skkn phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng

A. MỞ ĐẦU
Trong quá trình giảng dạy cho học sinh lớp 7 về giải các bài toán tỉ
lệ thức và dãy tỉ số bằng tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc khai
thác đề bài đó là từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức
giữa hai tỉ số trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được
số hạng thứ tư. Việc nghiên cứu tỉ lệ thức giúp cho học sinh giải tốt các
bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch trong đại số, còn trong hình
học để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng thì không thể thiếu
kiến thức về tỉ lệ thức.
Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã khai thác các kiến thức cơ
bản trong SGK kết hợp với việc nghiên cứu các tài liệu rút ra được kinh
nghiệm viết thành chuyên đề: ” Phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh
qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng”.
1
B. NỘI DUNG.
I. Ví dụ giải mẫu và lời bình.
VD: Cho tỉ lệ thức:
1≠=
d
c
b
a
với a, b, c, d ≠ 0
CMR:
c
dc
a
ba −
=
−
Lời giải

Cách 1:
bcad
d
c
b
a
=⇒=
Xét tích: (a-b)c = ac-bc = ac-ad = a(c-d)
Vậy (a-b)c = a(c-d) =
c
dc
a
ba −
=
−
Lời bình: Trong cách này để chứng minh tỉ lệ thức
c
dc
a
ba −
=
−
ta
chứng minh:
(a-b)c = a(c-d)
Cách 2: Ta đặt:
kdckbak
d
c
b

a
==⇒== ;
thế thì:
k
k
kb
kb
kb
bkb
a
ba 1)1( −
=
−
=
−
=
−
(1)
k
k
kd
kd
kd
dkd
c
dc 1)1( −
=
−
=
−

=
−
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
c
dc
a
ba −
=
−
2
Lời bình: Trong cách giải này để chứng minh tỉ lệ thức
c
dc
a
ba −
=
−
ta
chứng minh hai tỉ số ở 2 vế cùng bằng 1 tỉ số thứ ba. Để làm được điều
đó ta đã đặt giá trị chung của các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính
giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Cách 3:
Từ
dc
ba
d
b
c
a

d
c
b
a
−
−
==⇒=
Vậy:
c
dc
a
ba
c
a
dc
ba −
=
−
⇒=
−
−
Lời bình: Trong cách giải này khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã
cho ta dùng tính chất của dãy tỉ số bằng. Cuối cùng lại hoán vị các trung
tỉ của tỉ lệ thức mới được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh.
Cách 4:
Vì:
d
c
b
a

=
nên
c
d
a
b
=
Ta có:
c
dc
c
d
a
b
a
b
a
a
a
ba −
=−=−=−=
−
11
Vậy:
c
dc
a
ba −
=
−

Lời bình: Trong cách này ta đã biến đổi tỉ số ở vế trái (của một tỉ lệ
thức cần chứng minh) thành vế phải đó cũng là cách thường dùng để
chứng minh một đẳng thức nói chung.
Cách 5:
3
Ta có:
⇔−=−⇔=⇔=
c
d
a
b
c
d
a
b
d
c
b
a
11
c
dc
a
ba −
=
−
Lời bình: Trong cách giải này từ tỉ lệ thức đã cho ta đã biến đổi dần
thành tỉ lệ thức phải chứng minh bằng cách dùng các tính chất hoán vị,
tính chất của đẳng thức,
Trên đây là 5 cách giải chứng minh 1 tỉ lệ thức tạm gọi là 5 phương

pháp chứng minh tỉ lệ thức. Tuy nhiên vào bài toán cụ thể ta có thể áp
dụng phương pháp nào cho đơn giản và hiệu quả.
4
II. Bài tập áp dụng và hướng đề xuất bài toán mới.
Bài toán 1: Cho
a
x
k
a
=
;
b
y
k
b
=
. Chứng minh rằng:
y
x
b
a
=
2
2
Lời giải
Từ
kxa
a
x
k

a
=⇒=
2
Từ
kyb
b
y
k
b
=⇒=
2
Ta có:
y
x
ky
kx
b
a
==
2
2
(đpcm)
Nhận xét 1: Thay a bởi a
2
Thay b bởi b
2
Ta có bài toán mới: Cho
2
2
a

x
k
a
=
và
2
2
b
y
k
b
=
. CMR:
y
x
b
a
=
4
4
Nhận xét 2: Thay a bởi a
n
và b bởi b
n
. Ta có bài toán tổng quát sau:
Cho
n
n
a
x

k
a
=
và
n
n
b
y
k
b
=
. CMR:
y
x
b
a
n
n
=
2
2
Bài toán 2: Cho
d
c
b
a
=
(
dc
5

3
±≠
)
CMR:
dc
ba
dc
ba
35
35
35
35
−
−
=
+
+
Lời giải
Từ
d
c
b
a
=

==⇒=⇒
d
b
c
a

d
b
c
a
3
3
5
5
dc
ba
dc
ba
35
35
35
35
−
−
=
+
+
Nhận xét: Lời giải của bài toán trên cho ta nhiều bài toán mới sau:
5
Bài 1: Cho
d
c
b
a
=
. CMR:

dycx
dycx
byax
byax
−
+
=
−
+
với giá trị các tỉ số đều có
nghĩa.
Bài 2. Cho
d
c
b
a
=
.CMR: (a+b)(c-d) = (a-b)(c+d)
Bài 3: Cho
d
c
b
a
=
và xb+yd ≠ 0 (x, y ∈ Q).
CMR:
ydxb
ycxa
b
a

+
+
=
.
Bài 4: CMR: Nếu
d
c
b
a
=
thì
22
2
22
2
811
37
811
37
dc
cdc
ba
aba
−
+
=
−
+
.
Bài 5: Cho

d
c
b
a
=
. CMR: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bài 6: Cho
d
c
b
a
=
. CMR:
44
44
4
dc
ba
dc
ba
+
+
=






−

−
Bài toán 3: Cho
d
c
b
a
=
với b+d ≠ 0
CMR:
2
2
22
22
)(
)(
db
ca
db
ca
+
+
=
+
+
Lời giải
Từ
d
c
b
a

=

db
ca
d
c
b
a
+
+
==⇒
2
2
2
2
2
2
22
)(
)(
)()(
db
ca
d
c
b
a
db
ca
d

c
b
a
+
+
==⇒






+
+
==⇒
Vậy:
2
2
22
22
)(
)(
db
ca
db
ca
+
+
=
+

+
Nhận xét 1:
d
c
b
a
=
nên:
bd
ac
d
c
b
a
b
a
==






.
2
6
Ta có bài tập mới:
Cho
d
c

b
a
=
(b+d ≠ 0). CMR:
a.
bd
ca
db
ca .
22
22
=
+
+
b.
bd
ac
db
ca
=
+
+
2
2
)(
)(
Nhận xét 2: Với lời giải trên nếu: b-d ≠ 0. Ta cũng có bài tập mới:
Cho
d
c

b
a
=
(b-d ≠ 0)
CMR:
2
2
22
22
)(
)(
db
ca
db
ca
−
−
=
+
+
Nhận xét 3: Số mũ “2” trong bài tập trên có thể thay bằng số mũ n
(n∈N
*
)
Ta cũng có bài tập mới:
Cho
d
c
b
a

=
(b+d ≠ 0). CMR:
a.
2003
2003
20032003
20032003
)(
)(
db
ca
db
ca
+
+
=
+
+
b.
n
n
nn
nn
db
ca
db
ca
)(
)(
+

+
=
+
+
(với n∈N
*
)
Nhận xét 4: Nếu cho thêm điều kiện a = d ≠ 0 thì ta có bài tập mới:
Cho a, b ≠ 0 thoả mãn a
2
= bc. CMR:
b
c
ba
ca
=
+
+
22
22
7
Nhận xét 5: Từ
d
c
b
a
=
đổi chỗ 2 thành phần ⇒ bài tập mới.
Cho
d

c
b
a
=
(c ≠ 0; c+d ≠ 0). CMR:
a.
2
2
22
22
)(
)(
db
ba
dc
ba
+
+
=
+
+
b.
bd
ab
dc
ba
=
+
+
22

22
8
Bài toán 4: Cho
a
c
c
b
b
a
==
và a+b+c ≠ 0. CMR: a = b = c.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
a
c
c
b
b
a
==

1=
++
++
===⇒
acb
cba
a
c
c

b
b
a
ba
b
a
=⇒= 1
cb
c
b
=⇒= 1
ac
a
c
=⇒= 1
Do đó: a = b = c
Cách 2: Đặt
a
c
c
b
b
a
==
= k. Ta có:
a = kb; b = kc; c = ka.
Do đó: a = kb = k(kc) = k[k(ka)] = k
3
a ⇒ k
3

= 1⇒ k = 1
a
c
c
b
b
a
==
= 1 ⇒ a = b = c
Cách 3:
a
c
c
b
b
a
==
⇒
=
a
c
c
b
b
a

11
33
=⇒=







⇒






b
a
b
a
b
a
Ta có:
a
c
c
b
b
a
==
= 1 ⇒ a = b = c
Nhận xét: Qua việc nghiên cứu lời giải của bài toán trên ta có các bài
toán sau:
Bài1. Cho

a
c
c
b
b
a
==
(a+b+c ≠ 0) và a = 2003. Tính b; c?
9
Bài 2. Cho
a
c
c
b
b
a
==
(a+b+c ≠ 0). Tính giá trị của
2004
200322
b
cba
M =
Bài 3. Cho
a
d
d
c
c
b

b
a
===
trong đó: (a+b+c +d ≠ 0).
Tính giá trị của biểu thức: M =
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
− 2222
Bài 4: Cho
a
e
e
d
d

c
c
b
b
a
====
trong đó (a+b+c+d+e ≠ 0). Tính giá trị của
biểu thức:
A =
dbc
ae
acb
ed
eba
dc
ead
cb
edc
ba
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+

+
++
+ 22222
Mở rộng bài toán 4 thành bài toán tổng quát như sau:
Cho
1
1
3
2
2
1

a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
====
−
và a
1
+a
2
+ +a

n-1
+a
n
≠ 0
Tính: a.
2
21
22
2
1
2
) (

n
n
aaa
aaa
+++
+++
b.
7
21
77
2
1
7
) (

n
n

aaa
aaa
+++
+++
Bài toán 5: CMR nếu
d
c
c
b
b
a
==
thì
d
a
dcb
cba
=
++
++
333
333
Lời giải
Từ
d
c
c
b
b
a

==

=






=






=






⇒
333
d
c
c
b
b

a
d
a
d
c
c
b
b
a
=
Vậy:
3
3
3
3
3
3
d
c
c
b
b
a
==
=
d
a
dcb
cba
=

++
++
333
333
10
Nhận xét 1: Từ
d
c
c
b
b
a
==
có thể thay: b
2
= ac và c
2
= bd.
Ta có bài tập sau:
Bài 1: Cho b
2
= ac và c
2
= bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ d; b
3
+c
3
≠ d
3
.

CMR:
3
333
333






−+
−+
=
−+
−+
dcb
cba
dcb
cba
Bài 2: Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d thoả mãn b
2
= ac; c
2
= bd.
và b
3
+27c
3
+8d
3

≠ 0. CMR:
3
333
333
827
827
dcb
cba
d
a
++
++
=
Nhận xét 2: Có thể mở rộng tỉ số như sau:
Bài 1: CMR: Nếu
m
d
d
c
c
b
b
a
===
thì
m
a
mdcb
dcba
=

+++
+++
4444
4444
Bài 2: Cho b
2
= ac; c
2
= bd; d
2
= cm.
CM:
3
3
3333
3333
)(
)(
mdcb
dcba
mdcb
dcba
−−+
−−+
=
−−+
−−+
Nhận xét 3:
Có thể tổng quát bài toán trên như sau:
Cho

1
1
3
2
2
1

+
−
===
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
. CMR:
1
1
13
2
21

+
+
=
+++
+++
n
n
nn
n
n
nnn
a
a
aaa
aaa
11
C. KẾT LUẬN
Trên đây là một số bài toán xoay quanh vấn đề về “Tỉ lệ thức và
dãy tỉ số bằng” và khai thác lời giải của một bài toán từ đó phân tích
thành bài toán tổng quát việc khai thác giúp cho các em phát triển tư duy
sáng tạo, linh hoạt và khả năng tự nghiên cứu.
Qua quá trình giảng dạy đúc rút kinh nghiệm của chính bản thân
cũng như sự trao đổi kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp, tôi đã tìm ra
nhiều điều bổ ích, rút ra những phương pháp nghiên cứu vấn đề theo
cách toàn diện nhất.
Về phía các em học sinh tôi nhận thấy các em đã phần nào thể hiện
được yêu cầu ở nhiều mức độ khác nhau. Phần lớn là các em khai thác
lời giải tốt. Tuy nhiên khả năng khái quát còn hạn chế.
Các bài toán mà tôi đưa ra trên đây có thể đã không khai thác được
hết các tình huống hoặc chưa thật điển hình. Vì vậy rất mong nhận được

sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Tân tiến, ngày tháng năm 200
Người thực hiện
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT CỦA
TRƯỜNG THCS ………………….
12
13