Chuyên đề Toán lớp 9 Phương trình và hệ phương trình

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Kiến thức cần nhớ
- Cho phương trình

(1)

. + Nếu

, phương trình (1) vơ nghiệm.

+ Nếu

, phương trình (1) có nghiệm kép

+ Nếu

, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

- Cho phương trình
. + Nếu

(2)
, phương trình (2) vơ nghiệm.

+ Nếu

, phương trình (2) có nghiệm kép

+ Nếu

, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

- Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình

và

có hai nghiệm là:

thì

- Nếu có hai số u, v và

thì hai số đó là nghiệm của phương trình

với
- Cho phương trình

(1)

+ Nếu

, phương trình (1) có hai nghiệm

+ Nếu

, phương trình (1) có hai nghiệm:


2. Bài tập minh họa
Bài 1. Cho phương trình

(1)

a) Giải phương trình khi m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Lời giải:
a) Khi m =

, phương trình (1) có dạng

, phương trình có hai nghiệm
b)

. Để phương trình (1) có nghiệm kép thì

Bài 2. Cho phương trình:

(*)

a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a) Khi m = 2, phương trình (*) có dạng
Vậy khi m = 2, phương trình (*) có nghiệm duy nhất

b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Vậy điều kiện cần tìm là
Bài 3. Cho phương trình:

và

(1)


Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn;
b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Lời giải:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
Theo hệ thức Vi – ét:
a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Vậy điều kiện cần tìm là
b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Vậy điều kiện cần tìm là
Bài 4. Cho phương trình
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải:
. Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi – ét:
a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
Bài 5. Cho phương trình

(1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

sao cho

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

sao cho

Lời giải:


a)

. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
. Theo hệ thức Vi – ét

Suy ra

. Vậy

là các số cần tìm.

b)

Vậy m = 3 là số cần tìm.
Bài 6. Cho phương trình
phân biệt

. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

sao cho :

a)

b)
Lời giải :
. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
. Theo hệ thức Vi – ét
a) Thay

vào (1) ta có

Thay vào (2) ta có

là số cần tìm.

b)
là số cần tìm.
Bài 7. Cho phương trình

(1)

a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :


Đặt

. Phương trình (1) có dạng :
(2)

a) Khi m = 1, phương trình (2)

. Phương trình có hai nghiệm

Phương trình có tập nghiệm
b) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm
dương phân biệt. Điều này chỉ xảy ra khi

Bài 8. Cho phương trình

(1)

a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
c) Tìm m để
Lời giải :
Phương trình (1)
(2)
a) Khi m = 2, phương trình (2) có dạng :

Phương trình (*) vơ nghiệm vì
nghiệm duy nhất là

. Vậy khi m = 2, phương trình có một

b) Phương trình
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (3) phải có hai nghiệm phân biệt


c) Gọi

là các nghiệm của phương trình (3) thì

Theo hệ thức Vi – ét :
Do đó
thỏa mãn điều kiện.
Vậy

là giá trị cần tìm.

Bài 9. Cho phương trình

(1)

a) Giải phương trình khi m = 14
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Điều kiện xác định

(*)

(2)
Với điều kiện (*), phương trình (2)

(3)

a) Khi m = 14, phương trình (3)
Đối chiếu với điều kiện chỉ có

. Phương trình có hai nghiệm
là nghiệm của (1)

b) Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có hai nghiệm phân
biệt

Vậy

và

thỏa mãn đề bài.

Bài 10. Giải các phương trình sau :


a)

(1)

b)

(2)

c)

(3)

d)

(4)

Lời giải :
a) Phương trình 1 có điều kiện xác định là

Đặt
Ta có phương trình
Phương trình này có hai nghiệm

, phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm
b) Nhận xét

Đặt

khơng là nghiệm của (2). Chia hai vế cho

. Phương trình có dạng :
, phương trình có nghiệm
, phương trình có nghiệm
, phương trình có nghiệm

, ta được :


c) Phương trình (3)
Đặt

.

, ta có

. Phương trình có hai nghiệm là

, phương trình có nghiệm

, phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình có hai nghiệm

d) Phương trình (4)
Đặt

, ta có :

Phương trình này có hai nghiệm
, phương trình vơ nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm
Bài 11. Giải các phương trình sau :
a)
b)
c)
d)

(1)
(2)
(3)
(4)

Lời giải :

a) Phương trình
(5)
(6)
, phương trình có nghiệm
(5). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

(loại) khơng thỏa mãn


b) Điều kiện xác định

(*)

Phương trình

(8)

. Phương trình này có hai nghiệm
khơng thỏa mãn điều kiện (*). Phương trình có nghiệm

c) Điều kiện xác định
Đặt

hay
, ta có

nghiệm

nên

(**)
.Phương trình

.

Với

đều thỏa

mãn điều kiện (**). Vậy phương trình có nghiệm
e) Điều kiện xác định
Đặt

. Ta có :

Cộng từng vế (9) và (10) ta được

Với

, từ (9)

Vậy
Với

có hai

vơ nghiệm do


Phương trình đã cho có nghiệm
Bài 12. Giải các hệ phương trình sau :

a)

b)

Lời giải :

a) Điều kiện xác định

Từ đó suy ra

. Đặt

ta có hệ phương trình

. Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

b) Hệ đã cho tương đương với
Cộng từng vế (5) và (6) ta được

. Thay vào (6)

Hệ có nghiệm duy nhất

Bài 13. Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thảo mãn điều kiện :
a)
b)

và
và

trái dấu
cùng dương.

Lời giải :
a)

 ; thay vào (2) ta được

(3)


Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì (3) phải có nghiệm duy nhất
. Hệ có nghiệm duy nhất

và

trái dấu

Mà

với

nên

là giá trị cần tìm.

b)

và

Vì

cùng dương

nên

Vậy điều kiện cần tìm là
Bài 14. Giải các hệ phương trình sau

a)

b)

Lời giải :
a)

, thay vào (2) ta được

Phương trình có hai nghiệm
Do đó hệ đã cho có hai nghiệm
b) Trừ từng vế của các phương trình (3), (4) ta được:

Với

thay vào (4) được

Với

, thay vào (3) ta được:
, phương trình vơ nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm

3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hai phương trình :
(1)
(2)
Với giá trị nào của m thì hai phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm chung. Tìm
nghiệm chung đó.
Bài 2. Cho hai phương trình :
(1)
(2) với
a) Chứng minh rằng hai phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vơ
nghiệm.
b) Giả sử

và

lần lượt là các nghiệm của phương trình (1) và (2).

Chứng minh rằng
Bài 3. Cho phương trình
phân biệt

. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

sao cho:

a)
b)

.

Bài 4. Cho phương trình

. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

là độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng có cạnh huyền bằng

Bài 5. Cho hệ phương trình
Tìm

đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất và

là số ngun.

Bài 6*. Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 7. Giải các hệ phương trình:

sao cho tích

có giá trị nhỏ nhất.


a)

b)

Bài 8. Giải hệ phương trình:

a)

b)

Bài 9*. Giải hệ phương trình:

a)

b)

Bài 10*. Giải các phương trình sau:

a)
(Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2009 – 2010)
b)
(Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2010 – 2011)
Hướng dẫn – Lời giải – Đáp số
Bài 1.

, phương trình (1) và phương trình (2) đều vơ nghiệm. Vậy

Từ (1) suy ra

. Thay vào (2) và thu gọn được
(loại),

Với

, ta có

Vậy hai phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2. a) Vì

khi m = 3

nên (1) và (2) đều là phương trình bậc hai.

Ta có
suy ra
hoặc cùng
hoặc cùng < 0 nên hai phương
trình (1) và (2) hoặc cùng có nghiệm hoặc cùng vơ nghiệm.


b) Theo hệ thức Vi – ét:

Xét hiệu
Do đó

. Khi đó

(vì

và

)

hay

Bài 3. Xét phương trình

(1), có

. Để phương trình

có hai nghiệm phân biệt thì

Theo hệ thức Vi – ét
a)

, thay vào (2):

Thay vào (3) ta có:

Giải phương trình này được
b)
(*)
- Nếu

thì (*)

;à

nên m = 3

- Nếu m < 2 thì (*)
mãn điều kiện ; m = 7 (loại)

, suy ra m = 1 thỏa

Vậy
Bài 4. Xét phương trình
với : phương trình (1) có hai nghiệm

(1). u cầu bài tốn tương đương
và


Bài 5. Xét hệ phương trình
(5)
Hệ có nghiệm duy nhất khi

, từ (5)

Từ đó
là ước của 3, nên
giá trị này của m đều thỏa mãn

, do đó
là số nguyên.

Vậy

Bài 6*. Giải như bài 5, với

, hệ có nghiệm duy nhất

Đặt

, dấu ‘=’ xảy ra khi

Vậy tích

có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi m = 0

Bài 7. a)
b)

Bài 8. a) Xét hệ

. Các


Cộng từng vế hai phương trình được
Hệ có hai nghiệm
b)

Lần lượt thay vào (4), hệ có nghiệm

Bài 9*. a) xét hệ
Từ (2)

. Đặt

, hệ trở thành:

Từ (4)
Chia từng vế của (3) và (4) ta được
(loại)
Với

, thay vào (4) ta được



Hệ có hai nghiệm
b) Điều kiện

Đặt

. Ta có phương trình

\


Do đó

và

. Giải tiếp hai hệ phương trình

và
Ta được các nghiệm
Bài 10*. a) Phương trình đã cho tương đương với

(1)

(2). Do vế trái
Mà

b)

nên

nên vế phải

, phương trình (2) tương đương với

(3). Đặt

Ta có

( hệ phương trình vơ nghiệm)