bài tập hình học không gian có đáp án

1
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 12
BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Vấn đề1:Tính thể tích của khối chóp
 Hình chóp đều
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
(
)
0 0
0 90
ϕ ϕ
< < . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng
7
a
, góc tạo bởi 2 mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bàng 60
0
. Tính thể tích khối chóp SABC theo a.
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao bằng a và góc SBC bằng
2
ϕ
. Hãy tính
thể tích khối chóp theo a và
ϕ
.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều SABC có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng
a, góc tạo bởi SA và đáy là 60
0

. Tính thể tích khối chóp theo a và
α
.
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều SABC có góc hợp bởi cạnh bên và đáy là
α
. Khoảng cách
ngắn nhất giữa cạnh đáy và cạnh bên đối diện bằng a. Tính thể tích của khối chóp.
Bài 6: Cho tứ diện SABC có SA=SB=SC=a và thoả mãn
0
ˆ ˆ ˆ
60
ASB BSC CSA= = = . GỌi H là
hình chiếu vuông góc của A lên mp(SBC).
1) Chứng minh rằng SH là phân giác của góc BSC
2) Tính thể tích khối tứ diện SABC
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi mặt bên và đáy là
60
0
. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng
2
α
.
Tính thể tích của khối chóp.
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh đáy và mặt bên
bằng
(
)
0 0
0 90

ϕ ϕ
< < .
1) Tính tan của góc giữa hai mp (SAB) và (ABCD) theo
ϕ

2) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a và
ϕ

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp
SABCD.
Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác vuông.
1) CHứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
3) Tính tan của góc
ϕ
tạo bời mặt bên và măt đáy của hình chóp.
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2 3
3
a
, chiều cao bằng a và
hai mặt chéo SAC và SBD cùng vuông góc với đáy.
1) Chứng minh SABCD là hình chóp đều
2) Tính thể tích của khối chóp
3) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

2
 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, BC=2a. Hai mặt bên
SAB và SAD vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60
0
.
1) Tình thể tích của khối chóp
2) Tính góc của hai mp (SBC) và (ABCD)
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao SA. Cạnh bên SB
hợp với đáy một góc
α
.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau theo từng đôi một và
AB=a, AC=2a, AD=3a. Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a.
Bài 4: Cho tứ diện SABC với SAB,SBC, SCA vuông góc với nhau theo từng đôi một và có diện
tích tương ứng là 24cm
2
, 30cm
2
, 40cm
2
. Hãy tính thể tích của khối tứ diện đó.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích bằng 12. Hai mặt bên (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt một góc là
30
0
,60
0
. Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 6: Cho đường tròn đường kính AB=2R nằm trong mp(P) và một điểm M nằm trên đường

tròn đó sao cho
0
ˆ
30
ABM = . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
SA=2R. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SM.
1) Chứng minh rằng SB vuông góc với mp(AHK)
2) Gọi I là giao điểm của HK với (P). Hãy chứng minh IA là tiếp tuyến của đường trong đã
cho.
3) Tính thể tích của khối chóp SAHK
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy và
2
SA a
= . Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc
ˆ
.
ACM
α
=
Hạ SN vuông góc với CM.
1) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tình thể tích tứ diện SACN
theo a và
α

2) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN. Chứng minh rằng SC vuông góc với
mặt phẳng (AHK) và tính độ dài đoạn HK.
Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC=a, AB=2a, SA vuông góc
với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng 60
0

. Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu của A lên SB và SC. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK và tính thể tích khối chóp
SABC.
 Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
ˆ
BAC
α
=
. Mặt bên SAB là
tam giác đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp SABC.
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên
qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy , hai cạnh bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc
bằng nhau và bằng 60
0
. Hẫy tính thể tích của khối chóp SABC.
Bài 3: CHo hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
ˆ
ABC
α
=
, SBC là tam
giác đều cạnh a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau. Tính thể tích của khối
chóp SABC.
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a. Mặt bên (SBC) vuông
góc với mặt đáy (ABC) và SA=SB=a.
1) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông
2) Cho SC=x. Tính thể tích của khối chóp theo a và x.

3

Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là tâm của đáy, I là trung điểm của AB. Góc
hợp bởi SC và đáy là
α
.
1) Tính thể tích của khối chóp SABCD
2) Tính thể tích khối tứ diện SOCD
3) Tính khoảng cách từ I đến mặt bên (SCD). Suy ra thể tích khối tứ diện SICD.
 Tính thể tích các dạng khối chóp khác:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAC) vuông góc
với đáy, góc
0
ˆ
90
ASC = và SA tạo với đáy một góc
ϕ
. Tính thể tích của khối chóp SABCD.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai vđường
chéo AC và BD là 60
0
, các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. TÍnh thể tích của
khối chóp theo a.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB=a, BC=
3
a
. Góc giữa
các cạnh bên và mặt đáy của hình chóp đều bằng 60

0
. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có BC=
6
2
a
và năm cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích của khối
tứ diện.
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có AB=a và
2
3
a
BD = . Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi trên người
ta lấy điểm S sao cho SB=a.
1) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông
2) Tính thể tích của khối chóp SABCD
3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau
Bài 6: Cho hình chóp SABC có cạnh SA=a và SB+SC=3a. Góc
0
ˆ
90
BAC = và
0
ˆ ˆ ˆ
60
BSC CSA ASB= = = . Tính thể tích khối chóp đã cho theo a.
Bài 7: Tính thể tích khối chóp SABC biết SA=a, SB=b, SC=c,
0 0 0
ˆ ˆ ˆ

60 90 , 120
ASB BSC CSA= = =
Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CÁCH ĐềU ĐIểM chéo nhau, AC là đường thẳng vuông góc
chung của chúng. Biết rằng AC=h, AB=a, CD=b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
60
0
. Hãy tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
Bài 9: Cho hình chóp SABC có AB=5a, BC=7a, AC=8a. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc
bằng nhau và bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp.
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc nhọn BAD=60
0
, bán kính đường
tròn ngoại tiếp là r. Các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau và góc giữa hai mặt bên đối
diện là
α
. Tính thể tích của khối chóp theo r và
α

 Tính thể tích của khối chóp tạo bởi thiết diện của một mặt phẳng và khối chóp cho
trước
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đường cao SA=a, đáy là tam giác vuông cân có AB=BC=a. Gọi
B’ là trung điểm của SB và C’ là chân đường cao hac từ A của tam giác SAC.
1) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB’C’)
2) Tính thể tích của khối chóp SAB’C’

4
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 60
0

.
Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 30
0
cắt SC, SD lần
lượt tại M, N
1) Tính theo a tứ diện tứ giác ABMN
2) Tính thể tích khối chóp SABMN theo a
Bài 3: Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên
5
SA a
= . Một mặt phẳng
(P) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại C’ và D’.
1) Tính diện tích tứ giác ABC’D’
2) Tính thể tích hình đa diện ABCDD’C’
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
α
(
)
0 0
45 90
α
< <
1) Tính thể tích của khối chóp theo a và
α

2) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,
D’. Hãy tính diện tích thiết diện AB’C’D’.
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên hợp với đáy một góc
3
α

. Dựng mp (P) đi qua AB và hợp với đáy một góc
α
cắt vSC và SD lần lượt tại C’ và D’.
1) Tính diện tích thiết diện ABC’D’ theo a và
α

2) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a và
α

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, các mặt bên hợp với mặt đáy một
góc
α
. Dựng mặt phẳng (P) đi qua AB hợp với đáy một góc
2
α
cắt SB, SC lần lượt tại M và N.
Tính thể tích khối chóp SABMN theo a và
α
.
 Tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp tỉ số thể tích.
Bài 1: Cho khối chóp SABC có đường cao SA=2ª, tam giác ABC vuông ở B có AC=2a,
0
ˆ
30
BAC = . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối chóp HABC
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mp tam giác tại tâm O
lấy điểm S sao cho
6
3
a

SO = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC.
1) Tính góc giữa các đường thẳng AM và BC
2) Tính thể tích khối đa diện ABCNM
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đường cao SA=2a, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB=2a,
BC=a. Gọi H là trung điểm của SB, K là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. Tính thể
tích khối chóp SAHK
Bài 4: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2ª và SA vuông
góc với mp (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB
và SC. Tính thể tích khối chóp ABCNM
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AB,BC=a,
0
ˆ
ˆ
90
BAD ABC= = ,
AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng
minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp SBCMN theo a
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA=2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD. Mp (AB’D’)
cắt SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp SAB’C’D’.

5
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SC vuông góc với
đáy và SC=2a. Hai điểm M, N thuộc SB và SD sao cho
2
SM SN
MB ND
= =
. Mp(AMN) cắt SC tại P.
Tính theo a thể tích của khối chóp SAMPN.

 So sánh thể tích
Bài 1: Cho tam giác cân ABC với AB=AC=2avà BC=a. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA=a.
1) Tính thể tích khối chóp SABC
2) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC)
3) Tìm trên SA điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích
bằng nhau.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có BD=a và góc
ˆ
2
BAD
α
= . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy, mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc
α
.
1) Tính thể tích của khối chóp SABCD
2) Chứng minh mặt phẳng (SAC) chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. Tính khoảng
cách từ A đến mp(SBC).
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a , AD=2a. Cạnh SA
vuông góc với đáy và SA=a. Gọi M là điểm trên SA sao cho AM=x(0<x<a)
1) Mp(MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó
2) Xác định x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp ra làm hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với
đáy và SA=a. Mặt phẳng (P) đi qua CD và cắt các cạnh SA, SB lần lượt ở M, N. Đặt
AM=x(0<x<a)
1) Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và xz
2) Xác định giá trị của x để tính thể tích khói chóp SMNCD bằng 2/9 lần thể tích khối chóp
SABCD.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SA=a. M là một

điểm thay đổi trên SB, đặt
(
)
0 2
SM x x a= < < . Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N.
1) Tứ giác ADMN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác này theo a và a
2) Mặt phẳng (ADM) chia hình chóp ra làm hai phần, một phần là hình chóp SADMN có
thể tích V
1
và phần còn lại có thể tích V
2.
Xác định giá trị của x để
1
2
5
4
V
V
=

 Sử dụng tỉ số thể tích để chứng minh các hệ thức
Bài 1: Cho hình chóp SABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mp(P) cắt SA, SB, SC SG
lần lượt tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng
3
' ' ' '
SA SB SC SG
SA SB SC SG
+ + =
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một
điểm M nằm trong tứ diện đến các mặt của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M nằm trong

tứ diện này.
Vấn đề 2: Tính thể tích của khối lăng trụ
 Tính thể tích của khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, cạnh BC=2a
1) Tính thể tích khối lăng trụ

6
2) Tính cosin của góc hợp bởi hai mp (CA’B’) và (ABC)
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB=BC=a, cạnh bên
AA’=
2
a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC=a,
0
ˆ
60
ABC = .
Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ một góc 30
0
. Tính thể tích của
khối lăng trụ đã cho.
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm Ocủa tam
giác ABC đến mp (A’BC) bằng a/6. Tính thể tích của hình lăng trụ ABCA’B’C’ theo a.
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a, A’B vuông góc với AC’. Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Bài 6: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có chiều cao bằng a. Mp (A’BD) hợp với mặt
bên ABB’A’ một góc 60

0
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khoảng cách từ
AA’ đến mặt bên BCC’B’ bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABC’) và bằng a. Mp(ABC’)
hợp với đáy một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’. Tam giác ABC’ có diện tích
2
8 3
a và
mp(ABC’) hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A. Góc giữa AA’ và
BC’ bằng 30
0
và khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua AA’ bằng 60
0
. Tính
thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam Giác vuông với AB=AC=a,
AA’=
2
a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’.
1) Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA’ và BC’
2) Tính thể tích tứ diện MA’BC’.
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn
AA’. Chứng minh BM vuông góc với B’C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và

B’C.
 Tính thể tích của khối lăng trụ xiên
Bài 1: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ trùng
với tâm O của đáy ABC và A’O=a.
1) Tính thể tích của khối lăng trụ
2) Tính góc hợp bởi mặt bên (BCC’B’) với mặt đáy (ABC)

7
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A. Mặt bên
ABB’A’ là hình thoi cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên (ACC’A) tạo với
đáy một góc
.
α
Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài 3: Cho lăng trụ ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ trùng
với tâm O của đáy ABC và góc A’AB=45
0
.
1) Tính thể tích của khối lăng trụ
2) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ
Bài 4: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Hình
chiếu của A’ trên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AA’ và BC là a và góc giữa hai mặt phẳng
(ABB’A’) và (ACC’A’) bằng
α
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB=a,
BC=2aMặt bên ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
hai mặt phẳng này hợp với nhau một góc
α
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Bài 6: Cho thể tích lăng trụ ABCA’ B’ C’ có đáy ABC là tam giác đều. Hình chiếu A’ trên
mp(ABC) là trung điểm của BC. Hai mặt bên qua AA’ vuông góc với nhau.
1) Thiết diện thẳng là hình gì?
2) Tính thể tích khối lăng trụ, biết chu vi thiết diện thẳng là 2.
Bài 7: Cho hình lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O. Hình chiếu của
A’ trên mp(ABC) là O. Tính thể tính của khối lăng trụ biết khoảng cách từ O qua cạnh AA’ bằng
2
α
.
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a và hình chiếu của
đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A) là tâm của hình bình hành ABB’A’. Tính theo a thể tích khối
lăng trụ đã cho.
 Tính thể tích khối hộp
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB=a, AB hợp với mặt phẳng (A’D’CB) một
góc 30
0
và góc BAC’=60
0
. Tính thể tích khối hộp.
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Mp(A’B’CD) hợp với đáy một góc 60
0
, hợp với
AC một góc 30
0
và cách AB một khoảng bằng a. Tính thể tích khối hộp.
Bài 3: Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng
2
,
đường chéo AC bằng
7

sao cho tam giác AO’C là tam giác vuông tại O’(O’ là tâm hình thoi
A’B’C’D’).Tính thể tích của khối hộp
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=60
0
.
Hình chiếu của đỉnh A’ trên đáy ABCD là giao điểm O của hai đường chéo của đáy. Cho AA’=a

8
1) Tính góc hợp bởi cạnh bên và đáy hình hộp
2) Tính thể tích của khối hộp
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=60
0
.
Hình chiếu của đỉnh A’ trên đáy ABCD là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Cho
biết góc
ˆ
BAA
α
=
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 6: Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a,
0
ˆ ˆ ˆ
' ' 60
A AB BAD A AD= = = . Hãy tính thể tích của khối hộp đã cho.
Bài 7: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có các cạnh bằng a, góc BAD=60
0
, góc BAA’=90
0
, góc

DAA’=120
0
. Tính theo a thể tích của khối hộp đã cho.
Bài 8: Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’. Mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa
cạnh CC’ và mp(ABB’A’) bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 9: Cho hình laapj phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’.
Tính thể tích của khối tứ diện A’O’BD.
Bài 10: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh
AA’. Tính thể tích của khối tứ diện BCD’M theo a.
Bài 11: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. Chứng minh
(
)
' ' '
BD A BC
⊥ và
tính thể tích của khối đa diện có các đỉnh B’, A’, B, C’, D theo a.
 Thiết diện của khối lăng trụ
Bài 1:
Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh A lên mp(A’B’C) trùng với trung điểm I của cạnh B’C’.
1)
Tính diện tích thiết diện cắt hình lăng trụ bởi mp
(
)
α
chứa cạnh AA’ và vuông góc với
mp đáy A’B’C’ của hình lăng trụ
2)
Chứng minh mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ là một hình vuông
Bài 2: Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của

C’B’ và C’D’
1)
Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF)
2)
Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mp(AEF)
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA’=
2
a
. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A’C’ và (P) là mp qua MN và vuông góc với
(BCC’B’). Tính diện tích thiết diện của (P) và lăng trụ

9
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm
của các cạnh AD, CD. Lấy điểm P thuộc cạnh BB’ sao cho BP=3PB’. Tính diện tích thiết diện
do (MNP) cắt hình lập phương.
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên AA’=2a. Gọi I là
trung điểm của AB, J là hình chiếu của I trên AC. Xác định và tính diện tích của thiết diện tạo
bởi lăng trụ với mp(IJC’).
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB=AC=a và
cạnh bên AA’=
2
a
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BB’. Dựng và tính diện tích
của thiết diện khi cắt lăng trụ bởi mp(C’MN)
Vấn đề 3: Các bài toán cực trị thể tích khối đa diện
Bài 1:
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mp(ABC), hai mp(SAB) và (SBC) vuông
góc với nhau. Cho biết
(

)
0 0
ˆ
ˆ
2, 45 , 0 90
SB a SBC ASB
α α
= = = < <
1)
Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của
α
thì thể tích đó lớn nhất
2)
Xác định
α
để góc giữa hai mp(SAC) và (SBC) bằng 60
0

Bài 2: Trong mp(P) cho đường thẳng
(
)
∆
và điểm A không thuộc
(
)
∆
. Trên đường thẳng
vuông góc (P) tại A lấy S cố định khác A. Góc
0
ˆ

90
xAy = xoay quanh A, hai tia Ax, Ay cắt
(
)
∆

tại B, C. Cho SA=h và khoảng cách từ A đến
(
)
∆
bằng a. Tính theo h và a thể tích nhỏ nhất của
khối chóp SABC.
Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
1)
Tính thể tích khối chóp đã cho theo x và y
2)
Tìm x, y để thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: Cho tam giác đều OAB có cạnh AB=a. Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với
mp(OAB) lấy 1 điểm M với OM=x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MB và
OB. Đường thẳng EF cắt d tại N.
1)
CHứng minh rằng AN vuông góc với BM
2)
Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AD và M là một điểm
trên cạnh AB, K là hình chiếu vuông góc của S trên CM. Đặt
(
)
0

AM x x a
= ≤ ≤
. Xác định x để
thể tích của tứ diện SCHK đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất này.

10
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cócạnh bằng a, điểm M lưu động trên cạnh AD sao cho
(
)
0
AM x x a
= < ≤
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm S, đặt
AS=y với
2 2 2
x y a
+ =
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABCM
Bài 7: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a nội tiếp mặt cầu tâm I bán
kính R. Xác định chiều cao của lăng trụ đã cho để thể tích V của nó đạt giá trị lớn nhất.
CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 1
: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Góc ABC=60
0
, BC=a và SB
vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc 45
0
. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu của B trên SA, SC.

1)
Tính thể tích của khối chóp SABC
2)
Chứng minh A, B,C,E,F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu
đó.
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
∆
. Trên
∆
lấy hai điểm A,B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm
D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
∆
và AC=BD=AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a
Bài 3: Cho tam giác vuông cân ABC với AB=AC=a. BB’ và CC’ cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC), ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó và BB’=CC’=a.
1)
Chứng minh rằng tam giác AB’C’ là tam giác đều
2)
Tính thể tích của hình chóp có đỉnh là A và đáy là tứ giác BCC’B’
3)
Chứng minh rằng năm điểm A,B,C,C’,B’ cùng nằm trên một mặt cầu.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
ϕ
.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều SABC có góc ở đỉnh của mặt bên bằng 2
ϕ
. Gọi R=2a là bán
kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC của hình chóp. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp SABC.
Bài 6: CHo tứ diện đều ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp là O và H là hình chiếu vuông góc của
A xuống mặt phẳng (BCD)
1)
Tính tỉ số
OA
OH


11
2) Biết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính bằng 1, hãy tính độ dài các cạnh của
tứ diện ABCD
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
2
a
. Lấy điểm H trên đoạn AC với AH=a/2. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho góc ASC=45
0
. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Bài 8: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=b,
OC=c. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB=AC=a, BC=b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông gócvới
nhau và góc BDC=90
0
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
Bài 10: CHo tam giác ABC vuông cân tại B với AB=a. Từ trung điểm M của AB ta dựng đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), trên đó lấy điểm S sao cho SAB là tam giác đều. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Bài 11: Cho hình chóp SABC, biết SA=SB=SC=a.

0 0 0
ˆ ˆ ˆ
60 ; 90 ; 120
ASB BSC CSA= = = . Xác định
tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp SABC.
Vấn đề 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tư diện đều ABCD cạnh a.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và góc hợp bời mặt bên và đáy
hình chóp là
α
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SABC.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao SO=h. Tính theo a và
h diện tích toàn phần của hình chóp, từ đó tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
Vấn đề 3: Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ
Bài 1:
Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.
1)
Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên
2)
Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Bài 2: Một hình trụ có bán kính 5cm và có khoảng cách giữa 2 đáy bằng 7cm.
1)
Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng 3cm. Hãy tính
diện tích của thiết diện được tạo nên.
Bài 3: Một hình trụ có bán kính đáy R=53, khoảng cách giữa 2 đáy h=56. Một thiết diện song
song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện.

12

Bài 4: Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy bằng 10cm. Người ta kẻ 2 bán
kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 60
0
. Cắt khối trụ bởi
1 mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hày tính diện
tích của thiết diện.
Bài 5: Một hình trụ có chiều cao 2dm, bán kính đáy 7dm, có 1 hình vuông xiên góc với trục, các
đỉnh của hình vuông đều nằm trên 2 đường tròn đáy. Tính cạnh của hình vuông ấy.
Bài 6: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (C) và (C’). Hình vuông ABCD cạnh a có 2 đỉnh
A, B nằm trên đường tròn (C) và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn (C’). Mặt phẳng (ABCD)
tạo với đáy hình trụ một góc 45
0
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
Bài 7: Cho hình trụ có bán kính và chiều cao bằng nhau và bằng R. Một hình vuông ABCD có
hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, hai cạnh AB và CD không song
song với trục hình trụ.Mp(P) qua CD và song song với trục hình trụ, tính diện tích thiết diện của
(P) và hình trụ.
Vấn đề 4: Hình đa diện, hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình trụ
Bài 1:
Cho khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính R và có đường cao
h=R
2
. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao
cho OA vuông góc với O’B.
1)
Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số
thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
2)
Gọi
(

)
α
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và
mặt phẳng (
α
)
3)
Chứng minh rằng mặt phẳng (
α
) là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy
bằng
2
2
R

Bài 2: Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’=2a. OA và OB’ là hai bán kính của hai
đường tròn đáy (O);(O’) sao cho góc của OA và O’B bằng 30
0
.
1)
Tính độ dài đoạn thẳng AB’ và OO’
2)
Tính tan của góc giữa AB’ và OO’
3)
Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Bài 3: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
4
π
.
1)

Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ
2)
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ

13
3) Một mp
(
)
α
song song với trục hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện ABB
1
A
1. Biết
một
cạnh của thiết diện là dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 120
0
. Tính diện
tích thiết diện.
Bài 4: Một hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c nội tiếp trong một khối trụ. Tính thể tích của
khối trụ.
Bài 5: Cho hình cầu tâm O, bán kính R. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ
ngoại tiếp và nội tiếp hình cầu và thiết diện qua trục của hai hình trụ này là hình vuông. Tính tỉ
số S’/S.
Vấn đề 5: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối
nón
Bài 1:
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I. Góc IOM=30
0
và cạnh IM=a. Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn

xoay
1)
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
2)
Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay đó.
Bài 2: Cho hình nón có đỉnh S, bán kính đáy là R. Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 60
0

1)
Tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo 2 đường sinh vuông góc với nhau
2)
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón\
Bài 3: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a.
1)
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón
tương ứng.
2)
Một thiết diện qua đỉnh hình nón tạo với đáy một góc
α
. Tính diện tích thiết diện và
khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đén thiết diện
Bài 4: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn (C) tâm O, bán kính R=50cm, chiều cao h=40cm.
Mp(P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 24cm.
1)
Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mp(P) và khối nón
2)
Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón
Bài 5: Cho một hình nón có chiều cao h, tạo bởi đường sinh và đáy là
α

1)
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

14
2) Thiết diện qua đỉnh S của hình nón hợp với đáy của hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích
của thiết diện và khoẩng cách từ tâm O của đáy đến thiết diện.
Bài 6: Một mp(P) qua đỉnh của một hình nón cắt đường tròn đáy theo một cung có số đo
bằng
(
)
0
α α π
< <
. Biết rằng (P) hợp với đáy một góc
β
và khoảng cách từ tâm của đáy tới (P)
bằng a. Tính thể tích của hình nón theo a,
,
α β
.
Bài 7: Một mp
(
)
α
đi qua 2 đường sinh của hình nón cắt mặt đáy hình nón theo một dây cung có
độ dài gấp 4 lần đường cao của hình nón. Tính góc
α
giữa mp

(
)
α
và đáy của hình nón
nếu
ϕ
bằng nửa góc ở đỉnh của thiết diện của hình nón khi cắt bởi mp
(
)
α
.
Bài 8: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R=2a nằm trong mp
(
)
α
, góc ở
đỉnh bằng 120
0

1)
Một mp
(
)
α
qua S và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác SMN, biết khoảng cách
từ O đến mp
(
)
α
bằng a/2. Tính diện tích xung quanh của hình nón. Thể tích khối nón

tương ứng và tính diện tích thiết diện SMN
2)
Một mp(P) song song với đáy của hình nón. Khoảng cách từ S đến (P) bằng x. Tìm x theo
a để thể tích của phần khối nón nằm giữa mp(P) và đáy của hình nón bằng 1/3 thể tích
khối nón trên.Khi đó hãy tính diện tích của phầnmặt nón nằm giữa mp(P) và đáy của hình
nón.
Bài 9: Cho khối nón
N
có bán kính R, đường cao SO. Một mp (P) cố định vuông góc với SO tại
O’ và cắt khối nón N theo hình tròn có bán kính R’. Mp(Q) thay đổi, vuông góc với SO tại điểm
O
1
(O
1
nằm giữa O và O’) cắt khối nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x. Tính x theo R
và R’ để (Q) chia phần khối nón nằm giữa (P) và đáy khối nón thành hai phần có thể tích bằng
nhau.
Bài 10: Cho hình nón N có bán kính R, đường cao SO. Gọi (P) là mp vuông góc với SO tại O’
sao cho SO’=1/3SO. Một mp qua trục của hình nón cắt phần khối nón N nằm giữa (P) và đáy
hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích khối nón


nằm giữa mp(P) và mp chứa đáy hình nón N.
Bài 11: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R, góc ở đỉnh là
2
α
. Một
mp(P) vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo một đường tròn tâm H. Đặt SH=x.
1)
Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy là đường tròn tâm H theo

,
x
α
và R
2)
Xác định vị trí điểm H trên SO để thể tích V nói trên là lớn nhất.

15
Bài 12: Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón. Chứng minh
rằng
3
2
6 2
3
v S
π
π
 
 
≤
 
 
 
 

Vấn đề 6: Hình đa diện, hình cầu, hình trụ nội tiếp và ngoại tiếp hình nón
Bài 1: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SO=h và góc
(
)

0
ˆ
45
SAB
α α
= > . Tính
diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón
có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.
Bài 4: Tính thể tích của khối nón biết thể tích khối chóp tam giác đều nội tiếp trong khối nón có
thể tích là V
Bài 5: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với đáy một góc
α
. Tính bán kính của
mặt cầu nội tiếp trong hình tròn.
Bài 6: Gọi (C) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu
nội tiếp hình nón đó, (C) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện
tích hai phần đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích đáy hình nón.
Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a và (P) là mp qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Gọi (C) là đường tròn đường kính BC và nằm trong mặt phẳng (P)
1) Tính bán kính mặt cầu đi qua đường tròn (C) và điểm A
2) Xét hình nón ngoại tiếp mặt cầu nói trên sao cho các tiếp điểm giữa mặt cầu và mặt nón
là (C). Tính thể tích của khối nón.
Bài 8: Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R.
1) Tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất
2) Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết rằng
thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
Bài 9:
1) Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bấn kính R cho trước
2) Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước

Bài 10: Tìm hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn
bán kính a cho trước.

16
Bài 11: Cho hình nón có bán kính đáy là a, đường sinh tạo với mặt đáy một góc
α

1) Tính các bán kính R, r của các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón.
2) Xác định
α
để tỉ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất

ĐÁP ÁN PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Tính thể tích của khối chóp
Hình chóp đều:
Bài 1)
( )
( )
3
3
tan ; , sin
24 2
a a
V d A SBC
ϕ ϕ
= =
Bài 2)
3
3
V a

=
Bài 3)
3
2
3
3cot 1
a
V
ϕ
=
−

Bài 4)
3
13 39
324
a
V =
Bài 5)
3
2
2 3
27sin os
a
V
c
α α
=
Bài 6)
3

2
12
a
V =
Bài 7)
3
4 15
75
a
V =
Bài 8)
3
2
4
3 cot 1
h
V
α
=
−

Bài 9)
3
2
tan 2 tan ; tan
6
a
V
α ϕ ϕ
= =

Bài 10)
3
2 2
2
3 16
a b
V
a b
=
−

Bài 11)
3
2
;tan 2
6
a
V
α
= =
Bài 12)
3
0
4
; 60
9
a
V
ϕ
= =

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
Bài 1)
3
2 15
; arctan 15
3
a
V
ϕ
= =
Bài 2)
3
0
tan ; 60
3
a
V
α α
= =
Bài 3)
2
7
2
BCD
S a
=
Bài 4)
(
)
3

80
SABC
V cm
=
Bài 5)
8 3
V =
Bài 6)
3
2 3
15
R
V =

Bài 7)
3
2
2 cos
sin 2 ;
6
1 sin
a
V a HK
α
α
α
= =
+

Bài 8)

3
6
12
a
V =
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy:
Bài 1)
3
3
tan
12
a
V
α
=
Bài 2)
3
3
12
a
V =
Bài 3)
3
2
sin 2 . 3 tan
24
a
V
α α
= −

Bài 4)
2 2
3
12
ax
V a x
= −

Bài 5)
3
3
96
a
V =

17
Bài 6)
3 3 3
2
5 5 5 tan 5
tan ; tan ; ; tan
6 24 12
5tan 4
SABCD SOCD SICD
a a a a
V V d V
α
α α α
α
= = = =

+

Tính thể tích các dạng khối chóp khác:
Bài 1)
3
2
sin 2
6
SABCD
a
V
ϕ
=
Bài 2)
3
8
SABCD
a
V =
Bài 3)
3
SABCD
V a
=

Bài 4)
3
8
SABCD
a

V =
Bài 5)
3
4 3
27
SABCD
a
V =
Bài 6)
3
2
12
SABC
a
V =
Bài 7)
2
12
SABC
abc
V =
Bài 8)
3
12
ABCD
V abh
=
Bài 9)
3
10 3

SABC
V a=
Bài 10)
3
8 3
cot
9 2
SABCD
r
V
α
=
Tính thể tích của khối chóp tạo bởi thiết diện của một mặt phẳng và khối chóp cho trước:
Bài 1)
3
' '
36
SAB C
a
V =
Bài 2)
2 2
3 3 3
;
8 16
ABMN SABMN
a a
S V= =
Bài 3)
2 3

' ' ABCDD'C'
3 3 5 3
;
2 6
ABC D
a a
S V= =
Bài 4)
3 2
2 cos 2
tan ;
6 sin
SABCD AMNP
a a
V S
α
α
α
= = −
Bài 5)
2 2 3
' '
2
sin 3 cos tan3
;
sin 4 6
ABC D SABCD
a a
S V
α α α

α
= =
Bài 6)
3 3
2
sin
3
12sin .cos
2
SABMN
a
V
α
α
α
=
Tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp tỉ số thể tích:
Bài 1)
3
3
7
HABC
a
V =
Bài 2)
( )
3
3 2
, arccos ;
6 16

ABMN
a
AM BC V= =
Bài 3)
3
4
27
AHK
a
S =
Bài 4)
3
3 3
50
SBCNM
a
V =
Bài 5)
3
3
SBCNM
a
V =
Bài 6)
3
' ' '
16
45
SAB C D
a

V =
Bài 7)
3
2
9
SAMPN
a
V =
So sánh thể tích:
Bài 1)
3 2
15 19 285
; ; ;
12 4 19
SABC SBC
a a a
V S d= = = M là trung điểm của SA.
Bài 2)
3
cos ; sin 2
6 2
a a
V d
α α
= =

18
Bài 3)
( )
2 2

3 5
2 ;
2
MNBC
S a x a x x a
 
−
= − + =
 
 
 

Bài 4)
( )
2 2
1 2
2 ;
2 3
MNCD
a
S a x a x x= − + =
Bài 5)
( )
2 2
1 2 2
2 2 2 ;
4 3
ADNM
a
S a x x a x a x= + − + =

Vấn đề 2: Tính thể tích của khối trụ
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều:
Bài 1)
3
6
;cos
3
V a
ϕ
= =
Bài 2)
3
2 7
;
2 7
a a
V d= =
Bài 3)
3
6
V a=
Bài 4)
3
3 2
16
a
V =

Bài 5)

3
6
8
a
V =

Bài 6)
3
2
V a
=
Bài 7)
3
4
3
a
V =
Bài 8)
3
24
V a
=
Bài 9)
3
2 3
3
a
V =

Bài 10)

3
' '
2
12
MA BC
a
V =

2. Tính thể tích khối lăng trụ xiên:
Bài 1)
3
0
3
;60
4
a
V =

Bài 2)
3
sin
2
a
V
α
=
Bài 3)
3
2
2 2

; 1
8 2
xq
a
V S a
 
= = +
 
 
 

Bài 4)
3 3
2
2
2
2 tan
3tan 1
a
V
α
α
=
−

Bài 5)
3
3
cot
2

a
V
α
=
Bài 6) Tam giác vuông cân;
(
)
3
10 7 2
2
V = −
Bài 7)
3 3
2
27 tan
4 3tan 1
a
V
α
α
=
−

Bài 8)
3
2
4
a
V =

3. Tính thể tích của khối hộp:
Bài 1)
3
2 2
3
a
V =

Bài 2)
3
8 2
3
a
V =

Bài 3)
7
4
V
=

Bài 4)
3
0
3
30 ;
4
a
V =

Bài 5)
3
2
3
4 3cos
6cos
a
V
α
α
= −
Bài 6)
3
2
2
a
V =

Bài 7)
3
2
2
a
V =

Bài 8) V=14

19
Bài 9)
3

' '
6
A O BD
a
V =
Bài 10)
3
'
12
BCD M
a
V
=

Bài 11)
3
2
a
V =
4. Thiết diện của khối lăng trụ:
Bài 1)
2
3
4
S a
=
Bài 2)
2
7 17 25
;

24 47
S a=
Bài 3)
2
9 3
16
S a
=
Bài 4)
2
7 6
16
S a
=
Bài 5)
2
7 219
96
S a
=
Bài 6)
2
5 30
24
S a
=
Vấn đề 3: Các bài toán cực trị thể tích khối đa diện
Bài 1)
3 3
0

2 2 6
sin 2 ; 45 ;max ; arctan
6 6 2
a a
V V
α α α
 
= = = =
 
 
 

Bài 2)
2
min
3
SABC
a h
V =
Bài 3)
2 2
2 3 2 3
1 ; ;max
6 4 3 27
xy x y
V x y V
+
= − = = =
Bài 4)
3

2 6
;min
2 12
a a
x V= =
Bài 5)
3
2 5 3
;max
3 96
SCHK
a a
x V= =
Bài 6)
3
3
max ;
8 2
ABCM
S
a a
V x
= =

Bài 7)
3
2 3
;max
3
R

h V R
= =

Chương II: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
I. Mặt cầu, khối cầu
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 1)
3
3
;
48 2
a a
V R
= =

Bài 2)
2 2
;
3 2
a a
R d= =
Bài 3)
3
3
a
V =
Bài 4)
2
2sin 2
a

R
ϕ
=
Bài 5)
2 2
3
2sin 3cot 1
a
r
ϕ ϕ
=
−

Bài 6)
2 6
3;
3
OA
OH
=
Bài 7)
2
R a
=
Bài 8)
2 2 2
1
2
R a b c
= + +

Bài 9)
2
2 2
4
a
R
a b
=
−


20
Bài 10)
21
6
a
R =

Bài 11) R=a
Vấn đề 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
Bài 1)
6
12
a
r =
Bài 2)
3
tan
6 2

a
r
α
=
Bài 3)
2 2
4
ah
r
a h a
=
+ +

II. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ
Vấn đề 1: Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ
Bài 1)
3
2
;
4
xq
a
S a V
π
π
= =
Bài 2)
(
)
(

)
(
)
2 3 2
70 ; 175 ; 56
xq
S cm V cm S cm
π π
= = =
Bài 3)
Bài 4)
Bài 5)
Bài 6)
2 3
3 3 2
;
2 16
xq
a a
S V
π π
= =
Bài 7)
2
10
2
R
S =

Vấn đề 2: Hình đa diện, hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình trụ

Bài 1)
1
2
1 2
;
2
V R
d
V
π
= =
Bài 2)
Bài 3)
( ) ( )
1 1
8 2
6 ; 2 ; ; 2 3
3
tp ABB A
t C
S V V S
π
π π
= = = =
Bài 4)
Bài 5)
' 1
2
S
S

=

III. Mặt nón, hình nón và khối nón
Vấn đề 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối
nón
Bài 1)
3
2
3
2 ;
3
xq
a
S a V
π
π
= =
Bài 2)
2 2 3
2 2 3 3
; ;
3 3 3
SMN xq
R R R
S S V
π π
∆
= = =
Bài 3) 1)
2 2 3

3 3
; ;
2 4 24
xq tp
a a a
S S V
π π π
= = = ; 2)
2
2
3 3
1 3cot ; cos
4sin 2
ABC
a a
S d
α α
α
∆
= − =

21
Bài 4)
100000
1) 2000;2) 2500 ;
3
SMN xq
S S V
π
π

∆
= = =
Bài 5) 1)
2 3 2
cot cot
;
sin 3
xq
h h
S V
π α α
α
= =
2)
2
2
( /( ))
2
cot 1;
3 2
SAB O SAB
h h
S d
α
∆
= − =

Bài 6)
3
2 2

3cos sin .cos
2
a
V
π
α
α β
=
Bài 7)
0
60
ϕ
=
Bài 8) 1)
2 3 2
8 3 8 3 32 13
; ;
3 9 169
xq SMN
R R a
S V S
π π
∆
= = =
2)
3
2 2 3
3
a
x =

Bài 9)
3 3
3
'
2
R R
x
+
=
Bài 10)
3
52
81
R
V
π
=
Bài 11)
( )
2 2
1 2
tan cot ; cot
3 3
R
V x R x x
π α α α
= − =
Vấn đề 2) Hình đa diện, hình cầu, hình trụ nội tiếp và ngoại tiếp hình nón
Bài 1)

3
6
27
a
V
π
=
Bài 2)
2
2
2
cos (tan 1)
xq
h
S
π
α α
=
−

Bài 3)
2
5
4
xq
a
S
π
=
Bài 4)

4 3
9
N
V V
π
=
Bài 5)
tan
2
r R
α
=
Bài 6)
1
2
4
21
S
S
=

Bài 7)
3
3 3
;
3 3
a a
r V
π
= =

Bài 8)
( )
2 2 4 4
, ; ' 2 2
3 3 3
R R R
r h h= = = −
Bài 9)
2 2 4
, ; 2, 4
3 3
R R
r h x r h r
= = = =

Bài 10)
; 2
2
a
r h a
= =
Bài 11)
0
; tan ; 60
2sin 2 2
a
R r a
α
α
α

= = =