Bài tập giải tích đạo hàm, tích phân có ứng dụng gì trong cuộc sống

BÀI TẬP GIẢI TÍCH NHĨM 2
(bản cứng)


LỜI NĨI ĐẦU

Trước kia, tơi nghĩ tích phân, đạo hàm là cái gì đó ghê gớm mà
chỉ các bộ óc thiên tài mới nghĩ ra được, nhưng sau khi biết
được lịch sử hình thành của chúng, tơi đã nghĩ sai. Sự thật thì ý
tưởng hình thành khái niệm tích phân, đạo hàm rất đơn giản và
tôi tin ngay cả những học sinh lớp 6, lớp 7 cũng có thể hiểu
được ý tưởng này. Đặc biệt hơn, những điều mà tôi nói ở trên
hiếm khi được đề cập trong những tiết tốn trên lớp. Cịn việc
tính tích phân ư? Trong lúc tơi cịn khơng biết nên tính tích phân
từng phần hay đặt ẩn như thế nào thì người ta đã nghiên cứu ra
phương pháp lập trình trên máy tính và giải ra đáp số cho bất kỳ
bài tích phân nào với độ chính xác đến kinh ngạc. "Người ta" ở
đây chính là những người đã sống cách đây gần cả thế kỷ. Qua
đó, tơi thấy rằng trình độ tốn của mình đã tụt hậu xa so với Thế
giới.
Tôi đã nghe nhiều bạn hỏi rằng “Đạo hàm, tích phân có ứng
dụng gì trong cuộc sống?" Đảng tiếc đây là phần thu vị và hấp
dẫn nhất lại được để cặp quá ít trong sách giáo khoa. Hi vọng
rằng qua một số ví dụ này, bạn sẽ có câu trả lời.


I. ứng dụng thực tế của tích phân hàm
một biến
1. Ứng dụng của tích phân trong việc đo chiều dài
Để đo chiều dài của một cung đường, ta có thể dùng tích phân đơn hặc
tích phân đường loại một bằng  các công thức sau:

Trong lĩnh vực may mặc, việc đo đạc chính xác chiều dài của một đường
cong như đường cổ áo, nách áo, đường đũng quần.... là rất quan trọng để
có thể lắp ghép các chi tiết như viền cổ, tra tay áo vào thân áo, ghép
đũng trước và đũng sau... một cách ăn khớp, đảm bảo tính thẩm mỹ, tiết
kiệm nguyên phụ liệu nhất là khi may trên dây chuyền với số lượng lớn.
Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể tính tốn chính xác chiều dài
của các đường cong trên mẫu ban đầu bằng ứng dụng của tích phân, rồi
tiến hành cắt, ráp mẫu với số lượng lớn.
Ví dụ 1: Để viền cổ áo đẹp, khơng bị bai dão hay dúm, chúng ta
cần phải tính chính xác được chiều dài đường cổ áo.
 Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của parabol. Ví dụ khi hạ cổ áo
hình tim với chiều cao là 16cm, chiều rộng là 4cm thì đường cổ áo chính
là parabol 

 với đơn vị hệ Oxy trục là cm.

Để viền cổ chiếc áo này, ta sẽ tính chiều dài cung đường cổ áo từ
điểm A tới điểm B.


 

Vậy chiều dài cổ áo xấp xỉ  bằng 27,8 cm.
Tương tự, ta có thể tính được chiều dài cổ áo các dạng khác bằng các
bước sau:
 Bước 1: Xác định đường cổ áo. Với áo cổ tim đường cổ là Parabol, cổ
tròn là nửa dưới đường tròn, cổ elip là nửa dưới đường elip,….
Bước 2: Dùng một trong hai công thức ở trên để tính chiều dài đường
cổ áo

2. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích 
Trong  thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta
cần phải tính diện tích của những hình phẳng cũng như diện tích xung
quanh của những vật thể phức tạp. Chẳng hạn khi xây dựng một nhà
máy thủy điện, để tính lưu lượng của dịng sơng ta phải tính diện tích
thiết diện ngang của dịng sơng. Thiết diện đó thường là một hình khá


phức tạp. Trong may mặc cũng vậy, việc tính chính xác được diện tích
một sản phẩm hay một chi tiết giúp chúng ta ước lượng được số mét vải
cần sử dụng, từ đó tiết kiệm được chi phí sảnxuất.
Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như
vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính. Sự ra đời của tích phân
cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài
tốn tính diện tích và thể tích nói trên.
Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng tích phân đơn hoặc tích phân
bội 2.

Ví dụ 2: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngồi trời có dạng mái trịn vịm
cong với bán kính là 4m và chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới
đỉnh dù là 2m.
Ta có thể coi chiếc dù là vật thể tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới
hạn bởi các đường  
và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ
trục Oxy là mét.
a) Tính diện tích hình phẳng trên.
b) Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù.
 

b) Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng
quanh trục Oy là:

Vậy diện tích vải cần thiết để may chiếc dù là 61,3m2.
Như vậy, để tính được diện tích hình phẳng hay diện tích xung quanh
của vật thể tròn xoay ta cần tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đối với hình phẳng, ta cần phân tích hình dạng của nó, 2 cận
trái phải, đường trên, đường dưới giới hạn hình phẳng. Đối với vật thể,
ta cần xác định nó được tạo bởi hình phẳng nào, cận trên, cận dưới,
đường cong giới hạn khi quay quanh trục Oy.
Bước 2:  Sử dụng các công thức ở trên để tính.

II.Ứng dụng thực tế của đạo hàm một biến
Vận động viên chạy và bơi phối hợp:
Có một cái hồ rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên chạy phối hợp
với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả
chạy và bơi (đường màu đỏ) như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được
bao xa (quãng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh nhất 
? Biết rằng vân tốc bơi là  1.5 m/s , vận tốc chạy là 4.5m/s.


Gọi quãng đường vận động viên chạy trên bờ là x (m).
Khi đó quãng đường vận động viên bơi dưới nước sẽ
là 
Thời gian cho cả quãng đường đi (cả trên bờ và dưới nước) là

Yêu cầu bài toán tương đương với: tìm x để  đạt giá trị nhỏ nhất.


Lập bảng biến thiên ta được x≈182,3 mx≈182,3 m thì T(x) đạt giá trị

nhỏ nhất.

III.Ứng dụng tìm cực trị tự do của hàm 2
biến
Ví dụ 1. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm. Gọi Qi là số lượng sản
phẩm của mặt hàng thứ i (
); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i (
).
Hàm lợi nhuận của công ty là:
Biết P1 = 400; P2 = 600 và hàm tổng chi phí là:


Yêu cầu: Tìm Q1 và Q2 để

đạt giá trị max?

Bài giải. Ta có hàm lợi nhuận


đạt cực trị tại (QIIĐiều kiện cần để hàm 1, Q2) là:

Ta có ma trận Hesse:

Vì
Q2) = (199, 298).

đạt cực đại tồn cục tại (QIIdo đó hàm 1,


IV.Bài tốn tìm cực trị có điều kiện của

hàm hai biến
1. Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện
Lập hàm Larrange: 
Giải hệ phương trình:

Từ 2 phương trình đầu, ta rút ra
phương trình 3 ta tìm được:
– Với
– Với
Điều kiện đủ:
– Với
Ta có:
Khi đó:

:

, sau đó thế vào


Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại
z = -5.
– Với

và giá trị cực tiểu

:

Ta có:
Khi đó:
Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại

V.Một số bài tập bổ sung
* Giới hạn dạng vô định:

và giá trị cực đại z = 5.








*Tích phân suy rộng:
TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1


+∞

Ví dụ 1: I =∫ x . e−x dx
0

b

x . e−x dx
∫
b →+∞

I = lim

Đặt

0

{

{

u=x
du=dx
=¿
−x
dv=e dx
v=−e− x

e−x b
¿ x.
−1 0

-

b

e− x
∫ −1 dx
0

b . e−b −x b
= −1 −e 0
−b 1

= eb − e b +1
−b 1
( b − b +1)
 I =blim
→+∞
e
e
I =1
+∞

Ví dụ 2 : I = ∫
2

dx
x ln 2 x
dt
t2

Đặt t = lnx => dt=
Đổi cận
lnB

=∫

ln 2

dt
2
t

1

=

=

−1
t dx

x=2 →t=ln2
{x=B
→ t=lnB
−1 lnB
t ln 2

1

= ln 2 − lnB
=

1
ln 2

TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
3

x

lim

Ví dụ 1 : ∫ x−3 =a → 3

−¿

1

a

¿

dx
∫ x−3 ¿
1

¿
= a → 3lim
ln|x−3|¿
−¿

a
1

¿
=a → 3lim
– ln2
ln|x−3|¿
−¿

= -∞

2

Ví dụ 2 : ∫
1

lim

=a → 1 ∫ 2− x
+¿

2

√ x 2−1

a

=a → 1 ∫
+¿

2
a

2−x

√ x2 −1

dx

¿

dx¿

lim

¿

2

2
x
−∫
¿
√ x 2−1 a √ x 2−1

dx

dx

ADCT : ∫ √ x2 −a2 dx =ln |x+ √ x −a |
2

∫
a

2

√ x −1
2

2

2

2
a

dx=2 ln |x + √ x −1|
2

= 2ln|2+ √ 3| – 2ln|a+ √ a2−1|
x

ADCT : ∫ √ x2 −a2 dx =√ x −a
2

∫
a

x

√ x −1
2

+¿

2
1

√ x −1

2

2

2
a

dx=√ x −1
2

= √ 3− √a 2−1

lim

 a → 1 ∫ 2−x

2

¿
¿

dx = a → 1

+¿

lim

⌊ 2 ln|2 + √3|−2 ln |a + √ a −1|−√ 3+ √ a −1 ⌋ ¿
2

2

¿

= 2ln( 2+ √ 3 )-√ 3