SKKN Mot so sai lam cua HS trong giai toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.53 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN 
TRONG CHƯƠNG “ CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA” - BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ :

Qua thực tế giảng dạy ở chương “ Căn bậc hai – Căn bậc ba” ( tốn 9, tập 1) tơi thấy
HS thường mắc phải sai lầm về kiến thức, về sử dụng ngơn ngữ, ký hiệu về cách trình bày, .
. . .là do HS không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu kiến thức một cách mơ hồ, suy luận
thiếu căn cứ, chưa có kỹ năng tính tốn, khơng cẩn thận, . . . nên làm ảnh hưởng đến kết quả
học tập của chương, từ những sai lầm mà học sinh mắc phải tôi ghi nhận và tổng hợp lại và
khi giảng dạy ở các lớp khác hay ở năm học sau tôi thường giới thiệu lại cho học sinh nắm
và tránh các sai lầm đó hoặc khi giảng dạy tơi thường đưa ra những tình huống có sai lầm,
những lời giải bài tốn mang tính ngụy biện cho HS suy nghỉ tìm cách trả lời và đưa ra lời
giải đúng, nhằm đưa HS vào tình huống có vấn đề và tự các em phải tự giải quyết vấn đề
đó. Việc giới thiệu cho học sinh thấy những tình huống sai lầm và học sinh tự nêu được
những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó là một cách làm vơ cùng hợp lý vì nó giúp các em
được cũng cố và khắc sâu kiến thức tốt để làm nền tảng cho việc tiếp thu kiến thức mới.

Xuất phát từ những lý do trên nên tơi xin trình bày một số tình huống sai lầm mà học
sinh thường mắc phải khi học chương “ Căn bậc hai – Căn bậc ba” ( toán 9, tập 1) và biện
pháp khắc phục những sai lầm đó.

B/ NỘI DUNG :

1/ Sai lầm khi không phân biệt rõ giữa căn bậc hai của số dương a và căn bậc hai số
học của số dương a:

-Tình huống : Khi giải bài 1 (sgk tr 10, tốn 9 tập 1) Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau
rồi suy ra căn bậc hai của chúng :

HS giải : 121 11  căn bậc hai của 121 là : 12111( !)

-Nguyên nhân : Do HS chưa phân biệt rõ giữa căn bậc hai của số dương a và căn bậc hai số
học của số dương a.

-Biện pháp khắc phục:

Để giúp HS tránh sai lầm này, GV cần giải thích cho HS biết căn bậc hai số học của số
a không âm ( KH : a) là một số x khơng âm mà bình phương của nó bằng a,

Và khi viết a ta phải có đồng thời a 0 và a  0, tức là với a 0 , a khơng
bao giờ có giá trị âm.Vì vậy, khơng được viết căn bậc hai hoặc căn bậc hai số học của 121
là : 12111 mà phải viết căn bậc hai của 121 là : 121 11;  12111 còn căn bậc hai
số học của 121 là : 121 11

2/ Sai lầm khi sử dụng không đúng hằng đẳng thức : A2 A

-Tình huống 1 : Khi giải bài tập : tìm x, biết : 4x2 6 ( bài 9c tr 11 sgk toán 9, tập 1)
HS giải như sau : vì





2
2

4x  2x 2x

nên ta có : 2x = 6 suy ra : x = 3 (!)
Cách giải đúng phải là :

vì





2
2

4x  2x 2x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vậy x = 3; x = - 3

- Tình huống 2 : Tính





2
3 11

( bài 8 b, sgk tr 10, toán 9 tập 1)

HS giải :





3 11  3 11

(!) hoặc





3 11  3 11  3 11
( !)

Cách giải đúng :





3 11  3 11  11 3

( vì 11 3 )

-Nguyên nhân : HS chưa nắm vững A2 A và giá trị tuyệt đối của một số âm

-Biện pháp khắc phục : Để tránh sai lầm này, GV cần cho HS nắm vững hằng đẳng thức
2

A A

và củng cố lại ĐN giá trị tuyệt của một số.

3/ Lạm dụng hằng đẳng thức : A2 A

-Tình huống : Khi giải bài tập 25 a/ sgk trang 16

HS giải :





2 2 16 64 4

16 8 16 8 16 64

16 64 4

x x

x x x

x x

 

 

        

 

 

Cách giải đúng phải là :

2 64

16 8 16 8 4

x   x  x  x

-Nguyên nhân: HS chưa nắm vững ĐN căn bậc hai số học và lạm dụng hằng đẳng thức
2

A A

- Biện pháp khắc phục :

Khi dạy GV chú ý khắc sâu cho HS hai chiều của ĐN :

Cho HS làm và so sánh 2 dạng toán :

x a ( với a 0)

x a

 

x a( với a 0)
x a

  hoặc x= a

4/ Sai lầm của học sinh khi đưa biểu thức có chứa căn về bình phương của một biểu
thức :

5 2 6 ?





Vấn đề được đặt ra là làm sao đưa biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một biểu
thức ?

Học sinh thường mắc sai lầm về vấn đề này lý do các em nắm chưa vững 2 chiều của
hằng đẳng thức :





2 2 2 2

a b a  ab b

Chiều thuận Chiều ngược
dễ khó

2
( 0)

a

x

x a

a x





 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chẳng hạn ở bài tập 10 a (sgk tr 11 tóan 9 tập 1). Chứng minh :





3 1  4 2 3
biến đổi vế trái thành vế phải là công việc HS dễ dàng làm được, nhưng ngược lại sẽ gây
khó khăn cho các em ( nếu khơng nắm vững hằng đẳng thức và tính tốn ), cịn ở bài
10b(sgk tr 11 tóan 9 tập 1). Chứng minh : 4 2 3  31, thông thường khi chứng minh
đẳng thức các em thường biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản, vấn đề lại được đặt ra :
làm sao để đưa biểu thức 4 2 3 về bình phương của một biểu thức ? nhanh và không bị
nhầm lẫn ? ( nếu không áp dụng câu 10 a)

GV có thể hướng dẫn như sau :

Đối với biểu thức có dạng : a2 b1. b2 với b b1, 20 và a b b 1 2

thì





1 2 1 2

2 .

a b b  b  b
Áp dụng : (Giải quyết vấn đề đặt ra)

Bài1: Tính :





5 2 6  5 2 3. 2  3 2  3 2  3 2

Bài2 :(10b sgk tr 11 tóan 9 tập 1). Chứng minh : 4 2 3  31

VT = 4 2 3  3 4 2 3. 1  3 ( 3 1)2  3 3 1 31

Tương tự các bài tập 15 (b,c); 21 trang 5 -6; 64 tr 12 , 98 tr 18, bài 100, 101 tr 19
(SBT 9 tập 1); bài 2 tr 131 ( sgk toán 9 tập 2)

Bài3:(HSG – TP Cà Mau 1999) Tính giá trị của : A 7 4 3  7 4 3









7 4 3 7 4 3

7 2. 4. 3 7 2. 4. 3

4 3 4 3

4 3 4 3 2 3

A   

   

    

Bài4:(HSG – Tỉnh Cà Mau 2006) Rút gọn biểu thức : A 15 6 6  33 12 6









15 6 6 33 12 6
15 2 9. 6 33 2 24. 9

9 6 24 9

9 6 24 9 6

A   

   

    

Tương tự giải các bài tập sau :

Bài5:(HSG – TP Cà Mau 2000) Rút gọn biểu thức :
8 41

45 4 41 45 4 41
M 

  

Bài6:( HSG – TP Cà Mau 2003). Cho x1. Hãy rút gọn biểu thức :

2 1 2 1

y x x  x x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5/ Sai lầm do không chú ý đến các điều kiện của định nghĩa căn bậc hai số học và điều 
kiện đưa biểu thức vào trong dấu căn:

- Tình huống 1 : Giải phương trình : 2x  1 x 1 (1)
HS giải :

(1) 2 1 ( 1)

2 1 2 1

4 0

0
4

x x

x x x

x x
x
x
   
    
  


  


Vậy phương trình có hai nghiệm : x1= 0, x2 = 4 ( ! )

Cách giải đúng :

2 2 2

1 0 1 1

(1) 0 4

2 1 ( 1) 2 1 2 1 4 0

4
x

x x x

x
x

x x x x x x x

x


   
   
          

         
    


Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

- Tình huống 2 : Đưa thừa số vào trong dấu căn:

1
( 1).
1
A x
x
 


HS giải :

2 2

1 ( 1) (1 )

( 1). 1

1 1 1

x x

A x x

x x x

 

     

   (!)

Cách giải đúng :
1

1 x có nghĩa khi : 1- x > 0  x < 1

Do đó : x – 1 < 0 nên

2 2

1 ( 1) (1 )

( 1). 1

1 1 1

x x

A x x

x x x

 

     

  

-Tình huống 3 : Rút gọn :

ab b a

A

b b



 

HS giải :

2 .( )

1 1

ab b a b a b a a a

A

b b b b b b b

 

       

( ! )
Cách giải đúng : Điều kiện : ab0,b0

Xét hai trương hợp :
a/ a0,b0 :

.( )

1 1

ab b a b a b a a a

A

b b b b b b b

 

       

b/ a0,b0 :
2

2 1 1 2

ab b a a a a

A

b b b b

b


      



Vậy, nếu a0,b0thì A = - 1 ;

nếu a0,b0 thì 1 2
a
A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- Nguyên nhân : HS không chú ý đến điều kiện để tồn tại căn bậc hai số học của một số
không âm, điều kiện để đưa thừa số vào trong dấu căn, điều kiện khai phương một thương,
lạm dụng dấu “ ”

- Biện pháp khắc phục :

GV ôn lại cho HS nắm vững :
+/ Khi nào sử dụng dấu “ ”

+/ ( 0) 2
0

a

x

x a

a x





 






+/ Với B0,

A B
A B

A B








+/ Nếu A0,B0 thì

A A

B  B

6/ Sai lầm khi khơng chú ý đến điều kiện để A có nghĩa và điều kiện của quy tắc 
nhân các căn bậc hai.

-Tình huống 1 : Tính 2 6 5
HS giải : 2 6 5 =

(5 2 6) ( 3 2) ( 3 2) 3 2

         

( ! )
-Tình huống 2 :

Hs viết : vì 8. 2  ( 8).( 2)   16 4 và ( 8).( 2)   8.2  16 4
nên 8. 2 ( 8).( 2)  (!)

- Tình huống 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x  x

HS giải :

1 1 1 1 1

( )

4 4 2 4 4

A x  x  x x   x   

 

 minA =
1
4


( ! ) ( dấu “=” không thể xảy ra vì khi đó

2
x 

là điều vơ lý)
Bài giải đúng : ĐK để tồn tại của x là x0

Do đó : A x  x0  minA 0 x0

-Nguyên nhân : HS chưa nắm vững điều kiện để A có nghĩa và khơng chú ý đến ĐK của

A ; HS chưa nắm rõ quy tắc nhân các căn bậc hai : a b.  a b. (a, b 0)

- Biện pháp khắc phục : Khi dạy GV cho HS khắc sâu điều kiện A có nghĩa; điều kiện để
có : a b.  a b.

7/ Sai lầm khi khai phương một tích và trục căn thức ở mẫu :
- Tình huống 1:

HS giải : a/ 16.256  16. 256 4. 16 2.4 8  (! )
b/ 25.9 5. 3 15 (! )

Giải đúng : a/ 16.256 16. 256 4.16 64 
b/ 25.9  25. 9 5.3 15 

nếu A 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Tình huống 2 : Bài 51 (sgk trang 30, tốn 9 tập 1). Trục căn thức ở mẫu :

HS giải : a/ 2

3 3.( 3 1) 3.( 3 1) 3.( 3 1)

3 1 4

3 1 ( 3 1)

  

  



  ( ! )

hoặc 2

3 3.( 3 1) 3.( 3 1) 3.( 3 1)

3 1 2

3 1 ( 3 1)

  

  



  ( ! )

hoặc

3 3.( 3 1) 3.( 3 1) 3.( 3 1)

9 1 8

3 1 ( 3 1)( 3 1)

  

  



   ( ! )

hoặc

3 3. 3 1 3. 3 1 3. 3 1

3 1 2

3 1 ( 3 1). 3 1

  

  



   ( ! )

( 1) ( 1)

2( 1)

2 1 2( 1)( 1)

p p p p

p

p p p

 

 



   (!)

Cách giải đúng : a/

3 3.( 3 1) 3.( 3 1) 3.( 3 1)

3 1 2

3 1 ( 3 1)( 3 1)

  

  



  

(2 1) (2 1)

4 1

2 1 (2 1)(2 1)

p p p p

p

p p p

 

 



  

- Nguyên nhân sai lầm : Hs không nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ, không nắm
vững quy tắc trục căn thức ở mẫu.

- Biện pháp khắc phục :

+ HS ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Khi dạy GV phải giới thiệu thật kỹ thế nào là 2 biểu thức liên hợp
+ Khi dạy GV cần khắc sâu :

2
2

( )

(A 0;A B )

C C A B

A B
A B

  




( B)

(A,B 0;A B)

C C A

A B
A B

  



8/ Giới thiệu một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình chứa căn thức :

Bài 1: Giải phương trình :

2 2

4x 5x 1 4x  4x4 9 x 3 (1)

HS giải : Đặt :a = 4x25x1 ; b = 4x2 4x4 ( a;b0)

Ta có :a2 b2 (4x25x1) (4 x2 4x4) 9 x 3 (2)
Từ (1 )và (2) ta có : a2 b2  a b

( )( ) ( ) 0

( )( 1) 0

0
1 0

a b a b a b

a b a b
a b
a b
     
    
 

    


*Nếu a – b = 0 ta có :

2 2

4 5 1 4 4 4

x x x x

x x x x x

    

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

thử lại :

1
3
x

thỏa mãn (1)

* Nếu a + b – 1 = 0  a + b=1 (3)

Từ (1) và (3) ta có

9 3

2 9 2

a b x

a x
a b
  


  

 

2

2 4x 5x 1 9x 2

     (4)

2 2

4(4 5 1) (9 2)

65 56 0

(65 56) 0 56

x x x

x x
x
x x

x
    
  



   
 


Thử lại x = 0 không thỏa mãn (4), x =

65 thỏa mãn (4)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x1 =

1
3, x2=

56
65

Lời giải trên đã đúng chưa? Hs mắc sai lầm ở đâu ?

HS hiểu sai trường hợp a + b = 1 luôn luôn thỏa mãn với ĐK : a;b0

Nhưng với x1 hoặc 
1

4
x

ta ln có a0 và b = 4x2 4x4 (2x1)2 3 3

nên a + b  3  loại trường hợp a + b =1. Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất :x = 
1
3

Bài 2: Giải phương trình : x1 2x1 5 (1)

HS giải : ĐK : x1 (*), đặt : u = x1 0 ; v = 2x1 0

Ta có hệ phương trình : 2 2

5 (2)
2 1 (3)
u v
v u
 


 


(2)  u 5 v thay vào (3) ta được :

2 2(5 )2 1 2 20 51 0 17
3
v

v v v v

v



        



 ( thỏa mãn v0)

Từ đó tính được x1 = 145 và x2 = 5 thỏa mãn (*)

Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x1 = 145 ; x2 = 5
Lời giải trên đã đúng chưa? Hs mắc sai lầm ở đâu ?

Hs mắc sai lầm ở chổ : với u v; 0 và u v 5 nên 0u v; 5 do đó v17 (loại) dẫn đến

pt khơng có nghiệm x = 145

Bài 3: Giải phương trình : 32x13 x133x1 (1)

HS giải:  3x 2 3 (2 3 x1)(x1).( 23 x13 x1) 3 x1 (2)

3(2x 1)(x 1)(3x 1) 1 (3)

    

3 2
6x 7x 0

    x0 hoặc

7
6
x

Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 ; x2 =

7
6

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HS mắc sai lầm về cấu trúc lơ gíc khi biến đổi, pt (1) và (2) tương đương, nhưng pt (2) và
(3) không tương đương( bởi vì từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3) không suy được (2)) nên x = 0,

7
6
x

là nghiệm của pt ( 3) nhưng không thể là nghiệm của pt (1). Do đó sau khi tìm được nghiệm
của (3), ta phải thử các giá trị vào (1) để chọn ra nghiệm của (1) và lưu ý khi biến đổi từ (2) suy ra
(3) ta dùng dấu “ ”

C/ KẾT QUẢ :

Một số sai lầm tôi giới thiệu ở trên được được tôi và đồng nghiệp trong khối áp dụng
vào giảng dạy trong năm học 2006 – 2007. Kết quả kiểm tra 1 tiết của chương HS đạt kết
quả cao và rất ít HS mắc lại sai lầm đã được giới thiệu, cụ thể ở lớp tôi dạy, kết quả KT 1

tiết chương 1 ( đại số 9) được thống kê như sau :

Giỏi Khá Trung bình TB Yếu Kém

SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL

9F 29 63,04 4 8,7 9 19,56 42 91,3 4 8,7

9G 15 31,25 15 31,25 10 20,83 40 83,33 8 16,67

Khi giảng dạy bộ mơn tốn 9 chúng tơi khơng dừng ở giới hạn chương I mà ở mỗi
chương tôi và đồng nghiệp trong khối đều áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy. Từ chất
lượng giảng dạy thực tế đạt được của bản thân, cũng như chất lượng của đồng nghiệp trong
khối, tơi cịn nhân rộng và triển khai làm chun đề cho cả tổ, tất cả thành viên trong tổ
nhiệt tình tham gia và giới thiệu được rất nhìêu tình huống “ Mắc sai lầm của HS khi giải
toán - Biện pháp khắc phục” và đó cũng là một trong những biện pháp nhầm nâng cao chất
lượng giảng dạy và nâng cao kết quả học tập của học sinh.

Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả giáo dục như mong muốn thì chỉ một kinh nghiệm
như thế thơi là chưa đủ, nó còn đòi hỏi nhiều yếu tố khác nữa. Song yếu tố làm sao cho HS
tự mình nắm vững kiến thức đã học, tự thân vận dụng được những điều đã học, đó là yếu tố
quan trọng nhất và nó sẽ trực tiếp hoặc gián tiếp chi phối các yếu tố còn lại.

Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân thu thập được từ thực tế giảng dạy,
từ học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp và kết quả học tập của HS.

Rất mong hội đồng khoa học nhà trường và hội đồng khoa học phòng Giáo Dục
Thành Phố Cà Mau xem xét, điều chỉnh và bổ sung để công tác giảng dạy của tôi được tiến
bộ hơn.

Phê duyệt của Hội Đồng Khoa Học Tắc Vân, ngày 12 tháng 05 năm 2007
Trường THCS Nguyễn Du Người viết

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Hội Đồng Khoa Học Trường THCS Nguyễn Du

. . . 
. . . 
. . . 
. . . 
. . .

Tắc Vân, ngày . . . tháng . . . năm 200 . .

Hội đồng khoa học Phòng Giáo Dục Thành Phố Cà Mau

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

. . .

Hội đồng khoa học Sở GD&ĐT Tỉnh Cà Mau

</div>