Skkn các sai lầm thường gặp của học sinh khi khảo sát hàm số và giải các bài toán ứng dụng đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
----------  ---------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH
KHI KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Họ và tên: Lê Thị Lam
Chức vụ :Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2022

1

skkn


MỤC LỤC
Trang
3

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I- Lý do chọn đề tài

3

II- Mục đích nghiên cứu

3

III- Nhiệm vụ nghiên cứu

3

IV- Đối tượng nghiên cứu

3

V- Phương pháp nghiên cứu

3

PHẦN II: NỘI DUNG

3

Chương I. Cơ sở lý luận và cơ sở pháp lý của đề tài

4

I. Cơ sở lýluận

4

1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)

4

2. Sai lầm thường gặp khi giải toán

4

II. Cơ sở pháp lý

4

Chương II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

5

Chương III. Biện pháp thực hiện và kết quả nghiên cứu của đề tài

8

I. Biện pháp thực hiện
8
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

8

2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

8

3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)

9

4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

9

5. Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học

9

6. Phân loại bài tập và phương pháp giải

9

II. Nghiên cứu thực tế

9

Phân tích những sai lầm thơng qua một số ví dụ minh họa

9

III. Kết quả nghiên cứ

17

PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

19
20

2

skkn


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I.
Lý do chọn đề tài :
Trong quá trình giảng dạy tơi nhận thấy các em học sinh lớp 12 trường hay gặp
sai lầm khi giải bài toán khảo sát hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Những sai
lầm đó các em khơng tự mình khắc phục được nếu khơng có sự hướng dẫn của
thầy cơ giáo. Nhất là trong những kỳ thi, dù cho đó là kỳ thi tuyển sinh đại học,
tốt nghiệp trung học phổ thơng hay thậm chí là kiểm tra học kỳ... Dựa trên thực
trạng của học sinh và kinh nghiệm mà tôi đã tích góp từ nhiều năm đi dạy. Tơi
thực hiện đề tài này để góp thêm một phần kinh nghiệm nhỏ trong cơng tác
giảng dạy của mình. Nhằm giúp học sinh tránh sai sót, nắm chắc các kiến thức
về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài tốn liên quan đến
khảo sát hàm số đó là lí do tơi chọn đề tài " “Các sai lầm thường gặp của học
sinh khi khảo sát hàm số và giải các bài toán ứng dụng đạo hàm’’
II. Mục đích nghiên cứu
-Góp phần đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn nói chung và mơn Giải
tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực,
chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh
có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay. Bồi dưỡng cho học
sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư
duy, sáng tạo
- Gây hứng thú học tập mơn tốn cho học sinh, không những giúp học sinh lĩnh
hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và
khắc sâu các tri thức. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải.
Qua đó học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.

-Chia sẻ kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp, góp phần trau dồi trình độ
chun mơn và phương pháp giảng dạy của bản thân.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 12.
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập tốn lên quan đến việc ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài tốn liên quan (Chương
trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải tốn hồn chỉnh và chính xác.
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu
1. Phạm vi nghiên cứu.
Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên. Sách
tham khảo, báo, tạp chí giáo dục ....
3

skkn


Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 .
2. Đối tượng.
Học sinh lớp phụ trách 12 C8 (tổng số học sinh 35) trường THPT Thiệu Hóa
năm học 2021– 2022 và kinh nghiệm của một số năm học trước.
V. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu tài liệu.
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế.
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp .
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết
dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.

3. Phương pháp điều tra.
4. Phương pháp đối chứng.
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lý luận
1. Vị trí của mơn Tốn trong nhà trường.
Mơn tốn cũng như những mơn học khác cung cấp những tri thức khoa
học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận
thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người. Ở
trường THPT toán là một mơn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương
trình học của học sinh. Nó là bộ mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp
với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người, có khả năng giáo dục rất lớn
trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lơgíc, thao
tác tư duy cần thiết để con người phát triển tồn diện, hình thành nhân cách tốt
đẹp cho con người lao động trong thời đại mới.
2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong
dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho
học sinh. Các em Học sinh THPT có trí thơng minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc
tưởng tượng phong phú. Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học
nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài, chưa cẩn thận
trong giải toán dẫn đế thường mắc sai lầm.. Chính vì thế nội dung chương trình,
phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người
giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ.
3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học.
Muốn giờ học có hiệu quả thì địi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương
pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung
4

skkn

vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Kiểu dạy này người giáo viên
phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó là người định hướng, tổ
chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tị mị và tư duy độc lập, phải
biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ.
II. Cơ sở thực tiễn
Sai sót thường gặp khi giải tốn
1. Sai sót trong bài tốn xét tính đơn điệu của hàm số,
2. Sai sót trong bài tốn chứng minh bất đẳng thức, khi khơng nhớ chính xác
tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm
đồng biến, nghịch biến.
3. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng
sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
4. Sai sót trong việc giải các bài tốn liên quan tới cực trị của hàm số, khi
vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu
trên khoảng (a;b).
5. Sai sót trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài tốn khơng tương đương.
6. Sai sót trong việc giải các bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đi qua
một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
7. Sai sót trong vẽ đồ thị hàm số, chính xác hóa đồ thị hàm số...
II. Cơ sở pháp lý
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lý đã học trong chương I "ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ". Dựa trên những khái niệm,
định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lý hiển nhiên hay đã
được chứng minh, thừa nhận.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
- Khơng nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
khơng hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
5

skkn


- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm
thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua một điểm bất kỳ đến đồ thị hàm số đã cho.
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN
CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. Biện pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên
cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt (Giải
pháp khắc phục)
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, trước tiên, giáo
viên cần bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt. Cụ
thể, cần phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm
được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó; Đưa ra các ví dụ,
phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí; so sánh giữa các
khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa
chúng; chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.

- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
Việc đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) cũng vô cùng
quan trọng. Người thầy cần sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh
thực tế. Từ đó, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích mơn học cho học sinh.
Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử
dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết
hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp
tới bài giảng.
4. Đổi mới phương pháp kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhận
thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
6

skkn


- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù
hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường
mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số, một số bài toán liên quan. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
6. Phân loại bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. Nghiên cứu thực tế, phân tích những sai sót thơng qua một số ví dụ

1. Sai sót và hướng khắc phục khi vẽ đồ thị
+ Đối với hàm số bậc ba, có thể có hai cực trị hoặc khơng có cực trị nào
Hơn nữa khi hàm số bậc ba khơng có cực trị thì bảng biến thiên của nó hồn
tồn là đồng biến hoặc nghịch biến. Có thể đồ thị của hàm số loại này nó khơng
đẹp, nhưng nó lại rất lạ so với hầu hết chúng ta. Do đó đây là chú đầu tiên mà
chúng ta cần phân biệt và cẩn thận.
+ Đối với hàm số bậc bốn có thể có ba cực trị hoặc có một cực trị và ln ln
có một cực trị nằm trên trục tung. Khi hàm số bậc bốn có một cực trị thì đồ thị
của nó trở thành Parabol. Dĩ nhiên nó cũng khá lạ so với hầu hết chúng ta. 
+ Đối với hàm số phân thức thì nó khơng có cực trị mà thêm vào đó quan trọng
là tiệm cận. Và hàm số này có thể đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng
xác định của nó. Khi vẽ đồ thị của nó các em tuyệt đối khơng được để đồ thị cắt
các đường tiệm cận mà chỉ áp sát mà thôi.           Đối với dáng của đồ thị hàm
số phải có dáng trùng với dáng mũi tên trong bảng biến thiên. Bởi trong bài toán
khảo sát hàm số thì tất cả đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nó thực sự hữu
ích khi chúng ta biết được để tự mình kiểm tra xem có đúng hay khơng. Điều
này đơi khi ngược lại thì cũng phải xem nó sai ở chổ nảo.
Khơng được tơ đồ thi thành nhiều đường, chỉ được phép vẽ một đường. Học
sinh bỏ qua việc tìm thêm các điểm đặc biệt lân cận điểm cực trị, điểm vơ định.
Khơng tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ, mặc dù khơng phải lúc nào
tìm giao điểm với trục Ox dễ dàng. Vẽ gấp khúc hoặc vẽ đồ thi cắt 2 tiệm cận.
Lưu ý khi khơng tìm được giao điểm với Ox, cần lấy thêm vài giá trị của x để
chính xác hóa điểm đồ thị đi qua.
2. Sai sót khi xét tính đơn điệu của hàm số
Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số học sinh quên rằng đó là
điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:




hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
7

skkn


Điều ngược lại nói chung là khơng đúng.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

đồng biến trên

.

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D =

.y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên
.

Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên

, nhưng

, dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0. Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x)
xác định trên khoảng (a;b),

và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn

điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
Lời giải đúng: Hàm số đồng biến trên
.
Ví dụ2: Xét tính đơn điệu của hàm số:
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định:
Ta có:

Hàm số đồng biến trên

...

Phân tích:
Lời giải trên có vẻ đúng, nếu ta khơng chú ý đến kết luận của bài tốn. Chú
ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D,
x1 < x2

f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy

và

thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2).
Lời giải đúng:
Tập xác định:
Hàm số đồng biến trên từng khoảng

và

.

8

skkn


* Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét
dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của hàm số:

.

Học sinh trình bày như sau:
Tập

xác

định:

.

Ta

có:

;

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x

-2

2

y'

-

0

+

0

-

-3

Y

-1

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng
và

và nghịch biến trên các khoảng

.

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn
giá trị của hàm số giảm từ –3 xuống – 1. Thực ra ở đây

không

phải là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng:
Tập xác định:

.

Ta có:

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ ngun
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y'

-2

2

+

0

-

9

skkn


Y

1

-3

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng

và nghịch biến trên khoảng

.
3. Lời giải sai lầm khi tìm cực trị
Ví dụ 1: Cho hàm số y=

+mx. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=0

Khi gặp bài toán dạng này nhiều bạn học sinh đã thực hiện cách giải như sau:
TXĐ: D=R

y′=4

+m;

y′′=12

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 khi và chỉ khi {y′(0)=0, y′′(0)>0  (∗)

Bạn đó tính được:

y′(0) = 0⇔4.0+m=0⇔m=0,

y′′(0)=0

Bạn đó thấy điều kiện (2) khơng thỏa mãn hệ (∗) vì y′′(0)=0 trong khi yêu cầu
của hệ là y′′(0)>0
Kết luận: Vậy hàm số trên khơng có cực tiểu tại x=0.
Nhưng thực chất khi m=0 thì hàm số trên vẫn có cực tiểu tại x=0
. Phân tích sai lầm
Trong lời giải trên bạn học sinh đó đã sử dụng tính chất này: x=0 là điểm cực
tiểu suy ra {y′(0)=0y′′(0)>0 và coi nó là đúng. (Đây chính là hệ (*) mà bạn đó
lập ở trên)Bạn đó đã sai ở chỗ, bạn đã thừa nhận mệnh đề: "Hàm số có điểm cực
tiểu tại x=x0 khi và chỉ khi {y′(x0)=0y′′(x0)>0 là đúng "Định lý thứ hai không sử
dụng "khi và chỉ chi" mà chỉ sử dụng "nếu ...thì" trong mệnh đề. Tức là mệnh
đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại tức là "mệnh đề đảo" của nó thì
khơng khẳng định được nó đúng. Theo như vậy thì bạn học sinh trên đã hiển
nhiên coi mệnh đề đảo của mệnh đề trên là đúng và áp dụng bình thường. Chính
vì vậy mà đã dẫn tới sai lầm đáng tiếc khi tìm điều kiện của tham số m trong bài
toán cực trị. Vậy chúng ta có thể đưa ra một khẳng định như sau: Không được
sử dụng mệnh đề sau (mệnh đề đảo của mệnh đề 2) vào tìm cực trị.
Nếu  

là điểm cực đại  thì {y′(

)=0, y′′(

)>0

 Nếu  

là điểm cực tiểu thì {y′(

)=0, y′′(

)<0 

Lời giải đúng
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên
10

skkn


Cách 2: Tìm tham số m thỏa mãn hai điều kiện nói trên
Sau đây thầy sẽ trình bày với chúng ta cách sử dụng bảng biến thiên.
Bước 1: Tính y′=4x3+m
Bước 2: Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 => y′(0)=0⇔4.0+m=0⇔m=0
Bước 3: Với m=0 ta có y′=4x3;y′=0⇔x=0. Với x=0⇒y=0
Ta có bảng biến thiên...
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=0; y(ct)=0.
Kết luận: Vậy với m=0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, nhiều học sinh cũng
qn rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ khơng phải là điều kiện cần.
Quy tắc: +

là điểm cực tiểu. +

là điểm cực đại.

Điều ngược lại nói chung là khơng đúng. Do vậy khi tìm được điểm

, cần thử

lại.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:
hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Lời giải đúng:
Xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
+ m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0

x = 0.

Bảng biến thiên:
x
y'

0

-

0

+

11

skkn


Y
1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
+ m > 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = 0

x = 0 hoặc x = -

. Lập bảng

biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm
số khơng có cực trị tại x = 0.
+ m < 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m), y ' = 0

x = 0 hoặc x = -

. Lập bảng

biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm
số khơng có cực trị tại x = 0.
4. Sai sót khi chứng minh bất đẳng thức
*Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là khơng nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ1: (Bài5/10,SGK 12 CB) Chứng minh rằng: tanx > x, với

Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với

.

Ta có: f '(x) =
trên khoảng
Từ x > 0

, suy ra hàm số f(x) đồng biến
.

f(x) > f(0)

tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với

.

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá khó để phát hiện
sự khơng chặt chẽ. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng
từ x > 0

f(x) > f(0). Sai lầm ở đây là

thì vì sao

.

12

skkn


Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn
'(x)> 0 với

(tức là f(x) liên tục trên

) thì với

Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = tanx - x, với
Ta có: f '(x) =

.
, dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy

ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng
Từ x > 0

và f

f(x) > f(0)

.

tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với

.

* Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm

đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ 2:

Chứng minh rằng nếu với

, x > - 1 thì

.

Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = e x là các hàm đồng biến trên

. Suy ra hàm số

h(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên
x>-1

f(x) > f(-1) hay

. Suy ra, từ

.

Phân tích:
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng
biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!).
Lời giải đúng:
Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1)

,

, dấu "=" xảy ra chỉ tại

x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng
f(-1) hay

. Từ x > - 1

f(x) >

.

5. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
* Sai lầm khi vận dụng các cơng thức tính đạo hàm.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x. Học sinh trình bày như sau:
Ta có y' =

.
13

skkn


Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng cơng thức

. Vận dụng như vậy là sai,

vì cơng thức này chỉ áp dụng cho số mũ

là một hằng số.

Lời giải đúng:
Điều kiện:
Từ

(khi đó y > 0)
y

=

(2x+1)x

* Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức
, nhưng qn rằng nếu như

,

khơng ngun thì cơng thức này chỉ đúng

khi u nhận giá trị dương.
Ví dụ 2: Cho hàm số

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ

thị (C) tại điểm có hồnh độ x = - 1.
Một số học sinh trình bày như sau:
Với x = - 1 ta có
Ta có y =

suy ra y ' =

y '(-1) =

.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

hay

.

Phân tích: Sai sót ở đây là các em khơng chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ
không ngun thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết

là khơng đúng (!).

Lời giải đúng:
Với x = - 1 ta có

14

skkn


Ta có y3 = x2

(y3)'= (x2)'

3.y2 y ' = 2x

y'=

y '(-1) = -

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

hay

.

6. Sai sót khi giải bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
* Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví

dụ

:

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của

hàm

số

y

=

f(x)

=

.
Một số học sinh trình bày như sau:
= t2 - 2.

Đặt t =

Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4
Vậy

, khi t = - 1.

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài tốn khơng tương đương. Giá trị nhỏ
nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t),

.

Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì khơng tồn tại giá trị của x để

= - 1.

Nhớ rằng, số
Lời giải đúng:
Đặt

, với
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3.

Khi đó:

Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với
t
g '(t)

-1

-2

-

):

-

0

2

+

+

15

skkn


G(t)

5

-3
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:

=

Đạt được khi t = - 2
7. Sai sót khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ :
Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x.Ta có điểm A(-1;4)

đồ thị (C). suy ra phương trình tiếp

tuyến là:
y = f '(-1).(x+1)+4

.

Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến

là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)

tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
-5

không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4)
và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 4

Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
(I).Hệ (I)
Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình:

.

2. Bài tập tương tự
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.

b. y =

c. y = cosx - sinx

Bài 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị:

16

skkn


Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.

b. y = cosx - sinx

c. y = sin2x

Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1:

Bài 5: Xác định a để hàm số sau ln đồng biến trên

:

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.

trên đoạn

b. y = 2sinx + sin2x trên đoạn
c. y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5

Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.
b.
c.
Bài 9: Cho hàm số

(m là tham số)

Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x +

tại ba điểm phân

biệt.
Bài 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
có 4 nghiệm thực phân biệt ?
Bài 11: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau
1)

, 2)

,
17

skkn


3)

4)

5)

6)

Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực

tiểu tại x = 0.
Bài12
a) Cho hàm số

−3mx2+3(m2−1)x−(m2−1). Tìm m để hàm số đạt cực

đại tại x=1
b) : Tìm m để hàm số
II.

−3mx2+3(m2−1)x+m đạt cực tiểu tại x=2

Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với học sinh

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy lớp12C8, chưa
ứng dụng ở lớp 12C9 để làm đối chứng và kết quả thu hoạch được khi kiểm tra
khả năng giải bài tập của học sinh 2 lớp như sau:
Số liệu thống kê qua bảng sau đây:
Lớp 12 C9 (Sĩ số 42)

Số lượng

Tỷ lệ

Không giải được

10

23,8 %

Giải sai phương pháp

9

21,4 %

Giải đúng phương pháp

23

54,8 %

Số lượng

Tỷ lệ

Không giải được

02

5,7 %

Giải sai phương pháp

5

14,3 %

Giải đúng phương pháp

28

80 %

Lớp 12 C8 (Sĩ số 35)

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của
học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh ( cả yếu kém và học sinh khá) và
đem lại hiệu quả rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung bài học. Trong thời gian
18

skkn


tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường
và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình
thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I. Kết luận

Thơng qua những sai sót và cách hiểu sai các định nghĩa, khái niệm, định lý
của học sinh, nếu giáo viên phát hiện ra, tìm ra nguyên nhân, kịp thời uốn nắn và
sửa chữa các sai sót đó thì sẽ giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu đúng bản chất
toán học của tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp học sinh tránh được những
sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
Thơng qua đề tài này, cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng
dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc
hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai
lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải tốn cho
riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lý thuyết đã được
trang bị để làm tốn. Từ đó thấy được sự lơgic của tốn học nói chung và của
chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất
hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán, hơn nữa, những bài tốn được giải bằng
cơng cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đễ hiểu.
Sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu
tượng và thậm chí mang tính hàn lâm; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp
cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn. Ở cấp độ trường trung học phổ thơng, đề
tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, chia sẻ cùng đồng
nghiệp, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và
học. Giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý
cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp học sinh tránh khỏi lúng
túng trước một bài tốn đặt ra và khơng mắc phải những sai lầm thường gặp.

19

skkn


Trong khn khổ của bài viết này, tơi khơng có tham vọng sẽ phân tích

được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học cấp
trường , của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo và của quý thầy cô.
III. Kiến nghị
Đạo hàm của hàm số có rất nhiều ứng dụng, mà một trong các ứng dụng
đó là khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và giải các bài tốn liên quan. Ngồi ra, đạo
hàm cịn là cơng cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng tốn khác như giải phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình, chứng minh bất
đẳng thức.
Tơi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần vào việc giải các dạng toán đã nêu trên.
Mong các thầy cơ cùng phát hiện thêm những sai sót của học sinh trong q
trình giải tốn, để uốn nắn kịp thời, tạo cho học sinh cơ hội sửa sai và thêm u
thich bộ mơn tốn.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “khảo sát
hàm số và các bài toán liên quan ứng dụng đạo hàm”. Rất mong đựoc quý thầy
cô và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để đề tài được
hồn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hóa, ngày 27 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan SKKN này của mình
viết, khơng sao chép của người khác.

Lê Thị Lam

20

skkn

Tài liệu tham khảo:
1. SGK Tốn Giải tích 12 – CB . NXB Giáo dục 2007.
2. SGV Toán 12 – CB . NXB Giáo dục 2007.
3. SBT Tốn Giải tích 12 – CB . NXB Giáo dục 2007.
4. Chuẩn kiến thức kỹ năng bộ mơn Tốn. NXB Giáo dục năm 2010.
5. Hướng dẫn ơn tập thi TN THPT mơn Tốn năm học 2011-2012. NXB
Giáo dục năm 2012
6. Tham khảo các tài liệu của đồng nghiệp: Bài báo trên internet, Tạp chí
Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáp dục và thời đại, SK18KN của đồng nghiệp.

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
21

skkn

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GIÁO
DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Lê Thị Lam
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thiệu hóa

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

Phân loại và phương pháp giải các
Sở GD và ĐT
bài toán trong quan hệ song song

Kết quả xếp
loại
C

Năm xếp loại
2014

22

skkn