Skkn một số giải pháp để chứng minh hình học phẳng thông qua việc phân loại và khai thác bài tập hình học lớp 9

MỤC LỤC
1. Mở đầu.............................................................................................................. 2
1.1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 3
2. Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm ............................................................ 3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................... 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ................ 4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ......................................... 5
2.3.1. Giải pháp 1: Phân loại tốn chứng minh hình học theo một số dạng
truyền thống thường gặp. ...................................................................................... 5
2.3.2. Giải pháp 2: Ôn luyện kiến thức cũ trong bài mới. .................................... 5
2.3.3. Giải pháp 3: Xây dựng niềm tin cho học sinh yếu và khích lệ học sinh khá
giỏi. ........................................................................................................................ 8
2.3.4. Giải pháp 4: Đa dạng hóa các bài tập và tập cho học sinh có thể tự tìm
tịi. ........................................................................................................................ 11
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ............................................................. 13
3. Kết luận, kiến nghị ........................................................................................ 14
3.1. Kết luận ....................................................................................................... 14
3.2. Kiến nghị ..................................................................................................... 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 16
DANH MỤC ....................................................................................................... 17

skkn


2

1. Mở đầu

1.1. Lý do chọn đề tài
Là một giáo viên giảng dạy mơn Tốn học ở bậc THCS tơi nhận thấy:
Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu
tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học
sinh trong quá trình học tốn ở trường THCS.
Đổi mới phương pháp giảng dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục,
bồi dưỡng nhân tài góp phần thực hiện mục tiêu như Nghị quyết 29-NQ/TW
ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị Trung ương 8 khóa XI đã chỉ rõ: “Đối với
giáo dục phổ thơng, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất,
năng lực cơng dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp
cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý
tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự
học, khuyến khích học tập suốt đời”. Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục
toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của
học sinh ngay từ nhà trường phổ thông.
Qua nghiên cứu các tài liệu và đặc biệt từ thực tế việc dạy, việc học tại
Trường THCS Quang Trung, bản thân tơi nhận thấy: Dạng tốn chứng minh là
một dạng tốn rất quan trọng của hình học phẳng lớp 9. Sự phong phú, đa dạng
về thể loại cũng như sự linh hoạt, sâu sắc trong suy luận của các bài tốn chứng
minh ln tạo nên sức cuốn hút hấp hẫn của mơn học này. Nhiều kĩ năng giải
tốn được hình thành và thơng qua đó năng lực phân tích tìm tịi, khả năng suy
đốn, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo của học sinh được
phát triển. Dù mang nhiều ý nghĩa như vậy nhưng rất nhiều học sinh lớp 9 còn
lúng túng khi gặp bài tốn chứng minh hình học phẳng đặc biệt đối với học sinh
trung bình, học sinh yếu. Đây là vấn đề mà các thầy cơ giáo giảng dạy tốn 9 và
các bậc phụ huynh đều rất quan tâm, lo lắng.
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chất
lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm
dạy và học tốn, tơi đã nghiên cứu và lựa chọn đề tài: “Một số giải pháp để

chứng minh hình học phẳng thơng qua việc phân loại và khai thác bài tập
hình học lớp 9” với kỳ vọng góp một phần kinh nghiệm giảng dạy của mình về
việc dạy học theo cách đổi mới phương pháp, giúp học sinh học tốt hơn các bài
tốn về chứng minh hình học phẳng và là nguồn cảm hứng cho lòng say mê của
học sinh đối với bộ mơn tốn học, phù hợp với chương trình giáo dục phổ thơng
2018 và chương trình giáo dục phổ thơng năm 2006.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nội dung trong đề tài cung cấp cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống
các phương pháp chứng minh hình học phẳng, nhằm giúp cho học sinh có khả

skkn


3

năng chứng minh thành thạo hình học phẳng, từ đó hình thành cho các em các kĩ
năng suy luận, biến đổi, nhận dạng, phát triển năng lực phân tích tìm tịi, khả
năng suy đốn, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo và thể
hiện tốt lời giải bài toán vận dụng tốt dạng toán này.
Giúp các em học sinh thấy được vai trò của việc chứng minh trong hình
học phẳng, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
Tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên cứu kĩ càng
các tài liệu để có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo phục vụ cho quá trình
học tập và giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các vấn đề để hướng dẫn học sinh lớp 9 chứng minh hình học
phẳng thông qua việc phân loại và khai thác bài tập hình học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp thu thập, xử lí thơng tin.

- Phương pháp lập kế hoạch.
- Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp.
2. Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nghị quyết TW 4 (Khóa XIII) khẳng định: "Phát triển giáo dục và đào tạo
cùng với phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho
giáo dục và đào tạo là đầu tư cho phát triển. Đổi mới căn bản và toàn diện giáo
dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội. Đổi mới căn bản, toàn diện
nền giáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ
hóa và hội nhập quốc tế. Xây dựng đồng bộ thể chế, chính sách để thực hiện có
hiệu quả chủ trương giáo dục và đào tạo cùng với khoa học và công nghệ là
quốc sách hàng đầu, là động lực then chốt để phát triển đất nước. Chú trọng giáo
dục phẩm chất, năng lực sáng tạo và các giá trị cốt lõi, nhất là giáo dục tinh thần
yêu nước, tự hào, tự tôn dân tộc, khơi dậy khát vọng phát triển, xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc. Đào tạo con người theo hướng có đạo đức, kỷ luật, kỷ cương, ý thức
trách nhiệm cơng dân, xã hội; có kỹ năng sống, kỹ năng làm việc, ngoại ngữ,
công nghệ thông tin, công nghệ số, tư duy sáng tạo và hội nhập quốc tế".
Trong việc dạy và học bộ mơn Tốn giáo viên cần phải rèn cho học sinh
tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tịi ra kiến thức mới,
và khơng chỉ với các phương pháp cơ bản, thơng thường mà cịn phải hình thành

skkn


4

lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó
giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng
tạo khi gặp các dạng Tốn khó.
Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài tốn chứng minh

hình học phẳng một cách nhanh chóng và chính xác. Để làm được điều này thì
người giáo viên cần phải xây dựng cho học sinh kĩ năng quan sát, phân tích,
tổng hợp bài tốn. Tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách
giải bài toán cho phù hợp.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn và tham khảo ý kiến của các đồng
nghiệp, tôi nhận thấy: Khi đứng trước bài tốn về chứng minh hình học phẳng
các em chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài tốn trên nên chứng
minh như thế nào, khơng biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào
sau, hướng giải nào là tốt nhất và trong q trình phân tích các em cịn gặp nhiều
sai sót trong lập luận cũng như cách trình bày.
Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng chứng minh hình học phẳng của HS
khối 9 đầu năm học 2021 - 2022:
HS khơng thuộc lí
HS thuộc lí thuyết,
HS nắm vững
thuyết, khơng biết
chưa biết vận dụng
lí thuyết, biết vận
Lớp
cách chứng minh
chứng minh
dụng chứng minh
(sĩ số)
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ

yêu cầu
%
yêu cầu
%
yêu cầu
%
9A1 (39 HS)
24
61,5%
8
20,5%
7
18,0%
9A2 (42 HS)
27
64,3%
7
16,7%
8
19,0%
Tổng (81 HS)
51
63,0%
15
18,5%
15
18,5%
* Phân tích kết quả trên:
Kết quả khảo sát năm học 2020 - 2021 và năm học 2021- 2022 cho thấy:
56% các em HS khối 9 chưa có được các kĩ năng chứng minh cần thiết.

Qua đây cho thấy việc làm cho học sinh nắm vững phương pháp để vận
dụng kiến thức đã học vào chứng minh hình học phẳng là công việc rất quan
trọng và không thể thiếu được của người dạy tốn. Vì thơng qua đó có thể rèn
được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh. Để làm
được điều đó thì theo tơi, giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phương pháp
chứng minh cụ thể, chi tiết để học sinh hiểu được thực chất của vấn đề, phát hiện
phương pháp phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau. Từ đó giúp học
sinh có các kĩ năng chứng minh hình học phẳng thành thạo, thốt khỏi tâm lí
chán nản, hoang mang, dẫn đến sợ mơn tốn.

skkn


5

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp 1: Phân loại toán chứng minh hình học theo một số
dạng truyền thống thường gặp.
Giải pháp phân loại tốn chứng minh hình học theo một số dạng truyền
thống thường gặp có mục đích là giúp học sinh xác định rõ hướng chứng minh,
tìm cách giải quyết cần vận dụng những kiến thức nào đã học.
Phân loại các dạng toán chứng minh:
a. Dạng 1: Toán chứng minh dựa vào so sánh
* So sánh về độ lớn:
- So sánh các đoạn thẳng, các góc hay chứng minh các đoạn thẳng, các
góc bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn.
- So sánh về diện tích các hình.
- So sánh về tỉ số, hệ thức giữa các đoạn thẳng.
* So sánh về vị trí:
Ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng qui, nhiều điểm thuộc một

đường tròn, các đường thẳng song song, các đường thẳng vng góc, đường
thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, các đường tròn cắt nhau, các đường trịn
tiếp xúc nhau…
b. Dạng 2: Tốn chứng minh dựa vào nhận dạng các hình
- Các hình đồng dạng.
- Nếu là đa giác có thể là đa giác đều.
- Nếu là hình tứ giác thì có thể là hình thang, hình thang cân, thang vng,
hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vng.
- Nếu là hình tam giác có thể là tam giác cân, vuông, vuông cân và tam
giác đều.
c. Dạng 3: Chứng minh các yếu tố cố định khơng đổi
- Điểm cố định, độ dài khơng đổi, tích không đổi, tỉ số không đổi.
- Đường thẳng đi qua điểm cố định.
d. Dạng 4: Toán cực trị - Xác định điều kiện để một hình có độ lớn
(độ dài, số đo, diện tích, chu vi,...) nhỏ nhất hay lớn nhất
Với giải pháp này cần hướng dẫn cho học sinh nắm được một cách chắc
chắn các dạng và cách chứng minh từng dạng.
2.3.2. Giải pháp 2: Ôn luyện kiến thức cũ trong bài mới.
Giải pháp ôn luyện kiến thức cũ trong bài mới có mục đích giúp học sinh
ghi nhớ, khắc sâu và vận dụng linh hoạt kiến thức đã học. Từ những bài tập quen

skkn


6

thuộc giáo viên mở rộng phát triển bài tốn có tính tổng hợp, phong phú hơn để
học sinh khơng những ôn luyện được kiến thức mà còn vận dụng những kiến
thức đó để làm bài tập mới.
a. Ví dụ 1: Giáo viên đưa ra chùm bài tập như sau:

Bài tập 1:
Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N
thuộc đường tròn tâm O). Từ A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt ON tại S.
Chứng minh SO = SA.
M
A
- GV dẫn dắt, định hướng bằng các câu
hỏi để HS tìm ra hướng chứng minh.
* Để chứng minh SO = SA ta quy về
  SAO
 và dựa vào tính chất của
chứng minh O
1
O
hai tiếp tuyến cắt nhau.
N
* Chứng minh:
S
 O
 (tính chất hai tiếp tuyến cắt
Ta có: O
1
2
nhau)
 O
 (cùng phụ 
OAS
A1 )
2
  OAS

  OSA cân tại S  SO = SA
O
1
Bài tập 2:
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N
thuộc đường tròn tâm O). Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt AN tại S.
Chứng minh SO = SA.
1

2

1

M
- GV dẫn dắt, định hướng bằng
A
2
các câu hỏi để HS tìm ra hướng chứng
1
minh.
2
* Để chứng minh SO = SA ta quy
1
O
S


về chứng minh A1  O1 và dựa vào tính
chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
N

* Chứng minh:
Ta có: 
A1  
A2 (tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau)

 (cùng phụ O
)
A2  O
1
2


 A1  O1  OSA cân tại S
 SO = SA
Từ hai bài tập trên giáo viên mở rộng phát triển bài tốn có tính tổng hợp:
Bài tập 3: Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn (M, N thuộc đường tròn tâm O). Đường thẳng vng
góc với OM tại O cắt AN ở S và cắt đường thẳng vng góc với AM tại A ở F.
ON cắt AF tại E. Chứng minh:
a. Tam giác EAO là tam giác cân.

skkn


7

b. SO = SA.
c. Tứ giác AMOF là hình gì?
d. Ba đường thẳng OF, AN, ES đồng qui.

e. Năm điểm A, M, O, N, F cùng thuộc một đường tròn.
M
- Sau khi vẽ hình bài tập 3 và tìm cách
A
chứng minh học sinh dễ dàng nhận ta câu a
tương tự như bài tập 1, câu b tương tự như bài
O
F
S
tập 2.
- GV dẫn dắt, định hướng bằng các câu
N
hỏi để HS tìm ra hướng chứng minh.
a. Tương tự như chứng minh bài tập 1
E
b. Tương tự như chứng minh bài tập 2.
c. Nhận xét về các góc của tứ giác
AMOF:

  90 0 nên tứ giác
MOF
AMO  OFA
AMOF là hình chữ nhật.
d. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
Ta có: OF  AE ; AN  OE
mà OF cắt AN tại S  S là trực tâm của tam giác AOE
 Ba đường thẳng OF, AN, ES đồng qui.
e. Để chứng minh năm điểm A, M, O, N, F cùng thuộc một đường tròn ta
cần chứng minh 2 tứ giác AMON và tứ giác AONF nội tiếp.
- Sau khi giải bài tập này GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Để giải bài toán

này các em đã vận dụng những kiến thức nào?
HS trả lời được câu hỏi của Giáo viên là các em đã ôn lại những kiến thức
về tam giác cân, hình chữ nhật, ba đường cao của tam giác thì đồng qui, cách
chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn...
b. Ví dụ 2: Củng cố: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O
bán kính R. I là trực tâm của tam giác ABC. Các đường cao AH, BK, CI cắt
đường tròn (O, R) lần lượt tại D, E, F. Vẽ đường kính AM. Chứng minh:
a. CD = CE.
b. HK // DE.
c. Tứ giác BECM là hình thang cân.
E
GV: dẫn dắt, định hướng
A
a. Để chứng minh CD = CE ta quy về chứng
K
minh tam giác CED cân tại C, tức là ta cần chứng
  ECD

minh EDC
  EDC
 (cùng chắn EC
)
O
Ta cú EBC
I
F



C

DAC  DEC (cùng chắn DC )
H
 và BIH
  AIK
)
  DAC
 (cùng phụ BIH
Mặt khác: EBC
B
M
b. Để chứng minh HK// DE ta chứng minh
D
  BKH

các góc nằm ở vị trí đồng vị bằng nhau BED

skkn


8

)
  BCD
 (cùng chắn BD
Ta có BED
(1)

  BCD
 (cùng chắn BD )
(2)

BAD



BAD  BKH (cùng chắn BH )
(3)
Từ (1) (2) (3 )  HK// DE
c. Chứng minh tứ giác BECM là hình thang cân ta cần chứng minh tứ giác
  MBE
.
là hình thang có MC//BE và có 2 góc đáy CEB
* Ta có 
AMC  90 0  MC  AC mà BE  AC  MC // BE
  MBE

* Chứng minh CEB
Ta có:
 + sđ DC
  1 sđ BC
 = 1 (sđ BD
)
BEC
2
2
  1 (sđ EC
 + sđ MC
)
EBM
2


 cần chứng minh BD
  MC
 hay chứng minh CAM
  BAD
.
Mà CD  EC
1
  90 0  
Mặt khác: CAM
AMC = 90 0 - sđ 
AC
2
  90 0  BAC
 = 90 0 - 1 sđ 
BAD
AC
2
  BAD
 hay BD
  MC


CAM

Với bài tốn này ngồi kiến thức về đường tròn mới học, một lần nữa ta
lại nhắc lại cho học sinh về: dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, tam
giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hình thang cân.
Sau khi hướng dẫn cho các em làm bài tôi lại yêu cầu học sinh thực hiện
như bài tập trước, cứ như vậy qua nhiều lần học sinh sẽ được khắc sâu lại kiến
thức cũ để vận dụng giải những bài tập khác.

2.3.3. Giải pháp 3: Xây dựng niềm tin cho học sinh yếu và khích lệ học
sinh khá giỏi.
Bồi dưỡng nâng cao trình độ cho học sinh yếu và phát huy tư duy cho học
sinh khá, bồi dưỡng học sinh giỏi là hai yêu cầu bắt buộc cho mọi mơn học vì
đây là u cầu của đất nước, là nhiệm vụ của ngành giáo dục và cũng là mục
tiêu phấn đấu của nhà trường. Vì vậy trong từng tiết học tôi bao giờ cũng phải
đặt ra yêu cầu để phấn đấu giảng dạy. Phân mơn hình học của bộ mơn Tốn lại
có đặc thù riêng của nó nên trong tiết học cần làm thế nào? Ở đây tôi chỉ xin nêu
lên cách làm của một tiết luyện tập. Đó là chọn bài tập có nhiều câu hỏi. Từ dễ
đến khó những câu khó hoặc quá khó chỉ yêu cầu học sinh khá và giỏi làm.
Ví dụ 3:
Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB. M là điểm thuộc nửa đường
tròn; tiếp tuyến của (O; R) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D.
Chứng minh rằng:
  90 0 .
a. COD

skkn


9

b. CD = AC + BD.
c. AC. BD = R2.
- Câu a, b học sinh yếu và
trung bình có thể giải được
Gợi ý:
a. Dựa vào tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau. Ta có
  MOD

 )  1800  COD
  90 0
2( COM
b. Dựa vào tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau.
CD = MC + MD mà MC =
CA; MD = MB
- Câu c giáo viên gợi ý tích
AC.BD bằng tích của hai đoạn
thẳng nào?
Áp dụng hệ thức lượng trong
tam giác vng COD.

I

Ta có: OM 2 = R 2 = CM.MD =
CA.DB

Giáo viên ra thêm hai câu:
d. Đường tròn đường kính CD nhận AB là tiếp tuyến
e. Xác định vị trí điểm M để CD ngắn nhất.
- Giáo viên gợi ý câu d: Nếu AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính
CD cần phải có điều kiện gì?(AB vng góc với bán kính tại mút của bán kinh).
Vậy phải xác định bán kính và tâm đường trịn đường kính CD.
Tâm đường trịn đường kính CD là I thì IC = ID =

CD
CD
R
2

2

Nối O với I từ đó chứng minh IO = R và OI  AB
Câu e chỉ yêu cầu học sinh khá giỏi, các em khác không bắt buộc.
Ví dụ 4: Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Kẻ dây AC bất kỳ, trên
tia đối của tia CA lấy D sao cho CA = CD, kẻ đường thẳng vng góc với AC
tại A cắt đường trịn tâm O ở E, trên tia đối củA tia EA lấy điểm F sao cho EA =
EF. Chứng minh:
a.  BAD cân
b. Ba điểm D, B, F thẳng hàng.
c. Xác định vị trí tương đối của đường trịn tâm O và đường trịn đường
kính DF.
d. Xác định vị trí của C trên đường tròn để DB là tiếp tuyến của đường
trong tâm O

skkn


10

GV: Gợi ý cách làm
a. Muốn chứng minh ABD là tam giác cân ta sử dụng tính chất của các
đường trung tuyến, đồng thời đường cao trong tam giác
Ta có : AC=CD ( gt) và 
ACB  90 0
 BC là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên ABD là tam giác

cân.
b. Để chứng minh 3 điểm D, B, F thẳng hàng ta áp dụng định lý về đường
trung bình của tam giác

Xét ADF ta có CA= CD, CB  AD  DB = BF
 3 điểm D, B, F thẳng hàng

c. Để xác định vị trí đường trịn tâm O với đường trịn đường kính DF ta
cần dựa vào hệ thức giữa 2 bán kính của đường trịn.
Ta có: OB = AB - OA nên 2 đường trịn tiếp xúc trong
d. Tuy loại bài này khơng khó lắm nhưng nhiều em chưa quen nên phải
tập cho học sinh suy nghĩ. Nếu điều kiện cần kết luận là có thì xuất hiện điều gì?
(Ví dụ BD là tiếp tuyến thì BD  AB). Nhiều em khơng vận dụng kết quả câu
trước là  BAD cân đỉnh B luôn tồn tại khi CA = CD. Vì vậy ta cần làm rõ điều
này nghĩa là bài tốn có thay đổi một chút nhưng giả thiết nào vẫn tồn tại mà sử
  450 , từ đó kết luận được vị trí
dụng từ đó suy ra  BAD vng cân, suy ra CAB
điểm C trên đường tròn.
Qua hai bài tập này dụng ý tập cho học sinh có thói quen với những bài
tốn động, biết tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài từ đó xác định được
hướng chứng minh.

skkn


11

2.3.4. Giải pháp 4: Đa dạng hóa các bài tập và tập cho học sinh có thể
tự tìm tịi.
Sau khi học sinh đã nắm vững một số dạng toán chứng minh cơ bản, tơi ra
bài tốn đa dạng hơn, u câu học sinh tìm tịi để có thể ra thêm những câu hỏi
và tự giải quyết. Cách làm này đã tạo được hứng thú đáng kể cho học sinh. Từ
đó kiến thức của các em vững vàng hơn, sâu hơn.
Ví dụ 5:

Cho đường trong tâm O hai đường kính AB và CD vng góc với nhau.
M thuộc cung nhỏ AC tiếp tuyến tại M cắt CD kéo dài tại S.
  2 MBA

Chứng minh: MSD

GV: Gợi ý áp dụng tính chất các loại góc đã học ( góc có đỉnh bên ngồi
đường trịn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp …….)
  1 ( MD
  MC
) =1 ( 
)
Ta có: MSD
AM  
AD  MC
2

2
1
)= 1( 
AM  
AM ) = 
AM
= ( 
AM  
AC  MC
2
2
 (2). Từ (1), (2)  đpcm
AM  2MBA

Mà sđ 
S

(1)

F

C
M
I
B

A

O
E

D

Tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh ra thêm các câu hỏi.
Ví dụ 6:
a.  SCM đồng dạng  SMD từ đó suy ra SC.SD = SM2
b. Tìm những cặp tam giác đồng dạng trong hình (nếu cần thì nối thêm
hình) Riêng với học sinh khá giỏi ta có thể ra thêm:
c. Gọi I là một trên OC. Xác định 2 điểm E, F trên AD và đường thẳng
AC sao cho EF nhận I làm trung điểm. Chứng minh AE + AF ln khơng đổi.
Ta có thể gợi ý:
Nếu IE = IF =

EF

2

  90 0 ta sẽ có điều gì? (IA =IE = IF = EF ).
và CAD

2

Vậy E, F thuộc đường tròn nào?.
GV: Gợi ý AE+ AF không đổi
AE + AF = AE + AC +CF

skkn


12

AC cố định điều còn lại ta phải chứng minh AE + CF = k (khơng đổi)
Liệu CF có bằng ED khơng? Ta có thể tạo ra đoạn EH = CF bằng cách kẻ
  90 0  HED
  90 0 suy ra  DEH vuông
EH//AC (H thuộc CD). Ta lại có CAD
cân suy ra EH = ED.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng d cắt (O; R) tại C và D, kẻ OH vng góc với
CD, từ điểm S nằm trên đường thẳng d, kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn.
AB cắt SO tại E, cắt OH tại K.
Sau khi học sinh vẽ hình, suy nghĩ và tự đặt câu hỏi giáo viên nhận xét bổ
sung thêm bài.
a. Tứ giác SAOB nội tiếp.
b. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác SAOB luôn đi qua 1 điểm cố định.
c. SO.OE = R2.

d. K là điểm cố định.
e. Xác định vị trí điểm S để tứ giác SAOB là hình vng. Tính diện tích
hình vng đó.

K

A
D
H
C

d

S

E

O

B

Gv: Gợi ý cho học sinh làm bài
Nêu các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn
? Có nhận xét gì về 2 góc đối của tứ giác
  SBO
  90 0  tứ giác SAOB nội tiếp
Ta có SAO

? Tứ giác SAOB luôn đi qua một điểm cố định nào?
  SBO

  90 0 khơng đổi do vậy đường trịn ngoại
Vì điểm O cố định và SAO
tiếp tứ giác SAOB luôn đi qua một điểm cố định O.

Để chứng minh đẳng thức này ta hay vận dụng những cách nào? (Dùng hệ
thức lượng trong tam giác vuông, hoặc sự đồng dạng của hai tam giác)
Cách 1: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng SAO có AE  SO
Ta có OA2= OE.OS Mà OA =R

skkn


13

Cách 2: Áp dụng hai tam giác đồng dạng
Ta có: SAO đồng dạng AEO ( g.g)
Rồi rút ra tỉ số

SO OA

OA OE

Đây là một bài toán hay học sinh buộc phải nhớ và vận dụng nhiều kiến
thức, tuy không quá khó (học sinh phải nhớ hệ thức lượng trong tam giác vng,
tính chất hai tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng, hình vng và cách
tính diện tích hình vng).
Các câu a, b, c học sinh khá giỏi có thể làm được ngay, học sinh trung
bình chỉ cần gợi ý một chút là các em có thể làm được.
Câu d phải vận dụng câu c và chứng minh thêm  OHS đồng dạng  OEK
để được tỷ số

OH OS

 OH .OK = OS. OE = R2
OE OK

Do HO cố định, OH.OK không đổi suy ra OK không đổi, mà K thuộc
đường thẳng OH cố định, vậy K cố định.
Câu e đặt ra tình huống nếu điều kết luận là tứ giác SAOE là hình vng
thì xuất hiện điều gì? (SA = SB = OA = OB = R mà S thuộc đường thẳng d và
SO = R 2 suy ra ta xác định được điểm S và tính được diện tích hình vng).
Sau đó cho học sinh một lần trình bày lại để giải quyết bài tốn này học
sinh cần vận dụng những kiến thức nào? Có như vậy mới tập cho các em có thói
quen ln ý thức vận dụng những kiến thức nào đã học vào giải quyếtt bài tốn
cụ thể. Cũng từ đó tạo thành nếp suy nghĩ muốn làm được bài tập thì cần nắm
vững lý thuyết và ngược lại muốn nắm vững lý thuyết, khắc sâu lý thuyết cần
phải làm nhiều bài tập.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng vận dụng các giải pháp của HS
khối 9 năm học 2021 - 2022:
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng các giải pháp này tôi nhận thấy: Kết
quả học tập của học sinh được nâng lên, đặc biệt là các em hứng thú học toán
hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật giải tốn để làm các dạng tốn có liên
quan đến hình học phẳng đạt kết quả tốt. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng
các phương pháp thông thường một cách thành thạo, một số em học sinh có kỹ
năng nắm vững và dựa vào các giải pháp đã được nêu trong sáng kiến kinh
nghiệm. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các
dạng tốn khó (kẻ thêm đường phụ, bài toán tổng hợp) và các kiến thức mới
cũng như việc hình thành một số thủ thuật trong quá trình học tập và giải tốn

khi học bộ mơn Tốn đồng thời nâng cao năng lực giải toán chuẩn bị cho kỳ thi
tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2022-2023.

skkn


14

HS khơng thuộc lí
HS thuộc lí thuyết,
HS nắm vững
thuyết, khơng biết
chưa biết vận dụng
lí thuyết, biết vận
Lớp
cách chứng minh
chứng minh
dụng chứng minh
(sĩ số)
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
yêu cầu
%
yêu cầu
%
yêu cầu

%
9A1 (39 HS)
7
18,0%
8
20,5%
24
61,5%
9A2 (42 HS)
8
19,0%
7
16,7%
27
64,3%
Tổng (81 HS)
15
18,5%
15
18,5%
51
63,0%
Như vậy, so với trước khi áp dụng các giải pháp này, hiểu biết về các
nhóm kĩ năng của HS đều có sự tiến bộ rõ rệt, được thể hiện qua bảng tính.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Hình học là một vấn đề rộng trải suốt chương trình học của học sinh, nó
liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng tốn khác tạo lên sự lơgíc
chặt chẽ của tốn học. Vì vậy việc giúp học sinh phát hiện các phương pháp để
thực hiện giải tốn hình học và các bài toán liên quan là vấn đề thật sự quan

trọng và rất cần thiết.
Từ thực tế giảng dạy cho thấy: Các phương pháp nghiên cứu trong đề tài
được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và
phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích, vẽ hình và nhận dạng. Qua
đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận
xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức.
Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả
thì giáo viên và học sinh cần phải có những yêu cầu sau:
*). Đối với học sinh:
- Xác định cho mình động cơ học tập đúng đắn, học tập để có kiến thức và
kỹ năng để vận dụng vào cuộc sống sau này.
- Học sinh cần nắm chắc các giải pháp cơ bản, kĩ năng phát hiện dạng
hình học, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn
vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học,
kích thích và khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức; đặc biệt với bộ
môn Tốn phân mơn Hình học.
*). Đối với giáo viên:
- Giáo viên được cung cấp thêm các giải pháp tích cực, kích thích động
cơ, hứng thú học tập của học sinh. Trong quá trình dạy phải chú ý khắc sâu kiến
thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học và tự học.
- Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tịi các bài tập liên quan, cách
giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập, vẽ đường phụ, liên kết các bài
toán lại với nhau. Từ đó giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và
được rèn luyện về những kĩ năng cơ bản một cách tường minh trong mỗi dạng
bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài
tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng một cách đa dạng hơn trong giải toán.

skkn

15

- Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học
sinh trong quá trình cung cấp các thơng tin mới có liên quan.
- Giáo viên khi giảng bài nên tạo ra các tình huống có vấn đề một cách dí
dỏm, nhẹ nhàng; nêu câu hỏi đặt vấn đề; câu hỏi dẫn dắt gợi mở phù hợp với đối
tượng học sinh yếu; giảng kĩ và hướng dẫn một cách tỉ mỉ.
- Bài tập chọn chữa phải vừa sức với học sinh; giáo viên chia một bài tập
ra thành nhiều phần; nhiều ý; sau đó hướng dẫn học sinh giải qua nhiều bước
nhỏ đơn giản.
- Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy được vai trò, tác dụng của kiến thức
Toán học trong thực tiễn đời sống của các em.
3.2. Kiến nghị
- Tổ chức thêm nhiều buổi tập huấn chuyên đề về hướng dẫn xây dựng đề
tài NCKH và viết SKKN cho giáo viên.
- Tổ chức các chuyên đề toán để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao
đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay./.
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị
HIỆU TRƯỞNG

Ngọc Lặc, ngày
tháng
năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm do tôi viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết

Phạm Thị Hằng

skkn


16

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục VN.
2. Phương pháp giải các dạng bài toán toán 9 - Nguyễn Văn Nho NXBGDVN.
3. Tốn bồi dưỡng Hình học 9- Vũ Hữu Bình, Tơn Thân, Đỗ Quang Thiều
- NXBGDVN.
4. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS mơn Tốn –
NXBGDVN.
5. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa
XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.
6. Tài liệu ôn thi vào lớp 10 - Mai Công Mãn - NXB GDVN.

skkn


17

DANH MỤC
các đề tài SKKN đã được Hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD&ĐT,
cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn xếp loại C trở lên

Họ và tên tác giả: Phạm Thị Hằng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Quang Trung, huyện
Ngọc Lặc, tỉnh Thanh Hóa

TT

1.

2.

3.

4.

Tên đề tài SKKN
Hướng dẫn học sinh
tìm lời giải cho các bài
toán
Hướng dẫn học sinh
chứng minh tam giác
đồng dạng
Hướng dẫn học sinh
lớp 8 phân tích đa thức
thành nhân tử theo
định hướng nghiên cứu
bài học
Một số giải pháp trong
công tác chủ nhiệm lớp
nhằm nâng cao chất
lượng học tập và giáo
dục đạo đức học sinh ở
Trường THCS Quang
Trung, Ngọc Lặc,
Thanh Hóa

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

B

2008-2009

Phịng GD&ĐT Ngọc Lặc

B

2011-2012

Phịng GD&ĐT Ngọc Lặc

A

2018-2019

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

C

2020-2021

Cấp đánh giá xếp loại

skkn


1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP
ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG THƠNG QUA VIỆC
PHÂN LOẠI VÀ KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9

Người thực hiện: Phạm Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Quang trung
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học

THANH HOÁ, NĂM 2022

skkn