Chuyên đề Toán tìm x Toán lớp 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (761.95 KB, 84 trang )
1
CHUN ĐỀ. TỐN TÌM x
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Tốn tìm x là một trong các chủ đề thường. Để giải tốn tìm x học sinh phải có kĩ năng cộng, trừ,
nhân, chia các phân số, lũy thừa để giúp cho việc biến đổi đưa đẳng thức chứa x về dạng A.x = B từ
đó suy ra được x = B : A
Bài tốn tìm x đơi khi cịn kết hợp phép tính tổng các số , tổng các phân số, tổng các tích,tổng các lũy
thừa theo quy luật nên HS cần nắm vững và luyện thật chắc các bài tốn tính tổng theo quy luật.
II.BÀI TỐN MINH HỌA
Cấp độ 1
Bài 1: Tìm x, biết 4 – 2(x + 1) = 2
Hướng dẫn
4 – 2(x + 1) = 2 => 4 – 2x – 2 = 2 => x = 0
Bài 2. Tìm x biết: |2x – 3| - 1 = 2
Hướng dẫn
2x 3 3
x 3
|2x – 3| - 1 = 2 => |2x – 3| = 3 =>
2x 3 3 x 0
1
3
Bài 3. Tìm x, biết: 3 x + 16 = - 13,25
3
4
Hướng dẫn
3
10
67 -53
10
-53 67
1
3 x + 16 = - 13,25 => x + = => x = -
4
3
4
4
3
4 4
3
=>
10
x = -30 => x = -9
3
Bài 4: Tìm x biết: 60% x +
2
x = - 76
3
Hướng dẫn
x = - 60
Bài 5: Tìm x, biết:
a) 11 - (-53 + x) = 97
b) -(x + 84) + 213 = -16
Hướng dẫn
a) 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33
b) -(x + 84) + 213 = -16
2
(x 84) 16 213
(x 84) 229
x 84 229
x 229 84 145
Bài 6: Tìm x biết :
1
2
7
2 x + =
2
3
3
a)
b) 3 x 54 .8 : 4 18
Hướng dẫn
a)
1
1
1
2
2
10
2 x + = 4 2 x = 4 - 2 x =
2
2
2
3
3
3
TH1:
1
10
1 10
17
17
- 2x = 2x = - 2x =
x =
2
3
2
3
6
12
TH2:
1
10
1 10
23
23
- 2x = 2x = + 2x = x =
2
3
2
3
6
12
Vậy x=
17
23
; x =
12
12
b) 3 x 54 .8 : 4 18 =>
3x 54 .8 72 3x 54 9 3x 63 x 21
Vậy x = 21
Bài 7: Tìm x biết (
3x
1
+ 1) : (-4) = .
7
28
Hướng dẫn
(
3x
1
3x 1
+ 1) : (-4) =
1
7
28
7 7
3 x 6 x 2
Bài 8: Tìm số nguyên x, biết: 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
Hướng dẫn
a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 63
25 – (3x + 2) = 2016 : 63
25 – (3x + 2) = 32
3x + 2 = 25 – 32
3x + 2 = – 7
3x = – 9
3
x = – 3
Ở cấp độ 2, bài tốn tìm x đã bắt đầu đỏi hỏi mức độ khó hơn với việc cộng, trừ, nhân, chia nhiều
phân số một lúc, làm việc với các phép tính lũy thừa phức tạp hơn, đồng thời cũng địi hỏi kĩ năng tính
tốn, biến đổi, thứ tự thực hiện phép tính.
Bài 9: Tìm x biết
2 4 5
1
3
a/ x : 9 5 9 11
2 2 8 16 20
5 9 11
3
1
2
1
b/ 2x 2 4.
3
2
Hướng dẫn
a) Ta có
2 4 5
2 4 5
x
1 3 5 9 11
5
9 11 x 1
x :9
8
8 4
2 4 5
2 2 8 16 20
4
5 9 11
5 9 11
Vậy x = 2
b) Ta có
3
1
1
1
2
1
1 7
1
2x 2 4. 2x 4 4. 2x 4
3
3
8
3
2 2
2
1 7
2x 3 2
2x 1 7
3
2
1
7
23
23
Với 2x 3 2 2x 6 x 12
1
7
19
19
Với 2x 3 2 2x 6 x 12
4
Vậy x
23 19
;
12 12
Bài 10: Tìm x, biết 52 x3 3.52 52.2
Hướng dẫn
52 x3 3.52 52.2 => 52 x3 52.2 3.52 => 52 x3 53 => 2 x 3 3 => x 3
Bài 11. Tìm x, biết: (7x-11)3 = 25.52 + 200
Hướng dẫn
(7x - 11)3 = 25.5 2 + 200
=> (7x -11)3 = 32.25 + 200
=> (7x -11)3 = 800 + 200
=> (7x -11)3 = 1000 =103
=> 7x - 11 = 10 => 7x = 21 => x = 3
Bài 12: Tìm x, biết: 19x 2.5
2
:14 13 8
2
42
Hướng dẫn
19x 2.5 :14 13 8
2
2
42
x 14. 13 8 42 2.52 :19
x4
2
Bài 13: Tìm x biết : 2 x 15 2 x 15
5
3
Hướng dẫn
2 x 15
5
2 x 15
3
2 x 15 2 x 15
5
2 x 15 . 2 x 15
3
3
0
2
1 0
2 x 15 3 0
2 x 15 2 1 0
Nếu 2 x 15 0 x 7,5
2 x 15 1
x 8
2
2
Nếu 2 x 15 1 0 2 x 15 12
2 x 15 1 x 7
Vậy x 7;7,5;8
Bài 14: Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
5
Hướng dẫn
x 3 12
x 15
Biến đổi được : (x-3)2=144 122 ( 12) 2
x 3 12
x 9
Vì x là số tự nhiên nên x = - 9 (loại).
Vậy x = 15
5
7
1
3
Bài 15: Tìm x biết 2 2, 75 x 7 0,65
: 0, 07
4
200
8
2
Hướng dẫn
5
7
1
3
2 2, 75 x 7 0, 65
: 0, 07
4
200
8
2
5
437 7
x7
:
8
200 100
5
437 100
x7
.
8
200 7
5
437
x
7
8
14
5
535
x
8
14
535 5
:
x
14 8
1
x 61
7
Bài 16: Tìm x: 22x – 1 + 6.28 = 14.28
Hướng dẫn
22x – 1 + 6.28 = 14.28 => 2 2x-1 = 28.(14 – 6) = 2 11 => 2x – 1 = 11 =>x =6
Bài 17: Tìm số tự nhiên x biết:
a/ 23x + 52x = 2(5 2 + 23) – 33
b/ 260 : (x + 4) = 5(23 + 5) – 3(32 + 22)
c/ (3x – 4)10 – 3 = 1021
d/ (x2 + 4) (x + 2)
Hướng dẫn
a/ 23x + 52x = 2(5 2 + 23) – 33
=> 8x + 25x = 2(25 + 8) – 33
=> 33x = 2.33 – 33
=> 33x = 33
=> x = 1
b/ 260 : (x + 4) = 5(23 + 5) – 3(32 + 22)
6
=> 260 : (x + 4) = 5.13 – 3.13
=> 260 : (x + 4) = 2.13
=> x + 4 = 260 : 26
=> x + 4 = 10=> x = 6
c/ (3x – 4)10 – 3 = 1021
=> (3x – 4)10 = 1024
=> (3x – 4)10 = 210
=> 3x – 4 = 2
=> 3x = 6
=> x = 2
d/ (x2 + 4) (x + 2)
(x2 + 2x – 2x – 4 + 8) (x + 2)
[x(x + 2) – 2(x + 2) + 8] (x + 2)
8 (x + 2)
x + 2 {1 ; 2 ; 4 ; 8}.
Vậy x = 0 ; 2; 6
Ở cấp độ 3 này bài tốn tìm x đã địi hỏi HS phải có tư duy trong biến đổi biểu thức chứa x có sự kết
hợp với việc cộng trừ nhân chia một dãy các số (các tích), tính tổng (tích) các số hạng (số nguyên,
phân số, lũy thừa) theo quy luật, thực hiện tính biểu thức có giá trị tuyệt đối.
1
1
1
1
Bài 18. Tìm x biết: x : x : x : ... x :
511
2
4
8
512
Hướng dẫn
1
1
1
1
x : x : x : ... x :
511
2
4
8
512
x.2 + x.4 + x.8 + ...+ x.512 = 511
x(2+ 2 2 + 23 +2 4+....29) = 511
Tính được 2+ 22 + 2 3 +24+....29 = 2 10 - 2 =1022 từ đó tính được x = 0,5
x+2
5
1
-3
1
5
1
7
3
2
Ttừ đó ta có (x;y) = (-1;8) ; (3;4) ; (-7;2) ; (-3;-2)
2
2
2
...
Bài 19: Tìm x biết:
.462 0, 04 : ( x 1,05) : 0,12 19
19.21
11.13 13.15
7
Hướng dẫn
2
2
2
1 1
...
.462 .462 20
19.21
11.13 13.15
11 21
Ta có:
Suy ra: 20 0, 04 : ( x 1, 05) : 0,12 19
Hay 0,04 : ( x 1, 05) : 0,12 1 .
Từ đây tìm được x = - 43/ 60
Bài 20: Tìm x, biết: x x 1 x 2 ... x 30 1240
Hướng dẫn
x x 1 x 2 ... x 30 1240
x
x
... x 1 2 ... 30 1240
31 So hang
30.1 30
1240
2
31x 1240 31.15
31x
x
775
25
31
Bài 21: Tìm x biết 1 5 9 13 17 ... x 4950 .
Hướng dẫn
Ta có: 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 17=8+ 9...
Do vậy x = a + (a+1) (a N)
Nên 1 + 5 + 9 + 13 + 16 +...+ x = 1+2+3+4+5+6+7+...+a+(a+1) = 4950
Hay
(a+1)(a+1+1): 2 = 4950
(a+1)(a+2) = 9900 = 99.100
Suy ra: a = 98. Do đó: x = 98 + (98 + 1) = 197
Bài 22: Tìm x biết : x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147
Hướng dẫn
x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147
2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147
2014x + 2027091 = 2035147
2014x = 8056
x = 4 .Vậy x = 4
Bài 23: Tìm số tự nhiên x biết :
8
a) x (x 1) (x 2) (x 2010) 2029099
b) 2 4 6 8 2x 210
Hướng dẫn
a) x (x 1) (x 2) (x 2010) 2029099
2011x 1 2 2010 2029099
2011x
2010.2011
2029099
2
2011x 2029099 -
2010.2011
2
2010.2011
x 2029099 : 2011 4
2
b) 2 4 6 8 2x 210
2(1 2 3 x) 210
2
x( x 1)
210
2
x( x 1) 210
Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)
18
Bài 24: Tìm số tự nhiên x, biết: 5x.5x 1.5x 2 1000...0
: 2
Hướng dẫn
18
5x.5x 1.5x 2 1000...0
: 2
18c/sô 0
5x x 1 x 2 1018 : 218
18
53x 3
1018 10 10 10
. ... 518
218 2 2 2
Suy ra: 3x 3 18
Giải ra x = 5
Bài 25. Tìm số tự nhiên x biết: 2 x 2 x 1 2 x 2 ... 2 x 2015 2 2019 8
Hướng dẫn
9
x
2 2 x 1 2 x 2 ... 2 x 1015 2 2019 8
2 x 1 21 2 2 ... 2 2015 2 2019 8
1
2
Xet : C 1 2 2 ... 2
2015
2C 2 2 2 2 3 ... 2 2016
2C C 2 2016 1 C 2 2016 1
2 x (2 2016 1) 2 2019 8 2 2019 2 3 2 3 (2 2016 1)
2 x 23
x3
Bài 26: Tìm x, biết : (
1
1
1
22
+
+ . . . +
) . x =
1.2.3 2.3.4
8.9.10
45
Hướng dẫn
1
1
1
22
+
+ . . . +
) . x =
1.2.3
2.3.4
8.9.10
45
1 1
1
1
1
1
1
22
(
) . x =
2 1.2 2.3 2.3 3.4
8.9 9.10
45
1 1 1
22
( ) . x =
2 2 90
45
x = 2
Bài 27: Tìm x biết:
5
4 3 19
3
27 26
13 4 59 118
19
3
27
x
4
33
1
1
13 .16 14 .17
1
1
1
13 .15 14 .16 15 .17
Hướng dẫn
5
4 3 19
3
Tử số vế trái 27 26
= 1
13 4 59 118
19
Tử số vế phải
1
1
1 1 1 1 1
13.16 14.17 3 13 16 14 17
1 1 1 1 1
Mẫu số vế phải
2 13 16 14 17
1
3
27
x .
4
33
2 3
13
27 3
x . x
3 4
12
33 2
1
2
3
7
3, 75 : 2 .1, 25 . 0,8 1, 2 :
4
5
2
2
Bài 28: Tìm x biết
64
1
1
0,
75
x
2
10
Hướng dẫn
12 5 7 4 6 2
15
.4 . . .
5 4 2 5 5 3
4
64
9
x
4
9
1
16 64. x x
4
9
Bài 29: Cho:
A
1
1
1
1
3.8 8.13 13.18
33.38
1
1
1
1
1
B
3.10 10.17 17.24 24.31 31. 38
5 26
3
12
28 27 2 5.4
7
9
Tìm x biết:
88 x 4
B
A
Hướng dẫn
A =
1
1
1
1
1 1 1
...
3 . 8 8 . 13 13 . 18
33 . 38 5 3 38
B =
1
1
1
11 1
...
3 . 10 10 . 17
31 . 38 7 3 38
A 1 1 7
B 5
:
B 5 7 5
A 7
55 24
.9.2
5
63
=> 24
2 x 4 7
=>
55
5
11
1 x 15
x4
7 x 4 7
5
1 6 3 1 1 . 12
6 : 1 .
23
20 2 15 49
.x 2
Bài 30: Tìm x biết 3 16 7
1 2
96
4 1 . 10 5 2
3
5 11 11
3 9
Hướng dẫn
5
1 6 3 1 1 . 12
6 : 1 .
20 2 15 49
3 16 7
=
1 2
4 1 .10 5 2
3
5 11 11
3 9
11
=
=>
Bài 31: Tìm số nguyên x, biết:
x x x x
x
x
x
x
x
x 220
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39
Hướng dẫn
x x x x
x
x
x
x
x
x 220
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39
1
1
1
1
1 220
1 1 1 1 1
x
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39
1
1
1
1
1
1
1
1 220
1 1
2x
12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 39
1
1
1
1
1
1
1
1
1 220
1
2x
3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 39
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220
2x
3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 39
1 1 220
2x
3 13 39
2x.
10 220
39 39
2x
220 10
:
39 39
2x 22
x = 11
Bài 32: Tìm số tự nhiên x biết rằng x x 1 x 2 x 3 ... x 100 8080
Hướng dẫn
x x 1 x 2 x 3 ... x 100 8080 ( 1)
Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có 101x
=> Từ 1đến 100 có tổng
100.101
101.50 5050
2
12
=> Vế trái của (1) là 101x 5050 ta có 101x 5050 8080
101x 3030 x
3030
30 .
101
Vậy x 30 là số tự nhiên cần tìm
Bài 33: Tìm số tự nhiên x biết rằng:
1 1 1
2
2000
...
3 6 10
x x 1 2002
Hướng dẫn
Chia cả hai vế cho ta được:
1 1 1
2
2000
...
3 6 10
x x 1 2002
1 1 1000
2
x 1
2002
1
1
=> x = 2001
x 1 2002
5
7
1
3
Bài 34: Tìm x biết 2 2, 75 x 7 0,65
: 0, 07
4
200
8
2
Hướng dẫn
5
7
1
3
2 2, 75 x 7 0, 65
: 0, 07
4
200
8
2
5
437 7
x7
:
8
200 100
5
437 100
x7
.
8
200 7
5
437
x
7
8
14
5
535
x
8
14
535 5
x
:
14 8
1
x 61
7
Bài 35: Tìm x N biết a) 13 + 2 3 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2; b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Hướng dẫn
a) 13 + 23 + 3 3 + ...+ 103 = (x +1)2
=> ( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
=> 552 = ( x +1) 2
=> 55 = x +1
13
=> x = 55- 1
=> x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2
2
99 1
=>
1 = ( x - 2)2
2
=> 502 = ( x -2 )2
=> 50 = x -2
=> x = 50 + 2
=> x = 52 .
Bài 36: Tìm số tự nhiên x biết rằng:
1 1 1
2
2005
.
...
3 6 10
x. x 1 2007
Hướng dẫn
Vế trái viết dưới dạng:
2
2
2
2
1
1
1
x 1
1 1 1 1 1 1
1
...
2 ...
=2.
=
2.3 3.4 4.5
x x 1
x x 1
x 1
2 3 3 4 4 5
2 x 1
Vậy ta có:
x 1 2005
x 1 2007
2007 x 2007 2005x 2005
2 x 4012
x 2006
Bài 37: Tìm x biết: x . 1 1 ... 1 1 = 2012 2011 2010 ... 1
1
2
3
2012
2012 2013
2 3
Hướng dẫn
Biến đổi:
2012 2011 2010
1
2011
2010
1
2013 2013
2013 2013
...
1
1 ...
11
...
1
2
3
2012
2
3
2012
2
3
2012 2013
1
1
1 1
2013 ...
2012 2013
2 3
1
1 1 1
1
1
1 1
x 2013 ...
: ...
2013
2012 2013 2 3
2012 2013
2 3
2
2
2
...
.462 2, 04 : x 1,05 : 0,12 19
19.21
11.13 13.15
Bài 38: Tìm x biết:
Hướng dẫn
20 2, 04 : x 1, 05 : 0,12 19 2, 04 : x 1, 05 : 0,12 1 x 1, 05 17 x = 15,59
Bài 39:
14
a) Tìm số tự nhiên x , biết : (
1
1
1
23
+
+ . . . +
) . x =
1.2.3
2.3.4
8.9.10
45
b) Tìm các số a, b, c , d N , biết :
30
=
43 a
1
b
1
1
c
1
d
Hướng dẫn
1
1
1
1
1
1
23
1 1 1
23
a) (
) . x =
.( ) . x =
x = 2
...
2 1.2 2.3 2.3 3.4
9.10
45
2 2 90
45
b)
1
1
1
1
30
=
1
43
13
1
43
1
1
1
1
4
30
30
2
2
1
13
3
4
Bài 40: Tìm x biết a)
=> a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4
7 33 3333 333333 33333333
x.(
) 22
4 12 2020 303030 42424242
Hướng dẫn
Ta có
7 33 3333 333333 33333333
x.(
) 22
4 12 2020 303030 42424242
7 33 33 33 33
x.(
) 22
4 12 20 30 42
7
1
1
1
1
x.33.(
) 22
4
12 20 30 42
7
1 1 1 1 1 1 1 1
x.33.( ) 22
4
3 4 4 5 5 6 6 7
7
1 1
x.33.( ) 22
4
3 7
7
4
x.33. 22
4
21
-11.x = 22 x = - 2
Một số bài tìm giá trị x nguyên thuộc khoảng.
Bài 41: Tìm số tự nhiên x biết rằng:
4
x 5
11 20 11
Hướng dẫn
4
x 5
80 11x 100
80 11x 100
11 20 11
220 220 220
Vì x là số tự nhiên nên x = 8; x = 9
15
Bài 42. Tìm x Z biết (x + 5)(x - 2) < 0
Hướng dẫn
(x+5) ( x-2 ) < 0 =>( x+5 ) và (x-2 ) trái dấu
Mà x+5 > x-2 => x+5 > 0 và x-2 < 0
=> -5 < x < 2 => x = -4 hoặc -3;-2 ;-1 0; 1
3 6
1
2
1 3
2
3
Bài 43: Tìm tập hợp số nguyên x , biết : ( 1 ) : (1 2 20%) x 1 .1 3 : 2
4 4
5
5
5 4
11 21
Hướng dẫn
3
4
6
4
1
5
2
5
1 3
5 4
( 1 ) : (1 2 20%) x 1 .1 3
2
3
:2
11 21
7 6
1
2 1
12 7 32 245
( ) : (1 2 ) x . :
4 4
5
5 5
7 4 11 121
1 4
35 121
5
32
:3 x 3 .
x
4 5
11 245
76
7
Mà x Z nên x 1; 2;3; 4
Ở cấp độ 4 này, bài tập thường là các bài tìm hai số x và y với x, y là các số tự nhiên hoặc là các số
nguyên hoặc là các số nguyên tố.
MỘT SỐ KIẾN THỨC VẬN DỤNG:
+ Nếu f(x). f(y) = a nguyên với f(x) và f(y) là các đa thức chỉ chứa biến x hoặc biến y
- Khi x, y là các số nguyên thì f(x) và f(y) cũng là các số nguyên.
- Ta có f(x) và f(y) là các ước của số nguyên a
+ Nếu f(x) + f(y) 2 thì f(x) và f(y) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
+ Nếu a.f(x) = b.f(y) mà a, b là các số tự nhiên thì f(x) và f(y) phải cùng dấu
+ Nếu x là số nguyên tố chẵn thì x = 2
Bài 44: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x, y 1 và
x y
7
2
2
25
x y
Hướng dẫn
Vai trị của x, y bình đẳng. Giả sử x y, ta có
x y
7
2
2
x y
25
7(x2 + y2) = 25(x + y)
x(7x – 25) = y(25 - 7y)
Suy ra 7x – 25 và 25 – 7y cùng dấu vì x, y là các số tự nhiên
* Nếu 7x – 25 < 0 thì 25 – 7y < 0. Suy ra x < 4, y > 4 ( trái với điều giả sử)
* Nếu 7x – 25 > 0 thì 25 – 7y > 0 Vậy x 4, y 4
+ Thử các số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta được x = 4
16
+ Cặp số (x,y) = (4,3); vai trị của x, y như nhau nên (x,y) = (3,4)
Bài 45: Tìm x, y, z biết: x - y = 2011 ; y - z = - 2012 ; z + x = 2013
Hướng dẫn
Từ đề bài ta có:
(x - y) + (y - z) + (z + x) = 2011+ (- 2012) + 2013
2x = 2012 x = 1006
Vì x - y = 2011 y = x - 2011 = 1006 - 2011 = -1005
Vì x + z = 2013 z = 2013 - x = 2013 - 1006 = 1007
Vậy: x = 1006 ; y = -1005 ; z = 1007
Bài 45: Tìm hai số ngun tố x và y sao cho: x2 – 2x + 1 = 6y2 -2x + 2
Hướng dẫn
Ta có: x2 – 2x + 1 = 6y2 - 2x + 2
=> x2 – 1 = 6y2 6y2 = (x - 1).(x + 1) 2 , do 6y2 2
(*)
Mặt khác x - 1 + x +1 = 2x 2 (x - 1) và (x + 1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Nếu x là số ngun tố chẵn hay x = 2 thì (x – 1).(x + 1) khơng chia hết cho 2, điều này trái với (*)
Do đó x phải là số ngun tố lẻ, khi đó (x-1) và (x+1) cùng chẵn
(x - 1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp
(x - 1).(x + 1) 8 6y2 8 3y2 4 y2 4 y 2
Mà y là số nguyên tố => y = 2 => x = 5.
Vậy x = 5 và y = 2
Bài 47: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12
Hướng dẫn
Vì x, y là các số tự nhiên
=> 2x + 1 và y – 5 phải là các số ngun dương và là ước của 12
Ta có 12 = 1.12 = 2.6 = 3.4
Do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1 = 3
Nếu 2x+1=1 => x = 0; y – 5 = 12 => y = 17
Nếu 2x+1=3 => x = 1; y – 5 = 4 => y = 9
vậy (x,y) = (0,17); (1,9)
Bài 48: Tìm cặp số ngun (x; y) biết: xy - 2x + 5y - 12 = 0
Hướng dẫn
xy - 2x + 5y - 12 = 0
x(y - 2) + 5(y - 2) + 2 = 0
(x + 5) (y - 2) = 2
17
Vì x, y Z => x + 5; y - 2 Ư(2) = { 1; 2}
=> (x; y) = (-6; 0); (-4; 4); (-7; 1); (-3; 3)
Bài 49: Tìm các số nguyên x và y biết rằng x 2 xy 1 5
Hướng dẫn
Ta có x, y là các số nguyên => x – 2 và xy – 1 là các số nguyên và là ước của 5
Ta có 5 1 5 1.5 x 2 xy 1 1 5 1.5
x2
1
5
xy 1
5
1
x
y
3
4
2
( loại)
7
Vậy x; y 1; 4 ; 3;0 ; 3;2
Bài 50: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
Hướng dẫn
Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 y2 = 121 y = 11 (là số ngun tố)
Với x > 2, mà x là số ngun tố nên x lẻ y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
Kết hợp với y là số ngun tố nên y = 2 (loại) vì y2 > 117
Vậy x = 2; y = 11.
Bài 51: Tìm a; b Z biết. ( 2a + 5b + 1 ) (2 a + a2 + a + b ) = 105
Hướng dẫn
* Nếu a = 0 ta có: ( 2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105
=> (5b + 1) . ( b + 1) = 105
=> 5b + 1 ; b + 1 Ư (105) mà ( 5b + 1) 5 dư 1 .
Ta được 5b + 1 = 21 => b = 4 ( TM)
* Nếu a 0 Ta thấy ( 2a + 5b + 1) . ( 2 a + a2 + a + b) = 105 Là số lẻ
=> 2a + 5b + 1 và 2 a + a2 + a + b đều lẽ (*)
+ Nếu a chẵn (a 0 ) và 2a + a2 +a + b lẻ
=> b lẻ.
=> 2a + 5b + 1 chẵn (vơ lý)
+ Nếu a lẻ thì Tương tự ta cũng thấy vơ lý
Vậy a = 0 và b = 4
18
Câu 1.
B.BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG 6 (Đề thi HSG 6 huyện)
8
56
Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là . Tìm hai phân số
15
15
đó.
Lời giải
8
56
. Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là
suy ra
15
15
56
8
48
tích mới hơn tích cũ là
=
đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra phân số thứ
15 15
15
48
12
4
hai là
:4=
=
.
15
15
5
8 4
2
:
=
Từ đó suy ra phân số thứ nhất là:
15 5
3
Câu 2.
(Đề thi HSG 6)
30 20 x
Tìm số tự nhiên x, biết: ( x 5)
5 .
100 100
Lời giải
30 20 x
( x 5)
5
100 100
(x 5).30 20x 500
30x 600 20x 500
30x 20x 600 500
10x 1100
x = 110.
Câu 3. (Đề thi HSG 6)
Tính tổng C 2 22 23 ... 2100 . Tìm x để 22x 1 2 C.
Lời giải
2
3
99
100
.+) C 2 2 2 ... 2 2
Tích của hai phân số là
2C 22 23 2 4 ... 2100 2101
2C C 2101 2
C 2101 2
+) 22x 1 2 C
2 2 x 1 2 2101 2
2 2 x 1 2101
2x – 1 = 101
2x = 102
x = 51.
Câu 4. (Đề thi HSG 6)
1
7
Tìm x biết:
a) x
5 25
7
1
2
.
a) x
25 5 25
4
5
b) x
9 11
Lời giải
c)(x-32).45=0.
19
5 4 45 44 89
.
11 9
99
99
c) x = 32.
Câu 5. (Đề thi HSG 6)
Cho A 31 32 33 ... 32006.
a, Thu gọn A
b, Tìm x để 2A 3 3x .
b) x
1
2
3
Lời giải
2006
a) A 3 3 3 ... 3
3A 32 33 34 ... 32007
3A – A = 32007 3
32007 3
.
A =
2
3 2007 3
b) Ta có : 2.
+3 = 3x
2
=> 32007 3 +3 = 3x
=> 32007 = 3x
=> x = 2007.
Câu 6. (Đề thi HSG 6)
a. Tìm kết quả của phép nhân: A = 333...3
x 999...9
.
50 chu so
1
2
3
50 chu so
100
b. Cho B 3 3 3 ... 3 . Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B 3 3n .
Lời giải
a) A = 333...3
- 1 = 33...300...0
- 33...3
x 1 00..0
50 chu so
50 chu so 50 chu so
50 chu so
50 chu so
= 33 ...3
2 66 ... 6
7
49 chu so
49 chu so
Vậy A = 33 ...3
2 66 ... 6
7
49 chu so
49 chu so
(1)
b) B 31 32 33 ... 3100.
2
3
4
101
(2)
3B 3 3 3 ... 3
101
Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B 3 3
Do đó: 2B 3 3101
Theo đề bài 2B 3 3n . Vậy n = 101.
Câu 7. (Đề thi HSG 6)
Tìm x biết
a ) x + (x+1) +(x+2) +...... +(x +30) = 620 .
b) 2 +4 +6 +8 +..............+2x = 210.
(1 30)30
620
2
31x 620 31.15 155
x = 155 :31 = 5
(2 x 2) x
210
b)
2
Lời giải
a) 31x +
20
( x 1) x 210 mà 210 = 2.3.5.7 = (2.7)(3.5)=14.15
Vậy x= 14 .
Câu 8. (Đề thi HSG 6)
Tìm x biết
a ) x + (x+1) +(x+2) +...... +(x +30) = 620 .
b) 2 +4 +6 +8 +..............+2x = 210.
Lời giải
(1 30)30
620
2
31x 620 31.15 155
x = 155 :31 = 5
(2 x 2) x
b)
210
2
( x 1) x 210 mà 210 = 2.3.5.7 = (2.7)(3.5)=14.15
Vậy x= 14 .
Câu 9. (Đề thi HSG 6)
a) 31x +
Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:
11 a 23
và 8b - 9a = 31
b 29
17
Lời giải
11 a 23
và 8b - 9a = 31
7 b 29
31 9 a 32 1 8 a a
8b - 9a = 31 b =
N (a-1) 8 a = 8q + 1(q N)
8
8
Tìm a,b N sao cho
b =
31 9(8q 1)
9q 5
8
11 8q 1 23
17 9q 5 29
11(9q+5) < 17(8q+1) 37q > 38 q > 1
29(8q+1) < 23(9q+5) 25q < 86 q < 4 q {2; 3}
a 23
a 32
q = 3
.
q = 2
b 17
b 25
Câu 10. (Đề thi HSG 6)
5 y 1
Tìm số nguyên x, y biết:
x 3 6
Lời giải
5 1 y
5 1 2y
x 1 2y 5.6 30 (4) x, 1 2y Ư(30) (1)
x 6 3
x
6
Mà Ư(30 ) 30; 15; 10; 6; 5; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 (2)
Mặt khác 1 2y là số lẻ
(3)
Từ (1, (2), (3), (4) ta có bảng sau:
1 2y
15
5
3
1
1
3
5
15
x
y
2
6
10
30
30
10
6
2
8
3
2
1
0
1
2
7
