Skkn một số phương pháp giải toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian

1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Chúng ta đã biết Tốn học là cơng cụ giúp học tốt các mơn học khác, chính vì
vậy nó đóng một vai trị vơ cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó
cịn có tiềm năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học
sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Mặt khác tốn học cịn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn tốn để giải các bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức tốn học để học tập các mơn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức tốn học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính tốn,
sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến
thức để giải bài tập tốn là vơ cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc
trình bày lời giải một bài tốn chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có một lời
giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến
thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài tốn.
Qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn ở Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa,
nhiều học sinh khi đứng trước một bài tốn chứng minh hình học, đặc biệt là
chứng minh quan hệ vng góc trong khơng gian, các bài tốn tính khoảng cách
trong khơng gian thường có tâm trạng hoang mang, khơng xác định được
phương hướng để tìm ra lời giải cho bài tốn. Ngun nhân chính là do phân
mơn hình học khơng gian khá trừu tượng, các mơ hình dạy học cịn thiếu sinh
động.
Xuất phát từ lý do  trên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi thấy đối
với mỗi một dạng toán cần đưa ra được phương pháp tối ưu để học sinh dễ nhớ,
dễ vận dụng, từ đó có thể giải được nhiều bài toán tương tự. Với việc kết hợp
phương pháp phân tích ngược và phương pháp phân dạng nhỏ cho từng trường
hợp cụ thể tôi thấy học sinh tiếp thu bài chủ động, ham học hơn. Chính điều đó,
tơi tìm hiểu và viết đề tài ''Một số phương pháp giải bài tốn tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng trong không gian'' với mong muốn học sinh hứng

thú học mơn hình hơn, giáo viên có thêm tư liệu, phương pháp dạy học hiệu quả
hơn trong các trung tâm.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu.
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm đã
nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài tốn nói riêng và đạt kết
quả cao trong q trình học tập nói chung.
Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất
để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy
định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, trong việc giải các bài toán,
1

skkn


đặc biệt là giải các bài toán trắc nghiệm. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu
quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài này nghiên cứu hoạt động tìm lời giải của học sinh cho các bài tốn tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học khơng gian.
- Đối tượng là học sinh lớp 11, lớp 12 Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong q trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh, vận
dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để

từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
- Dựa vào từng dạng tốn để khái qt hóa thành những phương pháp giải chi
tiết.
- Học sinh luôn chủ động trước các dạng bài tập. Đi từ phương pháp chung đến
phương pháp và cách giải cụ thể cho từng dạng toán.
- Kết hợp phương pháp phân tích ngược (phương pháp truy) để chứng minh
đường thẳng vng góc với mặt phẳng, từ đó đi đến tính khoảng cách.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là rất quan
trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải một lớp bài tốn tương tự
nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và điều khiển sao cho học
sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với những nội dung
dạy học. Do vậy việc trang bị về phương pháp cho học sinh là nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viện.
Trong bài “khoảng cách” ở sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra 4 khái
niệm về khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trong 4 khái niệm trên thì bài tốn liên quan đến tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
2

skkn

thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi khảo sát và thi tốt nghiệp THPT. Đây là
một phần kiến thức rất quan trọng trong phân mơn hình học, ngồi là một bài tập
về tính khoảng cách cịn giúp học sinh giải quyết các bài tập về tính thể tích các
khối đa diện, thể tích khối nón, khối trụ... Vì vậy việc đưa ra các phương pháp
tính khoảng cách trong khơng gian là rất cần thiết và bổ ích cho học sinh.
Thực tế đa phần học sinh chưa có một phương pháp cụ thể để đưa ra lời giải
cho một bài tốn tính khoảng cách, ngun nhân là do phần hình học không gian
khá trừu tượng, các em lại chưa được tiếp xúc nhiều với các dạng bài tập về tính
khoảng cách. Việc nhận dạng bài toán để đưa ra cách giải phù hợp là cần thiết,
đặc biệt là các bài tốn trắc nghiệm. Chính vì các lí do trên là cơ sở để tôi viết đề
tài này nhằm giúp học sinh nhận ra được từng dạng bài tập, cách vẽ hình cho
dạng bài tập đó và phương pháp giải bài tốn “tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng trong không gian”.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
      Qua kết quả điều tra học sinh trong các lớp ở Trung tâm GDNN-GDTX
Thiệu Hóa tơi thấy:
- Rất ít học sinh có hứng thú đối với mơn hình học, chưa có phương pháp học
tập hiệu quả đối với mơn học.
- Các kiến thức cơ bản về hình học nói chung và hình học khơng gian lớp 11 nói
riêng cịn rất hạn chế.
- Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong
hình khơng gian và hình học phẳng cịn q yếu.
- Kỹ năng vẽ hình trong khơng gian q yếu.
- Chưa thường xuyên tiếp cận với việc sử dụng phương pháp phân tích ngược
vào làm các bài tập chứng minh hình học.
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản.
Học sinh cần nắm vững phương pháp chứng minh bài tốn đường thẳng vng
góc với mặt phẳng. Để chứng minh đường thẳng (∆) vng góc với mặt phẳng (
) ta chứng minh (∆) vng góc với hai đường thẳng (a); (b) cắt nhau cùng

thuộc
. Trong bài toán cụ thể thường người ta đã cho (∆) (a), đường
thẳng (a) gọi là đường dễ. Ta chỉ cần chứng minh (∆)
; Dấu hiệu nhận biết
đường thẳng (b) ở đây là thường ở dưới đáy mặt phẳng cần tính khoảng cách.
Để chứng minh (∆)
ta làm ngược lại: Chứng minh đường thẳng (b) vng
góc với
chứa đường thẳng (∆).[1]
Hướng dẫn học sinh nắm vững bài toán tìm góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Nắm vững nội dung kiến thức về bài tốn tìm
khoảng cách đã học trong sách giáo khoa hình học lớp 11.
Hệ thống lại các kiến thức về cách xác định tọa độ của một điểm trên hệ trục
Oxyz, cơng thức viết phương trình mặt phẳng, cơng thức tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng, công thức tính thể tích các khối đa diện, các cơng
thức tính diện tích tam giác, các hệ thức lượng trong tam giác.
3

skkn


2.3.2. Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích trong từng dạng
bài tập cụ thể khi thực hành giải tốn.
* Lí thuyết: Cho điểm M nằm ngồi mặt phẳng ( ). Gọi H là hình chiếu vng
góc của M trên mặt phẳng ( ). Khi đó độ dài MH là khoảng cách từ M đến mp
( ). Kí hiệu d(M,( ))=MH.
Quy trình làm tự luận:
Bước 1: Vẽ
Bước 2: Chứng minh
Bước 3: Tính độ dài MH bằng cách đẩy vào tam giác vng.

Quy trình làm trắc nghiệm:
Bước 1: Vẽ
Bước 2: Tính độ dài MH bằng cách đẩy vào tam giác vng.[1]
Bài tốn: Trong khơng gian cho điểm M khơng thuộc mặt phẳng , tính
khoảng cách từ M đến mặt phẳng
.
Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ta sử dụng 4 phương pháp chính
sau:
* Phương pháp trực tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến mặt
phẳng .
Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao ( mặt đứng).
Cách tìm: Từ điểm cần tính khoảng cách dựng đường vng góc xuống cạnh đối
diện (cạnh đáy) của mặt phẳng chứa chân đường cao.
Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm là chân đường vng góc đến mặt phẳng cần
tính khoảng cách trong hình chóp có đáy là tam giác.
Ta chia làm 2 trường hợp nhỏ sau:
- Nếu đáy là tam giác vuông tại một trong hai điểm khác điểm cần tính khoảng
cách: Ta vẽ 1 nét từ chân đường vng góc xuống cạnh chứa đỉnh có góc vng
đó.
- Nếu đáy khơng vng tại 2 đỉnh trên ta vẽ 3 nét:
+ Từ điểm cần tính khoảng cách kẻ vng góc xuống cạnh đối diện ở mặt đáy
(Chú ý nếu tam giác tù thì đường cao lúc đó nằm ngồi tam giác).
+ Nối điểm cịn lại (thường ở trên) xuống chân đường vng góc vừa vẽ xong,
sau đó từ điểm cần tính khoảng cách vẽ vng góc tới đường vừa nối ta được
khoảng cách cần tìm.[4]
Các dạng bài tập làm sáng tỏ phương pháp:
S đường cao.
Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa
Bài 1: (Trích câu 33- Mã đề 101- THPT 2021)Cho hình chóp S.ABC, có đáy
ABC là tam giác vng cân tại B, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABC),

AB=2a. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAC).
Giải:
Phân tích: Do mp(SAB) chứa đường cao SA, nên
Để tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) ta
C
A
4

skkn

B


thực hiện một nét vẽ. Từ C vẽ đường vuông góc
xuống AB ta được khoảng cách từ C đến mặt phẳng
(SAB), ở bài này là CB.
Thật vậy ta có
Nên
Bài 2: (Trích câu 36- Mã đề 120-THPT 2021 đợt 2)
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có các cạnh bằng 2a. Tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (BDD’B’).
C’
B’
Giải:
Ta thấy mp(BDD’B’) chứa đường cao BB’vng góc
với mặt đáy (ABCD).
D’
A’
Nên từ A vẽ AH vng góc với BD
thì AH là khoảng cách từ A đến mp(BDD’B’).

C

Ta có

B

H

Nhận xét: Đây là các bài tốn trắc nghiệm nên học sinh
Chỉ cần hiểu các thao tác vẽ hình và tính khoảng
A
cách. Bỏ qua bước chứng minh để rút ngắn thời gian D
làm bài.
Dạng 2: Tính khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt phẳng cần
tính khoảng cách.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vng tại B. Biết AB=a;
SA=a; SA vng góc với mặt đáy ABC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC).
S
Giải:
Vẽ
Ta có:
Mặt khác ta có :
Suy ra
Tính AH :

H
C

A

Nhận xét cách vẽ: Do tam giác ABC vuông tại B nên ta vẽ 1 nét
B (tam giác đáy
vng ở đâu thì kẻ đường vng góc với cạnh ở đỉnh đó).
S
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường trịn đường kính AD=2a và có cạnh SA vng góc mp(ABCD) ,
với SA=
. Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
Giải:
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường trịn đường kính
H AD= 2a nên
ta có :
A
D
5

skkn

B

C


AD//BC, AB= BC= CD= a ; AC
AC= BD= a
Ta có

CD

CD, AB

BD ,

mp(SAC)

Kẻ AH SC tại H ta có AH CD
Nên AH mp(SCD). Vậy AH=
Xét tam giác SAC vng tại A có AH là đường cao
Do đó
Nhận xét: - Ở bài trên ta phải nối điểm cần tính khoảng cách (điểm A) với hai
điểm dưới đáy của mặt để tạo thành tam giác đáy (điểm C và D).
Ngoài ra phải biết được tam giác ACD vuông tại C.
- Chú ý nếu tam giác ABC (ở đáy) với A là chân đường vuông góc khơng vng
tại B và C thì vẽ 3 nét; trong trường hợp tam giác đáy là tam giác tù khơng phải
ở chân đường vng góc thì đường cao hạ từ chân đường vng góc xuống cạnh
đáy nằm ngồi tam giác. Dưới đây là bài tập minh họa:
Bài 5: Cho tứ diện O.ABC có OA;OB;OC đơi một vng góc. Biết OA=a;
OB=OC=2a. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
.Giải:
A
*Kẻ
Khi đó ta chứng minh được
Thật vậy ta có:
H

Suy ra:
*Tính
Ta có tam giác AOM vuông tại O nên:

O

C

(1)

M

Mặt khác ta cũng có tam giác OBC vng tại O nên:
B

(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
.

Chú ý: Tam giác OBC không vuông tại B và C nên ta vẽ 3 nét; trong trường hợp
này đường cao hạ từ O xuống BC nằm trong tam giác OBC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vng góc mp(ABCD)
với SA=
. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).

6

skkn


Giải: Phân tích: Đây là bài tốn tính khoảng cách từ điểm A là chân đường
vng góc đến mặt phẳng (SBC) nên ta cần quan tâm đến tam giác đáy ABC có
vng tại B hoặc C khơng, nếu khơng vng tại B hoặc C thì ta thực hiện vẽ 3

nét.
S
Qua A kẻ AE BC ; kẻ AF SE
Ta được AF=
.
Xét tam giác vng SAE ta có:
=
F

A
. Vậy

D

=
E

B

C

Nhận xét: Do tam giác ABC là tam giác tù tại B nên chân đường vng góc hạ
từ A xuống BC nằm ngồi đoạn BC. Mặt khác ta cần biết nối điểm A và C để
tạo ra tam giác đáy ABC.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a.
SB tạo với đáy một góc bằng 60o. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích: Vì tam giác ABC đều nên không thể vuông tại B hoặc C. Đồng thời
khi kẻ
thì M là trung điểm của đoạn BC.
S

Giải:
Gọi M là trung điểm của BC thì
Kẻ:
Để xác định góc giữa SB và mp(ABC) ta tìm giao
H
của SB và mặt phẳng (ABC) là điểm B, điểm S
gọi là điểm thừa, chân đường vng góc là điểm A,
ta được góc đó là góc
.
C
A
Ta có:
Vì tam giác ABC đều suy ra
M
Mặt khác tam giác SAM vng tại A ta có :
B
.
Chú ý : Bài này ta cần xác định được góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC) là
góc
. Khi đẩy AH vào tam giác vng SAM ta cần sử dụng phương pháp
phân tích ngược (Để tính AH cần tính SA và AM).
* Phương pháp đổi điểm:

7

skkn


Một số bài tốn tính khoảng cách từ điểm mà khơng phải chân đường vng góc
A

thì ta sử dụng một trong hai phương pháp sau:
M
Dạng 1: Phương pháp đổi bằng.
Ta xác định đường thẳng đi qua điểm cần tính
khoảng cách song song với mặt cần tính khoảng cách,
trên đường này ta tìm một điểm mà có thể tính
khoảng cách tới mặt phẳng một cách dễ dàng, khi đó
khoảng cách từ hai điểm này tới mặt phẳng cần tính khoảng cách là bằng nhau.
Sau đây là bài tập minh họa.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc
cạnh bên SA vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của BC,
góc tạo bởi SM và mp(ABCD) bằng 45o. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(SBC) theo a.
S
Giải:
Ta cần nhận biết được DA song song với (SBC)
Nối A với C để tạo ra tam giác đáy ABC. Ta thấy
tam giác ABC là tam giác đều nên
Vẽ :
Tính
Ta có :

ta đẩy

H
A

B

45o

vào tam giác vng

M

mà
(vì tam giác ABC đều)

D

C

.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a. Mặt bên
SAB vng góc với đáy, tam giác SAB là tam giác đều. Tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SCD).
Giải:
Bước 1: Cần biết được đường thẳng AB song song với mặt phẳng(SCD).
Bước 2: Chứng minh AH song song với (SCD).
Suy ra
Bước 3: Tính
theo phương pháp làm trực tiếp. S
Vì tam giác HCD khơng vng tại C và D, nên:
Vẽ:
Để tính HK ta đẩy vào tam giác vng SHK ta có:
.
K

A
H

B

skkn

v
ng
góc
với
đáy.
Nên

D
M
C

8


lấy
H là
trun
g
điể
m
củacịn SA khơng
Nhận xét: Chú ý bài tốn cho mặt bên (SAB) vng góc với đáy
AB
vng góc với đáy. Nên nếu lấy H là trung điểm của AB suy ra
SH vng góc

suy
với mặt phẳng (ABCD).
ra
Dạng 2: Phương pháp đổi tỉ lệ.
SH
Phương pháp chung:
v 
Tìm đường thẳng qua M và cắt mp
M
ng
tại I, trên chọn điểm A
.
A góc
với
Lúc đó
mặt
I
phẳ

dẫn đến
ng
Nhận xét: Ở hướng này thay vì tính khoảng cách từ A đến mp(A ta đưa về tính
khoảng cách từ một điểm khác A thuộc đường thẳng
đi BC
qua A mà khoảng
D).
cách đó tính được một cách dễ dàng.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vng tâm O.
Biết AB=2a; SA=4a. Tính:
S

a. Khoảng cách từ O đến mp(SAB).
b. Khoảng cách từ A đến mp(SCD).
Giải:
a. Ta có:
nên SO là đường cao của hình chóp.
Nhận thấy tam giác đáy OAB không vuông tại A và B
K
nên ta thực hiện ba nét vẽ:
A
H

Vẽ:

I

Ta có:

(1) ta cần chứng minh thêm cho
. Ta làm ngược lại chứng minh
vng
Góc với mp(SIO). Thật vậy ta có:
B

(2)
Từ (1) và (2)
Tính
: Ta có:
Trong tam giác vng

D

J

O
C

hay
;
ta có:

b. Tính
Nhận thấy tại A khơng có tính vng góc nên thay vì tính khoảng cách tại A ta
tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) sau đó sử dụng tính chất :
Kẻ
9

skkn


Với cách làm tương tự ta có :

.

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA vng
góc với mp(ABCD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G
đến mp(SAC).
S
Giải: Gọi O là tâm hình vng ABCD.
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.
Khi đó

Mà

nên

F

D
G

Vậy

C
O

A

.

B

Nhận xét: Vì mặt (SAC) chứa chân đường vng góc là A nên từ B vẽ BO
vng góc với AC thì BO là
.
Ngồi hai phương pháp trên đối với học sinh lớp 12 ta có thể tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua phương pháp tọa độ hóa và cơng thức
tính thể tích. Sau đây là phương pháp và bài tập minh họa.
* Phương pháp tọa độ hóa.[7]
Ta thực hiện qua 3 bước sau:
Bước 1: Xác định hệ trục tọa độ, từ đó suy ra tọa độ các điểm.
Bước 2: Lập mặt phẳng cần tính khoảng cách.

Tìm 2 yếu tố: Điểm và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Bước 3: Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
để tính khoảng cách cần tìm.
Bài tập làm sáng tỏ phương pháp:
Bài 12: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC);
;
;
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (BCD).
Giải: Trong
có :
nên
vng tại A.
Chọn hệ trục toạ độ Đề-các vng góc
như sau:
;
;
;
;
D
Phương trình tổng qt của mặt phẳng (BCD) là:

z

Tính :
A

H

C

y

M

x

B

10

skkn


Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D, cạnh
bên SA vng góc với đáy. Biết AD=CD=a; AB=2a; SA=a . Tính khoảng
cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Giải:
Nhận thấy A là chân đường vng góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A
trùng với gốc tọa độ O như hình vẽ .Các điểm:
.
Ta có:
Lập mặt phẳng (SCD):
z

Ta có:
Chọn véctơ chỉ phương của đường thẳng DC
là:
;véctơ chỉ phương của đường
thẳng DS là:

.
Suy ra véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng (SCD) là:
Mặt phẳng (SCD) có phương trình là:

S

A

Khoảng cách từ B(0;2a;0) đến mặt phẳng (SCD)
D là:
.

B
y

C

x

Nhận xét: Bài trên ta có thể sử dụng phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách
từ B đến mặt phẳng (SCD), vì AB song song với CD nên khoảng cách từ B đến
mp(SCD) bằng khoảng cách từ A đến mp(SCD).
* Phương pháp gián tiếp thông qua sử dụng công thức

.[8]

Phương pháp chung: Ta gắn khoảng cách cần tìm vào hình chóp và xem khoảng
cách đó là chiều cao của một hình chóp đáy là đa giác có diện tích S mà ta có thể
tính được. Khi đó nếu biết thể tích khối chóp ta tính được chiều cao h.

Các bài tập minh họa:
Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt
phẳng (AMN).
Giải:
Phân tích: Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC
hay A.MNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy về tính khoảng cách từ
P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng
cách từ P đến mp(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB).
Gọi O là tâm của hình vng ABCD, khi đó SO  (ABCD).

11

skkn


M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên
.
Vậy:
S
.
.
M

Vậy

N
D

P

C

O

A

B

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a; SA
vng góc với mặt phẳng đáy. Góc

BAD=120o,

. Tính khoảng cách

từ D đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
Phân tích: Ta cần tính VSBCD, tính diện tích tam giác SBC, từ đó suy ra khoảng
cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
- Tính VSBCD
Vì AB=BC và
nên tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a.
Mặt khác

S

Suy ra:

(đvtt)

- Tính
theo cơng thức Hê-rơng.
Ta có: BC=a

a

3
2
A

B

120o

Suy ra
Từ đó ta có :
.

D

a

C

12

skkn

Gọi

là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) ta có :
.

2.3.3. Bài tập vận dụng.[4]
Bài 1:(Trích câu 36- đề minh họa BGD 2022)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và AB= 4. Tính khoảng cách từ C đến mp(ABB’A’).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a;
;
. Tính:
a. Khoảng cách từ A đến mp(SBC).
b. Khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng
biết
; đáy ABC là tam giác
vng tại A có BC=2a;
Tính:
a. Khoảng cách từ A đến mp(
).
b. Khoảng cách từ A đến mp
.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. biết cạnh đáy bằng a; cạnh bên bằng
2a. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng a, mặt bên SAB
vng góc với đáy, tam giác SAB đều. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SCD).
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng a, mặt bên SAB

là tam giác đều và vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(SAC).
Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác vng tại B,
AB=a;
=2a;
=3a. Gọi M là trung điểm của
, I là giao điểm của
AM và
. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên
với mặt đáy bằng 60o. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, SA vng
góc với mặt phẳng đáy. Biết SA=AB= a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC).
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao
bằng a . Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo
a.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài: ''Một số phương pháp giải tốn
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng'', vào giảng dạy tơi nhận thấy
đề tài giúp ích cho học sinh tìm ra nhanh lời giải trong các bài tốn về tính
khoảng cách, đặc biệt giúp học sinh giải nhanh để tìm đáp án trong các bài tập
trắc nghiệm trên lớp, các đề thi THPT. Các em đã giải khá tốt những bài tập về
13

skkn

tính khoảng cách trong khơng gian. Thực nghiệm cho thấy có khoảng 75% học
sinh lớp 12 trong trung tâm giải quyết được các dạng tốn liên quan đến bài tốn
tính khoảng cách ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Kết quả, minh chứng về sự
tiến bộ của học sinh khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trước và sau khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát 39 học sinh lớp 12
với 03 câu hỏi và đã thu được kết quả như sau:
Kết quả thống kê
Trước khi dạy
Sau khi dạy
Câu
Nội dung
thực nghiệm
thực nghiệm
hỏi
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ
%
Em có một phương pháp
06 Học
32 Học
nào để tính khoảng cách từ
1
sinh trình 15.4%
sinh trình 82.1%
một điểm đến một mặt phẳng
bày được.
bày được
hay khơng?
Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O;
2
cạnh bằng a;

. Góc giữa SB và mp(ABCD) bằng 30o.
Tính khoảng cách từ A đến 05 HS
30 HS
12.8%
76.9%
a. mặt phẳng (SBD).
giải được
giải được
Tính khoảng cách từ D đến
05 HS
32 HS
b.
12.8%
82.1%
mặt phẳng (SBC).
Giải được
giải được
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
- Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành
kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh.
- Thống kê được một số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề
thực hiện.
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
- Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn
đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
- Thiết kế một số phương pháp dạy theo hướng dạy học tích cực.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của

những biện pháp được đề xuất.
Trong q trình giảng dạy mơn Tốn tại trường, từ việc áp dụng các hình thức
rèn luyện cách trình bày lời giải bài tốn cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản
thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện, cách
trình bày lời giải bài tốn cho học sinh đó là :
- Trình bày bài giải mẫu.
- Trình bày bài giải với các bước sắp xếp hợp lý.
- Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
14

skkn


- Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn tồn diện hơn về Tốn học
nói chung. Vấn đề tơi thấy các học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà
giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
3.2. Kiến nghị.
Trung tâm cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo, cần
tạo ra trang Web chung để học sinh và giáo viên chia sẻ thông tin về các bài
giảng cũng như các phương pháp giải tốn. Qua đó học sinh được tìm tịi, học
tập giải tốn để nâng cao hứng thú, kết quả học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao
kết quả học tập của học sinh nói chung.
Đối với phụ huynh học sinh: Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con
cái. Thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của
các con.
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài:''Một số phương pháp giải bài
tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng'', vào giảng dạy tơi nhận

thấy vấn đề này giúp ích cho học sinh trong việc làm tốn, giúp các em khơng
cịn “ngán ngại” phần khoảng cách nữa, các em đã giải khá tốt những bài tập về
tính khoảng cách trong khơng gian. Thực nghiệm cho thấy có khoảng 70% học
sinh giải quyết được 85% các bài tập trong sách giáo khoa. Riêng bản thân tôi sẽ
tiếp tục nghiên cứu sâu hơn nữa để có những định hướng tốt hơn.
Tơi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với q thầy cơ dạy bộ mơn Tốn về
việc “hệ thống” các kiến thức, một vài kĩ năng về giải bài tốn tính khoảng cách
trong khơng gian. Vì kiến thức và thời gian hạn chế, nên khơng tránh khỏi thiếu
sót, mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ giáo. Tơi xin chân thành cảm ơn.
Tơi xin cam đoan skkn trình bày ở
trên là của bản thân, nếu có dấu
hiệu sao chép tơi xin hồn tồn
chịu trách nhiệm.
Thiệu Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2022
Xác nhận của thủ trưởng cơ quan

Trịnh Đình Chung

Người thực hiện

Đinh Văn Ba

15

skkn


16

skkn