Chuyên đề Toán lớp 9: Phương trình và hệ phương trình

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Kiến thức cần nhớ
­ Cho phương trình  (1)    
. + Nếu , phương trình (1) vô nghiệm.
  + Nếu , phương trình (1) có nghiệm kép  
  + Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  
­ Cho phương trình  (2)   
. + Nếu , phương trình (2) vô nghiệm.
  + Nếu , phương trình (2) có nghiệm kép  
 + Nếu , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 
­ Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình  có hai nghiệm là:
 và  thì  

­ Nếu có hai số u, v và  thì hai số đó là nghiệm của phương trình  với  
­ Cho phương trình   (1)   
+ Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm  
+ Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm:  

2. Bài tập minh họa
Bài 1. Cho phương trình  (1)
a) Giải phương trình khi m =  
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Lời giải:
a) Khi m = , phương trình (1) có dạng  
, phương trình có hai nghiệm  
b) . Để phương trình (1) có nghiệm kép thì  


Bài 2. Cho phương trình:    (*)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:
a) Khi m = 2, phương trình (*) có dạng  
Vậy khi m = 2, phương trình (*) có nghiệm duy nhất  
b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt    
 
Vậy điều kiện cần tìm là  và  
Bài 3. Cho phương trình:     (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn một trong các điều kiện 
sau:
a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn;
b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Lời giải:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi  
Theo hệ thức Vi – ét:  
a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  
Vậy điều kiện cần tìm là  
b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  
Vậy điều kiện cần tìm là  
Bài 4. Cho phương trình  
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải:
. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi – ét:  
a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi  


b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi  
Bài 5. Cho phương trình    (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt  sao cho  

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt  sao cho  
Lời giải:
a) . Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi  . Theo hệ thức Vi – ét  
 
Suy ra . Vậy  là các số cần tìm.
b)  
 
Vậy m = 3 là số cần tìm.
Bài 6. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  sao 
cho :
a)  
b)  
Lời giải :
. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì . Theo hệ thức Vi – ét       
a) Thay vào (1) ta có  
Thay vào (2) ta có  là số cần tìm.
b)  
 là số cần tìm.
Bài 7. Cho phương trình  (1)
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Đặt . Phương trình (1) có dạng :
     (2)
a) Khi m = 1, phương trình (2) . Phương trình có hai nghiệm  


 
 
Phương trình có tập nghiệm  

b) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai 
nghiệm dương phân biệt. Điều này chỉ xảy ra khi
 
Bài 8. Cho phương trình     (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt  
c) Tìm m để  
Lời giải :
Phương trình (1) 
            (2)
a) Khi m = 2, phương trình (2) có dạng :  
    
Phương trình (*) vô nghiệm vì . Vậy khi m = 2, phương trình có một nghiệm duy 
nhất là  
b) Phương trình      
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (3) phải có hai nghiệm phân biệt  
 
c) Gọi  là các nghiệm của phương trình (3) thì  
Theo hệ thức Vi – ét :  
Do đó  
 thỏa mãn điều kiện.
Vậy  là giá trị cần tìm.
Bài 9. Cho phương trình     (1)
a) Giải phương trình khi m = 14
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.


Lời giải : 
Điều kiện xác định      (*)
     (2)

Với điều kiện (*), phương trình (2)      (3)
a) Khi m = 14, phương trình (3) . Phương trình có hai nghiệm  
Đối chiếu với điều kiện chỉ có  là nghiệm của (1)
b) Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có hai nghiệm 
phân biệt  
 
Vậy  và  thỏa mãn đề bài.
Bài 10. Giải các phương trình sau :
a)      (1)
b)              (2)
c)              (3)
d)            (4)
Lời giải :
a) Phương trình 1 có điều kiện xác định là  
Đặt  
Ta có phương trình  
Phương trình này có hai nghiệm  
 
, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm  
b) Nhận xét  không là nghiệm của (2). Chia hai vế cho , ta được :
 
Đặt . Phương trình có dạng :
, phương trình có nghiệm  
, phương trình có nghiệm  


, phương trình có nghiệm  
c) Phương trình (3) .
Đặt , ta có . Phương trình có hai nghiệm là  

, phương trình có nghiệm  
, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có hai nghiệm  
d) Phương trình (4) 
Đặt , ta có :  
Phương trình này có hai nghiệm  
, phương trình vô nghiệm.
 
Vậy phương trình có hai nghiệm  
Bài 11. Giải các phương trình sau :
a)               (1)
b)     (2)
c)    (3)
d)     (4)
Lời giải : 
a) Phương trình       
(5)  
(6) , phương trình có nghiệm  (loại) không thỏa mãn (5). Vậy phương trình đã 
cho có một nghiệm  
b) Điều kiện xác định     (*)
Phương trình  
 
     
(8) . Phương trình này có hai nghiệm  
 không thỏa mãn điều kiện (*). Phương trình có nghiệm  


c)  Điều kiện xác định  hay    (**)
Đặt , ta có .Phương trình  có hai nghiệm  nên .
Với  đều thỏa mãn điều kiện (**). Vậy phương trình có nghiệm  

e) Điều kiện xác định  
Đặt . Ta có :
       
Cộng từng vế (9) và (10) ta được  
 
Với , từ (9)  
Vậy  
Với  vô nghiệm do  
Phương trình đã cho có nghiệm  
Bài 12. Giải các hệ phương trình sau :
a)   

b)          

Lời giải :
a) Điều kiện xác định . Đặt  ta có hệ phương trình  
Từ đó suy ra  . Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  
b) Hệ đã cho tương đương với      
Cộng từng vế (5) và (6) ta được . Thay vào (6)  
Hệ có nghiệm duy nhất  
Bài 13. Cho hệ phương trình       
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thảo mãn điều kiện :
a)  và  trái dấu
b)  và  cùng dương.
Lời giải :
a)  ; thay vào (2) ta được    (3)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì (3) phải có nghiệm duy nhất . Hệ có 
nghiệm duy nhất  

 và trái dấu  Mà  với  nên  là giá trị cần tìm.
b)  và cùng dương      
 
Vì  nên  
Vậy điều kiện cần tìm là  
Bài 14. Giải các hệ phương trình sau
a)        

b)      

Lời giải :
a) , thay vào (2) ta được  
Phương trình có hai nghiệm  
Do đó hệ đã cho có hai nghiệm  
b) Trừ từng vế của các phương trình (3), (4) ta được:  
Với  thay vào (4) được  
Với , thay vào (3) ta được:, phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm  
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hai phương trình :
     (1)
     (2)
Với giá trị nào của m thì hai phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm chung. 
Tìm nghiệm chung đó.
Bài 2. Cho hai phương trình :
     (1)
     (2) với  
a) Chứng minh rằng hai phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vô 
nghiệm.
b) Giả sử  và  lần lượt là các nghiệm của phương trình (1) và (2). Chứng 

minh rằng  


Bài 3. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  sao 
cho:
a)  
b) .
Bài 4. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm  là độ dài hai 
cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng  
Bài 5. Cho hệ phương trình       
Tìm  đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất và  là số nguyên.
Bài 6*. Cho hệ phương trình       
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  sao cho tích  có giá trị nhỏ nhất.
Bài 7. Giải các hệ phương trình:
a)  

b)  

Bài 8. Giải hệ phương trình:
a)       

b)     

Bài 9*. Giải hệ phương trình:
a)  

b)  

Bài 10*. Giải các phương trình sau:
a)  

(Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2009 – 2010)
b)  
(Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2010 – 2011)
Hướng dẫn – Lời giải – Đáp số 
Bài 1. , phương trình (1) và phương trình (2) đều vô nghiệm. Vậy  
Từ (1) suy ra . Thay vào (2) và thu gọn được (loại),  
Với , ta có  
Vậy hai phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 3
Bài 2. a) Vì  nên (1) và (2) đều là phương trình bậc hai.


Ta có  suy ra  hoặc cùng  hoặc cùng < 0 nên hai phương trình (1) và (2) hoặc cùng 
có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.
b) Theo hệ thức Vi – ét:. Khi đó  
Xét hiệu  (vì  và )
Do đó  hay  
Bài 3. Xét phương trình   (1), có . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì  
Theo hệ thức Vi – ét      
a) , thay vào (2):  
Thay vào (3) ta có:  
Giải phương trình này được  
b)  
   (*)
­ Nếu  thì (*); à  nên m = 3
­ Nếu m < 2 thì (*), suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện ; m = 7 (loại)
Vậy  
Bài 4. Xét phương trình   (1). Yêu cầu bài toán tương đương với : phương trình 
(1) có hai nghiệm  và  
 
Bài 5. Xét hệ phương trình            

     (5)
Hệ có nghiệm duy nhất khi , từ (5)  
Từ đó  
 là ước của 3, nên , do đó . Các giá trị này của m đều thỏa mãn  là số nguyên.
Vậy  
Bài 6*. Giải như bài 5, với , hệ có nghiệm duy nhất  
Đặt  
, dấu ‘=’ xảy ra khi  
Vậy tích  có giá trị nhỏ nhất bằng ­1 khi m = 0


Bài 7. a)  
b)  
Bài 8. a) Xét hệ      
Cộng từng vế hai phương trình được  
Hệ có hai nghiệm  
b)  
 
Lần lượt thay vào (4), hệ có nghiệm  
Bài 9*. a) xét hệ       
Từ (2) . Đặt , hệ trở thành:
      
Từ (4)  
Chia từng vế của (3) và (4) ta được (loại)  
Với , thay vào (4) ta được  \
 
 
Hệ có hai nghiệm  
b) Điều kiện  
Đặt . Ta có phương trình

 
Do đó  và . Giải tiếp hai hệ phương trình
 và 
Ta được các nghiệm  
Bài 10*. a) Phương trình đã cho tương đương với   (1)
   (2). Do vế trái  nên vế phải  
Mà  nên , phương trình (2) tương đương với  
 


 
b)     (3). Đặt  
Ta có  
 ( hệ phương trình vô nghiệm)