Skkn một số sai lầm khi giải bất phương trình mũ, bất phương trình logarit và các sáng tạo khi xây dựng phương án gây nhiễu ở câu hỏi trắc nghiệm

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Mơn tốn THPT, cụ thể là phân mơn Đại số và Giải tích, học sinh đã được
làm quen với các dạng toán về bất phương trình.
Dạng tốn về bất phương trình, bất phương trình mũ, bất phương trình
logarit rất phong phú và đa dạng, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng chúng ta
thường gặp, đặc biệt là trong các đề thi thử nghiệm, đề thi mẫu của Bộ trong kỳ
thi THPT Quốc gia các em học sinh thường lúng túng trong việc lựa chọn
phương pháp giải, còn mắc một số sai lầm khơng đáng có, nhiều học sinh vẫn
cịn bở ngỡ... Vì vậy để tạo ra một đề trắc nghiệm chất lượng ngồi câu dẫn và
đáp án của bài tốn thì phương án gây nhiễu là vơ cùng quan trọng nó khơng chỉ
đánh giá khả năng của học sinh mà cịn tránh tình trạng học sinh chỉ cần kiểm
tra đơn giản cũng có thể loại được các đáp án khác, đồng thời khơi gợi hứng thu
đam mê học toán của học sinh. Sáng kiến kinh nghiệm này khơi gợi vấn đề nêu
trên.
Từ lý do trên và thực tế giảng dạy toán lớp 12, tôi nhận thấy việc rèn luyện
kĩ năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho học sinh là cần
thiết. Chính vì vậy tơi mạnh dạn chọn đề tài:“Một số sai lầm khi giải bất
phương trình mũ, bất phương trình logarit và các sáng tạo khi xây dựng phương
án gây nhiễu ở câu hỏi trắc nghiệm”. Tôi mong muốn sẽ giúp cho học sinh
tránh được một số sai lầm thường gặp và một số kỹ năng cơ bản giải bất phương
trình mũ, bất phương trình logarit để học sinh biết trình bày bài tốn chính xác,
logic tránh những sai lầm khi đặt điều kiện và biến đổi bất phương trình, đặc
biệt là phân tích được các phương án gây nhiễu trong đề thi trắc nghiệm mơn
Tốn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Căn cứ vào sự thay đổi trong cấu trúc đề thi mơn Tốn từ năm học 20162017 đến nay. Việc thi trắc nghiệm mơn Tốn mà Bộ Giáo dục đã công bố đề
minh họa thử nghiệm và tham khảo và các đề thì của những năm gần đây. Đồng
thời xét tình hình thực tế của học sinh nơi tơi giảng dạy, đề tài hướng về mục
đích chỉ ra một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải, giúp học sinh có kiến
thức chắc chắn để giải quyết các bài toán tốt hơn chọn đúng đáp án. Qua đó, học

sinh sẽ được trang bị những kiến thức cũng như kĩ năng cơ bản nhất giúp các em
tự tin, có kĩ năng làm bài để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Giúp giáo viên trong trường dần hình thành được kỹ năng ra đề thi trắc nghiệm
mơn Tốn.

1

skkn


1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này hướng tới học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 12 nói riêng.
Cụ thể, đối tượng học sinh mà tôi tiến hành rèn luyện là những học sinh do bản
thân trực tiếp giảng dạy, bao gồm 2 lớp: lớp 12B7 - 44 học sinh; lớp 12B8- 40
học sinh
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
Thực nghiệm sư phạm
Các phương pháp khác
- Phương pháp thống kê
- Phương pháp so sánh, đối chiếu.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lí luận
Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit là một dạng tốn khó đối với
học sinh, đặc biệt học sinh thường hay mắc sai lầm khi đánh giá cơ số và đặt
điều kiện cho bài toán.
Qua nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề, tôi thấy nhiều tác giả
cũng đã tiếp cận về vấn đề nhưng việc giải quyết chưa thật triệt để.

Thơng qua q trình giảng dạy những bài tốn về bất phương trình mũ và
bất phương trình logarit, tơi thấy việc học sinh nắm vững được các tính chất của
hàm số mũ, logarit cũng như điều kiện xác định thì các em sẽ giải quyết vấn đề
dễ dàng hơn.
Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn
Tốn nói chung và phân mơn Giải tích nói riêng ở trường THPT Lam Kinh tôi
đã nghiên cứu đề tài: “ Một số sai lầm khi giải bất phương trình mũ, bất phương
trình logarit và các sáng tạo khi xây dựng phương án gây nhiễu ở câu hỏi trắc
nghiệm”.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn ở những lớp cơ bản, trình độ nhận biết
của học sinh ở mức vừa phải, tôi nhận thấy đa số các em học sinh làm bài phần
bất phương trình chưa tốt và đặc biệt là bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit cịn lúng túng , khó khăn để tìm ra kết quả chính xác. Năm học vừa qua
tôi đã tiến hành kiểm tra khảo sát trên các lớp 12B7 và 12B8 của trường THPT
Lam Kinh, kết quả thu được chưa tốt, ít học sinh làm được phần này.
2

skkn


2.3. Một số giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
Thông qua việc dạy học và quan sát việc làm bài tập hàng ngày của các em
học sinh, tôi nhận thấy học sinh thường khơng giải được hoặc trình bày bài có
rất nhiều sai lầm và hay lúng túng trong việc lựa chọn các phương án trong bài
thi trắc nghiệm mơn Tốn. Vì vậy tơi đã chỉ ra một số sai lầm thường gặp và
phân tích các phương án gây nhiễu khi giải bất phương trình mũ, bất phương
trình logarit thơng qua một số bài tốn trắc nghiệm cụ thể.
2.3.1. Một số sai lầm và phương án gây nhiễu trong câu hỏi trắc nghiệm về
bất phương trình mũ.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

[1]

Sai lầm thường gặp 1

Nguyên nhân sai lầm
Do chưa chắc
nên phép biến đổi của cách giải trên đã ngộ nhận
Sai lầm thường gặp 2

.

Nguyên nhân sai lầm
Do x=1 thỏa mãn (*) nên là nghiệm của bất phương trình.
Cách giải trên đã làm mất nghiệm
Lời giải đúng

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Tập nghiệm của bất phương trình:

là:
3

skkn


A.
B.

Đáp án C:
Phương án gây nhiễu
A. Xuất phát từ sai lầm 2
B. Xuất phát từ sai lầm 1
D. Lấy thiếu tập nghiệm

C.

D.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Sai lầm thường gặp

[8]

Nguyên nhân sai lầm
Do
nên hàm số
cách giải trên là sai.
Lời giải đúng

nghịch biến trên R, suy ra phép biến đổi của

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu :
Tập nghiệm của bất phương trình:
A.
B.
C.
Đáp án A

Phương án gây nhiễu
B. Học sinh nhầm dấu
C và D. Xuất phát từ sai lầm ở trên

là:
D.

4

skkn


:
Bình luận
Đến đây ta thấy khi giải bất phương trình mũ ngồi điều kiện tồn tại bất
phương trình ra thì điều quan trọng nhất của bài toán là sử dụng cơ số trong bất
phương trình.
+ nếu cơ số

thì hàm số mũ

đồng biến

+ nếu cơ số

thì hàm số mũ

nghịch biến

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

Sai lầm thường gặp

Đặt

[8]

, khi đó:

Ngun nhân sai lầm
Với

thì

Nên
nghiệm đúng phương trình (*).
Cách giải trên đã làm mất nghiệm.
Lời giải đúng
Đặt

, khi đó:

5

skkn


Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu :
Bất phương trình:

có tập nghiệm là:

A.
B.
C.
D.
Đáp án A
Phương án gây nhiễu
B. Học sinh giải bất phương trình mà khơng đặt điều kiện cho bất phương trình
C. Xuất phát từ sai lầm ở trên
D. Mới ra nghiệm của t chưa đưa ra nghiệm của x
Bình luận

Ở bậc tiểu học chúng ta có quy tắc so sánh hai phân số: nếu 2 phân số có
cùng tử số, phân số nào mẫu lớn hơn thì phân số ấy bé hơn. Thật ra, quy tắc này
phù hợp với tập hợp số tự nhiên( số dương) được học ở bậc tiểu học và quy tắc
này khơng cịn đúng khi chúng ta biết thêm về các số âm (số thực).
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
Sai lầm thường gặp

[6]

Ta có
và
là các hàm đồng biến trên R nên
là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên R
Ta có
. Ở đây sai lầm là khi nghĩ rằng tích của hai
hàm đồng biến là hàm đồng biến. Nếu các hàm đồng biến chỉ nhận các giá trị
dương thì mới được kết luận vậy.

Lời giải đúng
Xét hàm
của f(x)

Với

ta có

nên bảng biến thiên
6

skkn


x
f’(x)

-

-1
0

+
+

+

+

f(x)

Từ đó ta có
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu :
Nghiệm của bất phương trình:
A.
B.
Đáp án B
Phương án gây nhiễu
A. Xuất phát từ sai lầm trên
C. Học sinh giải thiếu dấu bằng

là:
C.

D.

2.3.2. Một số sai lầm và phương án gây nhiễu trong câu hỏi trắc nghiệm về
bất phương trình logarit.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
Sai lầm thường gặp:

[6]

Điều kiện xác định:
Do đó bất phương trình
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là :
Ngun nhân sai lầm :
Khi quy đồng khử mẫu mà không có điều kiện các biểu thức dưới mẫu ln
dương.
Lời giải đúng:

Điều kiện XĐ:

(1)

Từ điều kiện suy ra

(2)

7

skkn


Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu :
Câu 1: Biết rằng bất phương trình
với

có tập nghiệm là

là các số thực. Khi đó giá trị của

A.
B.
Đáp án : D
Phương án gây nhiễu:

bằng:

C.

A. Học sinh không đưa ra được điều kiện (2)

D.

.

B. Học sinh khơng tìm điều kiện xác định mà đưa ngay ra (3)

.

C. Học sinh giải nhầm điều kiện (2) thành

.

Câu 2: Biết rằng bất phương trình
với

có tập nghiệm là

là các số thực. Khi đó giá trị của

A.
B.
Đáp án A:
Phương án gây nhiễu:

bằng:

C.

D.

B. Học sinh khơng tìm điều kiện xác định mà đưa ngay ra nghiệm
Khi quy đồng khử mẫu mà khơng có điều kiện các biểu thức dưới mẫu luôn
C.
dương dẫn đến tập nghiệm là
D. Học sinh giải nhầm điều kiện (2) thành
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
Sai lầm thường gặp:

[1]

8

skkn


Ngun nhân sai lầm:
Với
thì
nghiệm ngoại lai.
Lời giải đúng:

khơng tồn tại, nên nghiệm

là

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Tập nghiệm của bất phương trình:
A.

B.

là
C.

D.

Đáp án A:
Phương án gây nhiễu
B. Học sinh khơng đưa ra được điều kiện để

tồn tại.

C. Học sinh không đưa ra được điều kiện để
tồn tại và giải các bất
phương trình khơng có dấu bằng.
D. Học sinh giải nhầm bất phương trình khơng có dấu bằng.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
Sai lầm thường gặp

[8]

9

skkn

Nguyên nhân sai lầm
Cách giải trên đã không đặt điều kiện
Lời giải đúng

, nên xuất hiện ngoại lai

Bình luận:
+
+
Ví dụ4:Giải bất phương trình:
[6]
Sai lầm thường gặp:

10

skkn


Điều kiện :

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Điều kiện để

tồn tại là

điều kiện là
nên
nghiệm của bất phương trình.
Lời giải đúng:

nhưng học sinh thường làm
dẫn đến thiếu tập

Điều kiện :

TH1:

TH2:

Kết luận:
Bình luận :
11

skkn


Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Câu 1: Bất phương trình
có tập nghiệm là:
A.

B.

[4]

C.

D.

Đáp án C:
Phương án gây nhiễu:
A. Học sinh không đưa ra được điều kiện để
B. Học sinh nhầm điều kiện để

tồn tại.

tồn tại là

.

D. Học sinh khi lấy nghiệm của bất phương trình là giao của và .
Câu 2: Với
là các số thực thỏa mãn
thì tập nghiệm của bất
phương trình
A.

có dạng:
B.

C.

D.

Đáp án D
Phương án gây nhiễu
A. Học sinh không đưa ra được điều kiện để

tồn tại.

B. Học sinh nhầm điều kiện để
tồn tại là
.
C. Học sinh khi giải khơng tìm điều kiện để bất phương trình tồn tại.
Bình luận: Câu hỏi trắc nghiệm dạng này thường chống học sinh chỉ kiểm tra
bằng máy tính cũng có thể đưa ra được phương án trả lời.

Ví dụ 5 :Giải bất phương trình:
Sai lầm thường gặp

[6] (ĐH2002khối B)

Lời giải đúng

12

skkn


Điều kiện
Vì

(1)
nên

Kết hợp với điều kiện (1) thì nghiệm của bất phương trình là
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Câu

1. Tập nghiệm của bất phương trình :

A.
B.
Đáp án B
Phương án gây nhiễu

C.

D.

A. Học sinh không đưa ra được điều kiện để
C. Học sinh nhầm khi lấy nghiệm
D. Học sinh mới đưa ra điều kiện
kiện
Câu
A.

cho

cho

có nghĩa.

2. Tập nghiệm của bất phương trình :
. Tính
B.

mà thiếu điều

có dạng

?
C.

D.

Đáp án A
Phương án gây nhiễu
B. Học sinh không đưa ra được điều kiện để
C. Học sinh tính nhầm phép tính
D. Học sinh nhầm không lấy điều kiện cho các biểu thức trong loga xác định
nên đưa ra nhầm nghiệm

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:

[6]
13

skkn


Sai lầm thường gặp

Lời giải đúng

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Bất phương trình

có tập nghiệm là:

A.
B.
C.
D.
Đáp án A
Phương án gây nhiễu
B. Xuất phát từ sai lầm nêu trên
C. Học sinh chưa đưa ra kết quả cuối cùng
D. Học sinh giải nhầm bất phương trình khơng có dấu bằng.
Bình luận:
+Nếu
+Nếu

thì
thì

Ví dụ 7: Giải bất phương trình:
Sai lầm thường gặp

[8]

Nguyên nhân sai lầm

14

skkn

Phép biến đổi từ
không tương đương
Lời giải đúng

thành

là

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Bất phương trình:

có tập nghiệm là:

A.
B.
C.
D.
Đáp án B
Phương án gây nhiễu
A. Xuất phát từ sai lầm trên
C. Giải bất phương trình mà khử mẫu nên thiếu nghiệm
D. Khơng đặt điều kiện cho bất phương trình có nghĩa dẫn đến lấy cả nghiệm

Bình luận:
Ví dụ 8 : Giải bất phương trình
Sai lầm thường gặp

[6]

15

skkn


Lời giải đúng

Câu hỏi trắc nghiệm và phương án gây nhiễu:
Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A.
B.
C.
D.
Đáp án B
Phương án gây nhiễu
A. Xuất phát từ sai lầm ở trên
C. Học sinh giải bất phương trình nhưng lại khử mẫu
D. Học sinh lấy nghiệm sai
Bình luận: Khi thêm vào hai vế của một phương trình hoặc bất phương trình
với cùng một hàm số thì ta nhận được một phương trình hoặc bất phương trình
khơng tương đương với phương trình hoặc bất phương trình xuất phát vì phép
biến đổi này có thể làm thay đổi tập xác định của phương trình hoặc bất phương
trình xuất phát.

16

skkn

. Các bài tập luyện tập
2.4
Hãy phân tích những sai lầm và xây dựng câu hỏi trắc nghiệm cho các bất
phương trình sau đây.
Bài 1: Giải bất phương trình :

.

Bài 2: Giải bất phương trình :

.

Bài 3: Giải bất phương trình :

.

Bài 4: Giải bất phương trình :

.

Bài 5: Giải bất phương trình :

[6]

Bài 6: Giải bất phương trình:

[8]

Bài 7: Giải bất phương trình :

[8]

Bài 8: Giải bất phương trình :

[8]

Bài 9: Giải bất phương trình :

[8]

Bài 10: Giải bất phương trình :

[8]

Bài 11: Giải bất phương trình:

[7]

Bài 12: Giải bất phương trình:

[7]

Bài 13: Giải bất phương trình:

[6]

Bài 14: Giải bất phương trình:

[8]

Bài 15: Giải bất phương trình:

[6]

Bài 16: Giải bất phương trình:

[8]

Bài 17: Giải bất phương trình:

[7]

17

skkn


Bài 18: Giải bất phương trình:

[8]

2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có
chất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 12B7 và lớp 12B8 trường THPT
Lam Kinh. Kiểm tra chất lượng học sinh bằng hình thức trắc nghiệm cho cả 2
lớp, thời gian làm bài 45 phút.
KIỂM TRA 15 PHÚT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
HỌ TÊN HS:……………………………………lớp………………………….
Điền đáp án đúng vào bảng sau:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

ĐỀ
Câu 1: Bất phương trình
A.
B.

C.

Câu 2: Bất phương trình

có nghiệm với
D.

khi

có tập nghiệm là:

A.
B.
C. x>2
D.
x
x
Câu 3: Bất phương trình: 2 > 3 có tập nghiệm là:
A.  0;1
B.  1;1
C.  ;0

D.  1; 




Câu 4: Bất phương trình: log4 x  7  log2 x  1 có tập nghiệm là:
A.  5; 
B. (-1; 2)
C. (-3; 2)
D. (-; 1)
x
x
Câu 5: Bất phương trình: 9  3  6  0 có tập nghiệm là:
A.  1; 
B.  ;1
C. (-2;3)
D.  1;1
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

là:

B.

C.
D.





Câu 7: Bất phương trình: log2 3x  2  log2 6  5x có tập nghiệm là:
18

skkn


1 
 ;3
B.  2 

 6
 1; 
D.  5 

A. (0; +)
C.
Câu 8: Số nghiệm nguyên của bất phương trình:
A. 2
B. 1
C. 0
D. Vơ số
 3
 
Câu 9: Bất phương trình:  4 
A.  1; 2
B.

2 x

x

 3
 
 4  có tập nghiệm là:

D.  ; 2

C. (0; 1)

Câu 10: Trong các nghiệm

thỏa mãn bất phương trình

Giá trị lớn nhất của biểu thức
A.

là

bằng:

B. 9

C.

D.

Câu11: Bất phương trình

có tập nghiệm là :

A.
B.
C.
Câu 12: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình
có nghiệm đúng
A.

B.

là

C.

Câu 13 : Bất phương trình
A.
B.

D.

có nghiệm là :
C.
D.

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

D.

là:

B.

C.

D.

Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

B.

là:

C.

D.

Câu 16: Tìm m để bất phương trình
A.

B.

có tập nghiệm là R
C.

Câu17: Nghiệm của bất phương trình
A.
B.

D.

C.

D.

Câu 18: Nghiệm của bất phương trình
A.

B.

là:
C.

D.
19

skkn


Câu 19: Nghiệm của bất phương trình
A.
B.
C.

là
D.

hoặc

Câu 20: Tập xác định của hàm số
A.

là

B.

C.

D.

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

1
A
12
D

2
D
13
A

B.

3
C
14
B

4

B
15
A

là
C.

Đáp án
5
6
B
D
16
17
B
C

7
D
18
C

D.

8
B
19
A

9

A
20
B

10
C
21
C

11
B

Kết quả thu được như sau:
Cụ thể ở hai lớp 12B7 và 12B8 cơ bản sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng
dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng tốn nói trên,
kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh trước và sau khi áp dụng sáng kiến
trên như sau:
+ Trước khi áp dụng sáng kiến:
Năm học
2020- 2021

Điểm 7 trở lên Điểm từ 5 đến 7
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng

Lớp

Tổng
số

12B7

44

3

6,8%

16

36,4%

12B8

40

4

10%

20

50%

Điểm dưới 5
Số

Tỷ lệ
lượng
56,8
25
%
16
40%

+ Sau khi áp dụng sáng kiến này:
Năm học
2020-2021

Điểm 7 trở lên Điểm từ 5 đến 7
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng

Lớp

Tổng
số

12B7

44

6

14%

25

59,5 %

12B8

40

8

20 %

27

67,5 %

Điểm dưới 5
Số
Tỷ lệ
lượng
24,5
13
%
5
12,5%

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

20

skkn


3.1. Kết luận.
Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 12 trường THPT Lam Kinh. Tôi đã
thu được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinh nắm vững kiến
thức bất phương trình mũ, bất phương trình logarit mà con giúp học sinh tránh
được các sai lầm trong việc giải tốn. Ngồi ra, học sinh cịn phát hiện, tìm tịi
các cách giải hay đối với việc giải các bài toán trong sách giáo khoa và sách bài
tập và phân tích được các phương án gây nhiễu trong đề thi trắc nghiệm giúp các
em tự tin hơn trong khi học và làm bài thi trắc nghiệm.
3.2. Kiến nghị và đề xuất.
Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy
cho toàn thể cán bộ giáo viên.
Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được công bố rộng rãi.
Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng
học tập.
Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp
có thể góp phần nhỏ cải tiến, đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lại Thị Ngân

21

skkn