PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN TL ÔN THI THPTQG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 33 trang )
Tài Liệu Ơn Thi Group
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Khơng có điều kiện nghiệm
Câu 1.
(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình sin
A. x k 4 , k .
B. x k 2 , k .
x
1 là
2
C. x k 2 , k . D. x
2
k 2 , k .
Lời giải
x
x
1 k 2 x k 4 , k
2
2 2
Phương trình tương đương sin
Câu 2.
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình sin x 1 có nghiệm là
3
5
5
A. x k 2 .
B. x
C. x
D. x 2 .
k .
k 2 .
3
6
6
3
Lời giải
5
k 2
sin x 1 x k 2 x
3
3 2
6
Câu 3.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình sin 2 x 1 .
k
A. x k 2 .
B. x k .
C. x k 2 .
D. x
.
2
4
4
2
Lời giải
Ta có: sin 2 x 1 2 x
Câu 4.
k .
2
k 2 x
4
k .
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2 sin x 3 0 .
A. x .
3
x arcsin 2 k 2
B.
k .
3
x arcsin k 2
2
3
x arcsin 2 k 2
C.
k .
3
x arcsin k 2
2
D. x .
E
N
T
H
I.
N
A
IL
IE
U
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình sin x 1 có một nghiệm là
A. x .
B. x .
C. x .
D. x .
2
2
3
Lời giải
Ta có sin x 1 x k 2 k .
2
T
Câu 5.
3
1 nên phương trình vơ nghiệm.
2
O
Ta có: 2sin x 3 0 sin x
T
Lời giải
Tài Liệu Ơn Thi Group
Do đó x
Câu 6.
là một nghiệm của phương trình sin x 1 .
2
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x
A. x
3
k 2 .
B. x
3
k .
x k
6
C.
.
5
x k
6
Lời giải
3
có nghiệm là:
2
x k 2
3
D.
.
x 2 k 2
3
x k 2
3
3
Ta có sin x
, với k .
x 2 k 2
2
3
Câu 7.
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình sin x sin 30
là
A. S 30 k 2 | k 150 k 2 | k .
B. S 30 k 2 | k .
C. S 30 k 360 | k .
D. S 30 360 | k 150 360 | k .
Câu 8.
Lời giải
x 30 k 360
x 30 k 360
Ta có sin x sin 30
k .
x 180 30 k 360
x 150 k 360
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình sin x 1 là
A.
2
k , k .
B.
2
k , k .
C.
2
k 2 , k . D.
2
k 2 , k .
Lời giải
Ta có sin x 1 x
2
k 2 , k .
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x 1
6
Câu 9.
.
3
k 2 k . D. x
6
k 2 k .
5
k 2 k .
6
Lời giải
T
3
k k . B. x
E
C. x
I.
N
A. x
O
IE
U
IL
2
B. S k 2 ;
k 2 , k .
3
3
A
5
A. S k 2 ;
k 2 , k .
6
6
T
Câu 10.
N
T
H
Ta có sin x 1 x k 2 x k 2 k .
6 2
3
6
(CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2 sin x 1 0
có tập nghiệm là:
Tài Liệu Ôn Thi Group
C. S k 2 ; k 2 , k .
6
6
1
D. S k 2 , k .
2
Lời giải
x 6 k 2
1
Ta có: 2 sin x 1 0 sin x sin x sin
k .
2
6
x 5 k 2
6
Câu 11.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương trình
2sin x 1 0 có nghiệm là:
x 6 k 2
A.
x 7 k 2
6
x 6 k 2
B.
x 7 k 2
6
x 6 k 2
C.
x 5 k 2
6
x 6 k
D.
x 7 k
6
Lời giải
Chọn B
Ta có: 2sin x 1 0 sin x
1
sin
2
6
x 6 k 2
k
7
x
k 2
6
(SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình 2 sin x 3 0
có tập nghiệm là:
A. k 2 , k . B. k 2 , k .
6
3
5
2
C. k 2 ,
D. k 2 ,
k 2 , k .
k 2 , k .
6
3
6
3
Lời giải
N
T
H
I.
N
E
T
x k 2
3
3
2sin x 3 0 sin x
k .
2
x 2 k 2
3
A
IL
IE
U
O
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S k 2 ,
k 2 , k
3
3
T
Câu 12.
Tài Liệu Ơn Thi Group
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13.
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm
M, N ?
A. 2sin2 x 1.
B. 2cos2x 1.
C. 2sin x 1.
Lời giải
D. 2cos x 1.
Chọn C
1
2
với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vng góc với trục tung tại điểm
giác cơ bản: sin x
3
Cho phương trình sin 2 x sin x
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; của
4
4
phương trình trên.
7
3
A.
.
B. .
C.
.
D. .
2
2
4
Lời giải
Chọn B
3
2x x
k 2
x k 2
4
4
x k 2
3
2 x x
k 2
6
3
4
4
k .
T
3
Ta có: sin 2 x sin x
4
4
E
N
O
1
k 0 . Vì k nên khơng có giá trị k .
2
6
k
2
k .
3
IL
A
+ Xét x
IE
U
Do 0 x 0 k 2
T
H
I.
N
+ Xét x k 2 k .
T
Câu 14.
1
2sin x 1 ⇒ Đáp án. C.
2
Tài Liệu Ôn Thi Group
Do 0 x 0
Với k 0 x
Với k 1 x
k
6
6
2
1
5
k . Vì k nên có hai giá trị k là: k 0; k 1 .
3
4
4
.
5
.
6
Do đó trên khoảng 0; phương trình đã cho có hai nghiệm x
6
và x
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng 0; là:
Câu 15.
6
5
.
6
5
.
6
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2 x m 2 5 0 có nghiệm?
A. 6.
B. 2.
C. 1.
D. 7.
Lời giải
Chọn B
Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2 x
Vì sin 2 x 1;1 nên
m2 5
3
2 2 m 2
m2 5
1;1 m2 2;8
3
2 m 2 2
Vậy có 2 giá trị.
Câu 16.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x m 1 0 có nghiệm?
A. 7
B. 6
C. 3
D. 5
Lời giải
3sin x m 1 0 sin x
1 m
1 m
, để có nghiệm ta có 1
1 2 m 4
3
3
Nên có 7 giá trị nguyên từ 2; đến 4 .
(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 2 x 0 trên 0;2 .
A. 2 .
B. 1 .
D. 3 .
C. 4 .
Lời giải
E
4
k1
2
I.
N
k1 .
H
2
k1 x
T
N
Vì cos 2 x 1;1 k 0 cos 2 x 0 2 x
T
Ta có sin cos2 x 0 cos2 x k k
IE
U
O
x 0; 2 k1 0;1; 2;3 .
A
IL
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên 0; 2 .
T
Câu 17.
Tài Liệu Ơn Thi Group
Câu 18.
3
Phương trình sin 3 x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
3
2
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
Lời giải
0; ?
2
D. 2 .
3 x k 2
3
3
3
Ta có sin 3 x
sin 3 x sin
k
3
2
3
3
3 x k 2
3
3
2
2
x 9 k 3
k .
x k 2
3
3
2
2
2
2
1
13
k
0; 0
k
k . Do k k 1 .
9
3 2
9
3
2
3
12
4
Suy ra trường hợp này có nghiệm x
thỏa mãn.
9
+) TH1: x
2
2
1
1
0; 0 k
k . Do k k 0 . Suy ra
3
3 2
3
3
2
2
4
trường hợp này có nghiệm x thỏa mãn.
3
+) TH2: x
k
Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc khoảng 0; .
2
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình
2sin x 3 0 trên đoạn đoạn 0; 2 .
A. 3.
B. 1.
C. 4.
Lời giải
D. 2.
Chọn D
Chỉ có một nghiệm x
3
3
k 2
N
T
3
k 2 2
5
1
5
k k 0
3
6
6
0; 2
O
U
0 x 2 0
H
k 2
IE
3
IL
A
- Xét x
I.
N
E
x k 2
x k 2
3
3
3
2 sin x 3 0 sin x
sin x sin
,k
2
3
x k 2
x 2 k 2
3
3
T
Tự luận
T
Câu 19.
Tài Liệu Ôn Thi Group
- Xét x
2
k 2
3
0 x 2 0
2
2
4
1
2
k 2 2
k 2
k k 0
3
3
3
3
3
Chỉ có một nghiệm x
2
0; 2
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 .
Câu 20.
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình 2sin x 1 0 trên
3
đoạn ;10 là:
2
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
Lời giải
D. 21 .
x
k 2
1
6
Phương trình tương đương: sin x
, (k )
2
x 7 k 2
6
3
2
61
+ Với x k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k , k
6
2
6
3
12
0 k 5 , k . Do đó phương trình có 6 nghiệm.
7
3 7
4
53
+ Với x
k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k , k
6
2
6
3
12
1 k 4 , k . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
7
2
k 2
k 2 k k (vơ lí, do k , k ).
6
6
3
3
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn ;10 .
2
3
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x sin x
có tổng các
4
4
nghiệm thuộc khoảng 0; bằng
A.
7
.
2
B. .
C.
3
.
2
D.
4
.
O
N
T
E
I.
N
H
3
2x x
k 2
x k 2
3
4
4
Ta có sin 2 x sin x
k, l .
x l 2
4
4
2 x x l 2
6
3
4 4
T
Lời giải
6
l
2
2
0; 0 l
l 0; 1 .
3
6
3
IE
IL
A
x
U
Họ nghiệm x k 2 khơng có nghiệm nào thuộc khoảng 0; .
T
Câu 21.
Tài Liệu Ơn Thi Group
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng 0; là x
6
các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình này bằng .
Câu 22.
và x
5
. Từ đó suy ra tổng
6
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình
1
sin x trên đoạn ; .
2
2 2
A. S
5
.
6
B. S
3
C. S
.
2
.
D. S
6
.
Lời giải
x 2 k
1
6
Ta có: sin x
2
x 5 2k
6
k .
Vì x ; nên x S .
6
6
2 2
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình
3
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
sin 3 x
3
2
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
Lời giải
0; ?
2
D. 2 .
3 x k 2
3
3
3
Ta có: sin 3 x
k
3
2
3 x 4 k 2
3
3
2
2
2
x
k
3x
k 2
9
3
k
k .
3
2
x k
3 x k 2
3
3
4
Vì x 0; nên x , x
.
3
9
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng 0; .
2
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình 2 sin x 3 0 .
3
.
C.
E
2
.
3
4
.
3
D.
I.
N
H
B.
T
A. .
T
Tổng các nghiệm thuộc 0; của phương trình là:
O
U
IE
IL
A
x 3 k 2
3
.
2 sin x 3 0 sin x
sin
2
3
x 2 k 2
3
N
Lời giải
T
Câu 24.
Tài Liệu Ơn Thi Group
Các nghiệm của phương trình trong đoạn 0; là
Câu 25.
2
3
;
3
nên có tổng là
3
A.
2
B.
.
k với ,
2
thuộc khoảng ; . Khi đó, bằng
2 2
C. .
.
2
.
3
3
có hai cơng thức
2
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x
nghiệm dạng k , k
D.
3
.
Lời giải
2 x k 2
x k
x k
3
3
6
6
Ta có: sin 2 x
.
sin
2
3
2 x 4 k 2
x 2 k
x k
3
3
3
Vậy
Câu 26.
6
và
3
. Khi đó
2
.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình
1
sin x trên đoạn ; .
2
2 2
A. S
5
.
6
B. S
3
C. S
.
2
.
D. S
6
.
Lời giải
x 2 k
1
6
Ta có: sin x
2
x 5 2k
6
k .
Vì x ; nên x S .
6
6
2 2
IL
IE
U
O
N
T
H
B. Điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .
Lời giải
A
A. Điểm D , điểm C .
C. Điểm C , điểm F .
I.
N
E
T
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình 2sin x 1 0
được biểu diễn trên đường trịn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
T
Câu 27.
Tài Liệu Ôn Thi Group
x 6 k 2
1
Ta có 2 sin x 1 0 sin x
2
x 7 k 2
6
Với k 0 x
6
hoặc x
Điểm biểu diễn của x
Câu 28.
6
k
7
.
6
là F , điểm biểu diễn x
7
là E .
6
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình sin x 1
4
thuộc đoạn ; 2 là:
A. 3 .
C. 0 .
Lời giải
B. 2 .
D. 1 .
Ta có sin x 1 x k 2 x k 2 , k .
4
4 2
4
Suy ra số nghiệm thuộc ; 2 của phương trình là 1 .
Câu 29.
(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình 2 sin x 1 0 có bao nhiêu nghiệm
x 0; 2 ?
A. 2 nghiệm.
B. 1 nghiệm.
C. 4 nghiệm.
Lời giải
D. Vô số nghiệm.
x 6 k 2
1
Ta có: 2sin x 1 0 sin x
k .
2
x 5 k 2
6
Do x 0; 2 nên ta có x
6
;x
5
.
6
(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình sin 5 x sin x 0 có bao nhiêu nghiệm
thuộc đoạn 2018 ; 2018 ?
A. 20179 .
B. 20181 .
C. 16144 .
D. 16145 .
Lời giải
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
Ta có
T
Câu 30.
Tài Liệu Ôn Thi Group
x k 2
5 x x k 2
sin 5 x sin x 0 sin 5 x sin x
5 x x k 2
x k (*)
6
3
x k 2
5
x
m
6
x n
6
k
m .
n
2018 k 2 2018
4036 k 4036
5
12103
12113
Vì x 2018 ; 2018 nên 2018
m 2018
.
m
6
6
6
12107
12109
2018 6 n 2018
6 n 6
Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 .
nghiệm.
5
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn 0;
2
của phương trình 2sin x 1 0 là:
A. 3 .
B. 1.
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
x k 2
1
6
+ Phương trình tương đương sin x sin x sin
, k .
5
2
6
k 2
x
6
+ Với x k 2 , k .
6
5
5
1
7
Vì x 0; nên 0 k 2
, k k , k k 0;1 .
6
2
12
6
2
3
Suy ra: x ;
.
6 6
5
k 2 , k .
6
5
5
5
5
5
Vì x 0; nên 0
, k k , k k 0.
k 2
2
6
2
12
6
A
IL
E
I.
N
H
T
IE
U
O
N
5
.
6
5 3
Do đó x ; ;
.
6 6 6
Suy ra: x
T
+ Với x
Vậy số nghiệm của phương trình là 3 .
T
Câu 31.
Tài Liệu Ôn Thi Group
Câu 32.
(THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2 sin x 3 0 . Tổng
các nghiệm thuộc 0; của phương trình là:
A.
4
.
3
B. .
C.
3
.
2
.
3
D.
Lời giải
Chọn B
x k 2
3
3
.
2 sin x 3 0 sin x
sin
2
2
3
x k 2
3
Các nghiệm của phương trình trong đoạn 0; là
Câu 33.
2
3
;
3
nên có tổng là
3
2
.
3
(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng S của các nghiệm của phương
1
trình sin x trên đoạn ; .
2
2 2
A. S
6
.
B. S
3
C. S
.
2
.
D. S
5
.
6
Lời giải
Chọn A
x 2 k
1
6
Ta có: sin x
5
2
x 2k
6
k .
Vì x ; nên x S .
6
6
2 2
A
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
(Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình
3
2sin x 1 0 trên đoạn ;10 là:
2
A. 12 .
B. 11.
C. 20 .
D. 21 .
Lời giải
Chọn A
x 6 k 2
1
Phương trình tương đương: sin x
, ( k )
2
x 7 k 2
6
3
2
61
+ Với x k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k , k
6
2
6
3
12
0 k 5 , k . Do đó phương trình có 6 nghiệm.
7
3 7
4
53
+ Với x
, k
k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k
6
2
6
3
12
T
Câu 34.
Tài Liệu Ôn Thi Group
1 k 4 , k . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
7
2
k 2
k 2 k k (vơ lí, do k , k ).
6
6
3
3
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn
;10 .
2
Câu 35.
(THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình: 2 sin 2 x 3 0
3
có mấy nghiệm thuộc khoảng 0;3 .
A. 8 .
B. 6 .
C. 2 .
Lời giải
D. 4 .
Chọn B
2 x k 2
3
3 3
Ta có 2 sin 2 x 3 0 2sin 2 x
3
3 2
2 x k 2
3
3
x 3 k
4 7 3 5
, k . Vì x 0;3 nên x ;
;
; ; ; .
3 3 3 2 2 2
x k
2
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Khơng có điều kiện nghiệm
Câu 36.
2
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình cos x
4
2
là:
x k 2
A.
k Z B.
x k
2
x k
(k Z )
x k
2
x k
C.
(k Z )
x k 2
2
x k 2
D.
(k Z )
x k 2
2
Lời giải
Chọn D
E
I.
N
1
là
2
H
k
6
C. x
k 2
3
D. x
A
IL
Lời giải
Chọn A
k 2
6
O
B. x
U
2
k 2
3
IE
A. x
N
T
(THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình cos x
T
Câu 37.
T
x k 2
2
Phương trình cos x
cos x cos
(k Z ) .
x k 2
4
2
4
4
2
Tài Liệu Ơn Thi Group
2
1
2
Ta có: cos x cos x cos x
k 2
3
2
3
Câu 38.
k .
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình cos x 1 .
k
A. x
, k .
B. x k , k .
2
C. x k 2 , k . D. x k 2 , k .
2
Lời giải
Chọn
D.
Ta có cos x 1 x k 2 , k .
Câu 39.
(CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình cos x cos
3
có tất cả
các nghiệm là:
2
A. x
k 2 k B. x k k
3
3
C. x k 2 k
D. x k 2 k
3
3
Lời giải
Chọn C
Phương trình cos x cos
Câu 40.
3
x
3
k 2 k
(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos x 0 có nghiệm là:
A. x k k .
B. x k 2 k .
2
C. x k 2 k .
D. x k k .
2
Lời giải
Chọn A
Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x 0 x
2
k k . Do đó Chọn
A.
E
I.
N
H
T
N
O
U
IE
IL
x k
B.
k .
x k
2
x k 2
D.
k .
x k 2
2
Lời giải
A
2
là
cos x
4 2
x k 2
A.
k .
x k
2
x k
C.
k .
x k 2
2
T
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
T
Câu 41.
Tài Liệu Ôn Thi Group
x k 2
2
Phương trình cos x
cos x cos
k .
4 2
4
4 x k 2
2
Câu 42.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos
x
0.
3
k , k .
2
3
3
C. x
k 6 , k . D. x
k 3 , k .
2
2
Lời giải
A. x k , k .
cos
Câu 43.
B. x
x
x
3
0 k x
3k , k .
3
3 2
2
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 1 0 có nghiệm là:
A. x
C. x
6
6
k 2 , k .
B. x
2 , k . D. x
3
3
k 2 , k .
k , k .
Lời giải
Phương trình 2 cos x 1 0 cos x
Câu 44.
1
x k 2 , k .
2
3
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 2 0 có tất cả các nghiệm là
3
x 4 k 2
A.
,k .
x 3 k 2
4
x 4 k 2
B.
,k .
x k 2
4
x 4 k 2
C.
,k .
x 3 k 2
4
7
x 4 k 2
D.
,k .
x 7 k 2
4
Lời giải
E
I.
N
IL
IE
U
O
N
T
k 2
3
, k .
2
k 2
3
A
x
A. x k , k . B.
3
x
H
(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình 2 cos x 1 0
T
Câu 45.
T
x k 2
2
4
2 cos x 2 0 cos x
,k .
2
x k 2
4
Tài Liệu Ôn Thi Group
k
3
, k .
2
k
3
Lời giải
1
TXĐ: D . Ta có 2 cos x 1 0 cos x x k 2 , k .
2
3
x
C. x k 2, k . D.
3
x
Câu 46.
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos x 1 là:
A. x
2
k , k . B. x k 2 , k .
C. x k 2 , k . D. x k , k .
Lời giải
Phương trình cos x 1 x k 2 , k .
Câu 47.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình cos x
A. x k 2 ; k .
3
3
C. x
k 2 ; k .
4
cos x
2
có tập nghiệm là
2
B. x k ; k .
4
D. x k ; k .
3
Lời giải
2
3
3
k 2 , k .
cos x cos x
2
4
4
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S x
k 2 ; k .
4
Câu 48.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
A. cos x 1 x k 2 .
B. cos x 0 x
C. cos x 1 x k 2 . D. cos x 0 x
2
k .
k 2 .
2
Lời giải
E
I.
N
IE
(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác:
A
IL
2 cos x 2 0 có nghiệm là
T
Câu 49.
k .
U
cos x 1 x k 2
k .
H
k
T
2
N
O
cos x 0 x
k .
T
Ta có: cos x 1 x k 2
Tài Liệu Ôn Thi Group
x 4 k 2
A.
.
x k 2
4
3
x 4 k 2
x 4 k 2
B.
. C.
.
x 3 k 2
x 3 k 2
4
4
Lời giải
7
x 4 k 2
D.
.
x 7 k 2
4
2
3
3
cos
x
k 2
2
4
4
Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHỊNG - 2018) Tìm cơng thức nghiệm của phương trình
2 cos x 1 (với ).
Phương trình tương đương với cos x
x 3 k 2
A.
k .
x 2 k 2
3
x k 2
B.
k .
3
x k 2
x 3 k 2
C.
k
x k 2
3
x 3 k 2
D.
k .
x k 2
3
Lời giải
x 3 k 2
1
2 cos x 1 cos x x k 2
k .
2
3
x k 2
3
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 51.
(LỚP 11 THPT NGƠ QUYỀN HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để phương trình cos x m 0 vô nghiệm.
A. m ; 1 1;
B. m ( ; 1] [1; )
C. m 1;
D. m ( ; 1)
Lời giải
Chọn A
Do cos x 1 , x nên phương trình: cos x m 0 cos x m
I.
N
E
T
có nghiệm khi m 1 và vô nghiệm khi m 1 .
O
N
T
H
(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng ;
2 2
3
.
C. 0 .
Lời giải
D.
.
IE
IL
B.
6
A
A. .
U
của phương trình 4sin 2 2 x 1 0 bằng:
T
Câu 52.
Tài Liệu Ơn Thi Group
Ta có: 4 sin 2 2 x 1 0 2 1 cos 4 x 1 0 cos 4 x
1
x k
2
12
2
k .
x1 12
x
2
12 x x x x 0 .
Do x k ;
1
2
3
4
12
2 2 2
5
x3
12
5
x4
12
Câu 53.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình 2cos x 1 có
3
số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
A. 1
C. 0
Lời giải
B. 2
D. 3
Phương trình:
2
2cos x 1 cos x
3
3
2
x 3 2 k 2
x 6 k 2
k
k
x k 2
x 5 k 2
3
2
6
7
Vì x 0; 2 nên x ,
. Vậy số nghiệm phương trình là 2
6 6
Câu 54.
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x
x
m
A. 4.
k và x
Chọn
n
1
có dạng
2
k , k ; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m n bằng
B. 3.
C. 5.
Lời giải
D. 6.
D.
I.
N
E
T
2
2x
k 2
x k
1
2
3
3
cos 2 x cos 2 x cos
k
2
3
2 x 2 k 2
x k
3
3
Chọn B
T
N
O
U
IE
IL
D. 3
A
Phương trình 2cos x 1 có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
3
A. 1
B. 2
C. 0
Lời giải
T
Câu 55.
H
m n 33 6 .
Tài Liệu Ơn Thi Group
Phương trình:
2
2cos x 1 cos x
3
3
2
x 3 2 k 2
x 6 k 2
k
k
x k 2
x 5 k 2
3
2
6
7
Vì x 0; 2 nên x ,
. Vậy số nghiệm phương trình là 2
6 6
Câu 56.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cot x 3 có
3
k
k
dạng x
, k , m , n * và là phân số tối giản. Khi đó m n bằng
m n
n
A. 5 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 3 .
Lời giải
Ta có cot x 3 cot x cot x k x k , k .
3
3
6
3 6
6
m 6
Vậy
mn 5.
n 1
Câu 57.
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x 1 0 trong đoạn
0; là:
A. x .
B. x
11
.
12
C. x
2
.
3
5
.
6
D. x
Lời giải
2 x 3 k 2
x 6 k
1
Phương trình 2 cos 2 x 1 0 cos 2 x
.
2
2 x k 2
x k
3
6
E
I.
N
H
1
(2). Tập
2
3
k 2 , k . B. x k 2 , k .
A
A. x
IL
các nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
IE
U
O
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình cos 3 x 1 0 (1); cos 2 x
T
Câu 58.
5
.
6
T
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x 1 0 trong đoạn 0; là x
T
x
k
0
6
.
k 1
5
x
6
N
Xét x 0;
5
1
0 6 k
6 k6
mà k suy ra
1
7
0 k
k
6
6
6
Tài Liệu Ôn Thi Group
C. x
3
k 2 , k D. x
2
k 2 , k .
3
Lời giải
Ta có cos 3 x 1 0 cos 3 x 1 x k
2
, k .
3
1
2
2x
k 2 x k , k .
2
3
3
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1)
2
đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là x
k , k .
3
Câu 59. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của
1
một góc là nghiệm của phương trình cos 2 x .
2
2
2
A. , , .
B. , , ; , , .
3 6 6
3 3 3 3 6 6
cos 2 x
C. , , ; , , .
3 3 3 4 4 2
D. , , .
3 3 3
Lời giải
1
2
2x
k 2 x k , k .
2
3
3
2
Do số đo một góc là nghiệm nên x hoặc x
thỏa mãn.
3
3
2
Vậy tam giác có số đo ba góc là: , , hoặc , , .
3 3 3
3 6 6
Ta có: cos 2 x
Câu 60.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình 2 cos x 3
5
trên đoạn 0; là
2
A. 2 .
2 cos x 3 cos x
C. 4 .
Lời giải
B. 1.
D. 3 .
3
x k 2 , k .
2
6
E
I.
N
H
T
N
O
x k 2
1
3
Ta có cos x
, k .
2
x k 2
3
U
C. 3 .
Lời giải
IE
B. 2 .
IL
A. 4 .
1
thuộc đoạn 2 ; 2 là?
2
D. 1 .
A
(CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình cos x
T
Câu 61.
T
5
11 13
Mà x 0; và k nên x ;
;
.
6
2
6 6
Tài Liệu Ôn Thi Group
Xét x
3
Xét x
k 2 , do x 2 ; 2 và k nên 2
3
3
k 2 2 k 1 ; k 0 .
k 2 , do x 2 ; 2 và k nên 2
3
k 2 2 k 1 ; k 0 .
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn 2 ; 2 .
Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình cos 2 x cos x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
khoảng ; ?
B. 3 .
A. 2 .
C. 1.
D. 4 .
Lời giải
x k 2
Ta có cos 2 x cos x 0 cos 2 x cos x
k
x k 2
3
3
Câu 63.
x 3
Vì x
.
x
3
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x cos x 0
trên khoảng 0; 2 bằng T . Khi đó T có giá trị là:
A. T
7
.
6
B. T 2 .
C. T
4
.
3
D. T .
Lời giải
Ta có: cos 2 x cos x 0 cos 2 x cos x
x k 2
2 x x k 2
k 2
;k .
k 2 x
3
x
2 x x k 2
3
Vì x 0; 2 nên 0
k 2
2 0 k 3 .
3
Do k nên k 1; 2 x
H
T
N
U
O
D. 3 .
IE
C. 4 .
Lời giải
IL
5
2 cos x 3 trên đoạn 0; là
2
A. 2 .
B. 1.
I.
N
E
(THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình
A
Chọn D
T
Câu 64.
2 4
2 .
3
3
T
Vậy T
2
4
; x
.
3
3
Tài Liệu Ôn Thi Group
2 cos x 3 cos x
3
x k 2 , k .
2
6
5
11 13
Mà x 0; và k nên x ;
;
.
6
2
6 6
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Khơng có điều kiện nghiệm
Câu 65.
(THPT KIẾN AN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x m
, m .
A. x arctan m k hoặc x arctan m k , k .
B. x arctan m k , k .
C. x arctan m k 2 , k .
D. x arctan m k , k .
Lời giải
Ta có: tan x m x arctan m k , k .
Câu 66.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình tan x 3 có tập nghiệm là
A. k 2 , k .
3
Ta có tan x 3 tan x tan
Câu 67.
C. k , k .
3
Lời giải
B. .
3
x
3
D. k , k .
6
k , k .
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình tan 3x tan x là
k
k
A. x
B. x k , k .
C. x k 2 , k .
D. x
, k .
, k .
2
6
Lời giải
Ta có tan 3x tan x 3 x x k x
k
, k .
2
Trình bày lại
O
N
k
, k . Kết hợp điều kiện * suy ra x k , k
2
IE
U
Ta có tan 3x tan x 3 x x k x
T
H
I.
N
E
T
k
x 6 3
cos3x 0
ĐK:
*
cosx 0
x k
2
D. x 25 k 60 .
A
B. x 75 k180 .
C. x 75 k 60 .
Lời giải
T
A. x 60 k180 .
IL
Câu 68. Phương trình tan 3 x 15 3 có các nghiệm là:
Tài Liệu Ơn Thi Group
Chọn D
Ta có: tan 3 x 15 3 tan 3 x 15 tan 60 3 x 15 60 k180
x 25 k 60 k .
Câu 69.
Phương trình lượng giác:
A. x
3
k .
3. tan x 3 0 có nghiệm là:
B. x
3
k 2 .
C. x
6
k .
D. x
3
k .
Lời giải
Chọn D
3.tan x 3 0 tanx 3 x
Câu 70.
3
k .
Giải phương trình: tan 2 x 3 có nghiệm là:
A. x k .
B. x k .
3
3
C. x
3
k .
D. vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C
tan 2 x 3 tanx 3 x
Câu 71.
3
k , k .
Nghiệm của phương trình 3 3tan x 0 là:
A. x k .
B. x k .
C. x k .
6
2
3
Lời giải
D. x
2
k 2 .
Chọn A
3 3 tan x 0 tan x
Câu 72.
3
x k k .
3
6
(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình
A. x k k . B. x k k .
6
3
2
C. x k k . D. x k k .
3
6
2
Lời giải
3 tan 2 x 3 0 .
6
k
2
I.
N
k .
H
3
k x
T
N
3 tan 2 x 3 0 tan 2 x 3 2 x
E
T
Chọn D
B.
171
.
2
C. 45 .
D.
U
IE
190
.
2
A
A. 55 .
IL
Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình: tan x tan3x (1)
T
Câu 73.
O
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Tài Liệu Ôn Thi Group
Lời giải
Chọn C
x 2 k
cos x 0
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
*
k
cos 3x 0
x
6 3
Khi đó, phương trình (1) 3x x k x
k
so sánh với đk (*)
2
x k 2
x k 2 , x 0;30 k 0;...; 4 x 0; ; 2 ;....;9
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình (1) là: 45 .
Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương
nhỏ nhất?
A. tan 2 x 1 .
B. tan x 3 . C. cot x 0 .
4
Lời giải
D. cot x 3 .
Chọn A
A. tan 2 x 1 tan 2 x tan
4
2x
4
k x
8
(Với k 0 nên nghiệm dương bé nhất là x
k
8
2
k .
)
7
k k .
B. tan x 3 x k x
4
4 3
12
7
.
Nghiệm dương bé nhất là x
12
C. cot x 0 cos x 0 x
2
k k Nghiệm dương bé nhất là x
2
.
D. cot x 3 cot x cot x k k .
6
6
5
Chọn k 1 Nghiệm dương bé nhất là x
.
6
Vậy giá trị nhỏ nhất là x
8
nên ta chọn đáp án
A.
IL
IE
U
O
N
I.
N
H
T
3
được biểu diễn trên đường trịn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
3
A
tan x
E
T
(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
T
Câu 75.
Tài Liệu Ôn Thi Group
y
B
D
C
O
A'
A
x
F
E
B'
A. Điểm F , điểm D . B. Điểm C , điểm F .
C. Điểm C , điểm D , điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm F .
Lời giải
tan x
3
x k , k .
3
3
Với 0 x 2 x
Câu 76.
3
hoặc x
2
.
3
Số nghiệm của phương trình tan x tan
A. 4.
B. 1.
3
trên khoảng ; 2 là?
11
4
C. 2.
D. 3.
Lời Giải.
Chọn C
3
3
x
k k Z .
11
11
3
CASIO
kZ
Do x ; 2
k 2
0, 027
k 0;1.
xapxi
4 11
4
Ta có tan x tan
Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x tan x 0 trên nửa khoảng 0; bằng:
B. .
3
.
2
Lời giải:
D. 2 .
C.
T
5
.
2
E
A.
k
k
0 k 4
k 0;1; 2;3
4
3
Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0; là 0; ; ;
4 2 4
T
H
k
k
4
N
Ta có: tan 5 x tan x 0 tan 5 x tan x 5 x x k x
I.
N
Chọn C
A
IL
IE
U
O
Vì x 0; , suy ra 0
T
Câu 77.
