Skkn Định Hướng Lời Giải Bài Toán Chứng Minh Hai Đường Thẳng Vuông Góc Bằng Cách Sử Dụng Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Cho Học Sinh Lớp 11 Ở Trường Thcs Và Thpt Nghi Sơn.pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (792.78 KB, 25 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TỐN CHỨNG MINH
HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC BẰNG CÁCH SỬ
DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO HỌC
SINH
LỚP 11 Ở TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN
Người thực hiện: Mai Như Quỳnh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn
THANH HĨA NĂM 2022
skkn
MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Định nghĩa hai đường thẳng vng góc trong khơng gian.
2.1.2. Quan hệ giữa hai đường thẳng vng góc và Vectơ chỉ phương
của chúng.
2.1.3. Định nghĩa góc giữa hai Vectơ trong khơng gian.
2.1.4. Định nghĩa tích vơ hướng của hai Vectơ trong không gian.
2.1.5. Một số quy tắc Vectơ cần dùng.
2.1.6. Một số tính chất của tích vơ hướng.
2.1.7. Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các bài toán mở đầu về chứng minh hai đường thẳng vng góc
bằng cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ.
2.3.2. Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng
cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ.
2.3.3. Đối với các bài toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng và góc
giữa hai đường thẳng.
2.3.4. Đối với các bài tốn cho biết yếu tố vng góc của hai đường
thẳng.
2.3.5. Các bài tập tương tự.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC: Mẫu phiếu khảo sát học tập.
skkn
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
4
5
6
8
8
12
16
16
18
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống ở thế kỷ XXI, thế kỷ của nền kinh tế tri thức với sự
phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật và văn minh công nghệ thông tin.
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại và yêu cầu của sự nghiệp đổi mới đất nước,
Đảng ta đã khẳng định vai trò quan trọng của sự nghiệp giáo dục, trong đó Tốn
học là một trong những bộ mơn quan trọng trong nền giáo dục nước nhà.
Mặc dù học sinh ngay từ lúc đi học đã được học và tiếp thu kiến thức Tốn
qua các năm học nhưng mơn Tốn khơng phải là bộ mơn dễ dàng đối với tất cả
học sinh, đặc biệt là bộ mơn Hình học khơng gian trong chương trình Tốn
Trung học phổ thơng.
Thực tế giảng dạy cho thấy đối với các bài toán về Quan hệ vng góc trong
khơng gian ở chương trình Tốn 11 việc học sinh tìm ra lời giải của một bài tốn
là khơng hề đơn giản, hầu hết đều mang tính tự phát, làm theo bản năng, khơng
có hệ thống hay phương pháp cụ thể. Học sinh có thể tiếp thu rất nhanh khi đọc
hướng dẫn giải trong các ví dụ minh họa nhưng khi gặp các bài toán khác lại
cảm thấy bế tắc, khơng có hướng giải quyết phù hợp.
Trong q trình giảng dạy bài “Hai đường thẳng vng góc” trong sách
giáo khoa hình học 11, tơi thấy rằng để chứng minh hai đường thẳng vng góc
ta thường dùng ba cách: dùng định nghĩa hai đường thẳng vng góc, quan hệ
song song và vng góc của hai đường thẳng, chứng minh tích vơ hướng của hai
Vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Hầu hết các bài tập ở bài “Hai đường
thẳng vng góc” trong sách giáo khoa hình học 11 đều phải giải bằng cách
dùng tích vơ hướng của hai Vectơ vì lý do đề bài khơng cho các yếu tố: đường
thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc. Hơn nữa học sinh
chưa được học các kiến thức này. Khi giải các bài tập trong bài “Hai đường
thẳng vng góc” trong sách giáo khoa, nhiều học sinh gặp lúng túng, thậm chí
khơng có căn cứ khoa học và tư duy lôgic để định hướng cách giải nên khơng
thể giải được.
Trước khó khăn của học sinh đã nêu ở trên, tôi chọn đề tài “Định hướng
lời giải bài tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng cách sử dụng
tích vơ hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS và THPT
Nghi Sơn” nhằm hình thành cho học sinh cách tư duy khoa học, có cơ sở để giải
một số bài tập trong bài “Hai đường thẳng vng góc” trong sách giáo khoa
nói riêng và các bài tập khác tương tự nói chung.
skkn
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày cách để chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng cách sử
dụng tích vơ hướng của hai Vectơ trong dạy học Hình học khơng gian 11 nhằm
định hướng lời giải bài toán cho học sinh, rèn luyện kỹ năng giải toán. Vận dụng
vào trong các tiết học Hình học và giúp nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn
ở nhà trường.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng
cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS
và THPT Nghi Sơn
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp quan sát, điều tra, thống kê, phân tích, so sánh.
- Phương pháp thực nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong khơng gian1
Hai đường thẳng
chúng bằng
và
, ký hiệu
được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa
.
2.1.2. Quan hệ giữa hai đường thẳng vng góc và
Vectơ chỉ phương của chúng 2
Nếu
thì:
và
lần lượt là hai Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
và
.
2.1.3. Định nghĩa góc giữa hai Vectơ trong khơng gian3
Trong không gian, cho
và
là hai Vectơ khác Vectơ – không. Lấy một
điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho
1
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
3
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
2
skkn
Khi đó ta gọi góc
(
là
) là góc giữa hai Vectơ
và
trong khơng gian, kí hiệu
.
2.1.4. Định nghĩa tích vơ hướng của hai Vectơ trong khơng gian4
a) Định nghĩa
Trong không gian cho hai Vectơ và đều khác Vectơ – khơng. Tích vơ
hướng của hai Vectơ và là một số, kí hiệu là
, được xác định bởi công thức:
b) Nhận xét
Hai Vectơ
và
đều khác Vectơ – không vuông góc với nhau khi và chỉ
khi
2.1.5. Một số quy tắc Vectơ cần dùng
a) Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ
Với ba điểm tùy ý
ta ln có:
(quy tắc ba điểm);
(quy tắc trừ).
b) Quy tắc hình bình hành
Nếu
là hình bình hành thì
c) Quy tắc hình hộp
4
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
skkn
.
Cho hình hộp
và có đường chéo
có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD,
Khi đó ta có quy tắc hình hộp là:
.
d) Trung điểm của đoạn thẳng
Nếu
là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:
2.1.6. Một số tính chất của tích vơ hướng
Với các Vectơ
tùy ý ta ln có:
2.1.7. Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên5
Sơ đồ:
Nội dung: Giả sử muốn chứng minh
chứng minh
minh
ta phải chứng minh
Có nghĩa là: Muốn có
có
phải có
nên X đúng.
.
ta phải chứng minh
… muốn chứng minh
phải có
, muốn có
ta phải chứng
phải có
là điều đã được khẳng định nên ta dừng lại. Vì
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
Trích từ tài liệu tham khảo số [2]
skkn
, muốn
… muốn
đúng
Thực tế giảng dạy Toán học 11 ở trường THCS và THPT Nghi Sơn năm
học 2020-2021 cho thấy:
- Trong việc học mơn Tốn nhất là bộ mơn Hình học khơng gian của khá
nhiều học sinh lớp 11 là chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của môn học là môn học u
cầu các em học sinh có trí tưởng tượng phong phú. Cách trình bày chặt chẽ, suy
luận lơgic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong các bài
kiểm tra. Phần lớn học sinh trung học phổ thơng rất ngại học Hình học khơng
gian dẫn đến các em rất yếu về kỹ năng giải toán hình học.
- Nhiều em chưa biết cách trình bày lời giải các bài tốn về quan hệ vng
góc trong khơng gian, sử dụng các kiến thức hình học đã được học chưa thuần
thục, lộn xộn trong lời giải của mình. Cá biệt có một số học sinh vẽ hình q
xấu, không đáp ứng được yêu cầu của một bài giải hình học.
- Trước những thực trạng nêu trên, tơi đã tiến hành khảo sát về mức độ
hứng thú học tập và tìm hiểu những khó khăn gặp phải của học sinh trong q
trình học mơn Hình học khơng gian 11, kết quả thu được:
Tổng số học sinh tham gia khảo sát là 76 học sinh của 02 lớp 11A4 và 11A5.
Kết quả câu hỏi số 1 trong phiếu khảo sát:
Số học
sinh
76
Kết quả khảo sát sự hứng thú học tập bộ mơn
Hình học khơng gian
Rất thích (%)
Thích (%)
13,3
31
Bình thường (%) Khơng thích (%)
33,2
22.5
Nhận xét: Tỉ lệ học sinh khơng mấy hứng thú với việc học tập mơn Hình
học khơng gian là khá cao chiếm 55,7%, trong đó có 22,5% khơng thích học
mơn Hình học khơng gian điều này làm ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng dạy
học mơn Tốn tại trường.
Có tình trạng trên là do nhiều ngun nhân, trong đó: Do kiến thức tiền đề
của các em các lớp dưới khơng tốt (mất gốc) chiếm 28,5%. Do kiến thức Tốn
q khó và khơ khan kém hấp dẫn chiếm 40%, ngồi ra cịn có các ngun nhân
do ham chơi, chưa quyết tâm học tập chiếm 18%, do hồn cảnh gia đình, các
điều kiện xã hội tác động chiếm 9% và nguyên nhân khác chiếm 4,5%.
Chất lượng học tập mơn Tốn lớp 11 còn thấp, cụ thể trong năm học
2020-2021 kết quả mơn Tốn của các lớp 11A4, 11A5 và 11A6 như sau:
skkn
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Lớp
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
11A4
1
2,4%
11
26,8%
27
65,9%
6
4,9%
0
0%
11A5
1
2,5%
10
25,6%
25
64,1%
4
7,8%
0
0%
11A6
0
0%
10
23,3%
28
65,1%
7
9,3%
1
2,3%
Kết quả chất lượng mơn Tốn năm học gần đây cho thấy tỉ lệ học sinh
khá, giỏi mơn Tốn là khá khiêm tốn, vẫn còn nhiều học sinh xếp loại học lực
yếu.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Từ những thực trạng nêu trên tôi đưa ra biện pháp nhằm mục đích nâng cao
hiệu quả giảng dạy và tạo hứng thú cho học sinh học mơn Hình học khơng gian
bằng cách định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vng góc
bằng cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở Trường
THCS và THPT Nghi Sơn.
2.3.1. Các bài toán mở đầu về chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng
cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ
Bài tốn 1: 6 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính
a)
;
b)
;
c)
.
Giải:
6
Trích từ tài liệu tham khảo số [3]
skkn
a)
Ta có
.
b) Ta có
.
c) Ta có
Từ lời giải trên ta có nhận xét sau đây:
Nhận xét 1: Khi tính tích vô hướng của hai Vectơ mà đề bài cho yếu tố độ
dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Hai Vectơ có điểm chung hoặc cùng phương: Ta áp dụng
trực tiếp định nghĩa tích vơ hướng của hai Vectơ để tính (như câu a và câu b của
bài tốn 1 chẳng hạn);
- Trường hợp 2: Hai Vectơ khơng có điểm chung và khơng cùng phương:
Ta có thể chuyển về hai Vectơ có điểm chung tương ứng bằng chúng rồi làm
như trường hợp 1, hoặc phân tích một Vectơ thành các Vectơ khác sao cho các
Vectơ này có điểm chung với Vectơ cịn lại rồi dùng tính chất của tích vơ hướng
và sau đó đưa về trường hợp 1 để tính.
Bài tốn 2:7 Cho tứ diện ABCD có
lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Tính
Giải:
7
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
skkn
. Gọi P, Q lần
Ta dễ dàng chứng minh được
.
Do đó
(Vì
).
Từ lời giải trên ta có nhận xét sau đây:
Nhận xét 2: Khi tính tích vơ hướng của hai Vectơ mà đề bài cho yếu tố
vng góc giữa hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Nếu đề bài cho hai Vectơ đó vng góc với nhau thì có
ngay kết quả là tích vơ hướng của chúng bằng 0;
- Trường hợp 2: Nếu hai Vectơ khơng có điểm chung và khơng vng góc
với nhau thì ta phải biến đổi tích vơ hướng của hai Vectơ đã cho thành tổng các
tích vơ hướng sao cho mỗi hạng tử của tổng là tích vơ hướng của hai Vectơ
vng góc với nhau và sau đó đưa về trường hợp 1 để tính.
Hai nhận xét trên là cơ sở khoa học để học sinh định hướng lời giải cho các
bài toán chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng cách dùng tích vơ hướng
của hai Vectơ.
2.3.2. Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng cách
sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ
Muốn chứng minh hai đường thẳng a và b vng góc với nhau ta chứng
minh tích vơ hướng của hai Vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.
2.3.3. Đối với các bài toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai
đường thẳng
Ví dụ 1: 8 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng:
+ Định hướng lời giải:
8
Trích từ tài liệu tham khảo số [4]
skkn
.
- Muốn chứng minh
- Việc tính
và
Vectơ
ta phải chứng minh
;
trực tiếp bằng định nghĩa khơng thể thực hiện được vì
là hai đường thẳng chéo nhau và ta khơng tính được góc giữa hai
và
bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho tứ diện đều cạnh a nên các mặt của tứ diện là
các tam giác đều. Từ đó suy ra các góc ở đỉnh của tứ diện bằng nhau và cùng
bằng
. Do đó đây là bài tốn biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai
đường thẳng;
- Theo bài tốn 1c ta đã có
phải chứng minh.
. Từ đó áp dụng tương tự suy ra điều
- Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 1 như sau:
+ Lời giải:
Ta có:
.
Do đó
skkn
Suy ra
.
+ Với đề bài như ví dụ 1, giáo viên có thể u cầu học sinh chứng minh
.
Ví dụ 2: 9 Cho hình chóp tam giác S.ABC có
và
. Chứng minh rằng:
.
+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh
- Việc tính
ta phải chứng minh
;
bằng định nghĩa khơng thể thực hiện được vì SB và AC
là hai đường thẳng chéo nhau và ta khơng tính được góc giữa hai Vectơ
và
bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho
và
.
Do đó đây cũng là bài tốn biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng;
- Từ giả thiết
ta suy ra
- Do đó dựa vào nhận xét 1, để chứng minh
(
và
có chung điểm đầu là S với
.
ta phải biến đổi
), sau đó biến đổi
làm xuất hiện tích vơ hướng của các cặp Vectơ có chung điểm đầu là S
và dùng định nghĩa tích vơ hướng của hai Vectơ để tính.
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải như sau:
9
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
skkn
+ Lời giải:
Ta có
Suy ra điều phải chứng minh.
+ Với đề bài như ví dụ 2, giáo viên có thể u cầu học sinh chứng minh
.
Ví dụ 3:10 Cho hình chóp
có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Biết
minh
.
,
. Chứng
Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh
-
Việc tính
ta phải chứng minh
;
bằng định nghĩa khơng thể thực hiện được vì MN
và SB là hai đường thẳng chéo nhau, ta khơng tính được góc giữa hai Vectơ
và
10
bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
Trích từ tài liệu tham khảo số [5]
skkn
- Nhận thấy rằng đề bài cho
,
. Do đó đây cũng là bài
toán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng;
- Theo bài ra ta có
và
nên ta biến đổi
theo ít nhất một trong các Vectơ
làm xuất hiện các tích vơ hướng
tích vơ hướng của hai Vectơ để tính.
. Sau đó biến đổi
và
và dùng định nghĩa
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải như sau
+ Lời giải:
Ta có
(Vì
,
)
Suy ra điều phải chứng minh.
Như vậy dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc
bằng cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ và nhận xét 1 ta có thể định
skkn
hướng được cách giải ba ví dụ trên một cách có căn cứ khoa học, tư duy lơgic.
Đặc biệt ở ví dụ 2, ví dụ 3 ta thấy việc chứng minh hai đường thẳng vng góc
bằng cách dùng tích vơ hướng của hai Vectơ là hợp lý và có thể nói là ngắn gọn
nhất vì đề bài khơng cho quan hệ vng góc nên việc chứng minh bằng phương
pháp khác gặp nhiều khó khăn.
2.3.4. Đối với các bài tốn cho biết yếu tố vng góc của hai đường thẳng
Ví dụ 4: 11 Cho tứ diện ABCD có
. Gọi P, Q lần lượt là
trung điểm các cạnh AB và CD. Chứng minh
.
+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh
- Việc tính
ta phải chứng minh
;
bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì ta khơng
tính được góc giữa hai Vectơ
và
bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho
. Do đó đây là bài tốn
cho biết yếu tố cho biết yếu tố vng góc của hai đường thẳng;
- Theo bài tốn 2 ta đã ta có
chứng minh.
-
11
. Từ đó suy ra điều phải
Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 4 như sau
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
skkn
Ví dụ 5: 12 Cho hình lập phương
. Chứng minh
.
+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh
phải chứng minh
- Việc tính
ta
;
bằng định nghĩa khơng thể thực hiện được vì học
sinh khơng tính được góc giữa hai Vectơ
giữa hai Vectơ;
và
bằng định nghĩa góc
- Nhận thấy rằng đề bài cho hình lập phương
là bài tốn cho biết yếu tố vng góc của hai đường thẳng;
- Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh
. Do đó đây
ta phải biến đổi
thành tổng các tích vơ hướng của hai Vectơ mà hai Vectơ đó phải
vng góc với nhau. Muốn vậy phải biểu thị
và
thành tổng, hiệu các
Vectơ mà giá của chúng chứa các cạnh của hình lập phương.
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 5 như sau:
12
Trích từ tài liệu tham khảo số [6]
skkn
+ Dưới đây là lời giải theo hướng phân tích trên:
Ta có
(theo quy tắc trừ);
(theo quy tắc hình hộp).
Do đó
.
Vì
là hình lập phương nên
. Suy ra
Vậy
.
(vì
).
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: 13 Cho hình lập phương
trung điểm của các cạnh GF và CD. Chứng minh
cạnh a. Gọi M, N lần lượt là
.
+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh
- Việc tính
ta phải chứng minh
;
bằng định nghĩa khơng thể thực hiện được vì học
sinh khơng tính được góc giữa hai Vectơ
giữa hai Vectơ;
và
bằng định nghĩa góc
- Nhận thấy rằng đề bài cho hình lập phương
cũng là bài tốn cho biết yếu tố vng góc của hai đường thẳng;
13
Trích từ tài liệu tham khảo số [5]
skkn
. Do đó đây
- Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh
ta phải biến đổi
thành tổng các tích vơ hướng của hai Vectơ mà hai Vectơ đó phải vng
góc với nhau. Muốn vậy phải biểu thị hai Vectơ
và
thành tổng các
Vectơ mà giá của chúng là các đường thẳng chứa các cạnh của hình lập phương.
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 6 như sau:
+ Dưới đây là lời giải theo hướng phân tích trên:
Ta có
;
.
Do đó
Vì
là hình lập phương nên
. Suy ra
.
Vậy
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Như vậy: Dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc
bằng cách sử dụng tích vơ hướng của hai Vectơ và nhận xét 2, ta đã có cơ sở
khoa học để định hướng cách giải ví dụ 4, ví dụ 5 và ví dụ 6 một cách lôgic mà
skkn
khơng cần phải vẽ thêm hình hoặc dùng quan hệ vng góc của đường thẳng và
mặt phẳng…
2.3.5. Các bài tập tương tự
Bài 1: 14 Cho tứ diện ABCD có
và
.
Chứng minh rằng:
a)
;
b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì
.
Bài 2:
15
Cho hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau
(hình hộp như thế gọi là hình hộp thoi). Chứng minh
Bài 3:
.
Bài 4:
16
17
Cho tứ diện ABCD có
Cho hình hộp thoi
và
và
.
và
. Chứng minh
có tất cả các cạnh đều bằng a
. Chứng minh tứ giác
là hình vng.
Bài 5: 18 Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD và
cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm
Chứng minh rằng
và tứ giác
có chung
và
.
là hình chữ nhật.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ
qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 11A5.
Đối tượng học sinh 11A4 có trình độ ngang nhau (đối chứng) với 11A5
(thực nghiệm).
Ở lớp thực nghiệm 11A5, đa số các em giải tốn đạt độ chính xác cao, khả
năng nhớ các dạng toán và bài kiểm tra thường xuyên đạt điểm cao hơn.
Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thực nghiệm và đối chứng đề tài
ở lớp, tôi thu được kết quả sau:
Lớp 11A4 - lớp đối chứng
14
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
Trích từ tài liệu tham khảo số [6]
16
Trích từ tài liệu tham khảo số [7]
17
Trích từ tài liệu tham khảo số [6]
18
Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
15
skkn
Lớp 11A5 - lớp thực nghiệm
Số HS
Tỉ lệ %
Số HS
Tỉ lệ %
Giỏi
1
3
3
9
Khá
8
21
10
26
Trung bình
25
66
24
62
Yếu
4
10
1
3
Kém
0
0
0
0
Cộng
38
100
38
100
Biểu đồ minh họa cụ thể:
Lớp 11A4
3%
10%
21%
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
66%
Lớp 11A5
3%
9%
26%
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
62%
Biểu đồ thể hiện về chất lượng học tập của học sinh đối với 02 lớp 11A4 và 11A5
Trường THCS và THPT Nghi Sơn
skkn
