PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH từ một điểm đến mặt PHẲNG TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

MỤC LỤC
Nội dung
1

2

3

Trang

Mở đầu

2

1.1 Lí do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới của SKKN

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

3

2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản

4

2.3.2. Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích trong từng
dạng bài tập cụ thể khi thực hành giải toán

4

I. Phương pháp trực tiếp
II. Phương pháp đổi điểm

5

III. Phương pháp tọa độ hóa

11

IV. Phương pháp gián tiếp qua cơng thức tính thể tích

12

V. Bài tập vận dụng

13

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

14

Kết luận, kiến nghị

14

3.1. Kết luận

14

3.1.1 Đối với học sinh

14

3.1.2 Đối với giáo viên

14

3.2. Kiến nghị

15

3
3

4

8

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Tốn học là cơng cụ giúp học tốt các mơn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trị vơ cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó cịn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt
động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Mặt khác toán học cịn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn tốn để giải các bài tập tốn
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức tốn học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính tốn, sử
dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức
để giải bài tập tốn là vơ cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc trình bày lời
giải một bài tốn chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có một lời giải tốt thì học sinh
cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản
thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài tốn.

Qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn ở Trung tâm GDNN - GDTX Thiệu Hoá,

nhiều học sinh khi đứng trước một bài tốn chứng minh hình học, đặc biệt là
chứng minh quan hệ vng góc trong khơng gian, các bài tốn tính khoảng cách
trong khơng gian thường có tâm trạng hoang mang, khơng xác định được
phương hướng, khơng biết phải làm những gì để tìm ra lời giải cho bài tốn. Học
sinh rất lúng túng và khó khăn để tìm ra phương pháp giải.
Bởi vì chứng minh đó được lập luận một cách chặt chẽ hợp logic dẫn đến
một hệ quả tất yếu. nhưng làm sao để biết được các trật tự logic đó? Làm sao để
biết được bắt đầu chứng minh từ đâu? Phải chứng minh yếu tố nào trước, yếu tố
nào sau? Trình bày lời giải như thế nào cho khoa học?....
Xuất phát từ lý do trên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tơi thấy đối
với mỗi một dạng tốn cần đưa ra được phương pháp tối ưu để học sinh dễ nhớ,
dễ vận dụng, từ đó có thể giải được nhiều bài tốn tương tự. Với việc kết hợp
phương pháp phân tích ngược và phương pháp phân dạng nhỏ cho từng trường
hợp cụ thể tôi thấy học sinh tiếp thu bài chủ động, ham học hơn. Chính điều đó,
tơi tìm hiểu và viết đề tài ''Một số phương pháp giải bài toán tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng'' với mong muốn học sinh hứng thú học mơn hình
học hơn, giáo viên có thêm tư liệu, phương pháp dạy học hiệu quả hơn trong các
trường trung tâm.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muốn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm
đã nêu về tốn học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài tốn nói riêng và đạt
kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, trong việc giải các
bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ đó phát huy, khơi

2

dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho
các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài này sẽ nghiên cứu hoạt động tìm lời giải của học sinh cho các bài
tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học khơng
gian.
- Đối tượng là học sinh lớp 11, lớp 12 Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu
Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận
dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để
từ đó đưa ra lời giải đúng của bài tốn.
Qua q trình dạy hình học khơng gian 11 và ơn thi tốt nghiệp trung học
phổ thông. Tôi nhận thấy rằng, đa số các em học sinh còn “ chưa thạo ” trong
việc giải các bài tốn về tính khoảng cách trong hình học không gian. Nguyên
nhân cơ bản là do học sinh chưa phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn cơng
cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống
lại các phương pháp giải tốn, tạo sự thích thú cho các em học sinh. Giúp các
em “khơng cịn ngán ngại” khi gặp bài tốn tính khoảng cách. Tơi xin được phép
trình bày phương pháp giải dạng tốn tính khoảng cách thường gặp trong hình
học khơng gian đó là: “ khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ”.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
- Dựa vào từng loại bài tập để khái quát hóa thành những phương pháp giải

chi tiết.
- Học sinh ln chủ động trước các dạng bài tập. Đi từ phương pháp chung
đến phương pháp và cách giải cụ thể cho từng dạng tốn.
- Kết hợp phương pháp phân tích ngược (phương pháp truy) để chứng minh
đường thẳng vng góc với mặt phẳng, từ đó đi đến tính khoảng cách.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Phương pháp chung để tìm lời giải bài tốn:
2.1.1. Tìm hiểu nội dung bài tốn.
- Giả thiết là gì? Kết luận là gì? hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu
thế nào?
- Dạng tốn nào? cách giải như thế nào?
- Kiến thức cơ bản cần có là gì?
3


2.1.2. Xây dựng cách giải: Chỉ rõ các bước theo một trình tự thích hợp.
2.1.3. Thực hiện cách giải: Trình bày bài làm theo các bước đã chỉ ra. Chú ý sai
lầm thường gặp trong cách vẽ hình ở mỗi dạng.
2.1.4. Kiểm tra và nghiên cứu kết quả.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua kết quả điều tra học sinh trong các lớp ở Trung tâm GDNN-GDTX
Thiệu Hóa tơi thấy:
+ Rất ít học sinh có hứng thú đối với mơn hình học, chưa có phương pháp
học tập hiểu quả đối với môn học.
+ Các kiến thức cơ bản về hình học nói chung và hình học khơng gian lớp
11 nói riêng cịn rất hạn chế.
+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng
trong hình khơng gian và hình học phẳng cịn q yếu.
+ Kỹ năng vẽ hình trong khơng gian q yếu.

+ Chưa thường xun tiếp cận với việc sử dụng phương pháp phân tích
ngược vào làm các bài tập chứng minh hình học.
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản.
Khi giải một bài tốn hình học khơng gian, học sinh cần thực hiện các bước
sau: đọc kỹ đề bài; phân tích giả thiết kết luận; vẽ hình đúng; đặc biệt xác định
thêm các yếu tố khác: điểm phụ, đường phụ, mặt phẳng phụ (nếu có) có thể
phục vụ q trình giải bài tập. Học sinh cần nắm vững phương pháp chứng minh
bài toán đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
2.3.2. Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích trong từng dạng
bài tập cụ thể khi thực hành giải toán.
Phương pháp và bài tập minh họa:
* Trước hết học sinh cần nắm vững 3 định lí sau:
Định lí 1:
Để chứng minh đường thẳng (d) ⊥ (α ) Ta chứng minh:
d ⊥a 

d ⊥b

 ⇒ d ⊥ (α )
a×b

a; b ∈ (α )

d
b
a

Định lí 2: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc.
a ⊥ ( β )

 ⇒ (α ) ⊥ ( β )
a ∈ (α ) 

Định lí 3: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
(α ) ⊥ ( β ) 
(α ) × ( β ) = a 
 ⇒ b ⊥ (α ) [1]
b ∈ (β )


b⊥a

4


* Học sinh cần nắm vững cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt
phẳng mà trong các bài tập hay sử dụng:
Để chứng minh đường thẳng (∆) ⊥ (α ) ta chứng minh (∆) vng góc với hai
đường thẳng (a); (b) cắt nhau cùng thuộc mp(α ) . Trong bài toán cụ thể thường
người ta đã cho (∆) ⊥ (a) , đường (a) gọi là đường dễ. Ta chỉ cần chứng minh (∆)
⊥ (b) ; Dấu hiệu nhận biết đường thẳng (b) ở đây là thường ở dưới đáy mặt
phẳng. Để chứng minh (∆) ⊥ (b) ta cần làm ngược lại: chứng minh (b) ⊥ với
mp( β ) chứa (∆).
* Bài tốn cần nghiên cứu: Trong khơng gian cho điểm M khơng thuộc mặt
phẳng (α ) tính khoảng cách d ( M;(α ) ) từ M đến mặt phẳng (α ) .
Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) ta có thể sử dụng 4 phương
pháp chính sau:
I. Phương pháp trực tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến
mặt phẳng (α ) .
Phương pháp chung là dựa vào định lí 3:

Bước 1: Tìm mp( β ) chứa M vng góc với mp( α ) theo giao tuyến (a)
Bước 2: Từ M dựng MH vng góc với (a)
Bước 3: Tính MH = d ( M , (α )) bằng cách đẩy vào một tam giác vng sau đó tính
theo phương pháp truy, tức là trong tam giác vng muốn tính một cạnh ta cần
biết hai cạnh còn lại hoặc một cạnh và một góc sau đó tính ngược lên để tìm ra
khoảng cách.
Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mp chứa đường cao.
Cách tìm: Dựng đường vng góc xuống cạnh đối diện chứa chân đường
cao.
Dạng 2: Tính khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt phẳng cần
tính khoảng cách.
Ta chia làm 2 trường hợp nhỏ sau:
- Nếu đáy là tam giác vng tại một trong 2 điểm khác điểm cần tính
khoảng cách. Ta chỉ cần kẻ 1 nét từ chân đường vng góc xuống cạnh chứa
đỉnh có góc vng là xong.
- Nếu đáy không vuông tại 2 đỉnh trên ta kẻ 3 nét:
+ Từ điểm cần tính khoảng cách kẻ vng góc xuống cạnh đối diện (Chú ý
nếu tam giác tù thì đường cao lúc đó nằm ngồi tam giác)
+ Nối điểm cịn lại (thường ở trên) xuống chân đường vng góc vừa kẻ
xong, sau đó kẻ vng góc từ điểm cần tính khoảng cách tới đường vừa nối ta
được khoảng cách cần tìm.[4]
Các dạng bài tập làm sáng tỏ phương pháp:
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AB=a; BC=
a 2 ; SA=a; SA vng góc với mặt đáy ABC.
a.Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
a. Do mp(SAB) chứa đường cao SA, nên từ C kẻ đường vng góc xuống AB
5

ta được khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) ở bài này là CB
Thật vậy ta có

CB ⊥ AB 
 ⇒ CB ⊥ (SAB )
CB ⊥ SA 

Nên d (C , ( SAB)) = BC = a 2
b. Vẽ AH ⊥ SB
Ta có:

S

BC ⊥ AB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB)
BC ⊥ SA 
⇒ BC ⊥ AH
AH ⊥ SB 
 ⇒ AH ⊥ (SBC )
AH ⊥ BC 
Suy ra AH = d ( A, ( SBC ))

Mặt khác ta có :
Tính AH :

H
C

A

1
1
1
1
1
2
=
+
= 2 + 2 = 2
2
2
2
AH
SA
AB
a
a
a
a
⇒ AH =
2

B

Nhận xét cách vẽ: Do tam giác ABC vuông tại B nên ta vẽ 1 nét (tam giác
đáy vuông ở đâu thì kẻ đường vng góc với cạnh ở đó).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường trịn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vng góc mp(ABCD) ,

với SA= a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
S

Giải:
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường trịn đường kính AD= 2a nên ta có
AD//BC, AB= BC= CD= a
AC ⊥ CD, AB ⊥ BD , AC= BD= a 3
CD ⊥ AC 
Ta có
 ⇒ CD ⊥ mp(SAC)
CD ⊥ SA 

A

Kẻ AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD
Nên AH ⊥ mp(SCD). Vậy AH= d ( A;(SCD) )
Xét tam giác SAC vng tại A có AH là đường cao
1

1

1

1

H
D

B

C

1

1
Do đó AH2 = SA 2 + AC2 = (a 6)2 + (a 3) 2 = 2
2a
⇒ AH 2 = 2a 2 ⇒ AH = a 2

Nhận xét: - Ở bài trên ta phải nối điểm cần tính khoảng cách (điểm A) với hai
điểm dưới đáy của mặt để tạo thành tam giác đáy (điểm C và D).
Ngoài ra phải nhận ra được tam giác ACD vuông tại C.
- Khơng phải bài tốn nào ta cũng xác định được ngay chân đường vng góc hạ
từ điểm đó đến mặt phẳng như ở bài 1 và bài 2. Một số bài toán ta cần chỉ ra một
6


mặt phẳng ( β ) đi qua M và ( β ) ⊥ (α ) . Tìm giao tuyến ∆ = ( β ) ∩ (α ) . Kẻ MH ⊥ ∆
thì d ( M;(α ) ) = MH. Chú ý nếu tam giác ABC ở đáy không vuông tại B và C
đồng thời góc A vng thì vẽ 3 nét; trong trường hợp tam giác đáy tù không phải
ở chân đường vng góc thì đường cao hạ từ chân đường vng góc xuống cạnh
đáy nằm ngồi tam giác. Dưới đây là hai bài tập minh họa:
Bài 3: Cho tứ diện O.ABC có OA;OB;OC đơi một vng góc. Biết OA=a;
OB=OC=2a. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
.Giải:
A
*Kẻ OM ⊥ BC; OH ⊥ AM ;
Khi đó ta chứng minh được OH ⊥ ( ABC )
OH ⊥ AM

Thật vậy ta có: OH ⊥ BC (vìBC ⊥ ( AOM ))
Suy ra: OH ⊥ ( ABC )

H

⇒ d [O, ( ABC )] = OH
*Tính OH

Ta có tam giác AOM vng tại O nên:

C

O

1
1
1
=
+
(1)
2
2
OH
OA
OM 2

M

Mặt khác ta cũng có tam giác OBC vng tại O nên:

1
1
1
=
+
(2)
2
2
OM
OB
OC 2

Thay (2) vào (1) ta được:

B
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2
1

1
1
1
3
⇔
= 2 +
+
= 2
2
2
2
OH
a
( 2a )
( 2a )
2a
⇔ OH =

a 6
3

Chú ý: Tam giác OBC không vuông tại B và C đồng thời góc ∠BOC vng nên
ta vẽ 3 nét; trong trường hợp này đường cao hạ từ O xuống BC nằm trong tam
giác OBC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường trịn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vng góc mp(ABCD)
với SA= a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
S
Giải:
Qua A kẻ AE ⊥ BC ⇒ (SAE) ⊥ BC

⇒ (SAE) ⊥ (SBC)
mà (SAE) ∩ (SBC)=AE
Qua A kẻ AF ⊥ SE ⇒ AF ⊥ (SBC).
Vậy AF= d ( A;(SBC) ) .
Xét tam giác vng SAE ta có

A

D

F

E

B

C

7


1
1
1
1
1
=
+
=
+

2
2
2
2
AF SA AE
(a 6)  a 3 2 = 9
2

÷
÷ 6a
2


6a 2
a 6
⇒ AF =
⇒ AF =
9
3
2

a 6
Vậy d ( A;(SBC) ) =
3

Nhận xét: Ở bài này ta chưa thể tìm ngay được chân đường vng góc hạ từ A
đến mp(SBC) và do tam giác ABC là tam giác tù tại B nên chân đường vng
góc hạ từ A xuống BC nằm ngoài đoạn BC. Mặt khác ta cần biết nối điểm A và
C để tạo ra tam giác đáy ABC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a.

SA ⊥ ( ABC ) . SB tạo với đáy một góc bằng 60 o. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBC).
Giải:
S
AM
⊥
BC
Gọi M là trung điểm của BC thì
Kẻ
AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) ⇒ AH ⊥ ( SBC )
⇒ d ( A, ( SBC )) = AH

H

Ta có : SA = AB. tan 60 o = 2a 3
Vì tam giác ABC đều suy ra AM = AB. sin 60 o = a 3
Mặt khác tam giác SAM vng tại A ta có :

C

A

1
1
1
1
1
5
=
+

=
+
=
2
2
2
2
2
AH
SA
AM
12a 2
( 2a 3 )
(a 3 )

M
B

12 2a 15
⇒ AH = a
=
5
5

Chú ý : Bài này ta cần xác định được góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC) là
góc ∠SBA . Khi đẩy AH vào tam giác vuông SAM ta cần sử dụng phương pháp
phân tích ngược (Để tính AH cần tính SA và AM).
II. Phương pháp đổi điểm:
Một số bài tốn tính khoảng cách từ điểm mà khơng phải chân đường
vng góc thì ta sử dụng một trong hai phương pháp sau:

Dạng 1: Phương pháp đổi bằng.
Ta xác định đường thẳng đi qua điểm cần tính
A
khoảng cách song song với mặt cần tính khoảng cách,
M
trên đường này ta tìm một điểm mà có thể tính
khoảng cách tới mặt một cách dễ dàng, khi đó
khoảng cách từ hai điểm này tới mặt cần tính
khoảng cách là bằng nhau.
Sau đây là bài tập minh họa.
8


Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi
Cạnh bằng a, góc ∠BAD = 120 o , cạnh bên SA vng
Góc với đáy. Gọi M là trung điểm của BC, góc ∠SMA = 45 o .
Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Giải:
S
Ta cần nhận biết được DA song song với (SBC)
⇒ d ( D, ( SBC )) = d ( A, ( SBC ))
AM ⊥ BC
Vẽ :
AH ⊥ SM
⇒ d ( A, ( SBC )) = AH
Tính AH ta đẩy vào tam giác vng AHM
Ta có : AH = AM . sin 45 o
a 3
mà AM = AB. sin 60 o =
2

H
A
M

(vì tam giác ABC đều)
⇒ AH =

a 3 2 a 6
.
=
2
2
4

B

45o

D

C

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a. Mặt
bên SA vng góc với đáy, tam giác SAB đều. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SCD). [6]
Giải:
Nhận xét: Chú ý bài toán cho mặt bên (SAB) vng góc với đáy cịn SA khơng
vng góc với đáy.
S

Nên nếu lấy H là trung điểm của AB
suy ra SH vng góc với mặt phẳng (ABCD).
Gợi ý cách làm :
Bước 1 : Cần biết được đường thẳng AB song song
với mặt phẳng(SCD).
K
Bước 2 : Chứng minh AH song song với (SCD).
A
D
Suy ra d ( A, ( SCD )) = d ( H , ( SCD )).
Bước 3:
H
Tính
E
d ( H , ( SCD )) theo phương pháp làm trực tiếp.
Vì tam giác HCD không vuông tại C và D, nên:
Vẽ:

HE ⊥ CD 
 ⇒ d ( H , SCD) = HK
HK ⊥ SE 

B

C

Để tính HK ta đẩy vào tam giác vng SHK ta có:
1
1
1

a 21
=
+
2
2
2 ⇒ HK =
HK
SH
HE
7

Dạng 2: Phương pháp đổi tỉ lệ.
Phương pháp chung:
Tìm đường thẳng ∆ qua M và ∆ cắt mp (α )
9


tại I trên ∆ chọn điểm A ( A ≠ I, A ≠ M ) .
d ( M; ( α ) ) IM
=
Lúc đó
d ( A; ( α ) ) IA
dẫn đến d ( M; ( α ) ) =

d ( A;(α ) ) .IM
[4]
IA

∆

M

A

I

α

Nhận xét : Ở hướng này thay vì tính khoảng cách từ A đến mp (α ) ta đưa về tính
khoảng cách từ một điểm khác A thuộc đường thẳng ∆ đi qua A mà khoảng cách
đó tính được một cách dễ dàng.
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vng tâm O.
Biết AB=2a; SA=4a.
a. Tính khoảng cách từ O đến mp(SAB).
S
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
Giải:
Ta có: SO ⊥ ( ABCD)

OI ⊥ AB
⇒ OH = d (O, ( SAB))
OH ⊥ SI
AB ⊥ SO 
Thật vậy ta có:
 ⇒ AB ⊥ (SIO)
AB ⊥ IO 
⇒ AB ⊥ OH
Mà OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) hay OH = d (O, ( SAB))
Tính OH :
B

Ta có: OI = a ; SO 2 = SA 2 − OA 2 = 14a 2

Kẻ

H

K

A

I

D
J

O
C

Trong tam giác vng SOI ta có:
1
1
1
1
1
15
=
+
= 2 +
=
2

2
2
2
OH
OI
SO
a
14a
14a 2
a 210
⇒ OH =
15
b.Tính d [ A, ( SCD)]

Nhận thấy tại A khơng có tính vng góc nên thay vì tính khoảng cách tại A ta
tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) sau đó sử dụng tính chất :
d ( A, ( SCD )) AC
=
=2
d (O, ( SCD)) OC
Kẻ OJ ⊥ CD; OK ⊥ SJ

Với cách làm tương tự ta có : d ( A, ( SCD )) = 2OK = 2.d (O, (SSAB)) =

2a 210
15

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA vng
góc với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng
cách từ G đến mp(SAC).

F

D

Giải: Gọi O là tâm hình vng ABCD.
G

C
O

10
A

B


Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.
Khi đó
Mà

d ( G; ( SAC ) )
d ( B; ( SAC ) )

=

FG 1
=
FB 3

OB ⊥ SA 

 ⇒ OB ⊥ (SAC) nên
OB ⊥ AC 

a 2
2
1a 2 a 2
=
Vậy d ( G;(SAC) ) =
.
3 2
6
d ( B;(SAC) ) = OB =

Nhận xét: Vì mặt (SAC) chứa chân đường vng góc(A) nên từ B vẻ BO
vng góc với AC thì BO là d ( B, ( SAC )) .
Ngoài hai phương pháp trên đối với học sinh lớp 12 ta có thể tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng thơng qua phương pháp tọa độ hóa và
cơng thức tính thể tích. Sau đây là phương pháp và bài tập minh họa.
III. Phương pháp tọa độ hóa.[7]
Phương pháp làm:
Bước 1: Xác định hệ trục tọa độ, từ đó suy ra tọa độ các điểm.
Bước 2: Lập mặt phẳng cần tính khoảng cách (Tìm 2 yếu tố điểm và VTPT).
Bước 3: Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài tập làm sáng tỏ phương pháp:
Bài 10: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC);
AC = AD = 4 ; AB = 3 ; BC = 5 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(BCD) [1]
Giải:
Trong ∆ABC có : AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25 nên vng tại A.
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz như sau O ≡ A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0)

D(0;0;4) ;
Tính : AH = d ( A, ( BCD) )
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)

z

x y z
+ + = 1 ⇔ 4 x + 3 y + 3z − 12 = 0
3 4 4
− 12
12
6 34
d ( A, ( BCD) ) =
=
=
17
16 + 9 + 9
34

D

( BCD) :

A

H

C

y

M

x

B

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D, cạnh bên
SA vng góc với đáy. AB=2a; SA=a 3 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(SCD) theo a.
Giải:
11


Chọn hệ trục tọa độ với A trùng với gốc tọa độ O như hình vẽ (Nhận thấy A là
chân đường vng góc). D ∈ Ox; B ∈ Oy; S ∈ Oz; C ∈ ( xOy)
 A(0;0;0)

 D(a;0;0)

Ta có:  B(0;2a;0)

S (0;0; a 3 )
C ( a; a;0)

z
S

Lập mặt phẳng (SCD)

A

k

B

DC = (0; a;0)

y

DS = (−a;0; a 3 )

Chọn vtcp DC: a(0;1;0) vtcp DS: b(−1;0; 3 )
D
Suy ra vtpt n = a; b = ( 3;0;1)
Mặt phẳng (SCD) có phương trình là:
x

[ ]

C

3 ( x − a ) + 0( y − 0) + 1( z − 0) = 0
⇔ 3x + z − a 3 = 0

Khoảng cách từ B(0;2a;0) đến mặt phẳng (SCD) là:
d ( B, ( SCD )) =

−a 3
( 3) 2 + 1

=

a 3
2

Nhận xét: Bài trên ta có thể sử dụng phương pháp đổi điểm để tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (SCD), vì AB song song với CD nên khoảng cách từ B
đến mp(SCD) bằng khoảng cách từ A đến mp(SCD).
3Vchóp
h
=
IV. Phương pháp gián tiếp thông qua sử dụng công thức
Sdáy .[8]
Bài 12: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Bx ' và By lập với nhau một
góc 450. Trên đường vng góc với (P) tại B lấy BA= a, kẻ Ax // Bx ' và lấy C
thuộc Ax sao cho AC= c. Gọi D là hình chiếu của C lên By. Kẻ CE// AB. Tính
khoảng cách từ B đến mp(ACD).
Giải:
Ta thấy tứ giác ABEC là hình chữ nhật và CE ⊥ (P).Từ đó ED ⊥ BD (định lí 3
A
đường vng góc).
Kẻ DF ⊥ BE từ đó ta có tam giác DBE
c
K
vng cân đỉnh D.
Mà BE= AC= c nên BD= DE=
còn DF=

c

2

c
Và F là trung điểm
2

của BE. Vì AB ⊥ (BDE) ⇒ AB ⊥ DF
Do đó

DF ⊥ AB
 ⇒ DF ⊥ (ABEC) .
DF ⊥ BE 

C

a

B

450

y

D

F

x
E

x’
12


Nghĩa là DF là đường cao của hình chóp DABC.
1
3

1
6

Từ đó: VABCD = DF.SABC = AC.AB.DF =

ac 2
12

Kẻ DK ⊥ AC, tam giác ADC cân có AD= DC=

c2
a + nên K là trung điểm của
2
2

AC.
Từ đó DK=

AD2 − AK 2 = a 2 +

c2
2

2

c2
c
−  ÷ = a2 +
2
2

1
1
c2 1
SADC = AC.DK = c. a 2 + = c. 4a 2 + c 2
2
2
4 4
3V
3ac2 c
ac
⇒ d ( B;(ADC) ) = ABCD =
:
4a 2 + c 2 =
SADC
12 4
4a 2 + c2

Nhận xét: ở bài này nếu ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng
cách sẽ gặp khó khăn hơn.
V. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a;

SA ⊥ ( ABCD) ; SA = a 3 . Tính:
a. Khoảng cách từ A đến mp(SBC).
b. Khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A, B , C , biết AA, = a ; đáy ABC là tam giác
vng tại A có BC=2a; AB = a 3 Tính:
a. Khoảng cách từ A đến mp( BCC , B , ).
b. Khoảng cách từ A đến mp ( A, BC ) .
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. biết cạnh đáy bằng a; cạnh bên bằng
2a. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng a, mặt bên SAB
vng góc với đáy, tam giác SAB đều. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SCD).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng a, mặt bên SAB
là tam giác đều và vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(SAC). [6]
Bài 6: Cho lăng trụ đều ABC. A, B , C , có AB = a; AA, = 2a . M là trung điểm của CC ,
. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A, BC ) .[6]
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, góc
∠BAD = 90 o ; ∠ADC = 90 o ; AD = DC = a; AB = 2a; SA = a 3 . Tính khoảng cách từ D
đến mặt phẳng (SBC). [6]
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trước và sau khi dạy hai tiết dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát 39 học
sinh với 5 câu hỏi và đã thu được kết quả như sau:

13


Câu
hỏi

1
2

3

4

5

Nội dung
Em có thích học hình học
hay khơng?
Kiến thức cơ bản của em về
hình học khơng gian có tốt
khơng?
Em có một phương pháp nào
để tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng hay
khơng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vng tâm O;
cạnh bằng a; SA ⊥ ( ABCD) . Góc
giữa SC và mp(SAB) bằng 30o.
a) Tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBD).
b) Gọi I là trung điểm của SC.
Tính khoảng cách từ I đến mặt
phẳng (SBD).

Kết quả thống kê

Trước khi dạy
Sau khi dạy tiết
thực nghiệm
thực nghiệm
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
8 HS

20.5%

30 HS

76.9%

04 HS

10.3%

28 HS

71.8%

03HS

7.7%

26 HS

66.7%

05 HS

12.8%

32 HS

82.1%

5 HS

12.8%

25 HS

64.1%

3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập tốn cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên
đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế một số phương pháp dạy theo hướng dạy học tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp được đề xuất.
Trong quá trình giảng dạy mơn Tốn tại trung tâm, từ việc áp dụng các hình

thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài tốn cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,
bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện,
cách trình bày lời giải bài tốn cho học sinh đó là :
1. Trình bày bài giải mẫu.
2. Trình bày bài giải với các bước sắp xếp hợp lý.
3. Đưa ra bài tốn có gợi ý giải.
14


4. Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn tồn diện hơn về Tốn học
nói chung. Vấn đề tơi thấy các học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà
giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
3.2. Kiến nghị.
3.2.1. Với Sở GD&ĐT
Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên mơn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy tốn. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
3.2.2. Với BGĐ Trung tâm.
Trung tâm cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo, cần
tạo ra trang Web chung để HS và giáo viên chia sẻ thông tin về các bài giảng
cũng như các phương pháp giải Tốn. Qua đó học sinh được tìm tịi, học tập giải
toán để nâng cao hứng thú, kết quả học tập mơn Tốn nói riêng, nâng cao kết
quả học tập của học sinh nói chung.
3.23. Với phu huynh học sinh.
Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên kiểm
tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài:''Một số phương pháp giải

bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng'', vào giảng dạy
tôi nhận thấy vấn đề này giúp ích cho học sinh trong việc làm tốn, giúp các em
khơng cịn “ngán ngại” phần khoảng cách nữa các em đã giải khá tốt những bài
tập về tính khoảng cách trong khơng gian. Thực nghiệm cho thấy có khoảng
70% học sinh giải quyết được 85% các bài tập trong sách giáo khoa. Riêng bản
thân tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn nữa để có những định hướng tốt hơn.
Tơi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với q thầy cơ dạy bộ mơn Tốn về
việc “hệ thống” các kiến thức một vài kĩ năng về tính khoảng cách. Vì kiến thức
và thời gian cịn nhiều hạn chế chắc rằng cịn có thiếu sót, tơi chân thành nhận
sự góp ý của các thầy cơ. Xin chân thành cảm ơn.
Tôi xin cam đoan sáng kiến trên
là của bản thân, nếu có dấu hiệu
sao chép tơi hồn tồn chịu trách nhiệm.
Xác nhận của thủ trưởng cơ quan
Thiệu Hóa, ngày 10/04/2021
Người thực hiện

Trịnh Đình Chung

Đinh Văn Ba

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Đinh Văn Ba
15


Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên dạy mơn tốn trường TT.GDNN-GDTX Thiệu
Hóa.
TT

1

2

Tên đề tài sáng kiến
kinh nghiệm
Một số phương pháp giải bài tập
về tiếp tuyến
Một số phương pháp giải tốn
hình học khơng gian cho học sinh

Cấp đánh giá
xếp loại
Sở GD& ĐT

Sở GD& ĐT

khối 11
Một số phương pháp giải các bài
3

tốn về quan hệ vng góc trong
khơng gian

Sở GD& ĐT

Kết quả đánh
giá xếp loại

Năm học

đánh giá
xếp loại

C

2012

C

2014

C

2017

16