SKKN một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tích phân

A.

ĐẶT VẤN ĐỀ.

Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động tốn học(A.A.Stoliar 1969
tr.5). Ở trường phổ thơng, đối với học sinh có thể giải tốn là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thơng là một phương tiện rất
có hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri
thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều
kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Tốn học là mơn học nghiên cứu về “ hình và số”. Mơn tốn được chia
thành nhiều phân mơn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong đó giải tích là
ngành tốn học nghiên cứu về khái niệm, tính chất của giới h¹n, đạo hàm,
ngun hàm, tích phân. Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường là
mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
các bài tốn giải tích trong trường THPT là rất khó khăn.
Qua các tài liệu về giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua các q
trình quan sát có thể nhận thấy rằng : học sinh rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn
và sai lầm khi đứng trước những bài toán giải tích nói chung và các bài tốn
ngun hàm, tích phân và ứng dụng nói riêng. Trên thực tế khi dạy tốn giải tích
lớp 12, chương : Ngun hàm, tích phân và ứng dụng, tôi phát hiện ra những
lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những bài toán liên quan đến tích phân.
Những khó khăn, sai lầm của học sinh được thể hiện trong quá trình
làm bài tập, làm bài kiểm tra, các bài thi. Tôi nhận thấy rằng để các em tự tin khi
gặp các bài toán liên quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài
tốn về tích phân, thì tơi phải giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên.
Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm
thì bài tốn liên quan đến tích phân là khơng thể thiếu.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là : “Một số sai lầm
thường gặp khi giải các bài tốn liên quan đến tích phân”.
Đúng như Polya đã viết : “Con người phải biết học những sai lầm và những

thiếu sót của mình.”

1


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. Thực trạng.
Khi dạy chương III “ Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”(Giải tích 12),
tơi nhận thấy học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Tính tích phân rất máy móc: Khơng để ý hàm số cần tính tích phân có ngun
hàm trên đoạn lấy tích phân khơng, các phép biến đổi hàm số, biến số có tương
đương khơng.
- Khơng nắm vững định nghĩa ngun hàm, tích phân.
- Khơng nắm vững phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân từng phần.
- Không nắm vững công thức và vận dụng đúng công thức tính diện tích hình
phẳng, thể tích khối trịn xoay.
II.Các giải pháp của sáng kiến.
Khi phát hiện những khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp như sau :
1. Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững.
- Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản
chất các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
- Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định
lý.
- Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải.
2. Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp.
- Kĩ năng : lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết bài tốn.
- Tư duy : Phân tích, so sánh, tổng hợp.
- Phương pháp : phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học.

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với từng đơn vị kiến thức, từng
đối tượng học sinh: vấn đáp gợi mở, thuyết trình…

2


- Sử dụng phương tiện dạy học : bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử…

4. Đổi mới kiểm tra, đánh giá.
- Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan ở nhiều mức
độ nhận thức.
- Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh.
5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Phân bài tập và phương pháp giải theo chủ đề : bài tốn tính tích phân
(Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm
vơ tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng
giác…).Bài toán tính diện tích( Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị,
hình phẳng giới hạn bởi 3 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị, hình
phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị). Bài tốn tính thể tích khối tròn xoay( quay
quanh Ox, quay quanh Oy).
- Mỗi dạng bài tập đưa ra phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập tương
tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái qt( phát triển ) bài
tốn.
III. Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong quá trình
giải tốn về tích phân.
Học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau đây khi giải những bài toán
liên quan đến tích phân và ứng dụng.
1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân.
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I =

1

 x  1

2

dx

0

*Học sinh đã trình bày như sau :
I=

3


*Nguyên nhân của sai lầm trên là :
y

1
 x  1 2 không xác định tại x = 1  [0 ;2] nên hàm số không liên tục

Hàm số
trên [0 ;2].Do đó khơng tồn tại tích phân trên.
*Như vậy cần ghi nhớ :
b

f  x dx

Tích phân I = a
chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Khi hàm
số liên tục thì ta mới có thể vận dụng các phương pháp đã học dể tính tích phân
trên. Cịn nếu khơng thì kết luận ngay tích phân đó khơng tồn tại.
Đa số học sinh cho rằng đề bài u cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại phép
tính tích phân đó.

2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân.
1

Ví dụ 2: Tính tích phân I =

 3x  1 dx
3

0

*Học sinh đã trình bày như sau :
1

I=

1
3
4
 3x  1 dx   3x  1
4

0

15

0
4

1

*Nguyên nhân của sai lầm trên là :học sinh đã vận dụng công thức trong bảng

x
nguyên hàm :

n

dx 

1
x n 1  C
n 1

u
Mà lẽ ra phải vận dụng công thức :

n

.u ' dx 

1 n 1

u C
n 1

*Lời giải đúng :
1

Ta có : I =

 3x  1
0

3

1

dx  3 x  1
0

3

d  3 x  1 1 1
4
 .  3x  1
3
3 4

15

0
12

1

3. Sai lầm khi biến đổi hàm số.
4


3

Ví dụ 3 : Tính tích phân I =



x 2  4 x  4dx

0

*Học sinh đã trình bày như sau :
3

I=


0

3
2

x  4 x  4dx 
0

3

 x2

 x  2 dx  x  2dx   2 x 
 2

0
2

3
0



3
2

*Nguyên nhân của sai lầm :
2
Phép biến đổi :  x  2 x  2 , x   0;3 là không tương đương.

*Lời giải đúng :

3

3

2

3


x2 

I    x  2 dx  x  2 dx   2  x dx   x  2 dx  2 x 
2 

0
0
0
2
1 5
2  
2 2
2

*Học sinh cần ghi nhớ :
b

Do đó :



2n

f

2n

 x2

 
 2 x 
0
 2

2

3



0

 x  f  x , n   *

b

2n

f

2n

a

 x  dx   f  x  dx
a

, ta xét dấu f(x) trên [a;b]



Ví dụ 4 : Tính tích phân I =

 1  sin 2 x dx
0

*Học sinh đã trình bày như sau :






0

0



I   1  sin 2 x dx   1  2 sin x cos x dx    cos x  sin x  dx   cos x  sin x  dx 
0

 sin x 

cos x 


0

2

0

1  1 2

*Nguyên nhân của sai lầm :
2
Phép biến đổi :  cos x  sin x  cos x  sin x , x   0;   là không tương đương.

5


*Lời giải đúng :




3
4

0

0

I    cos x  sin x  dx  cos x  sin x dx  cos x  sin x dx 
2

0

 sin x 

3
4

cos x 

0



  sin x  cos x 

3
4



 cos x  sin x dx

3
4

2 2  1

4. Sai lầm khi dùng cơng thức khơng có trong SGK hiện hành.
2

Ví dụ 5 : Tính tích phân I =

x

2

1

1
dx
 4x  5

*Học sinh đã trình bày như sau :
2

1
dx arctan x  2
2

x

2


1
1

I 

2
1

  
0     
 4 4

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh dùng cơng thức khơng có trong SGK hiện hành:
*Lời giải đúng :
2
Đặt x  2 tan t  dx 1  tan t dt

x 1  t 


4

Đổi cận : x 2  t 0
0

1  tan t dt 

I 

Khi đó :





4

0

2

dt t

2

tan t  1




4

0



4




4

y

*Học sinh cần chú ý tích phân đối với hàm số :

1

x 

x0   a 2 thì ta đặt :
2

x  x0 a tan t .

5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số.

6


6

3  2x

 1  4 x dx

Ví dụ 6 : Tính tích phân I =

2

*Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt

u  1  4 x  u 2 1  4 x  dx 

6
 5u u 3 
u2 5
I 
du   
4
 4 12 
2

6
2



udu
2

67
3

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận.
*Lời giải đúng :
Đặt

u  1  4 x  u 2 1  4 x  dx 

udu
2

x 2  u 3
Đổi cận : x 6  u 5
5
 5u u 3 
u2 5
I 
du   
4
 4 12 
3
Khi đó :
1
4

x3

 1

Ví dụ 7 : Tính tích phân I =

128

3
12
5

0

x2

dx

*Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt x sin t  dx cos tdt
x 0  t 0
1
1
x   t arcsin
4
4
Đổi cận :
arcsin

1
4

arcsin

1
4

 cos 3 t

I  sin tdt  cos t  1 d cos t 
 cos t 
 3

0
0

Khi đó :
3



2



ar sin

1
4

0

Học sinh lúng túng khơng tính ra được kết quả vì số lẻ.
7


*Nguyên nhân của sai lầm :
2
2
Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a  x học sinh thường sử dụng cách
đặt x = asint hoặc x = acost. Tuy nhiên giáo viên cần chú ý các em có thể đổi
2
2
biến số theo cách đặt thông thường u  a  x

*Lời giải đúng :

2
2
2
Đặt u  1  x  u 1  x  xdx  udu

x 0  u 1
1
15
x  u
4
4
Đổi cận :
15
4

 u3

I  u  1 du   u 
 3

1
Khi đó :



2



15

4
1

2 33 15
 
3
192

6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần.

2

Ví dụ 8 : Tính tích phân I =

x sin xdx
0

*Học sinh đã trình bày như sau :
 u x

 '
v

sin
x
Đặt 

I  x cos x



2
0

 u ' 1

 v  cos x

2

 cos xdx 1
0

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh hiểu sai bản chất phép đặt trong cơng thức lấy tích phân từng phần
*Lời giải đúng :
 u x
 du dx
 

Đặt  dv sin xdx  v  cos x

8



2
0

I  x cos x

Khi đó :


2

 cos xdx sin x
0


2
0

1

7. Sai lầm khi sử dụng sai cơng thức tính diện tích hình phẳng.
2
Ví dụ 9 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x  1 ; x = 2;

trục tung và trục hoành.
*Học sinh đã trình bày như sau
2

 x3

S  x  1 dx 
 x 
 3

0



2



2
0



2
3

(đvdt)

*Nguyên nhân của sai lầm :
Cơng thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ;
b

x = b là :

S  f  x  dx
a

. Do đó, khi tính S phải xét dấu f(x) trên [a ;b].

*Lời giải đúng :
2

1

2


x3 

S x  1 dx 1  x dx  x  1 dx  x 
3 

0
0
1
2



2





2



 x3

 

 x 
0
 3


1

2
1

2

(đvdt)

8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích .
Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y  x ; y = x – 6
và trục hồnh.
*Học sinh đã trình bày như sau :
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị :

9


 x 4
2
x 6  x  x  6  x   x 2  13x  36 0  
 x 9

9

9

 2 3 x2

S  x  x  6 dx  x  x  6 dx 
x 
 6 x 
2
3

4
4





9
4



91
6

(đvdt)

*Nguyên nhân của sai lầm :
2
- Phép biến đổi x 6  x  x  6  x  là không tương đương.

- Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị y  x ; y = x – 6
(miền AOB) trong khi miền cần tính là miền AOC.
*Lời giải đúng :
Phương trình hồnh độ giao điểm của các đồ thị :

+
+

 6  x 0
x 6  x  
 x 4
2
 x  6  x 
x 0  x 0

10


+ 6  x 0  x 6
Khi đó :
4

6

S  x dx   6  x dx 
0

4

2 3
x
3

 x2

 
 6 x 
0
 2

4

9
4



22
3

(đvdt)

9. Sai lầm khi vận dụng cơng thức tính thể tích khối trịn xoay.
Ví dụ 11 : Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng sau quay quanh Oy : y =
lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2.
*Học sinh đã trình bày như sau :
y
Ta có : y ln x  x e
2

 VOy  e 2 y dy 
1

e2y
2

2
1


 e4  e2
2





(đvtt)

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau :
d

+ Trong công thức
chưa đổi cận.

VOy  x 2 dy
c

thì cận là các giá trị của biến y, ở đây học sinh

+ Thể tích khối trịn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối trịn xoay do
đường cong y = lnx và đường x = 2 quay quanh Oy trên [0;ln2].
*Lời giải đúng :
y
Ta có : y ln x  x e

x 1  y 0
Đổi cận : x 2  y ln 2

y

11


y=lnx

ln2

o

1

ln 2

 VOy 

2

2

2



 e 2 y dy  (4 y 

0

x

e2y
)
2

ln 2
0

3

  4 ln 2  
2

(đvtt)

IV. Bài tập đề nghị.
1.Tính các tích phân sau :

3

2

a.

1

 2 x  3

2

dx

1

b,

 1  sin 2 x dx
0

d,

2

x  cot 2 x  2dx

6

7



c,

tan



x3

 1 x
0

2

dx

2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số :
2
a, y  x ; y  3x  10; y 1 (miền x > 0)

b,

y  x 2 ; y 2  2 x  2

3.Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng sau quay quanh Ox , Oy :
2
a, y  x ; x 2 ; trục tung và trục hoành.

b, y = lnx; x = e ;trục Ox.

V. Hiệu quả do sáng kiến đem lại.
12


Năm học 2012 – 2013 tôi được phân công giảng dạy hai lớp 12C8 và 12C10 và
năm học này đề tài nghiên cứu của tôi được áp dụng, trải nghiệm thực tế. Học
sinh cũng gặp phải những khó khăn nhất định trong việc giải các dạng tốn tích
phân đã nêu.
2

Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I =

1

 x  1
0

2

dx

.

Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tơi đưa ra ví dụ trên để
học sinh tự làm. Rồi từ kết quả của bài toán tơi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh
nhận xét để đưa ra ghi nhớ cuối cùng.
Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khi làm
các bài tập tích phân, sau đó tơi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng.
Kết quả thu được như sau :
Lớp

Sĩ số

HS giải đúng

HS giải sai

HS không giải được

12C8

40

8(20%)

25(62,5%)

7(17,5%)

35(83,3%)

5(12%)

2(4,7%)

12C10 42

Kết quả cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối
chứng 12C8.
Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng dạy

tôi thấy kết quả đạt được là rất khả quan.
Thời gian cuối năm khi dạy ôn tập, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản cũng như
nghiên cứu những sai lầm thường mắc phải trong kiến thức, kĩ năng, tư duy làm
bài và cho học sinh một số bài tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng thì
kết quả thu được rất khả quan.
Chẳng hạn :


Bài 1 : Tính tích phân

I=

x1  cos x dx
0

(Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009)

Kết quả thu được như sau :
Lớp

Sĩ số

HS giải đúng

HS giải sai

HS không giải được

12C8

40

36(90%)

3(7,5%)

1(2,5%)
13


12C10 42

35(83,3%)

6(14,3%)

1(2,4%)

Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e. Tính
thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. (Trích đề
thi đại học khối B năm 2007 )
Kết quả thu được như sau :
Lớp

Sĩ số

HS giải đúng

HS giải sai

HS không giải được

12C8

40

32(80%)

6(15%)

2(5%)

33(78,5%)

5(12%)

4(9,5%)

12C10 42

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
Đề tài nghiên cứu của tơi đã phân tích được một số khó khăn, sai lầm
thường gặp của học sinh khi giải các bài tốn liên quan đến tích phân. Với lượng
kiến thức nhất định về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng học sinh sẽ có cái
nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm mắc phải khi giải tốn. Từ đó rút ra những
kinh nghiệm và phương pháp giải tốn cho mình.
Bài viết này của tôi cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như là
một tài liệu tham khảo.Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng thực tiễn góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học tốn.
Bản thân tôi là giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế

trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu đề tài này. Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tơi
thu được kết quả đáng khích lệ, các em không chỉ tự tin hơn khi giải các bài
tốn liên quan đến tích phân mà cịn có phần hứng thú với loại tốn này. Kính
mong hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có nhiều góp
ý, bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi hơn trong
các trường THPT.
Hiện nay thư viện trường THPT Hoằng Hóa 2 có số lượng và chất lượng sách
tham khảo cịn rất hạn chế. Kính mong ban giám hiệu quan tâm nhiều hơn đến
tài liệu học tập và ôn thi cho các em, cũng như quan tâm hơn đến công tác
nghiên cứu khoa học của giáo viên để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
của nhà trường.
14


XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Đình Thị Mai

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK giải tích 12 nâng cao.
2. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán (Trần Phương – Nguyễn Đức

Tấn – NXB Hà Nội - 2004).
3. Sai lầm phổ biến khi giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan
Thanh Quang – NXB giáo dục).
4. Các đề thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng hàng năm (Sưu tầm)

16


MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………………………….1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………………….2
I. Thực trạng……………………………………………………………………2
II. Các giải pháp của sáng kiến………………………………………………..2
1. Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm
vững………..2
2. Rèn
luyện
kĩ
năng,
pháp………………………………....2

tư

duy,

phương

3. Đổi
mới
phương

học…………………………………………….2

pháp

4. Đổi
mới
kiểm
giá………………………………………………...3

tra,

đánh

pháp

giải…………..

5. Phân dạng bài
……………………....3

tập

và

phương

dạy

III. Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong q trình
giải tốn về tích phân……………………………………………………….….3

1.Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân…………………………….…..3
2.Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân…………….….4
3. Sai lầm khi biến đổi hàm số………………………………………………...4
4. Sai lầm khi dùng cơng thức khơng có trong SGK hiện hành………….….5
5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số……………………….…..6
6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần………………...7
7. Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng………….…8
17


8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích ………..…...9
9. Sai lầm khi vận dụng cơng thức tính thể tích khối trịn xoay………..….10
IV. Bài tập đề nghị………………………………………………………..…...11
V. Hiệu quả do sáng kiến đem lại………………………………………….....12
C. KẾT
LUẬN
VÀ
XUẤT…………………………………………….....13

ĐỀ

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….…...14

18