Chuyên đề vận dụng cao môn Toán

CHINH PHỤC CÂU HỎI VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ
VẬN DỤNG CAO
MƠN TỐN

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020



LỜI NĨI ĐẦU
Xin chào tồn thể cộng đồng học sinh 2k2!
Đầu tiên, thay mặt toàn thể các Admin group “CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC
GIA NĂM 2020” chân thành cảm ơn các em đã đồng hành cùng GROUP trong những
ngày tháng vừa qua.
Cuốn sách các em đang cầm trên tay này là công sức của tập thể đội ngũ Admin Group,
chính tay các anh chị đã sưu tầm và biên soạn những câu hỏi hay nhất, khó nhất từ các đề
thi của các sở, trường chuyên trên cả nước. Thêm vào đó, là những câu hỏi được chính
các anh chị thiết kế ý tưởng riêng. Giúp các bạn có thể ôn tập, rèn luyện tư duy để chinh
phục 8+ môn Tốn trong kì thi sắp tới.
Sách gồm 4 chương của phần Giải tích lớp 12 bao gồm: Hàm số và các bài toán liên quan,
Hàm số mũ và Logarit, Nguyên hàm – tích phân và Ứng dụng, Số phức. Đầy đủ từng
dạng, rất thuận lợi cho các em trong quá trình ơn tập.
Trong q trình biên soạn, tài liệu khơng thể tránh được những sai xót, mong bạn
đọc và các em 2k2 thông cảm.
Chúc các em học tập thật tốt!
Tập thể ADMIN.

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU:………………………………………………………………………………….

3

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ……………………………………………….

8

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ……….……………………………………………….. 16
CHỦ ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT…..…………………………….. 33
CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ……...…………………………………….. 41
CHỦ ĐỀ 5: ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ………………..…..……………………….. 48
CHỦ ĐỀ 6: TƯƠNG GIAO ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM…………………………………….. 54
CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM – SỰ TIẾP XÚC...…………………………………….. 68
CHỦ ĐỀ 8: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………….. 81

CHƯƠNG 2: MŨ VÀ LOGARIT
CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA………………………….……………………………………………. 95
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨ VÀ LOGARIT…………….………………………………………. 97
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ………. ……………………. 107
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT..……………………. 119
CHỦ ĐỀ 5: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………….. 141

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1: MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN………..……………………………………. 150
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM……...…………………………………. 157
CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN CƠ BẢN……………………………………………………………. 164
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN……...……………………………………. 176

CHỦ ĐỀ 5: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN…………………………………. 192
CHỦ ĐỀ 6: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI…………. 206

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
CHỦ ĐỀ 1: CÁC PHÉP TỐN SỐ PHỨC………….………………………………………. 219
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VỚI HỆ SỐ PHỨC..………………………………. 223
CHỦ ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC…...…………………………………. 228
CHỦ ĐỀ 4: MAX – MIN CỦA MODUN SỐ PHỨC…..……………………………………. 237


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 
VÍ DỤ 1: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và
 2
 
f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số
 2


  
f  x  trên đoạn  ;  .
6 2

A. m 

21

, M 2 2.
2

B. m 

5
, M 3
2

.C. m 

5
, M  3.
2

D. m  3 , M  2 2 .

Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x 


f  x. f  x
1 f 2  x

 cos x  

f  x. f  x
1 f 2  x

dx  sin x  C

Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   tdt  f  x  f   x  dx .
Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C .
Do f  0   3  C  2 .Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4sin x 3

 
 f  x   sin 2 x  4sin x  3 , vì hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  .
 2
Ta có


6

x


2



1
 sin x  1 , xét hàm số g  t   t 2  4t  3 có hồnh độ đỉnh t  2 loại.
2

 1  21
Suy ra max g  t   g 1  8 , min g  t   g    .
1 
1 
2 4

 ;1
 ;1
2
2








 
 
21
.
Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g   
  
  
2
6
2


 ; 
 ; 
6 2
6 2










VÍ DỤ 2 : Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d với a, b, c, d là các hệ số thực và a  0 . Hàm
số f  x  nghịch biến trên

a  0
A.  2
.
b  3ac

khi và chỉ khi:

a  0
B.  2
.
b  3ac

a  0
C.  2
.
b  3ac
Lời giải





Chọn A
Ta có: f   x   3ax 2  2bx  c có f  x   b 2  3ac .



Hàm số f  x  nghịch biến trên

a  0
D.  2
.
b  3ac

khi và chỉ khi

 3a  0
 a0
 a0

.
 2
   0   2

b  3ac  0
b  3ac
 f  x 

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 8


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN


VÍ DỤ 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  được cho như hình bên.

Hàm số y  2 f  2  x   x 2 nghịch biến trên khoảng
y
3
1
1 O

2

3 4

5

x

2

A.  3;  2  .

B.  2;  1 .

C.  1; 0  .

D.  0; 2  .

Lời giải


Chọn C



Ta có y  2 f  2  x   x 2  y    2  x  2 f   2  x   2 x



y  2 f   2  x   2 x  y  0  f   2  x   x  0  f   2  x    2  x   2 .



Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y  x  2 cắt đồ thị y  f   x  tại hai điểm có hồnh

1  x1  2
và cũng từ đồ thị ta thấy f   x   x  2 trên miền
độ nguyên liên tiếp là 
x
3

 2
2  x  3 nên f   2  x    2  x   2 trên miền 2  2  x  3  1  x  0 .


Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 0  .

 VÍ DỤ 4: Hàm số y   x  m    x  n   x3 đồng biến trên khoảng  ;    . Giá trị nhỏ
3

3

nhất của biểu thức P  4  m2  n2   m  n bằng

A. 16 .

B. 4 .

C.

1
.
16

D.

1
.
4

Lời giải
Chọn C
2
2
Ta có y  3  x  m   3  x  n   3x 2  3  x 2  2  m  n  x  m 2  n 2  .
a  0

Hàm số đồng biến trên  ;     
 mn  0 .
  0
m  0
* Trường hợp 2: mn  0  
.
n  0
Do vai trò của m, n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m  0 .
1 1
1

 P  4n2  n   2n      1 .
4  16
16

*Trường hợp 2: m n  0  m  0; n  0 .
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 9


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
2

1
1
1

Ta có P   2m     4n2   n     2  .
4  16

16

1
1
1
Từ 1 ,  2  ta có Pmin   . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi m  ; n  0 hoặc m  0; n  .
8
8
16


VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
y  x 3   m  1 x 2   m 2  2m  x  3 nghịch biến trên khoảng  0;1 .
3
A.  1;  
D.  0;1
B.  ;0
C.  1;0 .
.
.
.
Lời giải
Chọn C

x  m
Ta có: y  x 2  2  m  1 x  m2  2m; y  0  
.
x  m  2
Do đó ta có bảng biến thiên:

m  0
Để hàm số nghịch biến trên  0;1 thì  0;1   m; m  2   
 1  m  0 .
m  2  1

.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
và có đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ. xét

CÂU 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên

hàm số g  x   f  2  x 2  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
y

1

1

2

O

x

2

A. Hàm số f  x  đạt cực trị tại x  2 .

B. Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  .

C. Hàm số g  x  đồng biến trên  2;    .

D. Hàm số g  x  đồng biến trên  1;0  .

CÂU 2. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 10


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số g  x   f  2  x   2 ?
I. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  4; 2  .
II. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
III. Hàm số g  x  đạt cực tiểu tại điểm 2 .
IV. Hàm số g  x  có giá trị cực đại bằng 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
A. 3 .
CÂU 3: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y  f 1  x 2 
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.





3;  .







B.  3; 1 .



D.  0;1 .

C. 1; 3 .

CÂU 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x3  3x 2  mx  1 nghịch biến trên khoảng

 0;   .

A. m  0 .

B. m  3 .

D. m  3 .

C. m  0 .

CÂU 5: Với tất cả các giá trị thực nào của tham số m thì hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x
nghịch biến trên đoạn  0;1 ?
B. 1  m  0 .
A. 1  m  0 .

D. m  0 .

C. m  1 .

CÂU 6: Tìm m để hàm số y   x3  3x 2  3mx  m  1 nghịch biến trên  0;   .
A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 .

CÂU 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y  x  5 
A. 10 .

B. 8 .

C. 9 .

D. m  1 .
1 m
đồng biến trên 5;    ?
x2
D. 11 .

CÂU 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  mx   m  1 x  2 nghịch biến trên

D   2;   .
A. m  1 .
CÂU 9: Cho hàm số

C. m  1 .

B. m  0 .

f  x  có đạo hàm trên

D. 2  m  1.

và có đồ thị y  f   x  như hình vẽ. Xét hàm số

g  x   f  x 2  2  . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số g  x  nghịch biến trên  1;0  .

B. Hàm số g  x  nghịch biến trên    .

C. Hàm số g  x  nghịch biến trên  0; 2  .

D. Hàm số g  x  đồng biến trên    .

CÂU 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình:
nghiệm thực.
A.3.

B. 5.
C. 4.
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

1  2 cos x  1  2sin x 

m
có
2

D. 2
Trang 11


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
GIẢI CHI TIẾT
CÂU 1: Chọn D
Dễ thấy f   x  đổi dấu từ  sang  khi qua x  2 nên hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x  2 nên
A. đúng
f   x   0, x   ; 2  nên hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  . B. đúng

x  0
x  0


Ta có g   x   2 x. f   2  x 2  , g   x   0   2  x 2  1   x  3 trong đó x   3 là
x   3
2  x2  2



nghiệm kép, x  0 là nghiệm bội bậc 3 , do đó, g   x  chỉ đổi dấu qua x  0 .
Lại có, g  1  2. f  1  2.  4   8  0
Ta có BBT
x 
 3

g  x 
g  x



0

0


0



3



0







0

Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên khoảng  0;    và nghịch biến trên  ;0  . C. đúng, và D. sai.
CÂU 2: Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  f  x  có

x  1
x  0
f  x  0  
, f  x  0  
, f   x   0  0  x  2 và f  0   1 , f  2   2 .
x  2
x  2
Xét hàm số g  x   f  2  x   2 ta có g   x    f   2  x  .
2  x  0
.
Giải phương trình g   x   0  
2  x  2
Ta có
g  x  0   f  2  x  0  f 2  x  0  0  2  x  2  0  x  2 .

2  x  0  x  2
g  x  0   f   2  x  0  f   2  x   0  
.

2  x  2  x  0
g  0   f  2  0   2  f  2   2  4 . g  2   f  2  2   2  f  0   2  3 .
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  nên I sai.
Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  ;0  và  2;   nên II sai.
Hàm số g  x  đạt cực tiểu tại x  2 nên III sai.
Hàm số g  x  đạt cực đại tại x  2 và gCĐ  g  0  nên IV đúng.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 12


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CÂU 3: Chọn C

x  0
x  0



Ta có y   f 1  x 2   2 x. f  1  x 2   y  0  1  x 2  2   x  1 .
x   3
1  x 2  4


Mặt khác ta có
  3  x  1
.
f  1  x 2   0  2  1  x 2  4  
1  x  3

Ta có bảng xét dấu:





Vậy hàm số y  f 1  x 2  nghịch biến trên khoảng 1; 3 .
CÂU 4: Chọn D
f '  x   3x 2  6 x  m .
Hàm số f  x  nghịch biến trên  0;    f '  x   0, x   0;   .

 3x 2  6 x  m  0, x   0;    m  3x 2  6 x, x   0;  * .
Xét hàm số y  g  x   3x 2  6 x trên  0;   .

g '  x   6x  6  0  x  1 .
Do đó.
*  m  min g  x   m  3 .
x 0; 

CÂU 5: Chọn A
Xét hàm số: y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x .

.

Ta có: y '  3x 2  6  m  1 x  3m  m  2  .

x  m
y'  0  
 m  m  2, m .
x  m  2

Bảng biến thiên.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 13


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

.
Theo Bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên đoạn  0;1 khi và chỉ khi y '  0, x  0;1 .

m  0
m  0


 1  m  0 .
m  2  1 m  1
CÂU 6: Chọn B
Ta có y  3x 2  6 x  3m  3   x 2  2 x  m  .

Vì hàm số liên tục trên nửa khoảng  0;   nên hàm số nghịch biến trên  0;   cũng tương

đương hàm số nghịch trên  0;   khi chỉ khi y  0, x  0,   .

  x 2  2 x  m  0 x   0;    m  x 2  2 x  f  x  x   0;  
 m  min f  x   f 1  1

.

0; 

CÂU 7: Chọn B
Tập xác định: D 

\ 2 . Đạo hàm: y  1 

Xét hàm số f  x   x 2  4 x  3 trên 5;    .

m 1

 x  2

2



x2  4 x  m  3

 x  2

2

.

Đạo hàm: f   x   2 x  4 . Xét f   x   0  x  2  y  1. Ta có: f  5  8 .
Bảng biến thiên:
x
y




2
0

5
0










8

y

1

 x  2   0 với mọi x  5;    nên y  0 , x  5;   
x  5;    . Dựa vào bảng biến thiên ta có: m  8  m  8 .
Mà m nguyên âm nên ta có: m  8;  7;  6;  5;  4;  3;  2;  1 .

Do

2

Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số y  x  5 

khi và chỉ khi f  x   m ,

1 m
đồng biến trên 5;   
x2

CÂU 8: Chọn A

m 1
, y  xác định trên khoảng  2;   .
2 x2
1
Nhận xét: khi x nhận giá trị trên  2;   thì
nhận mọi giá trị trên  0;   .
2 x2
1
).
Yêu cầu bài toán  y  0, x   2;     m  1 t  m  0, t   0;   (đặt t 
2 x2

Ta có: y  mx   m  1 x  2  y  m 

m  1  0

 m  1 .
m   m  1  0  0

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 14


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CÂU 9:Chọn A
Dựa vào đồ thị ta thấy f   x   0  x    .
Ta có g   x   2 x. f   x 2  2  .

 x  0

 x  0
x  0



2
2
 2  x  2
f   x  2  0


x
2
2


0  x  2





.
  x  0
g   x   0  2 x. f   x 2  2   0  


2


x

x
0
x
0






 x  2
2
  2




x
2
2
f
x
2

0







 

   x  2

Như vậy đáp án B, C đều đúng và đáp án A sai. Tương tự chứng minh được đáp án D
đúng.
CÂU 10: Chọn A
Khơng mất tính tổng qt ta chỉ xét phương trình trên   ;   .

1  2sin x  0
  2 
Điều kiện 
 x   ;  .
 6 3 
1  2cos x  0

Phương trình đã cho tương đương với
2  2  sin x  cos x   2 1  2 cos x 1  2sin x 

m2
4

*  m  0  .



  2 

Đặt t  sin x  cos x với x    ;  thì 2 sin  t  sin x  cos x  2 sin  x    2
12
4
 6 3 

 3 1

; 2 .
 t
 2

Mặt khác, ta lại có t 2  1  2sin x cos x .
m2
Do đó *  2  2t  2 2t 2  2t  1 
4
 3 1

4t  2

Xét hàm số f  t   2t  2  2 2t 2  2t  1, t  
; 2  có f   t   2 
0
2t 2  2t  1
 2

t
3 1
2
2
+
f  t 
f t 

4





2 1

3 1

Từ bảng biến thiên, ta kết luận rằng phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi

m2
 4 2 1
 3 1 
2

3  1  m  4 2  1 . Vậy có 3 giá trị của m .
4

m  0










GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 15


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 VÍ DỤ 1: Biết rằng đồ thị hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c có 2 điểm cực trị là A  0; 2  ,

B  2;  14  . Tính f 1 .
A. f 1  5 .

B. f 1  0 .

C. f 1  6 .

D. f 1  7 .

Lời giải:
Chọn A
Tập xác định D 

, y  4ax3  2bx .


1
c  2
Đồ thị hàm số qua A  0; 2  , B  2;  14   

16a  4b  c  14

 2

.

Hàm số đạt cực trị tại B  2;  14   32a  4b  0  3 .
Giải 1 ;  2  ;  3 , ta được a  1 , b  8 , c  2 .  f  x   x 4  8x 2  2  f 1  5 .
 VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

y  f  x  có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Lời giải
Chọn A
Ta có đồ thị hàm y  f  x  như hình vẽ sau:

Từ đồ thị ta thấy ngay đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị.


VÍ DỤ 3: Cho hàm số f  x    m2018  1 x 4   2m2018  22018 m2  3 x 2  m2018  2018 , với m
là tham số. Số cực trị của hàm số y  f  x   2017 .
A. 3 .

B. 5 .

C. 6 .

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

D. 7 .

Trang 16


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Lời giải

Chọn D
Đặt g  x   f  x   2017 .
Ta có g   x   f   x   4  m2018  1 x3  2  2m2018  22018 m2  3 x .
x  0

Khi đó f   x   0   2 b 2m 2018  22018 m2  3 .

x 

2a
4  m 2018  1


Nhận xét

2m2018  22018 m2  3
 0 m 
4  m2018  1

nên hàm số g  x   f  x   2017 ln có 3 cực trị.

Nhận xét f 1   m2018  1   2m2018  22018 m2  3  m2018  2018 .
Do đó g 1  22018 m2  1  0 m . Suy ra hàm số g  x  ln có ba cực trị trong đó có hai cực tiểu
nằm bên dưới trục Ox nên hàm số y  f  x   2017 có 7 cực trị.
VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  của nó trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi



đó trên K , hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

.
A. 1 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Quan sát đồ thị f   x  ta có f   x   0 tại 3 điểm x1  x2  0  x3 . Mà f   x  chỉ đổi dấu qua x1
nên y  f  x  chỉ có một cực trị.
x cos x  sin x
. Hỏi đồ thị của hàm số
x2
y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng  0; 2018  ?

 VÍ DỤ 5 : Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  
A. 2019 .

C. 2017 .

B. 1 .

D. 2018 .

Lời giải
Chọn C
Ta có F   x   f  x  

x cos x  sin x
; F   x   0  x cos x  sin x  0 ,  x  0  (1)
x2

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 17


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Ta thấy cos x  0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1)  x  tan x (2).

 
Xét g  x   x  tan x trên  0; 2018  \ k  , k  
 2
1
 
có g   x   1 
  tan 2 x  0,   0; 2018  \ k  , k   .
2
cos x
 2
 
+ Xét x   0;  , ta có g  x  nghịch biến nên g  x   g  0   0 nên phương trình x  tan x vơ nghiệm.
 2
  3 
+ Vì hàm số tan x có chu kỳ tuần hoàn là  nên ta xét g  x   x  tan x , với x   ;  .
2 2 
  3 

 23 
Do đó g  x  nghịch biến trên khoảng  ;  và g   .g     0 nên phương trình x  tan x có
2 2 
 16 
duy nhất một nghiệm x0 .
  4035 
Do đó,  ;
  có 2017 khoảng rời nhau có độ dài bằng  . Suy ra phương trình x  tan x có 2017
2 2

  4035 
nghiệm trên  ;
.
2 2

 4035

+ Xét x  
; 2018  , ta có g  x  nghịch biến nên g  x   g  2018   2018 nên phương trình
 2

x  tan x vơ nghiệm.
Vậy phương trình F   x   0 có 2017 nghiệm trên  0; 2018  . Do đó đồ thị hàm số y  F  x  có

2017 điểm cực trị trong khoảng  0; 2018  .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
CÂU 1.

Biết rằng đồ thị hàm số y  x3  3x 2 có dạng như hình vẽ:

y
4

-3

-2

O

1 x

Hỏi đồ thị hàm số y  x3  3x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 1 .

C. 2 .

2
CÂU 2: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  x 2  , x  0. .
x
A. m  2 .
B. m  3 .
C. m  4 .

D. 0 .

D. m  5 .
x
y


là :
y 1 x 1
2
D. .
3

CÂU 3: Cho 2 số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  1 . Giá trị lớn nhất của S 
A. 0 .
CÂU 4: Cho hàm số f  x  
nhất tại điểm x  1. .

B. 1 .

xm
x2  1

C. 2 .

. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đạt giá trị lớn

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 18


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
B. m  1 .

A. Khơng có giá trị m .

C. m  2 .

D. m  3 .
mx  5
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0;1 bằng 7 .
xm
B. m  1.
C. m  0 .
D. m  5 .

CÂU 5: Tìm m để hàm số f  x  
A. m  2 .
CÂU 6: Tìm m để hàm số y 
A. m  0 .

mx
đạt giá trị lớn nhất tại x  1 trên đoạn  2; 2 ?
x2  1
B. m  2 .
C. m  2 .
D. m  0 .

CÂU 7 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
nhất trên  0; 2 tại một điểm x0   0; 2  .
C. m  2 .

B. 1  m  1 .

A. m  1.

x 2  mx  1
liên tục và đạt giá trị nhỏ
xm

D. 0  m  1 .

mx  1
1
đạt giá trị lớn nhất bằng trên [0; 2] .
xm
3
B. m  3 .
C. m  1 .
D. m  1 .

CÂU 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y 
A. m  3 .

CÂU 9: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  

 2; 1 bằng 4

m2 x  1
trên đoạn
x 1

?

A. m  3 .

C. m 

B. m .

 26
.
2

D. m  9 .





CÂU 10: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  k 2  k  1 x trên
đoạn  1; 2 . Khi k thay đổi trên
A.

33
.
4

, giá trị nhỏ nhất của M  m bằng.

B. 12 .

C.

45
.

4

D.

37
.
4

CÂU 11: Hàm số y  f  x  có đúng ba cực trị là 2 , 1 và 0. Hỏi hàm số y  f  x 2  2 x  có bao nhiêu
A. 3 .

điểm cực trị?

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

và hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm

CÂU 12 : Cho hàm số y  f  x  xác định trên
cực trị của hàm số y  f  x 2  3 .

y

2

1

-2

x

O

A. 4 .

B. 2 .

CÂU 13: Cho hàm số y  f  x  xác định trên

C. 5 .

D. 3 .

và có đồ thị hàm số y  f   x  là đường cong ở

hình bên. Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 19


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A. 6 .

B. 5 .

C. 4 .

D. 3 .

CÂU 14: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên tập
và có đạo hàm f   x   x3  x  1  2  x  .
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
A. 0 .
2





CÂU 15 : Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f   x    x 2  1 x  3 . Số điểm cực trị của hàm số này là:
2

B. 2 .

C. 3 .
D. 4 .
CÂU 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ sau:
A. 1 .

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x   5 x là:
B. 3 .

A. 2 .

C. 4 .

D. 1 .

m
có 5 điểm cực trị là.
2
D. 496 .

CÂU 17: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  9 x  5 
A. 2016 .

B. 1952 .

C. 2016 .

CÂU 18: Cho hàm số y  x  mx  5 ,  m  0  với m là tham số. Hỏi hàm số trên có thể có nhiều nhất bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
3

CÂU 19: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x3  2 x 2  x3  2 x  với mọi x 

. Hàm số

f 1  2018 x  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 9 .

B. 2018 .

C. 2022 .

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

D. 11 .
Trang 20


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CÂU 20. Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d với a, b, c, d 

d  2018
; a  0 và 
.
a  b  c  d  2018  0

Số cực trị của hàm số y  f  x   2018 bằng
C. 1.

B. 2.

A. 3.

D. 5.

CÂU 21: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ bên. Đồ thị hàm
số g  x   2 f  x    x  1

2

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

B. 5 .

A. 3 .

C. 6 .

D. 7

m  n  0
CÂU 22: Cho hàm số f  x   x3  mx 2  nx  1 với m , n là các tham số thực thỏa mãn 
.
7  2  2m  n   0
Tìm số cực trị của hàm số y  f  x  .
A. 2 .

B. 9 .

C. 11 .

CÂU 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên
x

f  x



2
0



D. 5 .

và có bảng xét dấu f   x  như sau
1
0



Hỏi hàm số y  f  x  2 x  có bao nhiêu điểm cực tiểu.



3
0





2

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

CÂU 24: Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ dưới đây:

1
Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  f  x  2018  m2
3
có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập S bằng:
A. 7 .
B. 6 .
C. 5 .
D. 9 .
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 21


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CÂU 25: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y  f  x   m có ba điểm cực trị là

y

A. m  1 hoặc m  3 .

B. m  3 hoặc m  1 .

C. m  1 hoặc m  3 .

D. 1  m  3 .

1

O

x

3

CÂU 26: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x 2  2 x  với x 
2

. Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để hàm số f  x 2  8x  m  có 5 điểm cực trị?
A. 15 .

B. 17 .

C. 16

D. 18

CÂU 27: Cho hàm số f  x   x3  mx  2 , m là tham số. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm

phân biệt có hồnh độ là a , b , c . Tính giá trị biểu thức P 
A. 0 .

B.

1
.
3

C. 29  3m .

1
1
1


f   a  f   b f  c
D. 3  m .

1
CÂU 28: Xác định các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y  x 3  x 2  mx  m có các điểm cực
3
2 
đại và cực tiểu A và B sao cho tam giác ABC vng tại C trong đó tọa độ điểm C  ;0  ?
3 

A. m 

1
.

3

B. m 

1
.
2

C. m 

1
.
6

D. m 

1
4

CÂU 29: Cho hàm số y  x3  3mx 2  3  m2  1 x  m3  m , với m là tham số. Gọi A , B là hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số và I  2; 2  . Tổng tất cả các số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội
tiếp đường trịn có bán kính bằng 5 là:
2
4
14
20
B.
.
C.
.

D.
.
A.  .
17
17
17
17
CÂU 30: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  2m  3 có ba điểm cực trị A , B , C
sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ số diện
4
tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng
.
9
1  15
5 3
1  3
1  15
.
B. m 
.
C. m 
.
D. m 
.
A. m 
2
2
2
2

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 22


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

GIẢI CHI TIẾT
CÂU 1.

Chọn A
3
3
2
2

khi x3  3x 2  0  x  3 
khi x  3
 x  3x
 x  3x
Ta có: y  x  3x   3
.


3
2
2
3
2


 x  3x khi x  3x  0  x  3 
 x  3x khi x  3

3

2

Nên ta lấy phần đối xứng của đồ thị hàm số y  x3  3x 2 khi x  3 .
y
4

-3

-2

O

1 x

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
CÂU 2: Chọn B

y  x2 

2
1 1
1 1
1
 x 2    3 3 x 2 . .  3 , dấu bằng đạt được khi x 2   x  1 .
x

x
x x
x x

CÂU 3: Chọn B
Do x  y  1  y  1  x .
x
1 x
1 x
x



với x   0;1 .
Xét S x  
1 x 1 x 1 2  x x 1
1
2
S 

 0 với x   0;1 .
2
2
 2  x   x  1
Suy ra MaxS  S  0   1 .

CÂU 4: Chọn B
, y 

Tập xác định D 

x

1  mx

2

 1 x 2  1

.

nên để hàm số đạt GTLN tại x  1 , điều kiện cần là
Vì hàm số liên tục và có đạo hàm trên
y(1)  0  1  m  0  m  1 .
Khi đó ta lập bảng biến thiên và hàm số đạt GTLN tại x  1. .
CÂU 5: Chọn A
TXĐ: D 

\ m .

m2  5
 0x  D nên f  x  nghịch biến trên D .
 x  m
m5
 7  m  2 .
Do đó min f  x   f 1  7 
0;1
1 m
f  x 

CÂU 6: Chọn A
Ta có y ' 

m 1  x 2 

x

2

 1

2

 x  1
, y'  0  
.
x  1

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 23


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x  1 trên
đoạn  2; 2 khi.

y 1  y  2  ; y 1  y  2  ; y 1  y  1 hay m  0 .
CÂU 7 : Chọn D
Điều kiện: x  m . Ta có: y 

x 2  2mx  m2  1

 x  m

2

 x  m 1 .

2
 x  m
2

Do hệ số x 2 là số dương và theo yêu cầu đề bài ta có bảng biến thiên như sau:

Cho y  0 có nghiệm m  1 và m  1 nên x0  m  1 .
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 nên 0  m 1  2  1  m  1.

.

Kết hợp điều kiện để hàm số liên tục trên  0; 2 thì m  0  m  0 .
Ta có giá trị m cần tìm là 0  m  1 .
CÂU 8: Chọn C
Ta có, y ' 

m2  1

 x  m

2

 0,  x   m . Suy ra, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Để hàm

mx  1
1
đạt giá trị lớn nhất bằng trên [0; 2] thì.
xm
3
m   0; 2 m   0; 2



1   2m  1 1  m  1. .

 y  2 

3

 m2 3

số y 

CÂU 9: Chọn A
Ta có : f   x  

m2  1

 x  1

2

 0x  1 hàm số f  x  liên tục trên đoạn  2; 1 nên giá trị nhỏ nhất

m2  1
 4  m 2  9  m  3 .
của f  x   4  f  1  4 
1  1

CÂU 10: Chọn C
2

1 3

Ta có: y  3x  k  k  1  3x   k     0 .
2 4

M  y  2   8  2  k 2  k  1
Nên hàm số đồng biến trên =>
.
m  y  1  1   k 2  k  1
2

2

2

2

1  45 45


.
 M  m  9  3  k  k  1  3  k   

2
4
4

CÂU 11: Chọn A
2

 x  2
Vì hàm số y  f  x  có đúng ba cực trị là 2,  1 và 0 nên f   x   0   x  1 .

 x  0
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 24


CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(Cả 3 nghiệm này đều là nghiệm đơn theo nghĩa f   x  đổi dấu khi qua ba nghiệm này)






Ta có: y  f  x 2  2 x    2 x  2  f   x 2  2 x 
x  1
x  1

x  1


2
2
x  1
x  2 x  2
x  1  0




 2
y  0  
  x  0 .
2





f
x
2
x
0
x  2 x  1

x0
 


 x  2

2
 x  2
 x  2 x  0
(Cả 3 nghiệm này cũng đều là nghiệm đơn theo nghĩa y  đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

Vậy hàm số y  f  x 2  2 x  có 3 cực trị.

Chú ý: Ta có thể chọn f   x   x  x  1 x  2  nhận 2,  1 và 0 làm nghiệm đơn.






Khi đó: y  f  x 2  2 x    2 x  2  f   x 2  2 x    2 x  2   x 2  2 x  x 2  2 x  1 x 2  2 x  2 
Rõ ràng từ đây dễ dàng kiểm tra về tính cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  .

CÂU 12 : Chọn D
Quan sát đồ thị ta có y  f   x  đổi dấu từ âm sang dương qua x  2 nên hàm số y  f  x  có một
điểm cực trị là x  2 .
x  0
x  0


.
Ta có y   f x 2  3   2 x. f  x 2  3  0   2
 x  1

 x  3  2
Do đó hàm số y  f  x 2  3 có ba cực trị.









CÂU 13: Chọn D
Dựa vào đồ thị y  f   x  ta thấy phương trình f   x   0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f   x  chỉ đổi
dấu 3 lần.
Vậy hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị.
CÂU 14: Chọn D

 x0
Ta có f   x   x  x  1  2  x   0   x  1.

 x  2
Mặt khác f   x  đổi dấu khi đi qua x  0 và x  2 nên hàm số có 2 điểm cực trị.
3

2

CÂU 15 : Chọn B



f   x    x 2  1 x  3
Bảng xét dấu y 



2

x  1

 0   x  1 .
x  3


Do đó số điểm cực trị của hàm số là 2 .
CÂU 16: Chọn D
Ta có: y  f   x   5 ; y  0  f   x   5 . Dấu đạo hàm sai y 
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020.

Trang 25