Độ đo Radon và định lí biểu diễn Riesz

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM









KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CHUYÊN NGÀNH TOÁN




ĐỀ TÀI:





GVHD : Ths. PHẠM THỊ THU HƯỜNG
SVTH : NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO
CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH

An Giang, tháng 05 năm 2008
LỜI CẢM ƠN


Quyển luận văn được hoàn thành là nhờ sự ủng hộ, động viên về mặt tinh
thần của gia đình và bạn bè, sự giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô trong bộ
môn Toán khoa Sư Phạm của trường. Các thầy cô đã chỉ dẫn cho tôi về hình
thức trình bày quyển luận văn thế nào cho đúng và đẹp, cho tôi những lời
khuyên khi tôi cảm thấy khó khăn. Đặc biệt là cô Phạm Thị Thu Hường
đã tận
tình chỉ bảo, giải đáp những điều mà tôi thắc mắc và cho tôi những ý kiến quý
báo từ nội dung đến hình thức trình bày quyển luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn.
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã giảng dạy cho tôi trong suốt thời
gian học tập tại trường.


Nguyễn Thị Anh Đào


Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 1

LỜI NÓI ĐẦU

Độ đo và tích phân Lebesgue là một trong những nội dung khá quan
trọng của giải tích. Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường
thẳng, có những tập được gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như
độ dài đoạn thẳng. Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được
độ dài của nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập nh
ững số hữu tỉ trong
đoạn [0, 1]. Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập
như thế.
Về tích phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế. Với tích phân
này, nhiều vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng,
chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân.
Tuy nhiên những vấn
đề kể trên đã được trình bày rõ trong một số giáo

trình nên trong khuôn khổ của bản khoá luận này tôi không trình bày lại. Bạn
đọc quan tâm có thể tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” của Hoàng
Tụy.
Trong bản khóa luận tôi trình bày về một độ đo mới mà với độ đo này thì
độ đo của một tập Borel có thể được xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact,
đó là độ đo Radon. Đối với độ
đo Radon ta có một tính chất khá thú vị, thể
hiện ở định lý Lusin, ý nghĩa của định lý này là ta có thể xấp xỉ một hàm đo
được bằng một hàm liên tục, điều này rất quan trọng trong việc tính tích phân
của một hàm đo được. Tôi cũng trình bày về mối quan hệ giữa một độ đo
Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm
hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá
compact. M
ột độ đo Radon sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên
không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có
đúng không ? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz.
Nội dung bản khoá luận gồm có 3 chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ đo và tích phân
Lebesgue gồm một số
định nghĩa và định lý làm cơ sở cho các chương sau. Do

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 2

đây không phải là nội dung chính nên một số kết quả không được chứng
minh.
Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Đây là nội dung chính của bản luân văn. Chương này nói về định nghĩa độ

đo Radon, một số tính chất của nó và trình bày chứng minh chi tiết định lý
biểu diễn Riesz.
Chương 3: MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Đây là chương cuối, trình bày một áp dụng c
ủa định lý biểu diễn Riesz.
Do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên nhân đó là lần đầu tiên tôi
làm một bài nghiên cứu khoa học và cũng hạn chế về thời gian, trình độ nên
những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi. Rất mong nhận được ý kiến
đóng góp từ quý thầy cô và các bạn.
An Giang, tháng 05 năm 2008
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Anh Đào












Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 3

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................1

MỤC LỤC.........................................................................................................3

CÁC KÝ HIỆU.................................................................................................4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.........................................................5

1. ĐỘ ĐO .......................................................................................................5

1.1. Đại số tập hợp .....................................................................................5

1.2.
σ
- Đại số tập hợp...............................................................................5

1.3. Hàm tập hợp cộng tính........................................................................6

1.4. Độ đo có dấu .......................................................................................6

1.5. Độ đo dương........................................................................................8

1.6. Không gian độ đo................................................................................9

1.7. Độ đo ngoài.........................................................................................9

2. TÍCH PHÂN LEBESGUE......................................................................12

2.1. Hàm số đo được ................................................................................12

2.2. Tích phân Lebesgue ..........................................................................15

Chương 2. ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ ..........24

1. ĐỘ ĐO RADON.....................................................................................24

1.1. Định nghĩa.........................................................................................24

1.2. Một số tính chất của độ đo Radon.....................................................25

2. ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ ................................................................32

2.1. Định lý biểu diễn Riesz.....................................................................33

2.2. Bổ đề .................................................................................................35

Chương 3. MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ .......41

1. Định nghĩa................................................................................................41

2. Định lý......................................................................................................41

3. Định lý......................................................................................................42

KẾT LUẬN.....................................................................................................44

PHỤ LỤC........................................................................................................45

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................46


Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 4

CÁC KÝ HIỆU


(0, )r∆
: hình tròn mở tâm O bán kính r
()
C
CX
: không gian các hàm liên tục có giá compact trên X
()
C
CD
: không gian các hàm liên tục có giá compact trên miền D
()
C
CD
∞
: không gian các hàm khả vi vô hạn lần, có giá compact trên miền
D

()
2
CD

: lớp các hàm có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên miền
D

C
∞
: lớp các hàm khả vi vô hạn lần
()
A
x
χ
: hàm đặc trưng của
A
dA
: độ đo Lebesgue hai chiều
u∆
: toán tử Laplace của hàm
u

B(X) :
σ
- đại số Borel
K

: lớp các tập compact
supp
φ
: giá của hàm
φ
,
()

{ }
supp : 0xX x
φφ
= ∈≠










Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. ĐỘ ĐO
1.1. Đại số tập hợp
1.1.1. Định nghĩa
Cho
X
là một tập hợp tùy ý khác rỗng, một lớp C các tập con của
X
thỏa
mãn các điều kiện sau được gọi là một đại số tập hợp :
a)

X
∈

C
b)
A
∈

C
⇒

A
C
= X\A
∈

C

c)
,
∈
A B
C
⇒∪
∈
A B
C
1.1.2. Bổ đề
C
là một đại số tập hợp khi và chỉ khi

C
thỏa mãn các điều kiện a), b) và
c’) với c’)
, A B
∈
C
⇒∩A B
∈
C

1.2.
σ
- Đại số tập hợp
1.2.1. Định nghĩa
Cho
X
là một tập khác rỗng . Một họ F các tập con của
X
được gọi là
σ
-
đại số tập hợp nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a)
X
∈

F
b)
A
∈

F
⇒

A
C
= X \ A
∈

F
c)
A
n
∈
F ,
n = 1, 2,…

1=
∞
⇒
U
n
n
A
∈
F
Ta thấy nếu F là
σ
- đại số tập hợp thì F cũng là một đại số tập hợp.
Tương tự như đối với đại số tập hợp ta có bổ đề sau:

1.2.2. Bổ đề
F
là
σ
- đại số các tập con của X khi và chỉ khi
F
thỏa mãn các điều kiện
a), b) và c’) với c’) A
n
∈
F ,
n = 1, 2,…

1=
∞
⇒
I
n
n
A
∈
F

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 6

1.3. Hàm tập hợp cộng tính
1.3.1. Hàm tập hợp
Định nghĩa. Ta gọi hàm tập hợp ( gọi tắt là hàm tập) là một ánh xạ xác định

trên một họ nào đó các tập hợp nhận giá trị trong không gian các số thực


hoặc phức

hoặc trong không gian các số thực mở rộng
{ }
;= ∪−∞+∞
.
Riêng trong trường hợp cuối ta quy ước tập giá trị của ánh xạ chỉ chứa nhiều
nhất một trong hai giá trị
−∞
hoặc
+∞
.
1.3.2. Hàm tập hợp cộng tính
Định nghĩa. Hàm tập
µ
xác định trên một họ các tập con
M
chứa tập rỗng
được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn :
a)
()
0
µ
∅ =

b)
A, B

∈

M,
A
∩
B =
∅
⇒
µ
(A
∪
B) =
µ
(A) +
µ
(B)
1.3.3. Hàm tập hợp
σ
- cộng tính
Định nghĩa. Hàm tập
µ
xác định trên một họ các tập con
M
chứa tập rỗng
được gọi là
σ
- cộng tính nếu nó thỏa mãn :
a)
( )
0

µ
∅=

b)
A
i

∈
M
(i=1,2….), A
i
∩
A
j
=
∅
,

1=
∞
U
i
i
A
∈
M

⇒
()
1

1
ii
i
i
AA
µµ
∞
∞
=
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑U

1.4. Độ đo có dấu
1.4.1. Biến phân toàn phần của một hàm tập hợp
Định nghĩa. Cho
µ
là một hàm tập xác định trên đại số C các tập con của
X,
E
∈
C. Ta gọi biến phân toàn phần của
µ
trên
E
là số
( )

,vE
µ
, được định
nghĩa nhờ công thức:
()
()
1
,sup
µµ
=
=
∑
n
i
i
vE E
Ở đây cận trên được lấy theo tất cả các họ hữu hạn
{ }
, 1,2,...,
i
Ei n
= ⊆
C

rời nhau từng đôi một,
i
EE⊆
.
1.4.2. Biến phân trên, biến phân dưới
Định nghĩa.

Giả sử
µ
là hàm tập cộng tính với giá trị thực. Ta gọi biến phân
trên
µ
+
và biến phân dưới
µ
−
là những hàm tập được xác định lần lượt bởi
các đẳng thức sau:

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 7


() ()()
()
1
,
2
EvEE
µµµ
+
=+

() ()()
()
1

,
2
EvEE
µµµ
−
=−
1.4.3. Định lý phân tích Jordan

Nếu
µ
là hàm tập hợp cộng tính ( tương ứng
σ
- cộng tính) bị chặn xác
định trên một đại số
C
thì với mọi
E ∈
C:
() ()
{
sup : , EFFEF
µµ
+
=⊆∈

C
}

() ()
{

inf : , EFFEF
µµ
−
=− ⊆ ∈

C
}

Các hàm
µ
+
,
µ
−
là cộng tính ( tương ứng
σ
- cộng tính) không âm.
() () ( )
EEE
µµ µ
+−
=−
,
( ) ( ) ( )
,, vE E EE
µµ µ
+−
= +∈
C

Chứng minh

Chỉ cần xét trường hợp cộng tính, vì trường hợp
σ
- cộng tính là tương tự.
Nếu
, ,FEEF⊆∈
C
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
2\
FFEEF
µ µµµ
= +−


( ) ( ) ( )
\EF EF
µµ µ
≤+ +

( ) ( ) ( )
,2
Ev E E
µµµ
+
≤+ =

Do đó:
() ( )

sup
FE
FE
µµ
+
⊆
≤

Mặt khác với mọi
0
ε
>
bao giờ cũng tìm được một họ hữu hạn các tập rời
nhau từng đôi một
{ }
:
i
Ei I∈⊆
C
sao cho:
i
iI
EE
∈
=
U
và
()
( )
,

i
iI
vE E
µεµ
∈
−<
∑

Suy ra:
() ( ) ( )
2,
EvEE
µ εµ µ ε
+
−= + −

( )
( )
i
iI
EE
µµ
∈
≤+
∑


( ) ( )
ii
iI iI

EE
µµ
+−
∈∈
=−
∑∑
ii
iI iI
EE
µµ
+−
∈∈
⎡ ⎤
⎛⎞⎛⎞
++
⎢ ⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢ ⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣ ⎦
UU


()
22sup
i
FE
iI
EF
µµ

+
⊆
∈
⎛⎞
=≤
⎜⎟
⎝⎠
U

Vì
ε
nhỏ tuỳ ý, ta có:
( ) ( )
sup
FE
EF
µµ
+
⊆
≤

Vậy
() ()
sup
FE
EF
µµ
+
⊆
=

Từ hai đẳng thức định nghĩa hàm
µ
+
và
µ
−
ta có
( )
µµ
+
−
=−

do đó
() ( )
inf
FE
EF
µµ
−
⊆
=−

Cuối cùng cũng từ hai đẳng thức định nghĩa hàm
µ
+
và
µ
−

ta có

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 8

() () ( )
EEE
µµ µ
+−
=−
,
( ) ( ) ( )
,, vE E EE
µµ µ
+−
= +∈
C.

1.4.4. Độ đo có dấu
Định nghĩa.
Cho
C
là một đại số các tập con của
X
. Hàm tập
µ
xác định trên
C
được gọi là một độ đo có dấu nếu nó là

σ
- cộng tính.

1.5. Độ đo dương
1.5.1. Độ đo dương
Định nghĩa.
Độ đo
µ
được gọi là độ đo dương nếu
µ
(
A
)
≥
0 với mọi
A

∈

C.
Trên cơ sở định lý phân tích Jordan và bằng cách biểu diễn độ đo giá trị
phức
µ
dưới dạng
Re Imi
µµ µ
=+
viêc nghiên cứu độ đo với giá trị thực
hoặc phức được đưa về việc nghiên cứu độ đo dương. Vì vậy từ đây trở về sau
khi nói đến độ đo là ta xét độ đo dương.

1.5.2. Độ đo hữu hạn
Định nghĩa.
Độ đo
µ
được gọi là độ đo hữu hạn nếu
( )
X
µ
< +∞

1.5.3. Độ đo
σ
- hữu hạn
Định nghĩa.
Độ đo
µ
được gọi là độ đo
σ −
hữu hạn nếu X có thể biễu diễn
dưới dạng:
1
n
n
XA
∞
=
=
U
với
n

A ∈

C
,
( )
µ
< +∞
n
A

1.5.4. Các tính chất cơ bản của độ đo dương
Giả sử
µ
là độ đo dương trên đại số
C
. Khi đó:
1) A, B
∈

C
, B
⊆
A
⇒

µ
(B)
≤
µ
(A)

2) A, B
∈

C
, B
⊆
A ,
µ
(B) < +
∞

⇒

µ
(A\B)=
µ
(A) -
µ
(B).
3) A
i
∈

C
( i=1, 2,…, n), A
∈
C
, A
⊆
1

i
i
A
=
∞
U

⇒

( )
A
µ
≤
1
()
µ
=
∞
∑
i
i
A
4) A
i
∈

C
(i=1, 2,…, n), A
i

∩
A
j
=
∅

∀
i
≠
j, A
∈
C
,
1
=
∞
U
i
i
A
⊆
A
⇒
1
()
µ
=
∞
∑
i

i
A

()
µ
≤
A

Chứng minh
1) Vì
BA
⊆
nên
(\)A AB B=∪
do đó
( ) ( )()()
\A AB B B
µ µµµ
= +≥
.
2) Nếu
()
B
µ
<∞
thì từ
( ) ( ) ( )
\
AABB
µµ µ

= +
có thể suy ra:
() () ( )
\
AB AB
µµµ
− =
.

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 9

3) Trước hết để ý rằng, bất cứ các tập
i
B
như thế nào ta cũng có thể chọn
các
/
i
B
để có
/
11
∞∞
==
=
UU
ii
ii

BB
, đồng thời các
/
i
B
rời nhau từng đôi một, và nếu
i
B ∈
C
thì
/
i
B ∈
C
. Thật vậy chỉ cần đặt

( )
// /
112213312
, \ , \
BBBBBBBBB
== = ∪
,
…,
1
/
1
\
n
nn i

i
BB B
−
=
=
U
,…
ta thấy các
/
i
B
có những tính chất đã nêu. Bây giờ ta chứng minh tính chất 3
Vì
1
∞
=
⊆
U
i
i
AA
nên
1
∞
=
⎛⎞
=∩
⎜⎟
⎝⎠
U

i
i
AAA
()
11
ii
ii
AA B
∞∞
==
=∩=
UU
, với
=∩∈
ii
BAA
C

(do
A
i
, A

∈
C
).
Theo nhận xét trên
A
=
/

11
∞∞
==
=
UU
ii
ii
BB
, trong đó
/
i
B ∈
C
,
/
iii
BBA⊆⊆
nên
theo tính chất 1:
()
( )
/
µµ
≤
ii
BA
và các
/
i
B

rời nhau nên theo tính chất
σ
-
cộng tính
()
()
()
/
11
µµ µ
∞∞
==
=≤
∑∑
ii
ii
AB A
.
4) Từ
1
i
i
AA
∞
=
⊆
U
ta suy ra với mọi
n
:

1
n
i
i
AA
=
⊆
U
, do đó theo tính chất 1, vì
1=
∈
U
n
i
i
A

C
(do
C
là đại số) nên
()
1
µµ
=
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
U

n
i
i
AA
. Mặt khác các
i
A
rời nhau
nên:
()
1
1
µµ
=
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑U
n
n
ii
i
i
AA
.
Vậy
()
()

1
µµ
=
≤
∑
n
i
i
AA
và cho
→+∞
n
ta được bất đẳng thức cần chứng
minh.
1.6. Không gian độ đo
Định nghĩa.
Cho
X
là một không gian mêtric
,
F

là
σ
−
đại số các tập con của
X
,
µ
là một độ đo trên

F
thì bộ ba (
X
,
F
,
µ
) được gọi là không gian độ đo.
1.7. Độ đo ngoài
1.7.1. Định nghĩa
Cho
X
là một tập hợp khác rỗng.
Hàm tập
* :
µ
P
(
X
)
+
→

được gọi là một độ đo ngoài nếu:

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 10

a)

*
µ
là
σ
- cộng tính dưới:
()
1
1
**
µµ
∞
∞
=
=
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
∑
U
ii
i
i
AA
,
{ }
∀⊆
i
A
P

(
X
)
b)
()
*0
µ
∅=

c)
( )
* 0,
AAX
µ
≥∀⊆

1.7.2. Định lý Caratheodory

Cho
*
µ
là một độ đo ngoài trên X và
L
là lớp tất cả các tập con A của X
sao cho
() ( ) ( )
** *\
µ µµ
=∩+
EEAEA

, với mọi
⊆EX
. Khi ấy
L
là một
σ
- đại số và hàm
*
µ µ
=
/
L
(thu hẹp của
*
µ
trên
L
) là một độ đo trên
L
.

Độ đo
µ
gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài
*
µ
.
Các tập
⊆
AX

thoả điều kiện
( ) ( ) ( )
** *\
µ µµ
= ∩+
EEAEA
, với mọi
⊆EX
gọi là
*
µ
- đo được.
Chứng minh
¾

Trước hết ta chứng minh
L
là một
σ
-
đại số.


Chứng minh
X

∈
L
∀⊆EX
:

()( )
**\
µ µ
∩+
EX EX
=
( ) ( )
**
µ µ
+ ∅
E
=
()
*
µ
E

Suy ra
X

∈
L




A
∈
L
chứng minh

\
∈
XA
L
Vì
A∈
L
nên với mọi
⊆
EX
:
( ) ( ) ( )
** *\
µ µµ
= ∩+EEAEA

Ta có:
()
\\
∩=EAEXA


()
\\
=∩
EA E XA
, với mọi
⊆
EX

Suy ra:
() ( )
()
( )
( )
**\\* \
µµ µ
=+∩
EEXA EXA

Vậy
\
∈
XA
L.



∀∈
i
A
L
,
i=1, 2, …
cần chứng minh
1
∞
=
∈
U

i
i
A

L
.



1
∈
A
L
nên
∀⊆
EX
:
( ) ( ) ( )
11
** *\
µ µµ
= ∩+EEAEA




2
∈
A
L

nên
11
\
∀= ⊆
EEA X
:

() ()
()
( )
( )
11212
*\ *\ *\\
µµ µ
=∩+
EA EA A EA A

Suy ra
()
*
µ
E
=
()
1
*
µ
∩
EA
+

( )
( )
( )
( )
12 12
*\ *\\
µµ
∩+
EA A EA A




3
∈A
L
nên
( )
212
\
∀= ∪ ⊆
EEAA X
:
()
()
( )
( )
()
( )
12 12 3 12 3

*\ *\ *\ \
µµ µ
⎡ ⎤⎡ ⎤
∪= ∪∩+ ∪
⎣ ⎦⎣ ⎦
EA A EA A A EA A A
Suy ra
()
*
µ
E
=
()
1
*
µ
∩
EA
+
( )
( )
12
*\
µ
∩
EA A


Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 11

+
()
()
12 3
*\
µ
⎡⎤
∪∩
⎣⎦
EA A A
+
3
1
*\
µ
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
U
i
i
EA

……………………………………
()
*
µ

E
=
1
1
1
*\
µ
−
=
=
⎛⎞
⎛⎞
∩
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑ U
j
k
ij
j
i
EAA
+
1
*\
µ
=

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
U
k
j
j
EA

Do đó
()
*
µ
E
≥
1
1
1
*\
µ
−
=
=
⎛⎞
⎛⎞
∩
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
∑ U
j
k
ij
j
i
EAA
+
1
*\
µ
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
U
j
j
EA

Vì điều này đúng với mọi k nên

()
*
µ
E

≥

1
1
1
*\
µ
−
∞
=
=
⎛⎞
⎛⎞
∩
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑ U
j
ij
j
i
EAA
+
1
*\
µ

∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
U
j
j
EA
(1)
Mặt khác:
1
11
\
−
∞
==
⎛⎞
⎛⎞
∩
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
UU
j
ij
ji

EAA
=
1
∞
=
⎛⎞
∩
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
U
j
j
EA

và
11
\
∞∞
==
⎛⎞⎛⎞
⊆∩ ∪
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
UU
j j
jj
EE A E A

Suy ra
()
11
** *\
µµ µ
∞∞
==
⎛⎞⎛⎞
≤∩+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
UU
j j
jj
EEA EA


≤
1
11
*\
µ
−
∞
==
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
∩

⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
UU
j
ij
ji
EAA
+
1
*\
µ
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
U
j
j
EA


≤

1
1
1
*\
µ
−
∞
=
=
⎛⎞
⎛⎞
∩
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑ U
j
ij
j
i
EAA
+
1
*\
µ
∞
=
⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
U
j
j
EA


()
*
µ
≤ E
(từ (1))
Vậy
()
11
** *\
µµ µ
∞∞
==
⎛⎞⎛⎞
=∩+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
UU
j j
jj
EEA EA

Do đó
1
∞
=
∈
U
i
i
A

L
.
¾
Chứng minh
*
µ µ
=
/
L
là một độ đo



A∀∈
L
ta có
() ( )
*
0AA

µµ
= ≥



Ta có
∅∈
L
nên
( ) ( )
*0
µµ
∅ =∅=



Cho
∈
i
A
L
,
i=1, 2, …
rời nhau từng đôi một.
Ta chứng minh:
()
1
1
*
µµ

∞
∞
=
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑
U
ii
i
i
AA


Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 12

Đặt
1
∞
=
=∈
U
i
i
EA
L.

Khi đó:
() ()
() ()
11
1
** *
µµ µ µ µ
∞
∞∞
==
=
⎛⎞
== ≤ =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
U
iii
ii
i
EE A A A

Từ bất đẳng thức (1) ta có
()
()
1
µµ
∞
=
≥

∑
j
j
EA

Suy ra
()
()
1
µµ
∞
=
=
∑
j
j
EA

Vậy
µ
là
σ
- cộng tính do đó
µ
là một độ đo.
2. TÍCH PHÂN LEBESGUE
2.1. Hàm số đo được
2.1.1. Hàm đo được
Định nghĩa.
Cho (

X
,
F
,
µ
) là một không gian độ đo,
Y
là một không gian
tách Hausdorff. Ta nói rằng hàm
:f XY→
là đo được ( theo độ đo
µ
) nếu
nó thoả mãn các điều kiện sau:
a)
()
1
fG
−
∈
F
với mọi tập mở
GY⊆
.
b)
f
có ảnh hầu khả ly, tức là tồn tại một tập đếm được
H Y⊆
và một
tập

NX⊆
có độ đo 0, sao cho
( )
\f XN H⊆
.
2.1.2. Hàm số đo được với giá trị trong không gian các số thực mở rộng
Định nghĩa.
Cho (
X
,
F
,
µ
) là một không gian độ đo. Một hàm số
f
:
X →


gọi là đo được trên
X
đối với
σ
- đại số
F
nếu:
() ( )
{ }
:axXfxa∀∈ ∈ < ∈


F
.
Từ đây về sau khi nói hàm số đo được và không nói gì thêm thì ta hiểu
hàm số đó nhận giá trị trong

.
2.1.3. Hàm bậc thang
Định nghĩa.
Cho (
X
,
F
,
µ
) là một không gian độ đo. Một hàm số
f
:
X
→


được gọi là hàm bậc thang trên
X
nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị
12
, , ...,
n
α αα
.
f

là hàm bậc thang đo được trên
X
nó sẽ được biểu diễn như sau:

f(x)
=
()
1
i
n
iA
i
x
αχ
=
∑


Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 13

với
i
α
∈

,
i
A

∈
F,

i=1,……n,

ij
AA
∩ =∅
với
ij
≠
và
1
n
i
i
XA
=
=
U

2.1.4. Định lý ( Cấu trúc của hàm số đo được)
Mỗi hàm số f đo được trên X là giới hạn của một dãy hàm bậc thang đo
được f
n
nhận giá trị trong


hội tụ đến f
.

Nếu
()
0
fx
≥
với mọi
x X
∈
thì có thể chọn các f
n
để cho
()
0;
n
fx
≥

() ()
1

nn
f xfx
+
≥
với mọi n và với mọi
x X∈

Chứng minh

¾
Giả sử trước hết
f
(
x
)
0
≥
ta đặt:
()
( )
()
khi
1-1
khi
22 2
n
nn n
nfxn
fx
ii i
fx
⎧
≥
⎪
=
⎨
−
≤<
⎪

⎩

Khi đó:
i)
n
f
là hàm bậc thang, đo được không âm
ii)
12
...
ff≤≤
và
( ) ( )
lim
n
n
f xfx
→∞
=



Thật vậy, nếu đặt:
()
1
:
22
i
nn
ii

XxX fx
−
⎧ ⎫
=∈ ≤ <
⎨ ⎬
⎩⎭
,
1, 2, ..., 2
n
in=


( )
{ }
21
:
n
n
XxXfxn
+
= ∈>
thì
i
X

( 1, 2, ..., 2 1)
n
in=+
là các tập đo được và:

() () ()
21
2
1
1
2
n
in
n
n
nXX
n
i
i
f xxnx
χχ
+
=
−
=+
∑
nghĩa là f
n
thoả mãn i).


Để chứng tỏ { f
n
} đơn điệu tăng , ta chú ý:

11 11
12221212
,, ,
22 2 2 2 2
nn n n n n
ii i i i i
++ ++
−−−−
⎡⎞⎡ ⎞⎡ ⎞
=∪
⎟⎟⎟
⎢⎢ ⎢
⎣⎠⎣ ⎠⎣ ⎠
(*)
Lấy tuỳ ý xX∈ nếu
( )
f xn
≥
thì
( )()
1
1
nn
f xn nfx
+
= +≥ =
còn nếu
()
f xn
<

thì ắt phải tồn tại
2
n
in≤
sao cho:
()
1
22
nn
ii
fx
−
≤<

Từ đẳng thức (*) suy ra:
() ()
1
1
22
2
nn
n
i
f xfx
+
+
−
==

hoặc

() ()
1
1
21
2
nn
n
i
f xfx
+
+
−
=≥


Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 14

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:
( ) ( )
1nn
f xfx
+
≤



Ta hãy chứng minh rằng
( ) ( )

lim
n
n
f xfx
→∞
=

Nếu
()
fx<+∞
thì với
n
đủ lớn
f
(
x
) <
n
, cho nên tồn tại
i
để:
()
1

22
nn
ii
fx
−
≤<

, do đó
()
1
2
n
n
i
fx
−
=

chứng tỏ rằng:
() () ()
1
0
2
n
n
fx fx n−≤→→∞

Nếu
()
fx=+∞
thì
( )
, f xn n≥∀
, cho nên
( )
n
fx n= →∞

.
Vậy trong mọi trường hợp:
( ) ( )
n
f xfx
→
.
¾
Bây giờ giả sử
f
(
x
) bất kỳ, ta đặt:

() ()
{ }
max ; 0
fx fx
+
=
,
( ) ( )
{ }
max ; 0
fx fx
−
=−

Ta có
() () ( )

f xfxfx
+−
=−
, các hàm số ,
f f
+ −
đo được không âm, cho
nên theo trên có hai dãy hàm bậc thang đo được
n
f
+
và
n
f
−
hội tụ tới
f
+
và
f
−
. Đặt
() () ( )
nn n
f xfxfx
+−
=−
thì
{ }
n

f
là dãy hàm bậc thang đo được, và
() ()
lim
n
n
f xfx
→∞
=

2.1.5. Hội tụ hầu khắp nơi
Định nghĩa.
Dãy hàm {
f
n
} đo được trên
X
gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm
f
nếu tồn tại tập con
A

X⊆
và
( )
0A
µ
=
sao cho:
( )()

lim
n
n
f xfx
→∞
=
với mọi
\xXA∈

2.1.6. Hội tụ theo độ đo
Định nghĩa.
Cho
f, f
n
, (
n
= 1, 2, …) là các hàm đo được trên
A

∈

F.
Ta nói
rằng dãy hàm
{ }
n
f
hội tụ theo độ đo
µ
đến

f
và ký hiệu
n
f f
µ
⎯⎯→
nếu với
mọi số 0
ε
>
ta có:
( ) ( )
{ }
lim : 0
n
n
xAfx fx
µε
→∞
∈ −≥=

2.1.7. Định lý Egorov

Cho một dãy hàm số
n
f
đo được , hữu hạn hầu khắp nơi và hội tụ hầu
khắp nơi trên một tập đo được A có độ đo
( )
A

µ
< ∞
. Với mỗi
0
ε
>
tồn tại
một tập đo được
BA⊆
sao cho
( )
\AB
µ ε
<
và dãy
n
f
hội tụ đều trên tập B.
Nói vắn tắt, mọi sự hội tụ trên một tập có độ đo hữu hạn có thể biến thành
hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập có độ đo nhỏ tuỳ ý.

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 15

Chứng minh
Không giảm tính tổng quát ta có thể giả thiết các
( )
n
f x

hữu hạn khắp nơi
và hội tụ khắp nơi trên
A
.
Cho
()
f x
là giới hạn của dãy
( )
n
f x
. Đặt

() ()
1
:
k
ni
in
AxAfxfx
k
∞
=
⎧⎫
=∈ − <
⎨⎬
⎩⎭
U

ta thấy rằng nếu

x A∈
thì với mỗi
k
phải tồn tại một
n
nào đó để
k
n
x A∈
. Vậy
với mọi
k


k
n
in
AA
∞
=
=
U

Nhưng rõ ràng
12
...
kk
AA⊆⊆
, cho nên
( )

( )
lim
k
n
n
A A
µµ
→∞
=
và với
0
ε
>

cho trước có thể tìm
k
n
để
()
\
2
k
k
n
k
AA
ε
µ
<
.Khi ấy đặt:

1
k
k
n
k
BA
∞
=
=
I
ta có
()
1
\\
k
k
n
k
AB AA
∞
=
=
U
, nên
()
()
11
\\
2
k

k
n
k
kk
AB AA
ε
µµ ε
∞∞
==
≤ <=
∑∑

Dễ thấy rằng dãy
()
n
f x
hội tụ đều trên tập
B
, vì với mọi
k
cho trước:

() ()
1
k
k
ni
xB xA fx fx
k
∈⇒∈ ⇒ − <

với mọi
k
in≥
.
2.2. Tích phân Lebesgue
2.2.1. Tích phân của hàm bậc thang đo được không âm
Định nghĩa.
Giả sử (
X
,
F
,
µ
) là một không gian độ đo và
:fX→

là hàm
bậc thang đo được không âm. Viết
f
dưới dạng:

f(x)
=
()
1
i
n
iA
i
x

αχ
=
∑

với
i
α
∈

,
i
A ∈
F,

i=1,……n,

ij
AA∩ =∅
với
ij≠
và
1
n
i
i
XA
=
=
U

Ta gọi tổng
()
1
n
ii
i
aA
µ
=
∑
(*) là tích phân của
f
(theo độ đo) trên
X
và ký
hiệu là
X
fd
µ
∫
hay đơn giản là
X
f
∫
khi
µ
đã cố định.
Khi tổng (*) hữu hạn ta nói
f
khả tích trên

X
.

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 16

Nhận xét:
Giả sử
f
có biểu diễn khác:

f(x)
=
()
1
j
m
jB
j
x
βχ
=
∑

với
j
β
∈


,
j
B ∈
F,

j =1,……m,

ij
BB∩ =∅
với
ij
≠
và
1
n
j
j
XB
=
=
U
.
Khi đó:
()
11
mm
iiij ij
jj
AAAA B AB
==

⎛⎞
=∩=∩ = ∩
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
UU
trong đó các tập
ij
AB
∩

rời nhau nên:

()
()
111
nnm
ii i i j
iij
AAB
αµ α µ
===
⎡ ⎤
=∩
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑∑∑
()
11
nm

ii j
ij
AB
αµ
==
=∩
∑∑

và cũng như thế:

()
1
m
j j
j
B
βµ
=
∑
()
11
mn
j ij
ji
AB
βµ
==
=∩
∑∑
.

Mặt khác:

ij
α β
=
nếu
ij
AB∩≠∅

Thật vậy trong trường hợp này với
0
ij
x AB
∈ ∩
ta có
()
0
ij
fx
αβ
= =
.
Do đó:
()
1
n
ii
i
A
αµ

=
∑
=
()
1
m
j j
j
B
βµ
=
∑
.
Vậy tích phân của một hàm bậc thang đo được không âm bao giờ cũng
được xác định một cách duy nhất.
2.2.2. Tích phân của hàm đo được không âm
Định nghĩa.
Giả sử
:
fX
+
→

là hàm đo được không âm. Ta gọi tích phân
của
f
trên
X
mà ký hiệu bởi
X

fd
µ
∫
là
lim
n
n
X
f d
µ
→∞
∫

Ở đây
{ }
n
f
là một dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm hội tụ
tới
f
.
Khi
X
fd
µ
∫
hữu hạn ta nói
f
khả tích trên
X

.
Nhận xét
1)
()
XXX
f gd fd gd
µ µµ
+=+
∫∫∫

với
f
và
g
là các hàm đo được không âm trên
X
.

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào

GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 17

2)
XX
fdfd
α µα µ
=
∫∫

với mọi

0
α
>
và mọi
f
đo được không âm trên
X

2.2.3. Tích phân của hàm đo được tuỳ ý
Định nghĩa.
Giả sử
:
fX
→

là hàm đo được tuỳ ý.
Viết
f ff
+−
=−
với
{ } { }
max ,0 , max ,0 .fff f
+−
==−

đó là các hàm đo được không âm.
Nếu cả hai tích phân
X
f d

µ
+
∫
và
X
f d
µ
−
∫
không đồng thời bằng
+∞
, ta có
thể đặt:
XX X
fdfdfd
µµµ
+−
=−
∫∫ ∫
và gọi là tích phân của
f
trên
X
.
Khi cả hai
X
f d
µ
+
∫

và
X
f d
µ
−
∫
đều hữu hạn,
f
sẽ gọi là khả tích trên
X
.
2.2.4. Định lý

Nếu f là hàm đo được trên X và A, B là các tập rời nhau,
, AB∈
F
thì:


AB A B
fdfdfd
µµµ
∪
=+
∫∫∫

miễn là vế trái hoặc vế phải có nghĩa.
Chứng minh
¾
f là hàm bậc thang đo được không âm trên

AB
∪

()
1
,
i
n
iE i
i
f xE
αχ
=
=
∑
rời nhau,
1
n
i
i
EAB
=
= ∪
U

Ta có:
()()
ii i
EAE BE=∩ ∪∩

và
A, B
rời nhau nên
( )
i
AE∩
và
()
i
BE∩

cũng rời nhau.
()
1
n
ii
i
AB
f E
αµ
=
∪
=
∑
∫
()()
1
n
ii i
i

AE BE
αµ
=
⎡ ⎤
=∩∪∩
⎣ ⎦
∑


() ()
11
nn
iiii
ii
AE BE
αµ αµ
==
=∩+∩
∑∑
AB
f f
=+
∫ ∫

¾
f là hàm đo được không âm

Khi đó tồn tại một dãy hàm bậc thang đo được không âm
{ }
,

nn
f ff


Ta có

nnn
AB A B
f ff
∪
=+
∫∫∫

Cho
n
→∞
ta có:

AB A B
f ff
∪
=+
∫∫∫