SKKN một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY
KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Phan Thị Nhường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1


MỤC LỤC
NỘI DUNG

Trang

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài…………………………………………....

2

1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………..

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………

3

1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm………………

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………….

3

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ..............................

3

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN………….

5

2.3. Các giải pháp thực hiện……….............……………………

6

2.4. Hiệu quả của SKKN……………………………………….

19

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…….……………………...

20

3.1. Kết luận……………………………………………………

20

2


3.2. Kiến nghị…………………………………………………..
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO………

3

21
22


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh
nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo

được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy
còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học hình học còn yếu,
chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt đại
đa số học sinh khi nhắc đến hình học không gian lại rất ngại nói đúng hơn là sợ
sệt. Đặc biệt năm học 2018- 2019 là năm học có nội dung trắc nghiệm hình học
không gian lớp 11 trong kỳ thi THPT Quốc gia, vì vậy học sinh cần có vốn kiến
thức và kỹ năng nhất định, đặc biệt là những câu hỏi vận dụng về tính khoảng
cách trong hình học không gian. Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh
ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh
hoạt các phương pháp để từ đó sẽ quy bài toán từ khó về dễ và phù hợp với trình
độ kiến thức mình đang có đặc biệt là kỹ năng xác định và tính toán nhanh để
đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một đề thi trắc nghiệm. Vì vậy việc
xây dựng và hình thành cho học sinh những phương pháp để giải quyết các bài
toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất cần thiết trong dạy học.
Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,
cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi xin chia sẻ đề tài sáng kiến
kinh nghiệm “ Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải
bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không
gian ”.
Đây là một nội dung quan trọng, hay và khó trong chương trình hình học
11 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học
sinh say sưa nghiên cứu. Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận đối với bài toán
này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc. Ngoài ra sáng
kiến kinh nghiệm này còn là tài liệu dùng cho các em học sinh lớp 12 để ôn
luyện thi THPT quốc gia về chuyên đề khoảng cách . Chính vì vậy việc đưa ra
sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, các em hiểu sâu hơn về bài toán khoảng
cách từ 1 điểm đến mặt phẳng và yêu thích chủ đề khoảng cách trong hình học
không gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc

nắm được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen. Đồng thời giúp học sinh có
một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải
quyết các bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt. Hình thành cho các em
thói quen tìm tòi, tích lũy và rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán. Hy
vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kỳ thi chọn
học sinh giỏi lớp 11 và cho học sinh lớp 12 vững thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi
THPT quốc gia, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài là nghiên cứu một số tính chất về khoảng cách. Tính
khoảng từ một điểm đến mặt phẳng chứa đường cao, tính khoảng cách từ một
điểm bất kỳ dựa vào chân đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ).
4


Đề tài tập trung bài tập ở dạng trắc nghiệm khách quan và vận dụng nó
trong các bài toán thực tế của đời sống xã hội.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham
khảo, mạng internet …
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh
Gia 4.
- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu quả sử dụng đề
tài nghiên cứu trong việc giảng dạy lớp 11 và ôn thi THPT quốc gia năm học
2018-2019 ở trường THPT Tĩnh Gia 4.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Theo tôi được biết đã có nhiều đề tài viết về chuyên đề khoảng cách .
Nhưng theo quan điểm cá nhân tôi do sự đổi mới trong hình thức thi cử kể cả thi
cuối kỳ hay thi THPT quốc gia thì đều thi theo hình thức trắc nghiệm. Đối với
môn hình học thì đề tài của tôi là một quan điểm hoàn toàn mới về cách thức
giải các bài toán, cụ thể:

- Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một cách có hệ thống , các
bài toán có sự phân dạng và phân loại theo từng mức độ. Câu hỏi theo hình thức
trắc nghiệm được sưu tầm ở các chuyên đề hình học không gian, đề thi thử, đề thi
THPT quốc gia các năm trước giúp giáo viên và học sinh dễ hình dung.
- Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra một giải pháp hoàn toàn mới
Giúp học sinh giải toán một cách nhanh nhất. Đặc biệt với giải pháp chủ yếu là
thông qua ba bước là dựng hình, chứng minh, tính khoảng cách. Như vậy nó rất
tiện lợ cho các em học sinh thi trắc nghiệm khi đã ôn luyện nhuần nhuyễn thì có
thể rút ngắn thời gian làm bài bằng cách dựng hình xong rồi tính khoảng cách
luôn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.[1]
Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng ( )
M
là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( ) .
Kí hiệu: d ( M ,( ))
H
(α)
2.1.2. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.[1]
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt
phẳng ( ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng
a nằm trong mặt phẳng ( ) .

d

a
(α)

5


2.1.3. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.[1]

d
Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt
nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc
b
a
với mặt phẳng ấy.
2.1.4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.[1]
(α)
Định lý 1
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là
α
mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc
a
với mặt phẳng kia.
c
Hệ quả 1
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ
b
β
đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà
vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt
phẳng kia.
2.1.5. Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) [5]
-Xác định điểm H sao cho MH vuông góc với ( ) tại H .

- d ( M ,( )) MH .
Cụ thể:
-Xác định mp ( ) chứa điểm M và vuông góc với mp ( ) theo giao tuyến
.
β
-Trong mp ( ) kẻ MH vuông góc với tại H (
H).
M
- MH d ( M ,( ))
Chứng minh:
H
() ()
MH ()

Ta có

α

MH ( ),MH

2.1.6. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.[3]
Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi AH là đường cao. Đặt AB c,
A
AC b, BC a, AH h, HB c ', HC b '
ta có
a2
1

b 2 c2 ; b 2 a.b '; c 2 a.c '
1 1 h

b.c
b 2 c2
1
h 2 b 2 1 c2
b.c
a.h a.h b.c
S
ABC
2
2
s in B cosC= b ; tan B cot C b
c
a
2.1.7. Định lý talet trong mặt phẳng.[3]

6

c

b
c'

B

b'
C

Ha
A
d

M
B

N
C


Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của một tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra
trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

AM

AN AM
NC ; AB

AN

nếu MN // BC thì MB
AC .
2.1.8. Phương pháp đổi điểm[6]
+ Nếu AB // mp( ) thì d(A,( ))=d(B,( )).
+ Nếu AB cắt mp( ) tại I thì ta gọi A' là hình

α

A

B

A'

B'
B

chiếu của A trên ( ) và Gọi B ' là hình chiếu của B
trên ( ) . Áp dụng định lý talet trong mặt phẳng ta có
AA ' IA
d (A,( )) I
A
BB ' IB d ( B ,( )) IB
+Nhận xét: Phương pháp đổi điểm cho phép ta
chuyển việc tính khoảng cách từ một điểm không
phải chân đường cao về tính khoảng cách từ điểm là
chân đường cao. Trong một số bài toán ta có thể kết
phương pháp đổi điểm song song và đổi điểm cắt đề
tính như sau:
AB//( )
BC()I
thì
Nếu
và
d ( A,( )) d ( B,( ))

A

I

A'

B'

α

C
A

α

A'

B

I

B' C'

d ( B ,( )) IB
d (C ,( ))
IC
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi thấy rằng bài toán
tìm khoảng cách là một vấn đề khó khăn với phần đa số học sinh. Học sinh rất
nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán.
Trong khi đó bài toán tìm khoảng cách khá nhiều dạng nên các em dễ rối khi
tiếp cận đề bài. Đăc biệt những năm gần đây hình thức thi học kỳ hay thi THPT
quốc gia đều được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm, lượng bài tập khá nhiều
mà các em chưa thể phân loại được.
Khảo sát chất lượng học sinh lớp 11 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy
chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng
không đúng hoặc chưa định hình được phương pháp và thường bị mất điểm ở

những bài tập này.
Với tình hình ấy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn cho học sinh
cách tiếp cận bài toán dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương
pháp và rèn luyện khả năng giải toán của bản thân. để giúp học sinh có lượng
kiến thức nhất định, để khi các em gặp bài toán nào cũng có thể khai thác các
yếu tố đặc trưng của bài toán đó, biết quy lạ về quen, đưa cái chưa biết về cái
đã có để rút ra một lời giải nhanh gọn nhất.

7


Vậy tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt
các kiến thức khoảng cách để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán
khoảng cách một cách chính xác và nhanh nhất.
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này đề tài đưa ra hướng giải có
các bước phân tích, dựng hình, chứng minh và tính khoảng cách.
Sau đây là một số giải pháp minh họa mà tôi đã áp dụng trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện đề tài. Hệ thống bài tập có sự phân dạng, phân loại từ
dễ đến khó có thể làm tài liệu ôn tập áp dụng cho các kỳ thi học kỳ, kỳ thi THPT
quốc gia. Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải
những bài tập tương tự.
2.3.1. Giải pháp 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) chứa
đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ)
Phương pháp:
- Dựng hình(dựng đường vuông góc từ điểm M đến cạnh đối diện nằm trong
( )).
- Chứng minh tính vuông góc
- Tính khoảng cách.
Ví dụ 1: [4]Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, O là giao điểm của AC và BD . G là trọng tâm của tam giác
ABC, AB a, AD a 3 . Tính khoảng cách từ
a) O đến mặt phẳng ( SAB) ;
b) G đến mặt phẳng ( SAD) .
Hướng dẫn
S
a) Tính d (O ,( SAB))
* Phân tích
- SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA là
đường cao hình chóp.
A
I
-Ta nhận thấy mặt phẳng ( SAB) chứa đường cao
SA .
D
O
- Để xác định khoảng cách từ O đến ( SAB) thì
H
từ điểm O ta dựng OH vuông góc với cạnh đối
G
diện là AB . Thì OH là khoảng cách từ O đến
B
C
(SAB) .
* Giải
+ Dựng hình: OH AB OH=d(O,(SAB)) .
+ Chứng minh: ta có OH AB OH (SAB) .
OH SA
OH / /AD

+ Tính OH : Xét ABD có

OB OD
Vậy d (O,(SAB))

a 3
2 .

8

OH

1

2

AD

a

3

2

.


b) Tính d (G ,( SAD))
* Phân tích
- SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA là đường cao hình chóp.

-Ta nhận thấy mặt phẳng ( SAD) chứa đường cao SA .
- Để xác định khoảng cách từ G đến ( SAD) thì từ điểm G ta dựng GI
vuông góc với cạnh đối diện là AD . Thì GI là khoảng cách từ G đến
(SAD).
* Giải
+ Dựng: GI AD GI =d(G,(SAD)) .
GI AD
+ Chứng minh: ta có
GI (SAD) .
GI SA
+ Tính GI : Trong ABD có IG / / AB nên áp dụng định lý talet trong mặt
phẳng
ta có:

IG

AB

DG

2

DB

32a

IG

2

3

AB

2a

.

3

Vậy d (G ,(SAD)) 3 .
Ví dụ 2: [4]Cho hình lăng trụ ABC . A ' B ' C ' ,Tam giác ABC vuông ở C .
Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh AB .
AC a 3, BC a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' HC) là
A. a 3
B. a 3
C. a 3
D. a
3
2
Hướng Dẫn Tính d ( A,( A ' HC))
* Phân tích
-Vì H là hình chiếu vuông góc của A'
trên mp(ABC) nên A ' H là đường cao
hình lăng trụ.
-Ta nhận thấy mặt phẳng ( A ' HC) chứa
đường cao A ' H.
- Để xác định khoảng cách từ A đến
( A ' HC) thì từ điểm A ta dựng AK
vuông góc với cạnh đối diện là HC . Thì

AK là khoảng cách từ A đến ( A ' HC).
* Giải
+ Dựng: AK CH AK d (A,(A' HC)) .

3
A'

C'

B'

A

C
K

H
B

AK HC

+ Chứng minh: Ta có AK A' H AK ( A' HC) .
+ Tính AK : Ta có AB AC2 BC23a2 a2 2 a HC a .
1CA.CB 1.a 3.a a2 3 .
S
ABC
2
2
2
9

1

3 .

a

2

S

S
2
Mà S
AHC

ABC
AHC

1

4

AK.HCAK

2S

a 3

2

Vậy d ( A,( A ' HC))

a 23

.
2

AHC

HC

. Chọn đáp án A.

2.3.2. Giải pháp 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bất kỳ
Thực tế các em học sinh thường thấy khó trong việc dựng hình. Nên ở giải pháp
này đề tài sẽ phân ra 3 trường hợp cụ thể để cho các em học sinh tiếp cận cách
dựng khoảng cách dễ dàng hơn.
Nội dung
Cách dựng
Hình minh họa Chứng minh
Trường hợp 1:
S . ABC có
SA ( ABC) ,và
tam giác đáy
vuông tại B .
Hãy xác định
khoảng cách từ
A đến ( SBC) .

Trường hợp 2:

Dựng AH SB
thì
d ( A,( SBC )) AH.

S . ABC có
SA ( ABC) và
tam giác đáy
vuông tại C .
Hãy xác định
khoảng cách từ
A đến ( SBC) .
Trường hợp 3:

thì
d ( A,( SBC )) AH.

+

S
H

A

B
C

BC AB
SA

BC

BC AH (1)
+ AH SB(2)
Từ (1) và (2)
AH (SBC).
Vậy AH d ( A,( SBC)).
BC AC

Dựng AH SC
S

+
H

A

B

C

Ta cần tạo một

BC (SAB)

BC

BC (SAB)

SA

BC AH (1)
+ AH SC(2)
Từ (1) và (2)
AH (SBC).
Vậy AH d ( A,( SBC)).
Ta có:

Hình chóp
góc vuông ở mặt
BC AI BC (SAI)
S
S . ABC có
phẳng đáy để quy
BC SA
SA ( ABC) và
bài toán về trường
(SBC) (SAI)
H
tam giác đáy
hợp 1 và trường
A
C theo giao tuyến SI .
không vuông ở hợp 2.
Trong ( SAI ) kẻ
I
B và C . Hãy
Dựng AI BC
xác định khoảng và AH SI . Khi
AH SI AH (SBC) .

B
cách từ A đến
đó
Vậy AH d ( A,( SBC)).
d ( A,( SBC )) AH
(SBC)
Nhận xét: Nhìn chung khi dựng khoảng cách từ chân đường cao SA đến mặt
phẳng bên thì học sinh phải lưu ý rằng mặt phẳng đáy có góc vuông hay không.

10


Nếu mặt phẳng đáy vuông ở đỉnh nào thì ta dựng AH vuông góc với cạnh bên
chứa đỉnh ấy.
Tức là nếu vuông ở B thì ta dựng AH
SB . Nếu vuông ở C thì ta dựng
AH SC. Nếu không có góc vuông thì ta tạo thêm góc vuông như trường hợp 3.
* Trường hợp đặc biệt
Tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên mặt phẳng ( BCD) thì AH d ( A,( BCD)) và
1
1
1
1 .
AH 2 AB 2 AC 2 AD2
Ví dụ 3. (Tuyển sinh đại học khối D-năm 2002)
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC), AC
AD 4,
AB 3, BC 5 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD) là
A. 34

B. 3 34
C. 6 34
D. 12
25
5
17
17
Hướng Dẫn Tính d ( A,( SBC))
* Phân tích: Ta nhận thấy mp ( BCD) không chứa đường cao và A là chân
đường cao hình chóp nên bài toán thuộc giải pháp 2, Tam giác đáy ABC không
vuông ở B và C nên nó thuộc trường hợp 3.Nhận xét tam giác đáy có
BC 2 AB 2 AC2 nên ta có thể giải theo 2 cách.
* Giải

D

Cách 1
+ Dựng AI BC(I BC) và AH SI (H SI ) . Khi đó
AH d ( A,(SBC)) .
+ Chứng minh:
Ta có

BC AI

4
H

BC (SAI) (SBC) (SAI)

BC SA

theo giao tuyến SI .
Trong ( SAI )
kẻ AH SI AH ( SBC) .
Vậy AH là khoảng cách từ A đến ( SBC) .
+ Tính AH : Vì có BC 2 AB 2 AC2 nên ABC
vuông tại A .
AB.AC
3.4
12
Trong ABC : AI
.
AB2 AC2
32 42
5
AD.AI
Trong DAI vuông tại A :

AH

AD

2

AI

2

4

6 34 . Chọn đáp án C

17
11

5

3

I
B

12
4.
4

2

5
12 2
5

Vậy d ( A,(BCD))

C

A

6 34
17

.

Cách 2: Vì BC 2 AB 2 AD2 nên ABC vuông tại A .
Tứ diện ABCD là tứ diện vuông tại A (vì AB , AC , AD đôi một vuông góc)
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( BCD) thì: AH
d ( A,( BCD))

AH

1
2 AB

1

2

AC

Vậy d ( A,(BCD))

1

2

AD

1

2

1
3 2

1
4 2

1
4 2

17
72

AH

6

34

17

.

6 34
17 .

Ví dụ 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. AB a , BC a
3 , góc giữa SC và mặt phẳng đáy
0
bằng 45 .

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) là
A. a 5
B. 2a 5
C. 2a
D. 2a 3
3
5
5
3
b) Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SDM ) là
A. a 30
B. a 6
C. a
D. a 5
5
5
3
S
Hướng Dẫn
a) Tính d ( A,( SBC))
* Phân tích Ta nhận thấy Đường cao hình
chóp là SA , mp ( SBC) không chứa đường cao,
điểm A là chân đường cao nên bài toán dựa
vào giải pháp 2. Ngoài ra ABC vuông tại B
nên ta dựng AH SB thì AH là khoảng cách.
* Giải
+ Dựng hình: AH SB AH d ( A,( SBC)) .

H

D
A

45°

B

I
C

M

+ Chứng minh:
AH SB
Ta có

K

AH (SBC).
BC AH

BC (SAB) AH
2a .
+Tính AH : ACAB2 BC2a2 3a2
SAC vuông cân tại A SA AC 2a .
SAB vuông tại A: AH
SA.AB

2a.a

2a .

SA2 AB2
4a2 a2
5
Vậy d ( A,(SBC)) 2a 5 . Chọn đáp án B.
5
b) Tính d ( A,(SDM ))
* Phân tích
Ta nhận thấy mp ( SDM ) không chứa đường cao, điểm A là chân đường cao nên
bài toán dựa vào giải pháp 2. Ngoài ra ta có thể tính được các cạnh
12


a 7

AM DM 2 , AD a AD 2 AM 2 DM 2 nên ABC không vuông tại M và tại D do
đó ta dựng khoảng cách theo trường hợp 3 của giải pháp 2 .

(SCD)
* Giải
+ Dựng hình: Dựng AI DM (I DM ) và dựng AK SI ( K SI ) . Khi đó
AK d (A,(SDM )) .
+ Chứng minh:
DM AI
DM ( SAI ) (SDM ) (SAI ) theo giao tuyến SI .
Ta có
DM SA
Trong ( SAI ) kẻ AK SI AK (SDM ) .
+ Tính AK : Ta có DM

D 2 MC 2
a2 a 32
a 7 .
C
2
2

S
ADM

1 DM.AI

1 AD.AB AI

2

2

AD.AB

a

D
M

3.
a
a 7
2

SAI vuông tại A :
Vậy d ( A,(SDM ))

AK
a 30

5

AS.AI

a 30 .

AS2 AI2

5

. Chọn đáp án A.

2a 3
7 .


Ví dụ 5: [5]Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B . Hình chiếu của đỉnh S trùng với trung điểm H của đoạn AC .
SA AB BC 2 a , AD 4a . Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng là
A. a
B. a 2
Hướng dẫn tính d ( H ,( SCD))

C. 2a

D. a 3
S

* Phân tích
Ta nhận thấy đường cao hình chóp là SH ,
mp ( SCD) không chứa đường cao, nên bài
toán thuộc vào giải pháp 2. Tam giác
nhọn, ta cần xác định góc C
ACD có D
có vuông hay không?
Gọi I là trung điểm của AD ta có
AI BC 2a ABCI là hình bình hành
IC AB 2a .
ACD có đường trung tuyến CI bằng
một nửa cạnh huyền AD nên vuông tại C
.

13

I

A
K
H
B

C

D

Vì tam giác ACD vuông tại C nên để dựng khoảng cách từ H đến ( SCD)
t
dựng HK SC thì HK là khoảng cách.
a
* Giải
+Dựng hình: kẻ HK SC(K SC) HK ( SCD) HK d (H ,(SCD)) .
+ Chứng minh: Gọi I là trung điểm của AD ta có AI BC 2a ABCI hình bình
hành IC AB 2a .
là
ACD có CI
1 AD nên AC CD .
2
CD SH
Ta có
CD (SAC)
CD HK (1).
CD AC
HK SC (2).
Từ (1) và (2) ta có HK (SCD) .
2
2
2
2
1
1
1
+ Tính HK : HC
a 2.

2 AC 2 A BC
2 4 4a
B
a
2
2
2
2
SH
SA AH
4a 2a
a 2.
Xét SHC vuông tại H : HK

HS.HC

a 2.a 2

a.

HS2 HC2
2a2 2a2
Vậy d ( H ,( SC D)) a . Chọn đáp án A.
Nhận xét: đối với bài tập này học sinh cần các định xem HCD có góc vuông
tại C hoặc D không. Vì cách dựng khoảng cách nó phụ thuộc vào độ lớn góc
C và D.
2.3.3. Giải pháp 3: Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng bất kỳ
Phương pháp đổi điểm: Là phương pháp đổi khoảng cách từ điểm đề bài yêu
cầu sang điểm khác dễ tính khoảng cách hơn (thường là chân đường cao).
Ví dụ 7.(Trích đề thi minh họa THPT năm 2015)

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B . Hình chiếu của S trên
mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh AC , AC 2a , ACB 300 , SH a 2 . Khoảng
cách Từ C đến mặt phẳng ( SAB) là
14
A. 2a 66
B. a 66
C. a 15
11
11
3
Hướng dẫn tính d (C ,( SAB))
* Phân tích
Ta nhận thấy mp ( SAB) không chứa đường cao,
điểm C không phải chân đường cao hình chóp nên bài toán
thuộc vào giải pháp 3. Vậy ta sẽ sử dụng phương pháp đổi điểm.
Ta có

HC ( SAB) {A} nên
* Giải

d (C,(SAB))

d (H ,(SAB))

C
A
H
A

.

+ Dựng hình: Lấy điểm H là trung điểm AC .
Kẻ HI AB(I AB) và HK SI (K SI )

A
I


D. a 66
3
S

K
C

H

30°
C

H

B
(SAB)

A

K

M

thì HK d ( H ,(SAB)) .
+ Chứng minh:
Tacó

AB HI

AB ( SHI ) (SAB ) (SHI ) theo giao tuyến SI . AB

SH
Trong ( SHI ) có HK SI
HK ( SAB) .
+ Tính độ dài d (C ,( SAB)) : HI là đường trung bình ABC nên ta có HI

1

1

1

3a 3
2 .

0
2 BC 2 AC .c os30 2 .2a. 2

HS.HI
Trong SHI vuông tại H : HK
H

S

2

HI

2

a 2. a 3
2
2
2
2a 3a

a 66
11

.

4
Mặt khác HC ( SAB ) {A} , K là hình chiếu của H trên ( SAB) .
Gọi M là hình chiếu của C trên mặt phẳng ( SAB) thì ta có
d (C ,(SAB ))
C C 2 d (C ,(SAB )) 2 d ( H ,(SAB))
2a 66 .
M A
d ( H ,(SAB )) HK HA
11
Vậy d (C ,(SAB)) 2a 66 . Chọn đáp án A.
11

Ví dụ 8. (Trích đề thi tuyển sinh khối B năm 2014)
Cho lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
của A' lên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng
A ' C và mặt phẳng đáy bằng 600 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
( ACC ' A') là
A. 3a 13
B. 3a 13
C. a 13
D. a 13
13
26
13
26
Hướng dẫn tính d ( B ,( A ' ACC '))
A'
C'
* Phân tích
Ta nhận thấy A ' H là đường cao đường hình
lăng trụ nên mp ( ACC ' A') không chứa
K
B'
đường cao và điểm B không phải chân
đường cao nên bài toán rơi vào giải pháp 3.
I
60° C
Ta sẽ sử dụng phương pháp đổi điểm B sang
điểm H.
A
B
Do BH ( ACC ' A') {A} nên d

H
H
B
(C,(SAB)) CA

.

d (H ,(SAB)) HA
* Giải
+ Dựng hình:
Lấy H là trung điểm AB
Kẻ HI AC ( I AC) và HK

(ACC'A')

A ' I khi đó HK

A

d (H ,(ACC ' A'))

K


15


+ Chứng minh:

AC

HI

Ta có

AC

( A ' HI )

AC
A'I
( ACC ' A ') ( A ' HI ) theo giao tuyến A ' I
Trong mp ( A ' HI ) có HK A ' I HK ( ACC ' A') (đpcm).
+ Tính d ( B ,( A ' ACC ')) :
0
HC là hình chiếu của A ' C trên (ABC)
nên A ' CH 60 .

0
a 3
a 3
A ' HC vuông tại H : A ' H CH .tan A ' CH
2 .tan60
2 .3
0
a
a 3 a 3
AHI vuông tại I : HI AH .sin IAH
2 .sin 60
2. 2

4 .
Trong A ' HI vuông tại H : HK
HA'.HI
3a 13 .

Mặt khác BH ( A ' ACC ') { A}

HA'2 HI 2
26
d ( B ,( A ' ACC ')) B 2 .
A
d ( H ,( A ' ACC ')) H
A

d ( B ,( A ' ACC ')) 2 d ( H ,( A ' ACC ')) 2 HK

Vậy d ( B ,(A ' ACC '))

3a
2.

3a 13

3a 13

13

.

. Chọn đáp án A.

13
Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B , BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng
S
( SCD) là
A.

a

6

B.

a

3

C. 2a
D. a
Hướng dẫn:
a)Tính d ( H ,( SCD))
* Phân tích: Ta nhận thấy đường cao hình chóp
là SA . Như vậy rõ ràng điểm H không phải
chân đường cao và mp ( SCD) cũng không chứa

E
N
K

H
B

A
C

M
đường cao. Nên trong bài này ta sẽ dùng
phương pháp đổi điểm H về chân đường cao là
điểm A .
Tuy nhiên để xác định giao điểm của HA với mp ( SCD) trong bài toán này
không đơn giản. Các em phải nắm được cách xác định giao điểm của đường
thẳng với mặt phẳng. Từ đó kẻ thêm đường phụ cho hợp lý. Ở ví dụ 5 ta đã
chứng minh được CA CD nên trong bài này ta sẽ thừa nhận. GV yêu cầu học

D


16


sinh xác định khoảng cách từ A đến ( SCD) ? Và xác định giao điểm của AH
với mp ( SCD) .
* Giải
+ Dựng hình: Kẻ AE SC(E SC) AE (SCD) AE d (A,(SCD)).
+ Chứng minh:
CD ( SAC) (SCD) (SAC) theo giao tuyến SC . Trong
mp ( SAC) có AE SC AE ( SCD) .
+ Tính độ d ( H ,( SCD))
Ta có ACAB2 BC2a2 a2 a 2 .

ASC vuông cân tại A : AE 1 SC
d A,(SCD) =a .

2

1 SA2 AC 2
2

1

2a2 2a2 a

2
A

Trong ( ABCD) gọi { M } AB CD .
Trong ( SAM ) gọi {K} AH SM .
M B
a
1
Do BC//AD
B C
MA AD

H
M

2a 2

MA 2 AB 2a B là trung điểm của MA .

Mà BH

BA2

BH.BS

E

a2

(SCD)

1.

BS
BS 2
AB2 AS 2 a2 (a 2)2 3
Nên H là trọng tâm của SAM do đó.
d (H ,(SCD))
H 1 d (H ,(SCD))
1 d ( A,(SCD)) a .
K
d ( A,(SCD)) AK a 3
3
3
Vậy d (H ,(SCD))
. Chọn đáp án B.
3
Ví dụ 10. [9]Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a ,
AD 2a , SA a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ trung

điểm I của đoạn thẳng SC đến mặt phẳng ( SBD) là
A. a
B. a 3
C. a

D. a 3

2
3
3
2
Hướng dẫn tính d ( I ,( SBD))
* Phân tích :Ta nhận thấy mp ( SBD) không chứa đường cao và điểm I cũng
không phải chân đường cao của hình chóp. Vậy nên ta dùng phương pháp
đổi điểm I sang chân đường cao là điểm A .
S
Trong SAC gọi {G} AI SO
{G} AI ( SAC) . Mà trong SAC
có SO và AI là các đường trung tuyến
I
nên G là trọng tâm .
G
d (I ,(SBD)) GI
1
- Tỉ số

d ( A,(SBD))

GA

2

.

K
A

B


17

O
D

H
C


* Giải
+ Dựng hình:
Kẻ AH BD ( H BD) và AK
SH ( K SH ) . Khi đó AK d (A,(SBD))
BD AH
+ Chứng minh: Ta có
BD ( SAH ) (SBD ) (SAH ) theo giao
BD SA
tuyến SH.
Trong mp ( SAH ) có AK SH AK (SBC) .
+Tính d ( I ,( SBD)) :

ABD vuông tại A : AH
AD.AB a.2a
2a
BD
a 5
5 .
SAH vuông tại A :
SA. AH
2

AK

a. 2a
2

2

a2

SA AH

G

2a

5

K

(SBD)

I

3 .

4a

5
Gọi {O} AC BD và {G} AI SO AI (SBD)={G} vàG là trọng tâm
SAC
d ( I ,(SBD)) GI 1
1
1
Ta có: d ( A,(SBD)) G
d ( I ,(SBD)) 2 d ( A,(SBD )) 2 AK
2
A
Vậy d ( I ,(SBD)) a . Chọn đáp án C.
[7]

A

a
3 .

3

AB 1cm,
Ví dụ 11. Cho hình chóp S . ABC, tam giác đáy vuông tại A,
AC 3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C.

Khối cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng 5 5 3 . Khoảng cách từ C đến mặt
6

cm

phẳng ( SAB) là
3
B. 3 3
C. 3
2
2
2
Hướng dẫn Tính d (C ,( SAB))
* Phân tích
-Vì hai điểm B , C cùng nhìn đoạn thẳng SA
dưới 1 góc vuông nên gọi I là trung điểm của
SA thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC .
- Vì ABC vuông tại A nên gọi H là trung
điểm BC thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC IH ( ABC) nên IH đường cao của hình
chóp I . ABC.
B

D. 1
2

A.

S

I
K
C
H
M
A

18


-Như vậy trong bài toán này ngoài việc đổi điểm tính khoảng cách ta còn đổi
d (C ,( SAB))
d ( H ,( IAB))
cả

(ABCD)

C


đỉnh hình chóp. Quy bài toán tính
- CH ( IAB) { B}

về tính

d (C,( IAB)) CB

.

2. d ( H ,(

IAB)) HB

* Giải
+ Dựng hình: Lấy I , H lần lượt là trung điểm của SA, BC.
Kẻ MH AB(M AB) và HK MI (K MI ) . Khi đó HK d (H ,(IAB)) .
+ Chứng minh: SAB và SBC lần lượt vuông tại B và C nên trung điểm I của SA
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC (1)
ABC vuông tại A nên trung điểm H của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC (2)
Từ (1) và (2) IH ( ABC) IH đường cao hình chóp I . ABC .
AB HI
AB ( HIM ) (IAB) (HIM ) theo giao tuyến IM
Ta có
AB HM
Trong mp ( HIM ) có HK MI HK ( IAB) (đpcm).
+ Tính d ( H ,( IAB))
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Theo bài ra ta có
4 R3
5 5 R3
125 R
5
IA IB IC IS 5 .
3
6
8
2
2

2
2
2 AH1.
ABC vuông tại A : BCAB AC
IAH vuông tại H : IH

S

IA2

HA2

2.S

5

4
2
.HM.AB HM AC

1 AB.AC 2. 1
2
2
IHM vuông tại H : HK
HI.HM
ABC

ABH

11 .

3.
2

2

3 .
4

HI2 HM2
d (C,(IAB)) CB 2 d (C,(IAB)) 2d(H ,(IAB))
d (H ,(IAB)) HB
3
Vậy d (C,(SAB))
2 . Chọn đáp án A.

3.
2

Ví dụ 13. [8]Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

. Từ H là trung điểm của AB vẽ SH vuông góc với mặt phẳng
SH a . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC) .
S
A. a 57
B. 2a 5
19
19
C. 2a 3
D. 2a 57
19

19
Hướng dẫn tính d ( D ,( SBC))

a , AC
a
và

A
H K

19

D