Skkn rèn luyện tư duy và phát triển năng lực học sinh qua việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số

MỤC LỤC

Trang

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………....2
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………......3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….....3
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………........3
1.5. Những điểm mới của SKKN…………………………………..…………....3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài………………………………………………….......3
2.2. Thực trạng của đề tài…………………………………………………..........4
2.3. Giải pháp thực hiện đề tài…………………………………………………...5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………………............17
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận……………………………………………………………………18
3.2. Kiến nghị …….………………………………………………………........18
Tài liệu tham khảo…………………………………………………................19

skkn

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hiện nay, giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới. Để kịp với xu
hướng này , rất nhiều yêu cầu được đặt ra. Một trong số đó chính là làm sao để có
được những phương pháp giải tốn hay, nhanh, mà vẫn cho kết quả chính xác.
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp giải tốn như

vậy.
Có rất nhiều bài tốn mới nhìn tưởng rất khó, nếu giải được thì lời giải sẽ
khó hiểu,rắc rối. Nhưng nếu áp dụng phương pháp này, bài toán trở thành đơn giản,
gọn hơn rất nhiều. Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này,
ngoài ra phương pháp sử dụng tính đơn điệu cịn phát huy sự ưu việt trong nhiều
trường hợp khác.
Nói tóm lại, rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị ôn thi tốt
nghiệp trung học phổ thông, thi đại học và cao đẳng. Nó sẽ giúp các em phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải tốn nhanh nhất, hay nhất và
chính xác nhất.
Từ thực tế trên tôi đã đưa ra ý tưởng: “ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nhằm rèn luyện tư
duy và phát triển năng lực học sinh ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Rèn cho học sinh khả năng tư duy phân tích bài tốn và tìm được lời giải
nhanh nhất, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ về
phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập
của học sinh trong các giờ học và trong việc giải các bộ đề thi tốt nghiệp,đại học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong năm học 2020-2021, thực hiện sự chỉ đạo của Sở GD&ĐT và của nhà
trường, của tổ chuyên môn, tơi ứng dụng bài sáng kiến của mình vào giảng dạy
trong lớp 12C2 và 12C6, với thời lượng là 8 tiết học

skkn

2


1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu về phương pháp, các tài

liệu dạy học.Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Tốn THPT.Gặp gỡ,
trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho
việc nghiên cứu đề tài.Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài
học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong các giờ học về phần: hàm số, Phương trình, bất phương trình mũ và
logarit, phần số phức. Học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu rõ bản chất, khả năng
suy luận lơgíc, khả năng khái qt phân tích bài tốn cịn hạn chế, đặc biệt một
trong những khó khăn của học sinh khi giải phương trình, bất phương trình chứa
tham số. Vì vậy học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu... Nên chưa kích thích được
nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tơi xin
đưa ra một phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số nhằm rèn luyện tư duy
phân tích bài tốn về giải phương trình, bất phương trình , hệ phương trình, bất
đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Chúng ta biết rằng “Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học” là một luận
điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của học
sinh là hoạt động giải bài tập Tốn. Trong mơn Tốn ở trường phổ thơng có nhiều
tình huống điển hình, nhưng có thể xem giải Tốn là hoạt động tốn học chủ yếu.
Đây là một luận điểm đúng đắn đã được mọi người thừa nhận.
Với sự quan tâm từ bộ giáo dục, sở giáo dục ,các cấp các nghành từ trung
ương đến địa phương, phương pháp dạy học được sử dụng trong nhà trường hiện
nay đã có những thay đổi tích cực,nhiều giáo viên tâm huyết với nghề và có hiểu
biết sâu sắc về bộ mơn, đã có những giờ dạy tốt;tích cực đổi mới phương pháp dạy
học, soạn bài theo định hướng phát triển năng lực của học sinh,áp dụng công nghệ
thông tin trong giảng dạy ... Giúp học sinh tích cực, chủ đơng trong học tâp.

skkn

3


Những định hướng chung, tổng quát về đổi mới phương pháp dạy học theo
chương trình định hướng phát triển năng lực là: Phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học trên cơ sở đó trau
dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tư duy.
Có thể lựa chọn một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp
đặc thù của bộ môn để thực hiện dựa trên ngun tắc “Học sinh tự mình hồn thành
nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy
học. Tùy theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình
thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ngồi lớp…
Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học tối thiểu đã qui định. Có thể sử
dụng các đồ dùng dạy học tự làm nếu xét thấy cần thiết với nội dung học và phù
hợp với đối tượng học sinh. Tích cực vận dụng cơng nghệ thơng tin trong dạy học.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề "sử dụng tính đơn điệu của hàm số nhằm rèn luyện tư duy phân tích
bài tốn về giải phương trình, bất phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất" là một trong những kiến thức quan trọng trong chưng trình
giải tích lớp 12.Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề
thi TN THPT, đề thi CĐ , ĐH, thi HSG. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số
học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) không xây dựng được một hàm số thích hợp , rồi
nghiên cứu tính đồng biến, nghịc biến của nó trên đoạn thích hợp. Các hàm số ấy
trong nhiều trường hợ có thẻ nhận ra ngay từ đầu, còn trong các trường hợp đặc
biệt ta cần khơn khéo để phát hiện ra chúng. Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ”
khi học phương pháp này để giải phương trình, bất phương trình đã học trước .
Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái
lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
2.3. Giải pháp thực hiện

Trong các giờ học về phần:hàm số, Phương trình, bất phương trình mũ và
logarit, phần số phức giáo viên cần tăng cường sử dụng phương pháp sử dụng tính
đơn điệu của hàm số nhằm rèn luyện tư duy phân tích bài tốn về giải phương trình,
bất phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

skkn

4


PHẦN NỘI DUNG
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ!
- Hàm số

xác định trên đoạn

ấy, Nếu với mọi

thuộc đoạn

- Điều kiện để
Đồng thời dấu

được gọi là đồng biến trên đoạn

ta đều có

đồng biến trên

.

là

.

đạt được tại một số điểm riêng biệt.

- Đối với hàm đồng biến thì
phương trình

, đồng thời nếu

thì nghiệm ấy là duy nhất.

- Tương tự,

được gọi là nghịch biến trên
. Đồng thời dấu

là

đạt được tại một số điểm riêng

biệt.
- Đối với hàm nghich biến thì
phương trình

, đồng thời nếu

thì nghiệm ấy là duy nhất.

- Hàm số

chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn

được gọi

là đơn điệu trên đoạn ấy.
- Hàm đơn điệu có tính chất quan trọng sau đây:
.
- Nếu

đồng biến,

1) Nếu phương trình

nghịch biến thì:
có nghiệm

2) Nghiệm của bất phương trình

thì nghiệm ấy là duy nhất.
là giao của

và miền xác định

là giao của

và miền xác định

của bất phương trình.

3) Nghiệm của bất phương trình
của bất phương trình.

skkn

5


B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
I. PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1: giải phương trình :

-

= 1 (1)

Giải: điều kiện
có nghiệm
vì

,

đúng

và vì vế trái là hàm đồng biến ( đạo hàm dương) ,
vế phải là hàm nghịch biến ( đạo hàm âm).
Nên

là nghiệm duy nhất của (1).

Nhận xét: Cái hay của cách giải này là đưa phương trình vơ tỷ về sử dụng tính đơn
điệu, tránh được bình phương 2 lần dễ đến mất nghiệm.
Ví dụ 1: giải phương trình :
Giải: điều kiện

. Đặt

Ta có
đồng biến trên
Mặt khác

nên phương trình

có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3. Giải phương trình:
Giải: Phương trình
Nếu
Nếu

thì

(*)
phương trình (*) vơ nghiệm.

thì

skkn

6

đồng biến trên
mà

nên (*) có đúng 1 nghiệm

.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
Giải: Nhận thấy
Vì

(1)

là nghiệm, vì khi đó ta có

nên (1)

do
Nên vế trái là hàm nghịc biến, và vì vậy

là nghiệm duy nhất của (1).

Nhận xét: Cái hay của cách giải này là phát hiện ra cơ số bé hơn 1 để sử dụng tính
nghịch biến.
Ví dụ 5: Giải phương trình:

(1)

Giải: Điều kiện
Vậy (1)
(2)
Phương trình này có nghiệm

vì khi đó ta có log1 = 0 ( đúng).

Vì vế trái đồng biến, Vế phải nghịc biến nên (2) có nghiệm duy nhất
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Giải: Điều kiện

(t/m).

(1)

. Với điều kiện ấy

(1)

(2)

skkn

7


Do

nên

và do vế phải là hàm logarit có cơ số lớn hơn 1, nên là hàm

đồng biến
Vậy thì vế trái dương
Ta có
Như vậy là VT 1 , đạt dấu = khi
VP

1 , đạt dấu = khi

.

Phương trình có nghiệm duy nhất

.

Nhận xét: Cái hay của cách giải này là áp dụng linh hoạt hệ quả của bất đẳng thức
Cô si và tính đơn điệu của hàm logarit.
Ví dụ 7: Giải phương trình sau:
Giải: Đặt

, khi đó ta có

từ đó
nếu

.

nếu

, ta có

là nghiệm duy nhất.

Vì vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến.
Nhận xét: Cách giải này hay ở chổ biết chọn ẩn số mới thích hợp để đưa về
phương trình bậc 2 và sử dụng được tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị

ngun thuộc

có nghiệm với mọi
A.

.

B.

.

.
C.

skkn

để bất phương trình

.

D. Vô số .

8


Giải:
Điều kiện của tham số

Xét hàm số

, Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên thì
Và ngun nên có 10 giá trị

, kết hợp
thỏa mãn

Ví dụ 9: Cho phương trình
cả bao nhiêu giá trị nguyên của
A. .

B. .

( là tham số thực). Có tất
để phương trình đã cho có nghiệm
C. .

D. Vơ số.

Giải:
Điều kiện:
Phương trình tương đương với:

Xét

;

Bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì
mãn

skkn

, suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa

9


II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1. Giải bất phương trình :

(2)

Giải: Điều kiện
do vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên nghiệm của (2) là giao
của

và

với

là nghiệm phương trình

Phương trình cuối có nghiệm duy nhất

, vì khi đó ta có

( đúng)

và vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến.
Vậy nghiệm của (2) là giao của

và

.

Nhận xét: Cái hay của cách giải này là đưa bất phương trình vơ tỷ về sử dụng tính
đơn điệu , tránh được bình phương 2 lần dễ dẫn đến mất nghiệm.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Giải: Điều kiện

. xét

ta có
đồng biến trên

.

Mặt khác
Nhận xét: Cái hay của bài này là đưa phương trình vơ tỷ về sử dụng tính đơn điệu,
trong khi đó muốn giải bằng cách khác sẽ rất khó khăn.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
Giải: Điều kiện

.

đặt

skkn

10


ta có

Nên

,

đồng biến và do đó

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

(1)

Giải: Điều kiện :
Do vậy (1)
Đặt

, khi đó

(2)

(thích hợp).
Vậy
Đáp số :
Hoặc xét
giao của

là hàm đồng biến, suy ra nghiệm của (2) là
, Trong đó

là nghiệm của phương trình

. Suy ra

,

Suy ra bất phương trình cóa nghiệm

skkn

.

11


Nhận xét:Cách hay của cách giải là sử dụng tính đồng biến và sử dụng cách đặt ẩn

phụ để đưa về hệ bất trình hoặc hệ phương trình,tránh được việc bình phương 2 vế
( dễ dẫn đến sai sót, thừa nghiệm) và tránh được việc giải phương trình bậc cao.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:
Giải: Điều kiện
Đặt

(1)

.
Suy ra

Do u,v đồng biến khi
Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến
Nên nghiệm của (1) là giao của

và

với

là nghiệm của phương

trình :
Vì
và
Đặt

ta được :

suy ra

vậy
từ đó
vậy nghiệm của (1) là
Nhận xét: Cái hay của cách giải này là dùng tính đơn điệu hàm số để đưa bất
phương trình vơ tỷ về hệ phương trình bậc 1.
Ví dụ 6. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình sau có nghiệm?

Giải: Đặt

. khi đó (1)
có nghiệm

.

Ta có

skkn

12


Nên

.

Nhận xét: Cái hay của cách giải này là sử dụng giá trị tuyệt đối
để đưa về parabol theo

làm ẩn số

Không phải xét tương quan giữa x và y làm cho

cách giải nhẹ nhàng hơn.
Ví dụ 7. Tìm tham số m để tồn tại duy nhất cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau
và
A. m  2 .

B.

1
2

C. m   .

.

D. m  0 .

Giải:
Điều kiện cần: Xét hệ bất phương trình:

 x; y  là nghiệm hệ bất phương trình thì  y; x  cũng là nghiệm của hệ bất
phương trình. Do đó hệ có nghiệm duy nhất  x  y .
1
2

Khi đó: (1)  0  2 x  1  0  x  .
1

Với 0  x  ; (2)  2 x  2 x 2  m  1
2
 2x2  m  1  2 x
 2 x2  m  1  4x  4x2
 2 x2  4x  1  m
2
Đặt f  x   2 x  4 x  1

1
 1
1
 1
f  x  nghịch biến trên  0;  nên f  x   f     x   0;  .
2
 2
2
 2
1
2

Do đó hệ có nghiệm duy nhất  m   .
Điều kiện đủ: Với

, ta có hệ bất phương trình

Ta có
Dấu

.
xảy ra khi và chỉ khi

skkn

.

13


III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH,BẤT ĐẲNG THỨC,GTLN,GTNN
Ví dụ 1: Tìm các số

thỏa mãn:

Giải: Viết phương trình (1) dưới dạng :
Xét hàm số

(3).

. Khi đó

xác định

đồng biến
Từ (3)

và
.

.

Thay vào phương trình (2) của hệ, ta được

.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Giải: Viết phương trình (1) dưới dạng
Và xét hàm

(3)
, có

. Vậy

nghịc biến.

Từ (3) suy ra

và từ (2)

.

Ví dụ 3: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
Tìm giá trị
A.

B.

C.

của biểu thức

.

D.

Giải:

skkn

14


Đặt

đồng biến trên

Khi đó,

, vì

Vậy

khi và chỉ khi

Ví dụ 4: Cho hai số thực dương

thỏa mãn

nhỏ nhất của biểu thức

A.

.

. Giá trị

bằng?
B.

.

C.

.

D.

.

Giải:
Điều kiện

.

Từ giả thiết biến đổi có:
Do hàm số

Do

đồng biến trên

đồng thời từ giả thiết bài tốn có:

nên có

Thay vào
Xét hàm số

ta có:
ta có

skkn

15


Ví dụ 5: Xét các số phức
Tính
A.

,

khi
.

thỏa mãn

.

đạt giá trị nhỏ nhất

B.

.

C.

.

D.

.

Giải:
Ta có

suy ra

.

Xét hàm số

với
suy ra

nên
Do đó
Khi đó

là hàm số đồng biến trên

.
đạt giá trị nhỏ nhất bằng

khi

.

.

C.MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1.Giải phương trình:
2.Giải phương trình:
3. Giải phương trình:
4. Chứng minh rằng:
5.Chứng minh rằng:
6. Chứng minh rằng:

skkn

16


7.Giải hệ phương trình:

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
1. Ý nghĩa thực tiễn.
- Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, các em học sinh đã mạn
dạn hơn, linh hoạt hơn trong việc dùng đạo hàm để giải toán.
- Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để
chứng minh bất đẳn thức, giải phương trình, giải bất phương trình , giải hệ phương

trình.
-Tránh được vệc biện luận theo tham số ở một số bài toán.
- Tránh phải áp dụng bất đẳng thức cô si.. cần phải chứng minh duy nhất.
- Tránh việc bình phương 2 vế dẫn đến sai sót, thừa nghiệm và tránh được
giải phương trình bâc cao.
2. Kết quả thu được.
Trước khi thực hiện sáng kiến của mình điểm khảo sát hoc kết quả học
tập mơn Tốn Giải tích của 90 học sinh lớp 12C2 và 12C6 trong năm học 20212022 như sau:
Giỏi:
Khá:

0 hs = 0%
20 hs/90 hs = 22,2 %

Trung bình: 40/90 hs = 44,5%
Yếu:

30/90 hs = 33,3%.

Sau một thời gian thực hiện “ sáng kiến ” kết quả học tập mơn Tốn của 90 học
sinh trong hai lớp 12C2 và 12C6 đạt được như sau:
Giỏi:

5/90hs = 5,6 %

skkn

17

Khá:

25/90 hs = 27,8 %

Trung bình: 50/90 hs = 55,5 %
Yếu:

10/90 hs = 11,1 %.

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Trong các năm học tới tôi sẽ tiếp tục phát huy và mở rộng sáng kiến của mình cho
các lớp trong khối lớp 12, và bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi để các em phát huy
khả năng tư duy nhìn nhận, phân tích bài tốn.
3.2. Kiến nghị :
a) Đối với người dạy và người học.
Để đạt được yêu cầu trên, sự cố gắng phải từ hai phía cả thầy và trò:
* Đối với học sinh:
- Phải chuẩn bị bài thật kỹ theo yêu cầu của giáo viên (Đọc trước nội dung
theo Hệ thống các câu hỏi trọng tâm của bài mà Giáo viên đưa ra).
- Phải đầu tư thời gian nhất định để trau rồi kiến thức qua các tư liệu tham
khảo (Giáo viên giới thiệu).
- Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của
mình dưới sự hướng dẫn của GV, phát huy tốt năng lực, phẩm chất cá nhân.
* Đối với giáo viên:
- Phải đầu tư soạn Giáo án điện tử cẩn thận, chu đáo từ nguồn tư liệu và kiến
thức cũng như kỹ năng của mình.
- Phải có hướng khai thác hợp lý, khoa học thấu đáo, phát huy trí lực của học
sinh.
- Phải tích cực trau dồi kiến thức tin học, biết tạo được các tình huống gây

hứng thú, khả năng tìm tịi, tư duy cho HS, phù hợp với nội dung bài giảng.
b) Ý kiến với các cấp lãnh đạo chỉ dạo bộ môn.
- Đầu tư các phương tiện, thiết bị dạy học mới như máy chiếu đa năng, máy,
các phần mềm ứng dụng công nghệ thông tin trong soạn bài giảng.

skkn

18


- Tích cực tổ chức các buổi sinh hoạt tổ nhóm chun mơn theo cụm trường
để giáo viên có điều kiện chia sẻ kinh nghiệm và trao đổi thảo luận.

Tài liệu tham khảo
[1]
Giải tích 12 ( Tác giả: Vũ Tuấn ), Giải tích 12 nâng cao( Tổng chủ biên:
Đồn Quỳnh), Sách giáo viên giải tích 12 ( Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo)
[2]
Phương pháp dạy học mơn Tốn tập 1, 2(Tác giả: Nguyễn Bá Kim )
[3]
Sai lầm thường gặp khi giải Toán ( Tác giả: Trần Phương )
[4] Sai lầm phổ biến khi giải Toán ( Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận )
[5] Đ. P. Goocki (1974), Lôgic học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[6] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến
Tài (2006), giải tích 12, Nxb Giáo Dục.
[7] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn
Tuất (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo Dục.
[8] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên
(2007), Đại số và giải tích 11, Nxb Giáo Dục.
[9] Các đề thi đại học, tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi, các đề thi khảo sát

chất lượng các trường THPT.
Ngày 05 tháng 05 năm 2022
Người viết

Vũ Hoàng Sơn

skkn

19