Tài liệu Giải tích đa trị P4 docx

4.2. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm 115
Ví dụ 4.2.3
44
. Nếu
={x =(x
1
, 0) R
2
:0 x
1
1}
{x =(0,x
2
) R
2
:0 x
1
1,
x
2
=

x
1
x
2
1
}
và x =(0, 0), thì

N

(x)={x =(x
1
,x
2
):x
1
0,x
2
0}
và
N

(x)
=

N

(x)

[0, +) ì{0}



{0}ì[0, +)

.
Hình 16
Ví dụ 4.2.4
45

. Nếu f(x)=|x| với mọi x R và x =0, thì

P
f(x)=

f(x)=f(x)=[1, 1].
Ví dụ 4.2.5
46
. Nếu f(x)=|x| với mọi x IR và x =0, thì

P
f(x)=

f(x)=,f(x)={1, 1}.
44
Cấu trúc địa phơng của tập này tại (0, 0) tơng tự nh cấu trúc của tập hợp xét ở Ví dụ
4.2.2 trong lân cận của điểm (0, 0).
45
Vì hàm số f này là lồi, nên dới vi phân qua giới hạn trùng với dới vi phân theo nghĩa giải
tích lồi.
46
Hàm f này không lồi và dới vi phân qua giới hạn cũng là tập không lồi. Dới vi phân
Clarke của f tại x là đoạn [1, 1], một tập hợp lồi compắc.
116 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Ví dụ 4.2.6
47
. Đặt f(x)=|x
1
||x
2

| với mọi x =(x
1
,x
2
) R
2
và lấy
x =(0, 0). Hàm số f không lồi, cũng không lõm. Ta có
N
gph
f
((x, 0))
=Limsup
z(x,0)

N
gph
f
(z)
= cone{(1,1,1), (1, 1,1),
(1, 1,1), (1,1,1)}
{(à, à , à):2à 0}
{(à, à, à):2à 0}
{( à, à, à):2à 0}
{( à,à, à):2à 0}.
Suy ra
D

f(x)(y

)
=



























{(y

,y

), (y

,y

), (y

,y

), (y

,y

)}
{(

+ y

,y

):2y



0}
{(

+ y

,y

):2y



0}
nếu y

> 0,
{(y

,y

), (y

,y

), (y

,y

), (y

,y

)}
{(y

,y



):2y



0}
{(y

,y

+

):2y



0}
nếu y

< 0,
{(0, 0)} nếu y

=0.
Vì thế, với mỗi y

, D

f(0)(y

) là tập compắc khác rỗng. Lu ý thêm rằng, với
hầu hết các y

IR, D

f(0)(y

) là tập không lồi.
Bài tập 4.2.6. Sử dụng các định nghĩa và công thức trong mục này để
kiểm tra các khẳng định nói trong các ví dụ 4.2.1-4.2.5.
4.3 Vấn đề đánh giá dới vi phân của hàm giá trị tối u
Các hàm giá trị tối uđợc hiểu là các hàm số nhận giá trị trong tập số thực
suy rộng có dạng sau:
(3.1) à(x):=inf{(x, y):y G(x)},
ởđó: X ì Y IR là hàm giá
48
hay hàm mục tiêu
49
nhận giá trị trong tập số
thực suy rộng IR, G: X Y là ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc
50
giữa các không
47
Các tính toán chi tiết liên quan đến ví dụ này đợc trình bày ở Mục 5.8 trong Chơng 5.
48
TNTA: cost function.
49
TNTA: objective function.

50
TNTA: constraint set-valued mapping.
4.3. Vấn đề đánh giá dới vi phân của hàm giá trị tối u 117
gian Banach. Thuật ngữ giá/ràng buộc có nguồn gốc từ tối u có ràng buộc,ở
đó hàm số (3.1) thờng đợc gọi là hàm giá trị tối u
51
(hay hàm marginal)
của bài toán tối u có tham số
(3.2) Tìm cực tiểu (x, y) với ràng buộc y G(x)
với ánh xạ nghiệm M(ã) xác định bởi công thức
(3.3) M(x):={y G(x):à(x)=(x, y)}.
Các hàm số dạng (3.1) đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân, tối
u có ràng buộc, lý thuyết điều khiển, và nhiều ứng dụng khác nhau của các
lý thuyết đó. Song song với việc đa ra những điều kiện đủ để hàm giá trị tối
u là liên tục hoặc Lipschitz địa phơng tại một tham số cho trớc (xem, ví dụ
nh, Mục 5.5 trong Chơng 5), trong khoảng thời gian 30 năm trở lại đây, ngời
ta đã quan tâm nghiên cứu các tính chất khả vi và khả vi theo hớng của hàm
giá trị tối u. Các kết quả theo hớng này thờng đợc gọi là các kết quả về
tính ổn định vi phân của các bài toán tối u. Các bài báo của Gauvin và Tolle
(1977), Gauvin (1979), Auslender (1979) thuộc trong số những nghiên cứu đầu
tiên về các tính chất vi phân hàm giá trị tối u trong các bài toán quy hoạch
phi tuyến cho bởi các hàm trơn, không lồi. Thông tin thêm về lý thuyết và ứng
dụng của các hàm giá trị tối u có thể xem trong Auslender và Teboulle (2003),
Bonnans và Shapiro (2000), Borwein và Zhu (2005), Clarke (1983), Dien và Yen
(1991), Gauvin và Dubeau (1982, 1984), Gollan (1984), Ha (2005), Lucet và
Ye (2001, 2002), Mordukhovich (1992, 2006a, 2006b), Mordukhovich và Nam
(2005a), Mordukhovich và Shao (1996a), Rockafellar (1982, 1985), Rockafellar
và Wets (1998), Thibault (1991), và các tài liệu đợc trích dẫn trong đó.
Tất nhiên chúng ta có thể đặt vấn đề tính dạo hàm và đối đạo hàm của ánh
xạ nghiệm M(

ã). Đây là một vấn đề khó, đang đợc nhiều ngời quan tâm
nghiên cứu.
Một trong những tính chất đặc trng của các hàm giá trị tối u dạng (3.1)
là chúng là những hàm không trơn về bản chất, cho dù các hàm giá là trơn và
tập ràng buộc là tập nghiệm của hệ bất đẳng thức và đẳng thức mô tả bởi các
hàm trơn. Vì vậy, ta cần nghiên cứu các tính chất vi phân theo nghĩa suy rộng
của hàm giá trị tối uđểcóđợc các thông tin cốt yếu về độ nhạy và tính ổn
định của các bài toán tối u và điều khiển có nhiễu, về điều kiện cực trị, về tính
điều khiển đợc địa phơng, v.v... Một bớc căn bản để thu đợc các thông tin
nh thế là tiến hành đánh giá các đạo hàm suy rộng của hàm giá trị tối u à
cho bởi công thức (3.1) tại một tham số x cho trớc thông qua các cấu trúc vi
phân suy rộng của và G.
51
TNTA: optimal value function.
118 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Đạo hàm suy rộng có thể có hai loại chính: đạo hàm theo hớng/các xấp xỉ
tiếp tuyến trong không gian nền và dới vi phân (tập hợp các dới gradient)/các
xấp xỉ pháp tuyến trong không gian đối ngẫu. Trong một số trờng hợp (bao
gồm các trờng hợp bài toán với dữ liệu trơn và bài toán với dữ liệu lồi) phơng
pháp tiếp cận bằng không gian nền và phơng pháp tiếp cận bằng không gian
đối ngẫu là tơng đơng. Nhng cũng có nhiều tình huống ở đó các cấu trúc
trong không gian đối ngẫu không thể thu đợc từ bất cứ xấp xỉ nào trong không
gian nền bằng các quan hệ đối ngẫu, trong khi các cấu trúc đối ngẫu đó vẫn cho
những thông tin có giá trị về dáng điệu của hàm giá trị tối u và các ứng dụng
quan trọng của nó, đặc biệt là trong việc phân tích độ nhạy và trong việc thiết
lập các điều kiện tối u.
Trong các mục 4.5 và 4.6 chúng ta sẽ đa ra các quy tắc để tính toán hoặc
đánh giá dới vi phân Fréchet và dới vi phân Mordukhovich của hàm à(ã) trong
(3.1) thông qua dới vi phân tơng ứng của hàm giá và đối đạo hàm của ánh
xạ mô tả ràng buộc G. Các quy tắc này đợc thiết lập cho trờng hợp không

gian vô hạn chiều, trong khi hầu hết các quy tắc thu đợc nhờ cách tiếp cận
bằng không gian nền cần tới giả thiết các không gian X và Y đợc xét là hữu
hạn chiều. Chúng ta cũng sẽ minh họa các kết quả thu đợc bằng một số ví dụ
cụ thể.
4.4 Tính compắc pháp tuyến theo dãy
Một trong những điểm khác biệt cơ bản giữa giải tích biến phân hữu hạn chiều
và giải tích biến phân vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về
tính compắc pháp tuyến (normal compactness) khi ta xét các ánh xạ và tập hợp
trong không gian vô hạn chiều. Nếu những yêu cầu đó đợc thỏa mãn thì khi
lấy giới hạn dãy theo tôpô yếu

ta mới có đợc các kết luận không tầm thờng.
Mục này cung cấp một và khái niệm liên quan đến tính compắc pháp tuyến
theo dãy của các tập hợp trong không gian Banach vô hạn hiều. Những khái niệm
này là cần thiết cho việc trình bày các kết quả và chứng minh trong Mục 4.6.
Để hiểu sâu thêm, bạn đọc có thể tham khảo bộ sách của B. S. Mordukhovich
(2006a,b). Nếu không nói gì thêm, thì tất cả các không gian đợc xét đề là các
không gian Banach.
Các tính chất compắc pháp tuyến đợc đa ra sau đây tự động thỏa mãn
trong không gian hữu hạn chiều. Ngoài ra, chúng cũng nghiệm đúng với các
tập hợp và ánh xạ tốt, và đợc bảo tồn dới các phép biến đổi khá đa dạng.
Định nghĩa 4.4.1. Tập hợp trong không gian Banach X đợc gọi là compắc
pháp tuyến theo dãy
52
(SNC) tại x nếu với mọi dãy
k
0, x
k

x,và

52
TNTA: sequentially normally compact (SNC).
4.4. Tính compắc pháp tuyến theo dãy 119
x

k


N

k
(x
k
;) ta có

x

k
w

0

=

x

k
0

khi k .

Nhận xét 4.4.1 (xem Mordukhovich (2006a)). Nếu X là không gian Asplund
và nếu là tập đóng địa phơng trong lân cận điểm x, thì trong định nghĩa trên
ta có thể bỏ ký hiệu
k
(mà vẫn không thay đổi tính chất đợc xét).
Trong Định nghĩa 4.4.1 có đòi hỏi, đối với những dãy véctơ nào đó trong
X

, nếu dãy hội tụ về 0 theo tôpô yếu

thì dãy các chuẩn tơng ứng phải hội
tụ về 0 (tức là từ sự hội tụ của dãy về 0 theo tôpô yếu

suy ra sự hội tụ của nó
về 0 theo chuẩn của X

). Để có thể hiểu rõ hơn ý nghĩa của đòi hỏi đó, ta xét
ví dụ sau.
Ví dụ 4.4.1. Lấy X =
2
là không gian Hilbert của các dãy số thực x =
(x
1
,x
2
,...) thỏa điều kiện


i=1
x

2
i
< + với chuẩn và tích vô hớng đợc
cho bởi
x =



i=1
x
2
i

1/2
, x, y =


i=1
x
i
y
i
.
Nhờ Định lý Riesz, ta có thể đồng nhất X

với X và tôpô w

của X

với

tôpô yếu (ký hiệu là w) của X. Lấy x
(k)
=(0,...,0, 1, 0,...), ở đó số 1
đứng ở vị trí thứ k.Tacóx
(k)
w
0, vì với mọi v =(v
1
,v
2
,...) X tính
chất lim
k
x
(k)
,v =0hiển nhiên nghiệm đúng. Tuy thế, x
(k)
=1 0 khi
k .
Định nghĩa 4.4.2.
á
nh xạ đa trị F : X Y đợc gọi là compắc pháp tuyến
theo dãy tại (x, y) gph F nếu đồ thị của nó có tính chất đó.
Đối với trờng hợp các ánh xạ, ta có thể định nghĩa một tính chất yếu hơn
tính compắc pháp tuyến theo dãy.
Định nghĩa 4.4.3. Ta nói ánh xạ đa trị F: X Y là compắc pháp tuyến riêng
rẽ theo dãy
53
(PSNC) tại (x, y) nếu với mọi dãy
k

0, (x
k
,y
k
) (x, y) mà
(x
k
,y
k
) gph F ,và(x

k
,y

k
)

N

k
((x
k
,y
k
); gph F ) ta có
[x

k
w

0, y

k
0] = [x

k
0] khi k .
Nhận xét 4.4.2 (xem Mordukhovich (2006a)). Nếu X và Y là các không gian
Asplund và F là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, thì trong định nghĩa trên ta có
thể bỏ ký hiệu
k
(nói cách khác, ta có thể lấy
k
=0).
Nhận xét 4.4.3 (xem Mordukhovich (2006a)). Tính chất compắc pháp tuyến
riêng rẽ theo dãy luôn nghiệm đúng khi F là giả-Lipschitz (liên tục Aubin) tại
53
TNTA: partial sequentially normally compact (PSNC).
120 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
(x, y), tức là khi tồn tại các lân cận U của x và V của y cùng với hằng số 0
sao cho
F (u) V F (v)+u v

B
Y
với mọi u, v U.
Định nghĩa 4.4.4. Hàm số : X IR đợc gọi là epi-compắc pháp tuyến
theo dãy
54
(SNEC) tại x nếu tập trên đồ thị (epigraph)

epi := {(x, ) X ì IR : (x) }
của nó là SNC tại (x, (x)).
Nếu là Lipschitz địa phơng tại x, thì nó là SNEC tại x.
Trong Mục 4.6 chúng ta sẽ cần đến các khái niệm đa ra trong các định
nghĩa 4.4.14.4.4. Do khuôn khổ có hạn của giáo trình này, ta sẽ không đi sâu
phân tích các khái niệm đó. Bạn đọc có quan tâm có thể đọc thêm cuốn chuyên
khảo Mordukhovich (2006a).
4.5 Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u
Mục này đợc dành để trình bày các công thức tính toán dới vi phân Fréchet
của hàm giá trị tối u tổng quát (ở đó ta không giả thiết ánh xạ đa trị G tham
gia trong công thức (3.1) có một cấu trúc đặc thù nào).
á
p dụng các công thức
thu đợc cho trờng hợp G(x) là tập nghiệm của hệ đẳng thức và bất đẳng thức
phụ thuộc tham số
55
hoặc G(x) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ
thuộc tham số
56
, ta sẽ có các đánh giá dới vi phân Fréchet của à(ã) thông qua
tập nhân tử Lagrange của bài toán quy hoạch toán học đợc xét.
Trớc hết chúng ta sẽ chứng tỏ rằng có thể đặc trng các dới gradient
Fréchet của hàm số thực qua các hàm số xấp xỉ dới, khả vi Fréchet tại điểm
đợc xét.
Bổ đề 4.5.1 (xem Mordukhovich (2006a), Định lý 1.88). Cho Z là không gian
Banach. Giả sử hàm số : Z IR là hữu hạn tại z Z. Khi đó z



(z)

khi và chỉ khi tồn tại hàm số s: Z IR hữu hạn trong lân cận của z, khả vi
Fréchet tại z, và thỏa mãn các tính chất sau
(5.1) s(z)=(z),s

(z)=z

, và s(z) (z) với mọi z Z.
54
TNTA: sequentially normally epi-compact (SNEC).
55
Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số.
56
Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số.
4.5. Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 121
Chứng minh. Giả sử z



(z). Từ định nghĩa dới gradient Fréchet suy ra
rằng tồn tại một lân cận U của z sao cho (z) > với mọi z U. Hàm số
s(z):=min{(z),(z)+z

,z z} (z Z)
thỏa mãn tất cả các tính chất cần có. Thật vậy, ta có s hữu hạn trên U vì rằng
s(z) > với mọi z U và s(z) (z)+z

,z z < với mọi z Z.
Từ công thức định nghĩa s ta suy ra rằng s(z)=(z) và s(z) (z) với mọi
z Z. Ngoài ra,
lim sup

zz
s(z) s(z) z

,z z
z z
0.
Do điều kiện z



(z), sử dụng định nghĩa dới gradient Fréchet và công
thức của hàm s ta thu đợc
lim inf
zz
s(z) s(z) z

,z z
z z
0.
Từ đó suy ra s hữu hạn trong lân cận của z, khả vi Fréchet tại z và s

(z)=z

.
Ngợc lại, giả sử rằng z

Z

và tồn tại hàm số s: Z IR thỏa mãn các
tính chất trong (5.1). Khi đó ta có

lim inf
zz
(z) (z)z

,z z
z z
lim inf
zz
s(z) s(z) z

,z z
z z
=0.
Chứng minh kết thúc.
Bài tập 4.5.1. Kiểm tra kết luận của của Bổ đề 4.5.1 cho các trờng hợp
Z = IR
2
,(z)=z, z =0và Z = IR
2
,(z)=z, z =0. Vẽ hình
để minh họa cho kết quả nói rằng

(z)=[1, 1] trong trờng hợp thứ
nhất và

(z)= trong trờng hợp thứ hai.
Định lý sau đây cho ta một đánh giá trên (upper estimate) cho dới vi phân
Fréchet của hàm giá trị tối u tổng quát trong công thức (3.1) tại tham số x cho
trớc. Đánh giá này đợc thiết lập thông qua đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ
mô tả ràng buộc G và các tập dới vi phân Fréchet trên của hàm giá . Giả

thiết cơ bản ở đây là


+
(x, y) khác rỗng đối với một phần tử y M(x) nào
đó. Đòi hỏi này đợc thỏa mãn trong nhiều lớp bài toán tối u
57
.
Định lý 4.5.1. Giả sử hàm giá trị tối u à(ã) trong (3.1) là hữu hạn tại x
dom M, và giả sử y M(x) là véctơ thỏa mãn


+
(x, y) = . Khi đó
(5.2)

à(x)

(x

,y

)
0

+
(x,y)

x

+

D

G(x, y)(y

)

.
57
Một vài kết quả tơng tự nh các định lý 4.5.1 và 4.5.2 đã đợc thiết lập cho hàm giá trị tối
u trong bài toán quy hoạch toán học có tham số với dữ liệu là các hàm trơn; xem Gollan (1984),
Maurer và Zowe (1979).
122 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Chứng minh. Để kiểm chứng (5.2), ta lấy tùy ý u



à(x) và với mỗi >0
ta chọn >0 sao cho
x x à(x) à(x) u

,x xx B(x, ).
Vì y M(x),tacó
(5.3) u

,x x à(x) (x, y)+x xx B(x, ).
Lấy cố định một véctơ tùy ý (x

,y

)


+
(x, y). Do (2.3), áp dụng Bổ đề
4.5.1 cho véctơ (x

,y

)

()(x, y) ta tìm đợc hàm số s: X ì Y IR
khả vi Fréchet tại (x, y) sao cho
(5.4)

s(x, y)=(x, y),s

(x, y)=(x

,y

),
s(x, y) (x, y) (x, y) X ì Y.
Để ý rằng à(x) (x, y) s(x, y) với mọi y G(x). Từ (5.3) và (5.4) ta suy
ra
u

,x x
(x, y) (x, y)+x x s(x, y) s(x, y)+x x

= s

x
(x, y),x x + s

y
(x, y),y y
+o(x x + y y)+x x
= x

,x x + y

,y y + o(x x +y y)+x x
với mọi (x, y) mà x B(x, ) và y G(x).Vì>0 đợc chọn tùy ý, từ đó
suy ra
lim sup
(x,y)
gph G
(x,y)
u

x

,x xy

,y y
x x + y y
0.
Điều đó chứng tỏ rằng (u

x

,y

)

((x, y); gph G), ởđó(ã; gph G) là
hàm chỉ của tập gph G.Lu ý đến (2.7) ta thu đợc
(u

x

,y

)

N
gph
G
(x, y).
Do (2.9), từ đó ta có
u

x



D

G(x, y)(y

).
Vậy ta có bao hàm thức
u

x

+

D

G(x, y)(y

),
tức là (5.2) nghiệm đúng.
4.5. Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 123
Định nghĩa 4.5.1 (xem Robinson (1979)).
á
nh xạ h: D Y đợc gọi là
Lipschitz trên địa phơng
58
tại x D,ởđóD là một tập con của X, nếu tồn
tại >0 và 0 sao cho
h(x) h(x) x xx B(x, ) D.
Định nghĩa 4.5.2. Ta nói rằng ánh xạ đa trị F : D Y ,ởđóD X, có lát
cắt Lipschitz trên địa phơng
59
tại (x, y) gph F nếu tồn tại ánh xạ đơn trị
h: D Y Lipschitz trên địa phơng tại x sao cho h(x)=y và h(x) F (x)
với mọi x D trong một lân cận của x.

Định lý sau đa ra điều kiện đủ để bao hàm thức (5.2) nghiệm đúng dới
dạng một đẳng thức.
Định lý 4.5.2. Ngoài các giả thiết của Định lý 4.5.1, ta giả sử thêm rằng là
khả vi Fréchet tại (x, y) và ánh xạ nghiệm M: dom G Y có lát cắt Lipschitz
trên địa phơng tại (x, y). Khi đó
(5.5)

à(x)=x

+

D

G(x, y)(y

),
với
(x

,y

):=

(x, y)=

(x, y)
x
,
(x, y)
y

là véctơ gradient của tại (x, y).
Chứng minh. Theo Định lý 4.5.1 ta có

à(x) x

+

D

G(x, y)(y

).Để
chứng minh rằng bao hàm thức ngợc lại
x

+

D

G(x, y)(y

)

à(x)
nghiệm đúng dới các điều kiện phụ nói trong định lý, ta cố định một phần tử
bất kỳ u

/

à(x). Ta cần chứng tỏ rằng
(5.6) u

/ x

+

D

G(x, y)(y

).
Do định nghĩa dới gradient Fréchet, điều kiện u

/

à(x) kéo theo
lim inf
xx
à(x) à(x) u

,x x
x x
< 0.
Vì vậy tồn tại
>0 và dãy x
k
x, x
k
=x với mọi k IN, sao cho

(5.7)
à(x
k
) à(x) u

,x
k
x
x
k
x

.
58
TNTA: locally upper Lipschitzian.
59
TNTA: admits a local upper Lipschitzian selection.
124 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Nếu x
k
/ dom G thì G(x
k
)=. Khi đó ta có
à(x
k
)=inf{(x
k
,y):y G(x
k
)} =+,

mâu thuẫn với (5.7). Vậy ta phải có x
k
dom G với mọi k IN. Lấy lát cắt
h(ã) Lipschitz trên địa phơng tại (x, y) của ánh xạ nghiệm M: dom G Y
nh trong giả thiết của định lý. Đặt y
k
:= h(x
k
) và để ý rằng à(x)=(x, y),
à(x
k
)=(x
k
,y
k
). Từ (5.7) suy ra
u

,x
k
x
(x
k
,y
k
) (x, y)+x
k
x
=

(x, y), (x
k
x, y
k
y) + o(x
k
x + y
k
y)
+x
k
x
= x

,x
k
x + y

,y
k
y + o(x
k
x + y
k
y)
+x
k
x.
Sử dụng tính chất Lipschitz trên địa phơng của h(ã) tại x,tacó
x

k
x
1

y
k
y với k IN đủ lớn.
Điều đó kéo theo các đánh giá
u

x

,x
k
xy

,y
k
y


2
x
k
x +

2
y
k
y + o(x

k
x + y
k
y)
(x
k
x + y
k
y)+o(x
k
x + y
k
y),
ởđó := min{/2, /(2)}. Vì vậy,
lim sup
(x,y)
gph G
(x,y)
u

x

,x xy

,y y
x x + y y
;
có nghĩa là (u

x

,y

) /

N
gph
G
(x, y). Tính chất đó chứng tỏ rằng (5.6)
nghiệm đúng. Chứng minh kết thúc.
Bây giờ chúng ta xét một số ví dụ để thấy những nét đặc trng của hai định
lý vừa thu đợc và của các giả thiết của chúng. Chúng ta bắt đầu với các ví
dụ chứng tỏ rằng bao hàm thức (5.2) trong Định lý 4.5.1 có thể trở thành đẳng
thức ngay cả hàm giá không khả vi Fréchet. Để cho tiện, chúng ta ký hiệu
các biểu thức ở vế trái và vế phải của (5.2) tơng ứng bởi LHS (left-hand side)
và RHS (right-hand side).
Ví dụ 4.5.1. Lấy X = Y = IR. Đặt (x, y)=|y| và
G(x)=

[

x,

x] nếu x 0,
nếu x<0.
4.5. Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 125
Dễ thấy rằng gph G = {(x, y) IR
2
: y
2

x 0}. Tính hàm giá trị tối u
theo công thức (3.1), ta có
à(x)=



x nếu x 0,
nếu x<0.
Do đó
LHS = RHS =



nếu x =y =0,
{1/(2

x)} nếu x>0 và hoặc là y =

x
hoặc y =

x.
Vậy (5.2) nghiệm đúng dới dạng đẳng thức với mọi (x, y) gph M.
Hình 17
Ví dụ 4.5.2. Lấy X = Y = IR. Đặt (x, y)=|x| +2y và
G(x)={y IR : y |x|}.
Ta có à(x)=|x| và 0 M(0). Dễ thấy rằng

à(0) = [1, 1],

+
(0, 0) = [1, 1] ì{2},

D

G(0, 0)(2) = [2, 2].
Do đó,

(x

,y

)
0

+
(0,0)
{x

+ D

G(0, 0)(y

)} =

x

[1,1]
{x

+[2, 2]} =[1, 1],
nghĩa là (5.2) nghiệm đúng dới dạng đẳng thức.
126 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Trong hai ví dụ trên, hàm mục tiêu (x, y) là hàm lõm và ánh xạ đa trị mô
tả ràng buộc G là lồi. Vậy đánh giá (5.2) vẫn có thể nghiệm đúng dới dạng
đẳng thức đối với những bài toán tối u không lồi. Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng
giả thiết về sự tồn tại lát cắt Lipschitz trên địa phơng trong Định lý 4.5.2 là
thiết yếu, không thể bỏ đi đợc.
Ví dụ 4.5.3. Lấy X = Y = IR và x =y =0. Xét hàm giá trị tối u à(x) xác
định bởi (3.1) với
(x, y)=0 và G(x):=[

|x|,).
Khi đó ta có
à(x)=0 và


+
(x, y)={0} với mọi (x, y) IR
2
.
Ngoài ra,

N
gph
G
((0, 0)) = IRì(, 0]. Vì vậy LHS = {0}, trong khi RHS=IR,
nghĩa là bao hàm thức (5.2) là chặt. Nhận xét rằng ánh xạ nghiệm (3.3) không
có lát cắt Lipschitz trên địa phơng tại (x, y).

Hình 18
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tuy giả thiết về sự tồn tại lát cắt Lipschitz trên
địa phơng trong Định lý 4.5.2 là không thể bỏ đợc, nhng nó cũng không
phải là điều kiện cần để có dấu bằng trong bao hàm thức (5.2).
Ví dụ 4.5.4. Lấy X = Y = IR và x =y =0. Xét hàm số à(x) trong (3.1) với
(x, y):=(x y
2
)
2
và G(x):=IR.
Sử dụng (3.1) và (3.3) ta tìm đợc
à(x)=

x
2
nếu x 0
0 nếu x>0
4.5. Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 127
và
M(x)=

{0} nếu x 0
{

x,

x} nếu x>0.
Trong khi ánh xạ nghiệm M (ã) không có lát cắt Lipschitz trên địa phơng, đẳng
thức vẫn xảy ra trong (5.2) vì rằng

à(0) = {0},

(0, 0) = {(0, 0)}, và

D

G(0, 0)(0) = {0}.
Vậy giả thiết về sự tồn tại lát cắt Lipschitz trên địa phơng là điều kiện đủ,
nhng nói chung không phải là điều kiện cần để có dấu đẳng thức trong (5.2).
Bài tập 4.5.2. Bằng các tính toán cụ thể, hãy kiểm tra các kết quả nói
trong các ví dụ 4.5.1-4.5.4.
Từ các định lý 4.5.1 và 4.5.2 chúng ta có thể rút ra quy tắc tính dới vi
phân Fréchet của tổng hai hàm số và quy tắc hàm hợp cho dới vi phân Fréchet.
Các quy tắc khác (ở cùng dạng) có thể xem trong Mordukhovich, Nam và Yen
(2006). Nhận xét rằng các quy tắc tính toán chính xác
60
các phần tử dới
gradient Fréchet (khác với các quy tắc tính toán mờ
61
trong Borwein và Zhu
(2005), Mordukhovich (2006a)) thu đợc ở đây là khá thú vị.
Hệ quả 4.5.1 (Quy tắc tính dới vi phân Fréchet của tổng). Cho
i
: X IR
(i =1, 2) là các hàm số thực, hữu hạn tại x. Giả sử rằng


+

1

(x) = . Khi
đó
(5.8)

(
1
+
2
)(x)

x


0

+

1
(x)
[x

+


2
(x)]


+

1
(x)+


2
(x).
Chứng minh. Đặt
(x, y)=
1
(x)+y, G(x)=[
2
(x),)
và để ý rằng gph G = epi
2
, trong khi
à(x):= inf
yG(x)
(x, y)=
1
(x)+
2
(x).
Ngoài ra, y :=
2
(x) M(x),ởđóM đợc xác định bởi (3.3). Lấy tùy ý
x

+

1
(x),tacó(x

, 1)


+
(x, y). Do Định lý 4.5.1,

à(x)=

(
1
+
2
)(x) x

+

D

G(x,
2
(x))(1) = x

+

2
(x).
Quy tắc (5.8) đã đợc chứng minh.
60
TNTA: exact calculus rules.
61
TNTA: fuzzy calculus rules.
128 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Hệ quả 4.5.2 (Quy tắc tính dới vi phân Fréchet của hàm hợp). Giả sử ánh xạ
f: X Y là Lipschitz địa phơng tại x và giả sử hàm số : Y IR là hữu
hạn tại y := f(x). Nếu


+
(y) = , thì bao hàm thức
(5.9)

( f )(x)

y


0

+
(y)

y

,f(x)

nghiệm đúng.
Chứng minh. Đặt (x, y):=(y) và G(x):={f (x)}.
á
p dụng Định lý 4.5.1
và công thức (2.11) ta thu đợc (5.9).
Bây giờ chúng ta dẫn ra nguyên lý biến phân cho dới vi phân trên
62
. Mệnh
đề này đợc chứng minh nhờ nguyên lý biến phân Ekeland (xem Định lý 2.1.1
trong Chơng 2) và Hệ quả 4.5.1.
Định lý 4.5.3. Giả sử : X (,] là hàm số nửa liên tục dới, bị chặn
dới ở trong không gian Banach X. Khi đó, với mọi >0, >0,vàx
0
X
thỏa mãn
(x
0
) < inf
xX
(x)+,
tồn tại x X sao cho
(a) x x
0
<,
(b) (x) < inf
xX
(x)+,
(c) x

/ với mọi x

+
(x).
Chứng minh. Theo nguyên lý biến phân Ekeland, từ các giả thiết của định lý
suy ra rằng tồn tại x X thỏa mãn
x
0
x <, (x) < inf
xX
(x)+,
và (x) (x)+(/)x x với mọi x X. Điều đó chứng tỏ rằng hàm
số
(5.10) (x):=(x)+(/)x x,x X,
đạt cực tiểu toàn cục tại x. Do định nghĩa dới gradient Fréchet, từ đó ta có
0

(x). Để ý rằng khẳng định (c) là tầm thờng nếu


+
(x)=. Vậy chỉ
phải chứng minh (c) dới giả thiết


+
(x) = . Trong trờng hợp đó, áp dụng
Hệ quả 4.5.1 cho hàm tổng trong (5.10), từ bao hàm thức 0

(x) ta nhận
đợc
0

x


0

+
(x)

x

+(/)

ãx(x)



x


0

+
(x)

x

+(/)

B
X


,
62
TNTA: uper subdifferential variational principle.
4.5. Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 129
ởđó

B
X

ký hiệu hình cầu đơn vị đóng trong X

. Vì vậy x

/ với mọi
x




+
(x).
Tiếp theo chúng ta sẽ áp dụng các định lý 4.5.1 và 4.5.2 cho các bài toán
quy hoạch toán học ở đó ánh xạ mô tả ràng buộc là ánh xạ nghiệm của hệ đẳng

thức/bất đẳng thức phụ thuộc tham số, hoặc là ánh xạ nghiệm của bài toán cân
bằng phụ thuộc tham số.
Trớc hết ta xét bài toán quy hoạch toán học trong không gian Banach với
các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Đó là một dạng đặt biệt của bài toán
(3.2) với ánh xạ G: X Y đợc cho bởi công thức
(5.11)
G(x):=

y Y :
i
(x, y) 0,i=1,...,m,

i
(x, y)=0,i= m +1,...,m+ r

,
ởđó
i
: X ì Y IR (i =1,...,m+ r) là các hàm số thực cho trớc. Định lý
đầu tiên của chúng ta liên quan đến các bài toán quy hoạch với dữ liệu là các
hàm số khả vi Fréchet (chúng không nhất thiết phải là trơn hay khả vi chặt tại
các điểm đợc xét). Đánh giá trên cho dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối
u à(ã) sẽ đợc thiết lập bằng cách sử dụng các nhân tử Lagrange
63
cổ điển.
Để phát biểu định lý này, chúng ta nhắc lại khái niệm hàm Lagrange
64
(5.12) L(x, y, )=(x, y)+
1

1
(x, y)+...+
m+r

m+r
(x, y),
của bài toán quy phi tuyến (3.2) với ràng buộc (5.11), ở đó
:= (
1
,...,
m+r
) IR
m+r
là một bộ các nhân tử Lagrange. (Ngời ta cũng thờng gọi véctơ là nhân tử
Lagrange.) Cho trớc một điểm (x, y) gph M trên đồ thị của ánh xạ nghiệm
(3.3) và véctơ y

Y

, ta xét các tập nhân tử Lagrange sau đây:
(5.13)
(x, y):=

IR
m+r
:

y
(x, y)+
m+r

i=1

i
(
i
)

y
(x, y)=0,

i
0,
i

i
(x, y)=0 với i =1,...,m

,
và
(5.14)
(x, y,y

):=

IR
m+r
: y

+

m+r

i=1

i
(
i
)

y
(x, y)=0,

i
0,
i

i
(x, y)=0 với i =1,...,m

.
63
TNTA: Lagrange multiplier.
64
TNTA: Lagrangian.
130 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
ở
đây

y
(x, y)=

(x, y)
y
, (
i
)

y
(x, y)=

i
(x, y)
y
là các đạo hàm riêng của
và
i
theo biến y tại điểm (x, y). Ta có thể viết lại đẳng thức đầu tiên trong
(5.13) thông qua đạo hàm riêng của hàm Lagrange (5.12) theo biến y nh sau:
L

y
(x, y,)=0.
Đối với các tập nhân tử Lagrange (5.13) và (5.14), ta để ý rằng
(x, y,

y
(x, y)) = (x, y).
Định lý 4.5.4 (Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u của các bài toán quy
hoạch toán học khả vi trong không gian Banach). Giả sử à(ã) đợc xác định
bởi (3.1) với G(ã) đợc cho bởi (5.11) và ánh xạ M(ã) tơng ứng đợc cho bởi
(3.3), và dom M = . Lấy x dom M và y M (x) thỏa mãn

+
(x, y) =
và giả sử rằng các hàm
i
, i =1,...,m+ r, là khả vi Fréchet tại (x, y) và
liên tục trong lân cận của điểm đó, và
(5.15)

1
(x, y),...,

m+r
(x, y) là độc lập tuyến tính.
Khi đó bao hàm thức sau nghiệm đúng:
(5.16)

à(x)

(x

,y

)
0

+
(x,y)

(x,y,y

)

x

+
m+r

i=1

i
(
i
)

x
(x, y

.
Ngoài ra, nếu hàm cũng khả vi Fréchet tại (x, y) và ánh xạ nghiệm M: dom G
Y có lát cắt Lipschitz trên địa phơng tại (x, y), thì (5.16) trở thành đẳng thức:
(5.17)

à(x)=

(x,y)

x
(x, y)+
m+r

i=1

i
(
i
)

x
(x, y)

.
Chứng minh. Trớc hết, chúng ta thiết lập công thức
(5.18)

D

G(x, y)(v

)=

u

X

:(u

,v

)=
m+r

i=1

i


i
(x, y)
với một IR
m+r
thỏa mãn
i
0,

i

i
(x, y)=0 ởđó i =1,...,m

cho đối đạo hàm của ánh xạ G(ã) trong (5.11) dới giả thiết rằng các hàm
i
(i =1,...,m+ r) là khả vi Fréchet tại (x, y) và điều kiện chuẩn hoá ràng buộc
(5.15) đợc thỏa mãn.