Giải tích đa trị potx

LOGO
GIẢI TÍCH ĐA TRỊ
BỘ MÔN TOÁN – KHOA SƯ PHẠM- TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG.
GIẢNG VIÊN : LÊ KIÊN THÀNH.
MỤC LỤC

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Không gian tuyến tính và tập lồi

Không gian tuyến tính sắp thứ tự

Chương 2: Giới hạn và tính liên tục của hàm số

Giới hạn dãy tập

Ánh xạ đa trị

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Chương 3: Quá trình lồi đóng

Chương 4: Tồn tại và ổn định của điểm cân bằng
3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
4
1. Không gian tuyến tính và tập lồi

Định nghĩa không gian tuyến tính.


Định nghĩa tập hợp lồi (tiết 1).
Tiết 2
5
Định nghĩa và các tính chất nón lồi
NỘI DUNG BÀI GIẢNG
6
Ổn định lớp
Củng cố
Tiến trình bài mới
kiểm tra bài cũ
Dặn dò
1
4
2
3
1
5
Bài tập. Cho tập hợp con C không rỗng của không gian tuyến tính
thực X.
Tập hợp C có tính chất và tập hợp C thỏa
điều kiện . Chứng minh rằng C là tập lồi
C + C ½CC + C ½C
x 2 C;¸ > 0 =) ¸x 2 Cx 2 C;¸ > 0 =) ¸x 2 C
Nghĩa là nón C là lồi.
Với bao hàm thức khi đó ta có
Thật vậy, với mọi ta có
x;y 2 C;¸ 2 [0;1]x;y 2 C;¸ 2 [0;1]
¸x 2 C (1¡ ¸)y 2 C¸x 2 C (1¡ ¸)y 2 C
C + C ½CC + C ½C
¸x + (1¡ ¸)y 2 C¸x + (1¡ ¸)y 2 C

¤¤
7
KIỂM TRA BÀI CŨ
8
22
Nón sinh bởi một tập
Nội dung
I. Định nghĩa nón
II. Các tính chất của nón
21
Nón có đỉnh
22
Nón tái tạo
21
Nón lồi
ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA NÓN
9
Giả sử C là một tập con không rỗng của không gian tuyến tính
thực X.
I. Khái niệm nón
1. Định nghĩa
1. Tập C được gọi là Nón, nếu
x 2 C;¸ ¸ 0 =) ¸x 2 Cx 2 C;¸ ¸ 0 =) ¸x 2 C
2. Một nón C gọi là nón có đỉnh, nếu
C ¡ C = XC ¡ C = X
ĐỊNH NGHĨA NÓN
11
2. Một nón C gọi là tái tạo, nếu
3. Tập con lồi không rỗng B của nón lồi gọi
là một cơ sở của C, nếu mỗi được

biểu diễn duy nhất dạng
C [ (¡ C) = f X gC [ (¡ C) = f X g
C 6= f 0
X
gC 6= f 0
X
g
x = ¸b ¸ > 0;b2 Bx = ¸b ¸ > 0;b2 B
x 2 C nf 0
X
gx 2 C nf 0
X
g
ĐỊNH NGHĨA NÓN
13
II. Các tính chất của nón
Bổ đề 1.2
Nón C trong không gian tuyến tính thực là lồi khi và chỉ khi
C + C ½CC + C ½C
Chứng minh
Giả sử C là nón lồi. Khi đó, với ta có
Suy ra . Vậy,
x;y 2 Cx;y 2 C
1
2
x +
1
2
y =
1

2
(x + y) 2 C
1
2
x +
1
2
y =
1
2
(x + y) 2 C
x + y 2 Cx + y 2 C
C + C ½CC + C ½C
=) )=) )
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
14
( =)( =)
Nghĩa là nón C là lồi.
Với bao hàm thức khi đó ta có
Với mọi ta có
x;y 2 C;¸ 2 [0;1]x;y 2 C;¸ 2 [0;1]
¸x 2 C (1¡ ¸)y 2 C¸x 2 C (1¡ ¸)y 2 C
C + C ½CC + C ½C
¸x + (1¡ ¸)y 2 C¸x + (1¡ ¸)y 2 C
¤¤
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
15
Bổ đề 1.2
Giả sử C là nón lồi trong không gian tuyến tính thực X, với phần
trong đại số không rỗng. Khi đó

a) là nón lồi,
b) .
int(C) [ f 0
X
gint(C) [ f 0
X
g
int(C) = C + int(C)int(C) = C + int(C)
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
16
Khi đó C là nón, ta lấy
a) Lấy bất kỳ . Với mọi có sao cho
Chứng minh
Chứng minh
Vậy, ta được là nón lồi.
¹x 2 int(C);¹ > 0¹x 2 int(C);¹ > 0
x 2 Xx 2 X
¹
¸ > 0
¹
¸ > 0
¹x +
¸
¹
x 2 C; 8¸ 2 [0;
¹
¸]¹x +
¸
¹
x 2 C; 8¸ 2 [0;

¹
¸]
¹
µ
¹x +
¸
¹
x
¶
= ¹ x + ¸x 2 C ¸ 2 [0;
¹
¸]¹
µ
¹x +
¸
¹
x
¶
= ¹ x + ¸x 2 C ¸ 2 [0;
¹
¸]
¹ ¹x 2 int(C) =) int(C) [ f 0
X
g¹ ¹x 2 int(C) =) int(C) [ f 0
X
g
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
17
chứng tỏ rằng
Vậy

do C là tập lồi, ta có
là rõ ràng. Nên ta cần chứng minh bao hàm thức ngược lại. Lấy
bất kỳ và . Ta có với thì
ex 2 C; ¹x 2 int(C)ex 2 C; ¹x 2 int(C)
x 2 Xx 2 X
¸ > 0¸ > 0
¹x + ¸x 2 C; ¸ 2 [0;
¹
¸]¹x + ¸x 2 C; ¸ 2 [0;
¹
¸]
ex + ¹x + ¸x 2 C; ¸ 2 [0;
¹
¸]ex + ¹x + ¸x 2 C; ¸ 2 [0;
¹
¸]
ex + ¹x 2 int(C)ex + ¹x 2 int(C)
C + int(C) ½int(C):C + int(C) ½int(C):
¤¤
b) Ta có phép lồng
int(C) = f 0
X
g+ int(C) ½C + int(C)int(C) = f 0
X
g+ int(C) ½C + int(C)
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
18
Bổ đề 1.4
Một nón C trong không gian tuyến tính thực X là tái tạo, nếu
Chứng minh (Xem như bài tập).

Mỗi nón lồi không tầm thường với một cơ sở trong không gian
tuyến tính thực là có đỉnh.
Chứng minh (Xem như bài tập).
int(C) 6= ;int(C) 6= ;
Bổ đề 1.5
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
19
Định nghĩa 1.8
Giả sử S là một tập con không rỗng của không gian tuyến tính
thực. Ký hiệu
được gọi là Nón sinh bởi S.
Chuù yù: Một cơ sở B của nón C thì . Nếu
cho tập con không rỗng S của không gian tuyến tính thực X khi đó
cone(B) = Ccone(B) = C
0
X
2 int(S)0
X
2 int(S)
cone(S) = Xcone(S) = X
cone(S) = f x 2 X jx = ¸s;8¸ ¸ ;s 2 Sgcone(S) = f x 2 X jx = ¸s;8¸ ¸ ;s 2 Sg
TÍNH CHẤT CỦA NÓN
21

Ký hiệu một cơ sở B của nón lồi. Bởi tính lồi của B và tính duy
nhất của thì ta có .

Nón lồi sắp thứ tự (sắp bộ phận) là rất quan trọng. Sẽ được
nghiên cứu trong tiết tiếp theo.


Nón là một lớp các tập con của không gian tuyến tính thực.
Phần trong của nón lồi và nón sinh bởi tập đều có các tính chất
rất quan trọng.
CHÚ Ý
¸¸
0
X
=2 B0
X
=2 B
22
Chæ coù 10 giaây
thoâi sao?
Nón C trong không gian tuyến tính thực là lồi,
cần thỏa điều kiện gì?
Trả lời : Điều kiện đó là
C + C ½CC + C ½C
CỦNG CỐ
DẶN DÒ

Nắm vững định nghĩa nón và các tính chất của
nón lồi.

Chứng minh hai bổ đề 1.4 và bổ đề 1.5

Xem trước giáo trình ở nhà.
23
24