90
0

∧

VËy: 0 ≤ ( a, b) 90

0

0

.

+) Định nghĩa 2: Góc giữa hai đờng thẳng a,b là góc giữa hai đờng thẳng
cắt nhau a,b lần lợt song song với a và b.
+) Định nghĩa 3: Hai đờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc gữa
chúng bằng 900.
+) Định nghĩa 4: Một đờng thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng (P)
nếu nó vuông góc với mọi đờng thẳng của mặt phẳng đó.
+) Định nghĩa 5: Phép chiếu song song
lên mặt phẳng (P) theo phơng l sẽ gọi là


phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) nếu l mp(P). Cũng có thể gọi
nó đơn giản là phép chiếu lên mp(P).
Nếu (H) là hình chiếu vuông góc của hình (H) lên mp(P) thì ta cũng
nói gọn: (H) là hình chiếu của (H) lên (P).
+) Định nghĩa 6: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng
vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

+) Định nghĩa 7: Phép đối xứng

qua

mp() là phép cho tơng ứng với mỗi điểm
M trong không gian với một điểm M sao
cho mp() là mặt phẳng trung trực của
đoạn MM.
+) Định nghĩa 8: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai
mặt phẳng đó chứa một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+) Định nghĩa 9:
ã Một hình lăng trụ đợc gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó vuông
góc với các mặt đáy.
ã Một hình lăng trụ đứng có đáy là miền đa giác đều đợc gọi là lăng trụ đều.
ã Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành đợc gọi là hình hộp đứng.
ã Một hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật đợc gọi là hình hộp chữ nhật.
ã Một hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phơng.
+) Định nghĩa 10: Hình chóp cụt đợc cắt ra từ một hình chóp đều gọi là một
hình chóp cụt đều.
+) Định nghĩa 11: Giả sử a, b là hai đờng thẳng chéo nhau, đờng vuông góc
chung của chúng cắt a và b lần lợt tại
M và N. Đoạn MN đợc gọi là đoạn


vuông góc chung của a và b. Độ dài đoạn thẳng MN đợc gọi là khoảng cách
giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b.
+) Định nghĩa 12: Góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đờng
thẳng a và hình chiếu a' của nó trên (P).
+) Định nghĩa 13: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đờng thẳng lần lợt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.

+) Định nghĩa 14: Hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng () và () có chung bờ a
gọi là nhị diện.
+) Định nghĩa 15: Hình hợp bởi ba tia ox, oy, oz không đồng phẳng đợc gọi là
một tam diện.
2.3. Hệ thống định lý trong SGK gồm có:
Định lý 1: Cho hai dờng thẳng song song. Đờng thẳng nào vuông góc với đờng
thẳng thứ nhất thì vuông góc với đờng thẳng thứ hai.
Định lý 2: Nếu đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng a,b cắt nhau nằm
trong mặt phẳng (P) thì vuông góc với mọi đờng thẳng c nằm trong mặt
phẳng (P).
Định lý 3: Qua một điểm O cho trớc, có một mặt phẳng duy nhất vuông góc
với một đờng thẳng cho trớc.
Định lý 4: Qua một điểm O cho trớc, có một và chỉ một đờng thẳng vuông góc
với một mặt phẳng (P) cho trớc.
Định lý 5: (Định lý 3 đờng vuông góc)
Cho đờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P).
Một đờng thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đờng thẳng a khi và
chỉ khi b vuông góc với hình chiếu của a trên mặt phẳng (P).
Định lý 6: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng đó.


Định lý 7: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đờng thẳng nào
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt
phẳng kia .
Định lý 8: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm
nằm trên (P) Thì đờng thẳng a đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong
(P).
Định lý 9: Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ
hai thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Định lý 10: Qua một đờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có một
và chỉ một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).
Định lý 11: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một
đờng thẳng cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng thẳng ấy. Đờng thẳng
đó đợc gọi là đờng vuông góc chung của a và b.
Định lý 12: Nếu một tam giác có diƯn tÝch S th× h×nh chiÕu cđa nã cã diƯn tÝch
S' b»ng tÝch cđa S víi cosin cđa gãc ϕ giữa mặt phẳng của tam giác và mặt
phẳng chiếu. S'=Scos
2.4. Cách trình bày của các tài liệu về quan hệ vuông góc:
2.4.1. Quan hệ vuông góc trong hình học Ơclit:


n
Trong không gian Ơclit E cho phẳng với phơng và phẳng với

phơng



.



Hai phẳng và gọi là trùc giao, ký hiƯu α ⊥ β nÕu hai kh«ng gian

véc tơ và



trực

giao (tức mọi vectơ của trực giao với mọi vectơ của





).






Hai phẳng và gäi lµ bï trùc giao nÕu α vµ β bï trùc giao trong E n
TÝnh chÊt:
1) Hai ph¼ng trùc giao có không quá một điểm chung. Hai
phẳng bù trực giao cã mét ®iĨm chung duy nhÊt.


2) NÕu α trùc giao víi β vµ γ bï trực giao với thì và là hai
cái ph¼ng song song.
3) Hai ph¼ng cïng bï trùc giao víi phẳng thứ 3 thì song song với
nhau (và có cùng sè chiỊu)
4) Qua mét ®iĨm ®· cho cã duy nhÊt một phẳng bù trực giao với
một phẳng đà cho.
2.4.2 . SGK lớp 7:
Định nghĩa: ở hình bên hai đờng thẳng

^
xx' và yy' cắt nhau ở O. Nếu góc xOy là góc
^

^

^

vuông thì xOy ' , x' Oy ' và x' Oy đều là góc
vuông. Trong trờng hợp đó hai đờng thẳng xx'
và yy' đợc gọi là hai đờng thẳng vuông và đợc ký hiệu xx'yy'.
Định lý: " Qua một điểm o nằm trên (hoặc nằm ngoài) đờng thẳng a, có một
và chỉ một đờng thẳng vuông góc với a".
2.4.3 Sách giáo khoa lớp 9:
+) Hai đờng thẳng a và b trong không gian đợc gọi là vuông góc với nhau nÕu
gãc t¹o bëi chóng b»ng 900, kÝ hiƯu a⊥b.
+) Mét đờng thẳng a đợc gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông
góc mọi đờng thẳng trong mặt phẳng (P), kí hiệu a(P).
+) Hai mặt phẳng (P), (Q) đợc gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai
mặt phẳng đó chứa một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Kí hiệu
(P)(Q).
2.4.4 Sách giáo khoa lớp 11:


+) Hai đờng thẳng đợc gọi là vuông góc với nhau nÕu gãc gi÷a chóng b»ng
900. Ta kÝ hiƯu: a⊥b. Vậy ab



(a, b) =90

.

0

+) Đờng thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với
mọi đờng thẳng của mặt phẳng đó.
Kí hiệu: (P) hay (P)
+) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó
chứa một đờng thẳng vuông góc với mặt kia. Để kí hiệu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau ta viết (P)(Q) hay (Q)(P).
3. Cơ sở lí luận dạy học:
Trong quá trình dạy học môn toán chúng ta gặp 3 tình huống sau đây:
- Dạy học những khái niệm và định nghĩa.
- Dạy học những định lý và chứng minh.
- Dạy giải các bài tập toán
Trong toàn bộ quá trình đó các hoạt động cơ bản cần chú trọng là:
- Hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện".
- Hoạt động toán học phức hợp.
- Hoạt động trí tuệ và các thao tác t duy.
- Hoạt động ngôn ngữ.
3.1 Dạy học khái niệm toán học.
Việc hình thành hệ thống các toán học là rất cần thiết và hết sức quan trọng
vì nó tạo nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình
thành khả năng vận dụng hiệu qủa các kiến thức đà học, và góp phần phát triển
năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng.
* Việc dạy học khái niệm cần làm cho học sinh từng bớc đạt đợc các yêu cầu
sau:
1- Nắm vững các tính chất, đặc trng cho một khái niệm.

2- Biết nhận dạng khái niệm và thể hiện khái niệm.
3- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa cđa mét sè kh¸i niƯm.
4- BiÕt vËn dơng kh¸i niƯm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tiễn.
5- Nắm đợc mối quan hƯ cđa kh¸i niƯm víi c¸c kh¸i niƯm kh¸c trong một hệ
thống các khái niệm.
* Để hình thành một khái niệm mới ngời ta thờng dẫn dắt học sinh đi theo hai
con đờng, đó là con đờng quy nạp và con đờng suy diễn.
+) Quy nạp: Là xuất phát từ một số trờng hợp cụ thể (trực quan- nh mô hình,
hình vẽ, thí dụ cụ thể,...) sau đó khái quát hoá để tìm các dấu hiệu đặc trng của
khái niệm, rồi từ đó đi đến định nghĩa nó.
Ví dụ: Để hình thành khái niệm phơng trình mũ, ta có thể lấy một số ví dụ cụ
thể về phơng trình mũ:
Các phơng trình sau gọi là phơng trình mũ:

2 x = 3 x+ 1
5

x 2 −2

=10

(1)
x 2 +2

( x 2 +1) x +1 = 2 x +2

(2)
(3)

? Tõ c¸c vÝ dơ trên em nào có thể đa ra khái niệm phơng trình mũ?
- Nhận xét: + ở phơng trình (1), (2) cã chøa Èn ë sè mị cđa l thõa.
+ ë phơng trình (3) có chứa ẩn số ở cả số mũ và cơ số.
Vậy đặc điểm chung của 3 phơng trình trên là đều chứa ẩn ở số mũ của
luỹ thừa.
Từ nhận xét đó ta đi đến định nghĩa: "Phơng trình mũ là phơng trình
chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa
+) Suy diễn: Là xuất phát từ một hay một số khái niệm mà học sinh đà biết để
hình thành định nghĩa của một khái niệm mới.


VD: Khái niệm phép vị tự đợc định nghĩa thông qua khái niệm phép biến hình.
"cho mọt điểm O và số k 0, phép biến hình biến một điểm M bất kỳ thành
điểm M' sao cho

OM ' =k OM

OM ' = k OM

gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k".

- Các hoạt động tơng thích với khái niệm là định nghĩa và phân chia khái
niệm.
- Quy trình dạy học khái niệm thờng là: nhận dạng, thể hiện, vận dụng và sắp
xếp khái niệm mới và hệ thống khái niệm đà có.
- Để cũng cố và khắc sâu kh¸i niƯm ngêi ta thêng tỉ chøc cho häc sinh tham
gia tập luyện các hoạt động sau:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm.
+ Hoạt động ngôn ngữ.

+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá khái niệm...
Chú ý: Trong quá trình dạy học khái niệm toán học ở trờng phổ thông, không
phải khái niệm nào cũng đợc định nghĩa một cách tờng minh qua các khái
niệm khác. Vì hai lý do sau:
+ Thứ nhất có những khái niệm là khái niệm xuất phát (khái niệm ban
đầu) của khoa học toán học. Ví nh khái niệm "điểm" , "đờng thẳng", "mặt
phẳng",...
Chúng ta định nghĩa hình vuông thông qua khái niệm hình thoi.
định nghĩa hình thoi thông qua khái niệm hình bình hành.
định nghĩa hình bình hành thông qua khái niệm hình thang.
định nghĩa hình thang thông qua khái niệm hình tứ giác.
định nghĩa tứ giác thông qua khái niệm đoạn thẳng.
định nghĩa đoạn thẳng thông qua khái niệm điểm.
Nhng không thể định nghĩa "điểm" thông qua một khái niệm khác đợc.

A.


+ Thứ hai, do đặc điểm tâm sinh lý và mức độ phát triển t duy của học
sinh, nên nhiều khái niệm ta không cần phải tìm hiểu rõ ngọn nguồn của nó.
Vì nếu tìm nh vậy chỉ làm cho các em rối thêm mà thôi, còn nếu không giải
thích cặn kẽ nó cũng không ảnh hởng gì đến việc tiếp thu kiến thức của các
em.
3.2. Dạy học định lý:
Khi có trong tay hệ thống những khái niệm cần thiết, học sinh sẽ đợc
trang bị thêm những kiến thức cơ bản của toán học đó, những định lí, tính chất
và cách chứng minh chúng. Việc học định lí và chứng minh định lí rất quan
trọng vì nó góp phần phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh,
góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho các em.
Chính vì thế, khi dạy học định lí phải từng bớc gúp các em đạt đợc các

yêu cầu sau:
1- Nắm đợc nội dung các định lí và những mối liên hệ gữa chúng. Sau
đó rèn luyện khả năng vận dụng chúng vào việc giải toán.
2- Làm cho học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ,
suy luận chính xác.
3- Phát triển t duy, năng lực chứng minh toán học ở các em.
* Để tiếp cận với một định lí mới ta có hai con đờng:
+ Suy đoán : là tạo ra tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán,
phát hiện ra định lí, từ đó tìm cách chứng minh, phát biểu và cũng cố định lí.
Trong đó, việc tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh suy nghĩ và đa ra
dự đoán là khâu đầu tiên rất quan trọng, giáo viên phải có đợc những tình
huống hợp lí, những câu hỏi gợi mở tối u hớng vào định lí giúp học sinh tự
phát hiện ra định lí.
VD. Để hình thành định lí hàm số sin chúng ta phải có thể cho học sinh phát
hiện ra định lí xuất phát từ những trờng hợp đặc biệt:


+ Trong ∆ ®Ịu ABC ta cã :

BC
AC
AB
a
2a
=
=
=
=
= 2R
sin A sin B sin C sin 600

3

+ Trong ∆ vu«ng ABC, vuông tại A ta cũng có:
BC
BC
=
= BC = 2 R
sin A sin 90 0

(R- bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC)

AC
BC. sin B
=
= BC = 2 R
sin B
sin B
AB
BC. sin C
=
= BC = 2 R
sin C
sin C

VËy

BC
AC
AB
=

=
= 2R
sin A sin B sin C

+ Trong ∆ ABC bÊt k× th× kÕt luận trên có còn đúng nữa không?

* Dự đoán trong ∆ABC bÊt kú ta cã :

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

và chúng ta

tìm cách chứng minh dự đoán trên là đúng - đó chính là nội dung định lí hàm
số sin.
+ Suy diễn : Giáo viên hớng đẫn học sinh dùng suy luận lôgic dẫn đến định lí.
Tuỳ theo từng định lí và trình độ của học sinh mà ta phải chọn con đờng
nào cho phù hợp.


Trong phơng pháp dạy học môn toán của hai tác giả: Nguyễn Bá Kim
và Vũ Dơng Thụy đà đa ra sơ đồ minh hoạ hai con đờng này nh sau:

- Trong dạy học định lý thì hoạt động lôgic đặc trng là chứng minh toán
học theo các cách: Trực tiếp, gián tiếp, phản chứng, quy nạp toán học. Ngoài

ra còn hoạt động ngôn ngữ: Thay đổi hình thức phát biểu định lí, hình vẽ, kí
hiệu toán học nhằm rèn luyện năng lực diễn đạt.
- Quy trình dạy học định lí thờng là: Nhận dạng (hay phát hiện), chứng minh,
hệ thống hoá, củng cố, vận dụng định lí ( đặc biệt hoá, khái quát hoá, lật ngợc
vấn đề,...).
Trong đó, để củng cố và khắc sâu định lí, chúng ta phải tổ chức cho học
sinh rèn luyện các hoạt động sau:
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí.
- Hoạt động ngôn ngữ.
- Hoạt động khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá định lí...
3.3. Các hoạt động cơ bản cần chú trọng trong hoạt động dạy học toán nói
chung và trong dạy học khái niệm, định lí toán học nãi riªng.


Trong quá trình dạy toán chúng ta phải cho học sinh thực hiện và luyện
tập những hoạt động và hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục
đích dạy học - nghĩa là việc nắm vững nội dung là điều kiện hoặc kết quả của
hoạt động đó.
1. Hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện".
"Nhận dạng " và "thể hiện " là hai dạng hoạt động theo chiều hóng trái
ngợc nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phơng pháp.
- Nhận dạng một khái niệm - là tạo ra một đối tợng cho trớc có đặc trng
của một khái niệm nào đó hay không?
- Thể hiện một khái niệm - là tạo ra một đối tợng có các đặc trng của
khái niệm đó. (Có thể đòi hỏi đối tợng phải thoả mÃn một số yêu cầu
khác nữa).
-Nhận dạng một định lí - là phát hiện xem một tình huống cho trớc có
phù hợp, ăn khớp với một định lí nào đó hay không?
- Thể hiện một định lí - là xây dựng một tình huống phù hợp, ăn khớp
với một định lí cho trớc.

2. Hoạt động toán học phức hợp.
Đó là những hoạt động nh chứng minh, định nghĩa, tìm tập hợp điểm,
dựng hình,...Những hoạt động này giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học
và phát triển năng lực giải toán.
3. Hoạt động trí tuệ phổ biến và các thao tác t duy.
Đó là các hoạt động nh phân chia các trờng hợp của một tình huống, lật
ngợc vấn đề, xét tính giải đợc (có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều
nghiệm) và hoạt động t duy làm các thao tác t duy gồm: Phân tích, tổng hựop,
so sánh, tơng tự hoá, trừu tọng hoá, khái quát hoá,...
4. Những hoạt động ngôn ngữ.
+ Hoạt động ngôn ngữ khi dạy học khái niệm:
- Cần diễn đạt định nghĩa một cách chính xác.


- Phát biểu định nghĩa bằng nhiều cách tơng đơng.
- Sử dụng các kí hiệu toán học để mô tả định nghĩa toán học.
+ Hoạt động ngôn ngữ khi dạy học các định lí:
- Cần phải phát biểu chính xác định lí toán học.
- Phát biểu định lí đó bằng nhiều cách tơng đơng.
- Sử dụng các kí hiệu toán học để thể hiện các định lí.
*) Để tiến hành các hoạt động toán học và hoạt động có hiệu quả cao thì
chúng ta phải gây động cơ và phân bậc hoạt động. Cụ thể là:
+ Mỗi nội dung dạy học thòng có nhiều hoạt động tơng thích, mỗi hoạt
động lại có mục đích riêng của nó, nên cần sàng lọc những hoạt động đà phát
hiện để tập trung vào một số mục đích nhất định. Sau khi đà đạt đợc, coi
chúng là phơng tiện để đạt những mục đích còn lại, Vì vậy đòi hỏi học sinh
phải có ý thức về hệ thống mục đích cần đạt và tạo đợc động lực bên trong để
thúc đẩy bản thân tiến trình hoạt động. Vì thế việc gọi động cơ phải đợc xuyên
suốt quá trình dạy học: Từ lúc mở đầu, qua trung gian cho tới khi kết thúc,
đồng thời bảo đảm tính hớng đích của nó.

+ Điều quan trọng là xác định đợc mức độ yêu cầu của từng hoạt động
mà học sinh phải đạt ở giai đoạn nào trong toàn bộ giờ học. Do đó cần phân
bậc chúng để làm căn cứ điều khiển quá trình học tập.
4. Cơ sở thực tiễn:
Sau khi tham khảo, tìm hiểu thực trạng giảng dạy ở một số trờng phổ
thông nh trờng Tây Hiếu (Nghĩa Đàn- Nghệ An), trờng Triệu Sơn 4, trờng bán
công(Triệu Sơn Thanh Hoá). Tôi nhận thấy:
+ Giáo viên chỉ quan tâm đến việc truyền thụ tri thức trên cơ sở lí thuyết,
ít quan tâm đến việc trực quan hoá giúp học sinh dễ hiểu và hiểu rõ hơn lí
thuyết.


+ Hầu hết giáo viên đều không dùng đồ dùng dạy học trực quan khi dạy
hình học không gian với lí do :không có thời gian chuyển bị và cũng không có
thời gian cho học sinh quan sát nghiên cứu các mô hình trực quan trong tiết
học.
+Đồ dùng dạy học trực quan ở trờng phổ thông rất nghèo nàn, lÃnh đạo
nhà trờng cũng cha quan tâm nhiều đến vấn đề này.
+Chính vì cha quan tâm đến việc sử dụng phơng tiện trực quan, nên các
em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc chuyển tiếp từ hình học phẳng
sang hình học không gian, từ đó hình học không gian trở thành "gánh nặng"
đối với các em - đặc biệt là học sinh lớp 11.
+ Nhu cầu học hình học không gian của học sinh ngày càng tăng với hai
lí do cơ bản sau:
- Mức độ t duy trừu tợng của học sinh ngày càng tăng, các em háo hức
muốn khám phá những kiến thức mới lạ ở hình học không gian, muốn quan sát
và thấu hiểu các mối quan hệ thú vị sống động trong không gian ba chiều rất
thực tế nhng cũng huyền ảo và thú vị.
- Xu hớng thi đại học ngày nay bao giờ cũng có phần hình học không
gian.

- Lên lớp 12 các em phải học về phơng pháp toạ độ trong không gian.
Kiến thức không gian lớp 11 sẽ giúp cho các em rất nhiều.
*) Kết luận chơng 1.
- Chơng 1 của luận án đà nêu lên đợc khái niệm về trực quan trong các
lĩnh vực: triết học, giáo dục học và toán học. Trong lĩnh vực toán học chủ yếu
phân tích và bàn luận về trực quan đơn giản, tức là chỉ nói về mặt đơn giản của
trực quan và các cấp độ của nó, còn mặt thứ hai của trực quan là tính đẳng cấu
chúng ta không nghiên cứu trong phạm vi luận văn này.