Day ti so bang nhau

Date

DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

“tailieumontoan.com”

I. Lý Thuyêt

II. Bài tâp

- Nếu có n tỉ số bằng nhau (n ≥ 2 ) :

 Dạng 1: Tìm các giá trị
2 3 1
Bài 1. Tìm các số x, y, z biết rằng = =
.

a1 a2 a3
a
= = = ...= n thì
b1 b2 b3
bn

x

a 1 a i a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n k 1a 1 + k 2 a 2 + ... + kn a n
= =
=
b1 bi b1 + b2 + b3 + ... + bn k 1 b1 + k 2 b2 + .... + kn bn
Với n ∈ N , n ≥ 2, ki ≠ 0, i ∈ {1, 2,3,...., n }
(nếu đặt dấu "− " trước số hạng trên của tỉ số nào thì

cũng đặt dấu "− " trước số hạng dưới của tỉ số đó).
- Ta gọi tính chất này là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng
rãi để từ một tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những
tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc
số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ
kiện của bài tốn.

Tìm x, y, z trong các trường hợp:
a) 2x − 3 y + 4z =
5.

y

z

b) x 2 y 2 z 2 = 36.

Lời giải
2 3 1
x y z
a) Cách 1: Từ = = ⇒ = = .
2 3 1
x y z
Đặt

x
2

=

y

=

3

z
1

= k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = k .

Thay vào 2x − 3 y + 4z =
5, suy ra:

2.2k − 3.3k + 4k =
5⇒k =
−5
Do đó: x =
−10, y =
−15, z =
−5.

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
−1
2 3 1
4
9
4
4−9+4

= = =
=
= =
=
.
x y z 2x 3 y 4z 2x − 3 y + 4z 5
Suy ra: x =
−10, y =
−15, z =
−5.
b) Từ
Đặt

x
2

2

x
=

3

=

y

y

=

3

=

z
1

1

z

⇒

x
2

=

y
3

=

z
1

.

= k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = k .

Thay vào x 2 y 2 z 2 = 36 ta được:

( 2k ) ( 3k )
2

2

k 2 = 36 ⇔ k 6 = 36 ⇔ k = ±1.

Với k = 1, suy ra: x = 2, y = 3, z = 1.
Với k = - 1, suy ra: x = -2, y = -3, z = -1.
Vậy các cặp (x, y, z) là (2; 3; 1), (-2; -3; -1).

Cách 2: Từ

y z
4
9
1
= = ⇒ 2 = 2 =2
2 3 1
x
y
z

x

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

3

 4 
4 9 1
36
36
⇒ 2  =
==
. 2. 2 =
1
2
2 2 2
36
x y z
x y z
x 
3

 4 
Suy ra  2  =⇔
1
x=
±2
x 

Xét x = 0, từ đề bài suy ra y = z = 0.
Bộ (x; y; z) là (0; 0; 0) thỏa mãn.
Xét x ≠ 0 ⇒ y , z , x + y + z ≠ 0 . Theo tính chất dãy
tỉ số bằng nhau, ta có:

y
x
z
=
=
= x + y +z
y +z + 1 x +z + 1 x + y −2
x + y +z
=
( y + z + 1) + (x + z + 1) + (x + y − 2 )

Với x = 2 suy ra y = 3, z = 1.
Với x = - 2 suy ra y = -3, z = -1

Nhận xét:Trong câu a, b cách 1 trong ta đặt dãy tỉ số
bằng nhau bằng k, rồi rút z, y, z theo k. Sau đó thay vào
đề bài. Trong cách 2 sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
x + y +z
1
=
=
(do x + y + z ≠ 0 )
nhau sẽ nhanh hơn.
2 (x + y + z ) 2
Bài 2. Tìm cặp số x, y thỏa mãn:
Do x + y + z =
0, 5 , thay kết quả này vào đề bài ta
5x + 3 3 y − 8 5x + 9 y − 21
= =

y
x
z
9
5
8x
được: = = = 0, 5
0, 5 − x + 1 0, 5 − y + 1 0, 5 − z − 2
Lời giải

Cách 1: Xét 5x + 9 y − 21 =
0 thì
=
x
mãn đầu bài

−3
8
, thỏa
=
,y
5
3

−3
8
Xét 5x + 9 y − 21 ≠ 0 thì x ≠
, y ≠ , theo tính
5
3

chất của dãy tính tỉ số bằng nhau:

5x + 3 3 y − 8 9 y − 24 5x + 9 y − 21
= = =
9
5
15
24
5x + 9 y − 21
=
8x
 −3 8 
Suy ra:=
x 3,=
y 6. Vậy cặp (x, y) là  ;  , ( 3;6 ) .
 5 3
5x + 3 3 y − 8 5x + 9 y − 21
Cách 2: Đặt = =
= k.
9
5
8x
Suy ra
5x = 9k − 3, 3 y = 5k + 8, 5x + 9 y − 21 = 8kx

⇒ 8k ( x − 3 ) = 0 ⇒ k = 0 ∨ x = 3

 3 8
Với k = 0, suy ra ( x ; y ) =  − ;  .
 5 3

Với x = 3, suy ra ( x ; y ) = ( 3;6 ) .
 −3 8 
;  , ( 3;6 ) .
 5 3

Vậy cặp (x, y) là 

Nhận xét: Trong cách một dùng tỉ số bằng nhau dễ xảy
ra sai sót là thiếu trường hợp. Cách 2 khắc phục được khả
năng thiếu trường hợp.
Bài 3. Tìm x, y, z biết

y
x
z
=
=
= x + y +z
y +z + 1 x +z + 1 x + y −2

Lời giải

⇔

x

1, 5 − x

=

y

1, 5 − y

=

z

−1, 5 − z

= 0, 5.

1 1 1
Vậy bộ (x, y, z) là ( 0;0;0 ) ,  ; ; −  .
2 2 2
Nhận xét: Trong lời giải trên xét trường hợp x = 0, từ
đó tìm được bộ giá trị (x; y; z). Sau đó xét trường hợp
x ≠ 0 . Trong quá trình giải chúng ta hay xét thiếu
trường hợp x = 0
1 1 1
Bài 4. Cho + + =
3 và 2x =
4z .
−3 y =

x

y

z

Tìm x, y, z

Lời giải
Cách 1. Từ 2x =
4z
−3 y =
2 −3 4
2−3+4
3
= = =
= =1
1
1
1
1 1 1 3
+ +

⇔

x

y

z

x

y

z

Suy ra:
1
1
1
2x = 1 ⇒ x = ; −3 y = 1 ⇒ y =− ;4z = 1 ⇒ z =
2
3
4
 1 −1 1 
Vậy bộ (x, y, z) là  ; ;  .
2 3 4

1

Cách 2. Đặt 2x =
−3 y =
4z =
k
⇒
1

x

1

=
2k ,

x

+

1

y

+

1

z

Suy ra:=
x

1

y

=
−3k ,

1

z

=
4k . Thay vào

3 , suy ra 2k − 3k + 4k = 3 ⇔ k = 1.
=
1
−1
1
=
,y
=
,z
.
2
3
4

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


Bài 5. Tìm các số x, y, z thỏa mãn

xy

yz

x2 + y2 +z2

zx

= = =
2 y + 4x 4z + 6 y 6x + 2z

2 2 + 42 + 62

Bài 7. Cho
x
=

.

Cho A=

−x +1

)

10

Xét a + b + c = 0 suy ra: a + b = -c
a + b −c
⇒x =
= =
−1

Xét x = 0 thì y = z = 0 khi đó 2y + 4x = 0 (vơ lý)
Vậy x , y , z ≠ 0 từ đầu bài suy ra:
2 y + 4x 4z + 6 y 6x + 2z
= = =

yz

2

Lời giải

Lời giải

xy

(x

a +b b +c c +a
, (a , b , c ≠ 0 ) .
= =
c
a
b

zx

2 2 + 42 + 62
x2 + y2 +z2

c

c

(

Do đó A =x 2 − x + 1

) =( 1 + 1 + 1)
10

10

=3 10

Vậy a + b + c ≠ 0 theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ta có:
x y y z z x
a + b b + c c + a (a + b ) + ( b + c ) + (c + a )
2
2
2
=
x
= = =
2 4 6
2 4 6 1 2 +4 +6
c
a
b
c +a +b
Suy ra: = = ⇒ = = = . 2
x y z
x y z 2 x + y2 +z2
2 (a + b + c )
= = 2
2
2

a +b +c
1 2 3
1+2 +3
và
x,
y,
z
>
0
⇒ = = = 2
10
10
x y z x + y2 +z2
Suy ra: A =x 2 − x + 1 =( 4 − 1 + 1 ) =3 10
⇔

2

+

4

=

4

+

6

=

6

+

2

=

2 2 + 42 + 62
x2 + y2 +z2

( 1)

(

)

2
Mọi trường hợp ta đều được A = 310
 1 + 2 2 + 32 
1 + 2 2 + 32
⇒ 2 = 2 = 2 = 2
=

Bài 8. Cho dãy tỷ số bằng nhau:
x
y
z

x + y 2 + z 2  x 2 + y 2 + z 2 
2012a + b + c + d a + 2012b + c + d
=

1 + 2 2 + 32  1 + 2 2 + 32
a
b
1
0
⇒ 2
−
=


2
2  2
2
2

a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d
x + y +z x + y +z

= =
c
d


1 + 2 2 + 32
1 + 2 2 + 32
1

0
⇒ 2
=
≠
do
a
b
b
c
c
d
d +a
+
+
+




Tính M =
+
+
+
x + y2 +z2
x2 + y2 +z2


c +d d +a a +b b +c
2
2

1
2
3
Lời giải
⇒ 2 = 2 = 2 =1
x
y
z
Ta có:
2012a + b + c + d a + 2012b + c + d
⇒ x = 1, y = 2, z = 3 (do x , y , z > 0 )
=
a
b
Vậy bộ (x, y, z) là ( 1;2;3 ) .
a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d
= =
c
d
 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
2012a + b + c + d
a + 2012b + c + d
Bài 6. Cho tỉ lệ thức
⇒
=
− 2011
− 2011

1

22

x +y x −y
=
x +z x −z
Tính M =

32

( x ≠ ±z ; x ≠ 0; z ≠ 0 )

2014 y 2 + 2015 yz + 2016z 2
2015 y 2 + 2016 yz + 2017z 2

Lời giải:
Từ tỉ lệ thức:

x + y x − y x + y + x − y 2x
=
=
= = 1
x + z x − z x + z + x − z 2x
⇒ x + y = x + z ⇒ y = z . Do đó:

a
b
a + b + 2012c + d
a + b + c + 2012d
=
=

− 2011
− 2011
c
d
a +b +c +d a +b +c +d
⇒
=

a
b
a +b +c +d a +b +c +d
= =
(*)
c
d
+ Nếu a + b + c + d ≠ 0 Từ (*) suy ra a = b = c = d
Khi đó M = 1 + 1 +1 +1 = 4
+ Nếu
a + b + c + d =0 ⇒ a + b =− (c + d ) ; a + c =− ( b + d ) ;

2014 y 2 + 2015 yz + 2016z 2 6045 y 2 2015
=
M
= =
.
2015 y 2 + 2016 yz + 2017z 2 6048 y 2 2016

a + d =− ( b + c ) .
Khi đó M = - 1 - 1 – 1 – 1 = - 4
Vậy M = 4 hoặc M = -4

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


Bài 9. Cho x, y, z > 0 và dãy tỉ số bằng nhau:
2 y + z − x 2z − y + x 2x + y − z
= =

x

Tính P =

y

z

( 3x − 2 y )( 3y − 2z )( 3z − 2x )
( 3x − z )( 3y − x )( 3z − y )
Lời giải

Từ giả thiết
2 y + z − x 2z − y + x 2x + y − z
= =

x

y

z

2x + 2 y + 2z y + 3z x + 3 y z + 3x
=
= = = = 2
x + y +z
x +y
x +z
y +z

2z y − z 2z + y − z y + z
⇒= =
=
x
z
x +z
x +z
y
z
+
2z
Vậy:
.
=
x
x +z

(do

x ≠ −z )

Bài 11. Cho các số thực a, b, c, x, y, z khác 0 thỏa mãn

y
x
z
.
= =
a + 2b + c 2a + b − c 4a − b + c
Chứng minh rằng:

a

b

c

= =
.
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4y + z

Lời giải
y
x
z
=
= =
.
Đặt k
a + 2b + c 2a + b − c 4a − b + c

y + 3z = 2x + 2 y
y = 3z − 2x

2x = 3z − y



⇒ x + 3 y = 2x + 2z ⇔ x = 3 y − 2z ⇔ 2z = 3 y − x
z + 3x = 2 y + 2z
z = 3x − 2 y
 2 y = 3x − z
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:



2y
x
z
− 2x )
( 3x − 2 y )( 3y − 2z )( 3z =
x .y .z
1 =
=
k =
=
⇒P
=
a + 2b + c 4a + 2b − 2c 4a − 4b + c
( 3x − z )( 3y − x )( 3z − y ) 2 y .2z .2x 8
x + y +z
=
(a + 2b + c ) + ( 4a + 2b − 2c ) + ( 4a − 4b + c )
 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài 10. Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn
x + 2y + z
=
( 1)
a
b
c
9a
.
= =
2016 2015 2014
y
2x
z
k
=
= =
2
2a + 4b + 2c 2a + b − c 4a − 4b + c
Chứng minh rằng: 4 (a − b )( b − c ) = (a − c ) .
2x + y + z
Lời giải
=
( 2a + 4b + 2c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c )
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x + y − z
a
b
c
=

(2)
= =
9b
2016 2015 2014
4y
4x
z
a −b
a −c
b −c
k = =
=
= =
4a + 8b + 4c 8a + 4b − 4c 4a − 4b + c
2016 − 2015 2016 − 2014 2015 − 2014
4x − 4 y + z
a −b a −c b −c
=
= = =
1
2
1
( 4a + 8b + 4c ) − ( 8a + 4b − 4c ) + ( 4a − 4b + c )

2
4x − 4 y + z
2 (a − b ) =a − c
⇒
⇒ 4 (a − b )( b − c ) = (a − c )
=

(3 )
9b

2 ( b − c ) =a − c
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
y2
y2
2
2
Bài 11. Biết x + xy + = 2015; z + = 1009,
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4y + z
3
3
= =
9a
9b
9c
2
2
x + xz =
+z
1006, x ≠ 0.x ≠ −z .
a
b
c
.
⇒
=
=
2z y + z

Chứng minh rằng:
.
=
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4y + z
x
x +z
Bài 12. Cho các số dương a, b, c, x, y, z và
Lời giải

x 2 − yz ≠ 0; y 2 − zx ≠ 0; y 2 − zx ≠ 0 , thỏa mãn

Vì 1009 + 1006 = 2015 nên

x 2 + xy +

y2
3

= z2 +

⇔ x ( y − z ) = 2z 2 ⇒

y2

2z

x

3
=

+ x 2 + xz + z 2 .

y −z
z

(do x ≠ 0, z ≠ 0 )

x 2 − yz y 2 − zx z 2 − xy
= =
.
a
b
c
a 2 − bc b 2 − ca c 2 − ab
Chứng minh rằng: = =
x
y
z

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


Lời giải

Từ đầu bài đặt

Có 369 khơng chia hết cho 72 và 936  72 ⇒ Số phải
tìm là 936 .

a
b
c
k =
=
=
2
2
2
x − yz y − xz z − xy

Vậy số cần tìm là 936 .
Bài 14: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4

a
x − 2x yz + y 2 z 2
bc
= 2 2
3
y z − xy − xz 3 + x 2 yz
2

⇒ k2 =
4

=

Hỏi rằng ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỷ lệ với

2

a 2 − bc
x ( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz )

số nào?
Lời giải
A

( 1)

k2 =

b 2 − ca
y ( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz )

c 2 − ab
k =
z ( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz )
2

(2) ;
(2)

Từ (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh.
 Dạng 4: Giải các bài tốn thực tế
Bài 13: Tìm các số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội
của 72 và 3 chữ số xếp theo thứ tự tăng dần tỷ lệ
với 1, 2, 3 .
Lời giải
Gọi ba chữ số cần tìm xếp theo thứ tự tăng dần là

a , b , c (a , b , c ∈ N , 0 < a , b , c ≤ 9 )

Vì 3 chữ số xếp theo thứ tự tăng dần tỷ lệ với 1, 2, 3

a b c
nên = =
1 2 3
Mà số phải tìm chia hết cho 72 ⇒ a + b + c  9 (1)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

a

b

c

= = =
1 2 3

Do đó

a
1

=

b

c

Tương tự ta được:

a +b +c

Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác và ha , hb , hc tương
ứng là ba đường cao của tam giác đó.
( a , b , c , ha , hb , hc > 0 )
Coi S là diện tích của tam giác trên ( S > 0 ).
Vì độ dài ba cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4 nên

a b c
= = = k (k ≠ 0)(1) ⇒ a = 2k ; b = 3k ; c = 4k (k ≠ 0)
2 3 4
.ha b=
.hb c=
.hc 2.S
Diện tích tam giác là: a=
Thay =
a 2=
k ; b 3=
k ; c 4k

vào

(2)

ta được:

2k .ha = 3k .hb = 4k .hc ⇒ 2ha = 3hb = 4hc

h
3hb 4hc
h
h
=
⇒ a = b = c
12
12
12
6
4
3
Vậy ba đường cao tỷ lệ với 6;4;3 .
⇒

2ha

=

Bài 15: Lớp 7B có 51 học sinh được chia làm 3 tổ. Nếu
tổ 1 thêm 1 học sinh, tổ 2 bớt đi 5 học sinh, tổ 3 thêm

1 học sinh thì số học sinh tổ 1, 2, 3 tỷ lệ nghịch với
15, 20, 12 . Tìm số học sinh của mỗi tổ?

6

Lời giải

a +b +c

Gọi số học sinh tổ 1, 2, 3 lần lượt là: x, y, z (học sinh)

6

⇒ a + b + c = 6a ⇒ a + b + c  6(2)
Từ (1) và (2)
⇒ a + b + c = 18 ⇒ a = 3; b = 6; c = 9
Lại có số phải tìm chia hết cho 72 nên là số chẵn
nên ta có các số 396 hoặc 936

C

a

B

(x , y ,z ∈ N

*

; x , y , z < 51

)

Lớp 7B có 51 học sinh ⇒ x + y + z =
51
Khi tổ 1 thêm 1 học sinh, tổ 2 bớt đi 5 học sinh, tổ 3
thêm 1 học sinh thì số học sinh tổ 1, 2, 3 tỷ lệ nghịch

với 15, 20, 12 nên ta có:

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


15(x + 1)= 20(y − 5)= 12(z + 1)
⇒

⇔

15(x + 1) 20(y − 5) 12(z + 1)
=
=
60
60
60

x +1

=

y −5

=

z +1

4
3
5

⇒ x= 15; y= 17; z= 19

=

x + y +z −3
12

=

51 − 3
=4
12

Bài 1. Tìm x , y, z biết rằng:

a

a) =

2

Bài 16: Vậy số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 lần lượt là: 15; 17; 19
(học sinh). Một cửa hàng có ba bao gạo, tổng khối lượng của
ba bao gạo là 186 kg , giá tiền mỗi kg gạo trong ba bao gạo
2
là như nhau. Sau một ngày bán hàng thì của hàng cịn lại
3
3
1
bao thứ nhất,

bao thứ hai và
bao thứ ba. Số tiền bán
5
3
được của ba bao thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỷ lệ với 2,3, 2 .

Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu kg
gạo ở mỗi bao?
Lời giải

b

c

108
và a 2 − b 2 + 2c 2 =
=
3 4

b) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x 2 + 2 y 2 − 3z 2 =
−100
Bài 2. Tìm x , y, z biết rằng:

a

a) =

2

b)

b

c

=
3 4

và x.y.z = 648

40
20
28
và x.y.z = 22400
= =
x − 30 y − 15 z − 21

a c
= , Chứng minh rằng:
b d
2a + 5b 2c + 5d
=
3a − 4b 3c − 4d

Bài 3. Cho

Bài 4. Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn
gạo
ở
bao

thứ
nhất,
hai,
ba
là
kg
3
=
a2 2 a=
a2 a4
1a3 ; a3
x, y, z(kg )(0 < x, y, z < 186)
a3 +a 3 +a 3 a
Tổng khối lượng 3 bao gạo là 186 kg nên ta có: Chứng tỏa: 1 3 2 3 3 3 = 1
a2 + a3 + a4
a4
x+y+z =
186
a c
2
Bài 5. Cho = . Chứng minh rằng:
Sau một ngày bán hàng thì của hàng cịn lại bao thứ nhất,
b d
3
ac 2009a 2 + 2010c 2
1
3
bao thứ hai và
bao thứ ba nên cửa hàng bán được số bd = 2009b 2 + 2010d 2
3

5
kg gạo ở bao thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: Bài 6. Cho a , b , c đôi một khác nhau và thỏa mãn

Gọi số

x 2 y 2z
; ; .
3 3 5

Số tiền bán được của ba bao gạo tỷ lệ với 2,3,2 và giá tiền
mỗi kg gạo của ba bao gạo là như nhau nên số kg gạo bán
được của ba bao gạo tỷ lệ với
x 2 y 2z
2 x 2 y 2z
⇒ :
:
= 2 :3:2 ⇔
=
=
3 3 5
12
9 10

2,3,2

a + b b + c c + a . Tính giá trị của biểu thức
= =
c
a
b


a  b  c 
P =+
1 b 1 + c 1 + a .





Bài 7. Cho ∆ABC có các góc A , B ,C tỉ lệ với 7, 5,3 .
Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với các số nào?
Bài 8. Ba đơn vị cùng xây dựng chung 1 chiếc cầu hết 340

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

triệu, đơn vị thứ nhất có 8 xe và cách cầu 1,5 km, đơn vị thứ

x y z 186
= = =
= 6 ⇒ x = 72; y = 54; z = 60
12 9 10 31

hai có 6 xe và cách cầu 3km, đơn vị thứ 3 có 4 xe và cách cầu

1 km. Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiều tiền cho việc xây
cầu biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch
với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu ?

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. a) Ta có:

a

b

c

a2

b2

c2

= = ⇒
= =
2 3 4
4
9
16

a 2 b 2 c 2 a 2 − b 2 + 2c 2 108
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = =
= = 4
4
9
16
4 − 9 + 32

27
Do đó:

a2
4

b2
9

c2

=4 ⇒ a 2 =16 ⇒ a =±4
=4 ⇒ b 2 =36 ⇒ b =±6
4⇒c2 =
64 ⇒ c =±8
=

16
Vậy a = 4, b = 6, c = 8 hoặc a = -4, b = -6, c = -8.
2
x y z
x2 y
z2
b) Ta có: x : y : z = 3: 4: 5 nên ==
=
>
==
3 4 5
9
16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x2

=
9
Do đó:

x2
9

y2
16

z2

y2

2x 2 + 2 y 2 − 3z 2 −100
= =
=
= 4
16 25
18 + 32 − 75
−25

z2

=⇒
±6

4 x2 =
36 ⇒ x =
4 y2 =
64 ⇒ y =
=⇒
±8
=4 ⇒ z 2 =100 ⇒ z =±10

25
Vậy x = 6, x = 8, z = 10 hoặc x = -6, y = -8, z = -10.
x y z
Bài 2. a) Cách 1: Đặt = =
= k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k.
2 3 4

Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648

⇒ 24k 3 = 648 ⇒ k 3 =

648
= 27 ⇒ k = 3
24

Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14

x y z
Cách 2: Từ = =
2 3 4
3

x y z xyz 648
x
⇒  = ⋅ ⋅ =
=
= 27
24
 2  2 3 4 24
x3
⇒
= 27 ⇒ x 3 = 216 ⇒ x = 6
8

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


Từ đó tìm được y = 9; z = 12.

x − 30 y − 15 z − 21
x 3 y 3 z 3
x
y
z
=
=
⇒
− =
− =
− ⇒
=
=

40
20
28
40 4 20 4 28 4
40 20 28

b, Từ giả thiết suy ra :

 x = 40k
x
y
z

Đặt : = = = k ⇒  y =
20k
40 20 28
 z = 28k


Mà: x. =
y.z 22400 ⇒ ( 40k ) . ( 20k ) . ( 28=
k ) 22400 ⇒ 22400
=
k 22400 ⇒=
k 1
=
=
k 40
 x 40


Do đó:  y = 20k = 20 ⇒ x = 40, y = 20, z = 28
 z 28
=
=
k 28


Bài 3. Đặt

a c
= = k ⇒ a = bk , c = dk
b d

2a + 5b 2bk + 5b b ( 2k + 5 ) 2k + 5
=
Ta có: = =
3a − 4b 3bk − 4b b ( 3k − 4 ) 3k − 4
2c + 5d 2dk + 5d d ( 2k + 5 ) 2k + 5
= =
=
3c − 4d
3dk − 4d
d ( 3k − 4 ) 3k − 4

Từ (1) và (2) ta có

( 1)

(2)

2a + 5b 2c + 5d
=
3a − 4b 3c − 4d

Bài 4. Từ
a1 a2
(1)
=
a2 a3
a
a
a33 = a2 a4 ⇒ 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3 ⇒

a1 a2 a3
a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1
Từ (1) và (2) suy ra a = a = a ⇒ a 3 = a 3 = a 3 = a ⋅ a ⋅ a = a (3)
2
3
4
2
3
4
2
3
4
4

a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có: =
= =
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4
2

2

a c
a c a  c 
a.c a 2 c 2
Bài 5. Từ giả thiết ta có: = ⇒ . =
=
⇒
= =
b d
b d  b   d 
b.d b 2 d 2
a.c 2010c 2 2009a 2 2010c 2 + 2009a 2
⇒ =
=
=
b.d 2010d 2 2009b 2 2010d 2 + 2009b 2

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗


a+b
b+c
c+a

a+b b+c c+a
1
1
⇒
+=
+=
+1
= =
c
a
b
c
a
b
a+b+c a+b+c a+b+c
(*)
⇒
=
=
c
a
b
0 ⇒ a + b =−c; a + c =−b; b + c =−a
+) Xét a + b + c =
a + b b + c a + c −c −a −b −abc
⋅
=⋅ ⋅
= =
−1
P= ⋅

b
c
a
b c a
abc
+) Xét a + b + c ≠ 0 Từ (*) ta có : a =b =c ⇒ P =8
Bài 6.Từ

, B
, C
 1 ( 00 < A
 < 1800 )
, C
, B
, C
 và A
, B
Bài 7. Gọi ba góc trong và ngồi của ∆ABC lần lượt là A
1
1
 C

 B
A
=
 +C
Theo bài ra ta có = =
và 
A+ B
1800

7 5 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 
 +C
 1800

 C
A B
A+ B
 = 360
 = 600 ; C
A = 7.12 0 = 840 ; B
= = =
=
= 120 ⇒ 
7 5 3
7+ 5+3
15
0
0
0
 1 = 1800 − 360 = 1440
 1 = 1800 − 600 = 1200 ; C
A1 = 180 − 84 = 96 ; B
⇒

Vậy các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với 4 : 5 : 6.
Bài 8. Gọi số tiền mà mỗi đơn vị thi công phải trả cho việc xây dựng cầu là x, y, z (triệu) ( x, y, z > 0 )
Vì ba đơn vị cùng xây dựng chung 1 chiếc cầu hết 340 triệu nên x + y + z =
340

Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ thuận nghịch với khoảng cách mỗi đơn vị đến nơi xây cầu nên ta có:
x.1,5 y.3 z.1
x y z
= = =
> ==
8
6
4
8 3 6
x y z x + y + z 340
=
= 20
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = =
8 3 6
17
17
x y z x + y + z 340
= = =
=
= 20 ⇒ x = 160; y = 60; z = 120.
8 3 6
17
17
Vậy số tiền mà mỗi đơn vị thi công phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 160;60;120 (triệu)

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗