Hcmute phương trình vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI
TRỄ DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

Mã SỐ: T2018

S K C0 0 6 5 5 7

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2017

Luan van


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ
DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ
Mã số: T2018- ...

Chủ nhiệm đề tài: Th.S. Trương Vĩnh An

TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018

Luan van


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ
DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ
Mã số: T2018- ...

Chủ nhiệm đề tài: Th.S. Trương Vĩnh An

TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018

Luan van


Mục lục
Danh mục bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1. Giải tích khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.1. Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.3. Thứ tự trong không gian mêtric khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2. Giải tích phân thứ khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1. Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.2. Phép tính đạo hàm Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.3. Phép tính đạo hàm Hadamard và Caputo-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3. Một vài kết quả quan trọng trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Chương 2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.1. Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ với trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1

Luan van


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Danh mục bảng biểu
Trong báo cáo này ta dùng những hình vẽ với các ý nghĩa xác định dưới đây:
- Hình 1.1-1.5: Biểu diễn dáng điệu tích phân Hadamard, đạo hàm Hadamard
và đạo hàm Caputo-Hadamard của một số hàm khoảng.
- Hình 2.1-2.2: Biểu diễn nghiệm của lớp phương trình vi khoảng với trễ dưới
đạo hàm phân thứ.

2

Luan van


Một số kí hiệu
Trong báo cáo này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
Đạo hàm Hukuhara của hàm X
Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm X
Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm X
Đạo hàm Riemann–Liouville bậc phân thứ
α ∈ (0, 1) của hàm X
C Dα X
Đạo hàm Caputo bậc phân thứ α ∈ (0, 1) của hàm X
a+
±
d
Đạo hàm một bên của hàm một biến thực theo biến t
dt m (·)
w( A)
Độ rộng của khoảng A thuộc KC (R)

Γ(α)
Hàm Gamma

Hiệu Hukuhara
gH
Hiệu Hukuhara tổng quát
H [ A, B]
Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B thuộc KC (R)
[ A, A]
Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trong R
L([ a, b], (.))
Không gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên [ a, b]
C ([ a, b], (.))
Không gian các hàm khoảng liên tục trên [ a, b]
AC ([ a, b], (.))
Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên [ a, b]
1
C ([ a, b], (.))
Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên [ a, b]
Cσ := C ([ a − σ, b], (.)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [ a − σ, b]
N
Tập các số tự nhiên
, 
Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng
( A, B)+
Tích trong của hai khoảng A, B
α
= a+ X, Xα
Tích phân Riemann–Liouville bậc phân thứ α
của hàm khoảng X

P, Q
Tốn tử từ khơng gian các hàm khoảng vào khơng gian
các hàm khoảng.
DH X
g
DH X
DgH X
RL D α X
a+

3

Luan van


Thông tin kết quả nghiên cứu
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Phương trình vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ
- Mã số: T2018- ....
- Chủ nhiệm: Trương Vĩnh An
- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
- Thời gian thực hiện: 12 tháng (Từ tháng 12 năm 2017 đến tháng 12 năm
2018)
2. Mục tiêu: Do tính mới mẻ của lĩnh vực trên nên trong đề tài này chúng tôi muốn
xây dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng
khoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn lớp bài toán vi phân khoảng
với đạo hàm phân thứ với trễ. Một số ứng dụng thực tế cũng sẽ được xây dựng.
Cuối cùng, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để giải lớp bài tốn trên cũng
sẽ được nghiên cứu.
3. Tính mới và sáng tạo: Ứng dụng của "lý thuyết không chắc chắn" vào phương

trình vi phân với bậc nguyên đã được sử dụng như một công cụ hiệu quả để xem xét
sự khơng chắc chắn trong những mơ hình của thế giới thực. Kết hợp hai lĩnh vực:
giải tích phân thứ và phương trình vi phân khoảng (phương trình vi phân khơng
chắc chắn), ta thu được phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm phân thứ. Do
đó, đề tài này đề cập tới những lĩnh vực mới của toán học hiện đại, các kết quả của
đề tài sẽ được xuất bản trên những tạp chí có uy tín.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương trình vi
phân khoảng dưới đạo hàm Caputo phân thứ và Caputo-Hadamard phân thứ
chịu ảnh hưởng của trễ bởi sử dụng định lý ánh xạ co yếu trong một không
gian các hàm khoảng được sắp xếp thứ tự và xấp xỉ dãy trong không gian các
hàm khoảng. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu và bậc
đạo hàm phân thứ của phương trình cũng được nghiên cứu.
- Một kỹ thuật mới được đề xuất để giải nghiệm của phương trình vi phân
khoảng với trễ dưới đạo hàm Caputo phân thứ cũng được đề xuất. Một vài ví
dụ minh hoạ cho phương pháp và một ví dụ ứng dụng cũng được trình bày.
5. Sản phẩm: 01 bài ISI thuộc nhà xuất bản uy tín Springer và 01 bài ISI thuộc nhà
xuất bản uy tín IOS Press.
4

Luan van


[1] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, A new technique to solve the initial valued problems for fractional fuzzy delay differential equations, Advances in Difference
Equations, Volume 2017:181 (2017).
[2]Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Hadamard-type fractional calculus for
fuzzy functions and existence theory for fuzzy fractional functional integro-differential
equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, (Accepted - 2019).
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp
dụng: Sản phẩm của đề tài được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các học viên

cao học, nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành toán ứng dụng.
Trưởng Đơn vị

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên)

(ký, họ và tên)

.

Trương Vĩnh An

5

Luan van


INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
- Project title: Interval-valued delay fractional differential equations
- Code number: T2018- ...
- Coordinator: Truong Vinh An
- Implementing institution: University of Technical Education, Ho Chi Minh
City, Vietnam.
- Duration: from

June, 2017

to

June, 2018.

2. Objective(s): Using some recent results of fixed point of weakly contractive mappings on the partially ordered space, the existence and uniqueness of solution for
interval fractional delay differential equations (IFDDEs) in the setting of the Caputo and Caputo-Hadamard generalized Hukuhara fractional differentiability are
studied. The dependence of the solution on the order and the initial condition of
IFDDE is shown. A new technique is proposed to find the exact solutions of IFDDE
by using the solutions of interval integer order delay differential equation. Finally,
some examples are given to illustrate the applications of our results.
3. Creativeness and innovativeness: The results of this project are the new fields
of modern mathematical sciences. All of the results of the project shall be published
in the prestigious journals in the world. They will be contributed to opening up
some new fields in modern mathematics and its applications in various fields.
4. Research results: We study the existence and uniqueness properties of solutions
to interval-valued delay fractional differential equations by using the results of fixed
point of weakly contractive mappings on the partially ordered space. We propose a
new technique to find exact solutions of the above problem. Besides, an example in
real-world is given. In addition, the result of the fundamental theory of fuzzy fractional calculus in the Caputo-Hadamard setting is also introduced. The existence
and uniqueness of solution of the initial value problem for fuzzy functional fractional integro-differential equations involving Caputo-Hadamard fractional derivative are investigated.
5. Products: 02 paper ISI (Springer)
[1] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, A new technique to solve the initial valued problems for fractional fuzzy delay differential equations, Advances in Difference
Equations, Volume 2017:181 (2017).
[2]Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Hadamard-type fractional calculus for
6

Luan van


fuzzy functions and existence theory for fuzzy fractional functional integro-differential
equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, (Accepted - 2019).

6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: These results shall be contributed to train for the undergraduate and graduate levels.

7

Luan van


Mở đầu
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu: Bắt đầu phát triển từ những năm 1695 cho
đến nay, giải tích phân thứ đã được tổng quát hóa cho việc xây dựng đạo hàm, tích
phân và cuối cùng là phương trình vi phân với bậc khơng ngun. Phương trình vi
phân được được hình thành từ những tốn tử vi phân với bậc khơng ngun được
gọi là phương trình vi phân phân thứ (Fractional differential equations (FDEs)).
Trong vài thập kỷ qua, nghiên cứu tính ứng dụng của giải tích phân thứ và phương
trình vi phân phân thứ ngày càng được chú ý đến bởi vì bắt nguồn từ những nghiên
cứu gần đây trong khoa học và kỹ thuật đã thể hiện rằng động lực của nhiều hệ
thống có thể được miêu tả một cách chính xác bởi sử dụng phương trình vi phân
với bậc không nguyên. Những ứng dụng thành công của phương trình vi phân phân
thứ trong những mơ hình như: đo lường những tính chất đàn nhớt của vật liệu
[21], điều khiển hệ động lực dưới đạo hàm phân thứ [7], xử lý tín hiệu [8]. Hiện
tại lĩnh vực này đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm, chú ý khơng chỉ trong
nghiên cứu tốn học mà cịn trong những ngành khác. Một trong những cơng trình
có sự ảnh hưởng rất lớn đến chủ đề của giải tích phân thứ, phương trình vi phân
phân thứ và ứng dụng đã được trình bày trong tài liệu chuyên khảo của Podlubny
[13] và nhóm tác giả Kilbas [25]. Ứng dụng của "lý thuyết khơng chắc chắn" vào
phương trình vi phân với bậc nguyên đã được sử dụng như một công cụ hiệu quả
để xem xét sự không chắc chắn trong những mô hình của thế giới thực. Kết hợp
hai lĩnh vực: giải tích phân thứ và phương trình vi phân khoảng (phương trình vi
phân khơng chắc chắn), ta thu được phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm
phân thứ (đạo hàm không nguyên). Gần đây, phương trình vi phân với đạo hàm

phân thứ xét dưới giả thuyết không chắc chắn đã thu hút được nhiều nhóm tác giả
trên thế giới trong cả hai lĩnh vực lý thuyết lẫn ứng dụng. Trong thời gian gần đây,
nhóm tác giả Agarwal [1, 2] đã đề xuất khái niệm của nghiệm cho phương trình vi
phân phân thứ với giả thuyết không chắc chắn (theo nghĩa mờ). Các tác giả đã xét
khái niệm khả vi Riemann-Liouville dạng mờ dựa vào khả vi Hukuhara để nghiên
cứu và giải nghiệm của phương trình vi phân phân thứ dạng mờ. Tiếp theo sau đó,
nhóm tác giả Arshad và Lupulescu [6] đã nghiên cứu một vài kết quả cho tính chất

8

Luan van


tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi phân phân thứ dạng mờ dưới
khái niệm khả vi phân thứ Riemann-Liouville bởi sử dụng đạo hàm Hukuhara. Bởi
sử dụng khả vi Hukuhara tổng quát nhóm tác giả Allahviranloo [3, 4] đã bước đầu
tổng quát hóa những khái niệm khả vi bởi việc nghiên cứu và xây dựng khả vi phân
thứ Riemann-Liouville và Caputo cho các hàm mờ. Sau đó, nhóm tác giả đã chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp bài tốn phương trình vi phân phân
thứ dạng mờ. Nhóm tác giả Mazandarani [20] đã nghiên cứu nghiệm số cho lớp
phương trình vi phân phân thứ dạng mờ dưới khả vi phân thứ Caputo mờ bởi sử
dụng phương pháp Euler. Dưới khái niệm khả vi phân thứ Caputo mờ, nhóm tác
giả Fard [9] đã mở rộng và thiết lập một vài kết quả về giải tích phân thứ mờ và
cung cấp một vài điều kiện cần để thu được phương trình Euler-Lagrange phân thứ
dạng mờ cho cả hai bài toán biến phân phân thứ mờ ràng buộc và không ràng buộc.
Malinowski [18] đã thiết lập một số khái niệm và kết quả về tích phân phân thứ
dạng mờ nhằm nghiên cứu phương trình tích phân phân thứ mờ ngẫu nhiên.
2. Tính cấp thiết: Phương trình vi phân với trễ đóng một vai trị quan trọng cho sự
phát triển của những mơ hình hệ thống trong sinh học, sinh thái học, kỹ thuật, vật
lý và những ngành khoa học khác, đặc biệt khi một hệ động lực được mơ hình hóa

bởi phương trình vi phân mà thơng thường chúng ta khơng thể chắc rằng những mơ
hình này là hồn chỉnh với những thơng tin đầu vào về hệ động lực thường khơng
đầy đủ, khơng chính xác hoặc mơ hồ. Để khắc phục điều này, ta thường xét các bài
tốn dưới khía cạnh của khoảng (hay cịn gọi là không chắc chắn). Điều này dẫn
đến việc nghiên cứu các mơ hình của hệ động lực dưới phương trình trình vi phân
khoảng. Hiện nay, phương trình vi phân khoảng đã và đang được nghiên cứu bởi
nhiều nhà khoa học và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Nghiên cứu
những dạng phương trình vi phân khoảng tạo nên sự thiết lập thích hợp cho những
mơ hình tốn của thế giới thực dưới những thông tin không chắc chắn hoặc mơ hồ.
Do đó, việc nghiên cứu bài tốn vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ là
thật sự cần thiết. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu tính chất nghiệm cho lớp
bài tốn trên như tính tồn tại, duy nhất, ổn định, .v.v. và tìm một số ứng dụng cho
một số lớp bài toán. Bên cạnh đó, Thuật tốn cho các lớp bài tốn này cũng được
nghiên cứu.
3. Mục tiêu: Do lĩnh vực trên là mới, nên trong đề tài này chúng tôi muốn xây
dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng khoảng
nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn các lớp bài tốn phương trình vi phân
khoảng. Bên cạnh đó, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để giải lớp bài toán
trên cũng sẽ được nghiên cứu.
4. Cách tiếp cận: Chúng tơi đã có một số kết quả khởi đầu trong lĩnh vực này. Hiện
9

Luan van


nay chúng tơi đang phân tích từ một số kết quả đạt được trên thế giới nhằm để tập
trung nghiên cứu thật sâu về lĩnh vực này.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Sưu tầm và nghiên cứu sách tài liệu, các bài báo liên quan đã được đăng.
- Tổ chức seminar theo nhóm.

- Xây dựng và giải quyết mơ hình lý thuyết trên.
- Giải quyết các vấn đề đặt ra.
- Thảo luận kết quả.
- Tham gia hội nghị trong nước để được đánh giá về kết quả.
- Xây dựng mơ hình ứng dụng.
- Tính tốn, chạy số.
- Gửi bài báo đến các tạp chí có uy tín.
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về tồn tại và duy nhất nghiệm của một
lớp phương trình vi phân giá trị khoảng dưới đạo hàm Caputo phân thứ với
chậm và tìm thuật giải cho lớp bài tốn này.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn tại, duy nhất nghiệm và thuật giải.
7. Nội dung nghiên cứu:
Trong đề tài này, chúng tôi xây dựng, phát triển và tổng qt hóa các khái niệm của
giải tích phân thứ dạng khoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn các
lớp bài tốn phương trình vi phân khoảng. Bên cạnh, việc phát triển các phương
pháp để giải các lớp bài toán trên cũng sẽ được nghiên cứu. Cụ thể,
- Trong Mục 2.1, chúng tơi xét phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm Caputo
phân thứ với chậm có dạng:
(

(C D aα+ X )(t) = F (t, X (t), Xt ), t ∈ [ a, b]
X (t) = ϕ(t − a), t ∈ [ a − σ, a]

(0.1)

trong đó KC (R) là họ các tập compact khác rỗng trong R, α ∈ (0, 1) là bậc của
phương trình vi phân, ϕ là giá trị đầu dạng khoảng của bài toán và C D aα+ X là đạo
hàm phân thứ khoảng dạng Caputo của q trình X.
Trong đề tài này chúng tơi nghiên cứu lớp bài tốn (2.1), chúng tơi sẽ giải

quyết một số vấn đề sau:
10

Luan van


- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) bởi sử dụng định lý ánh xạ
co yếu trong một không gian được sắp xếp thứ tự.
- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu đầu và bậc của phương trình
vi phân.
- Một phương pháp mới để giải nghiệm (2.1) được đề xuất và một số ví dụ
minh hoạ được trình bày.
- Trong Mục 2.2, Ta xét phương trình vi-tích phân khoảng có trễ với khái niệm đạo
hàm phân thứ Caputo-Hadamard có dạng:

t

C− H D α X (t) = F (t, X ) + R G (t, s, X )ds, t ∈ [ a, b],
t
s
a+
(0.2)
a

 X (t) = ϕ(t), t ∈ [ a − σ, a],
trong đó 0 < a ≤ t ≤ b, F : [ a, b] × Cσ → KC (R), G : [ a, b] × [ a, b] × Cσ → KC (R)
là những hàm khoảng và C− H D aα+ X là đạo hàm phân thứ khoảng dạng CaputoHadamard của q trình X.
Trong đề tài này chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp bài
toán (2.23) bởi sử dụng công cụ xấp xỉ dãy và định lý so sánh trong không gian các
hàm khoảng.

Nội dung chính của đề tài được chia làm 2 chương cụ thể như sau,
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả
về giải tích khoảng, giải tích khoảng phân thứ và định lý ánh xạ co yếu trong một
không gian được sắp xếp thứ tự nhằm ứng dụng cho việc chứng minh trong hai
chương tiếp theo.
Chương 2: Phương trình tích phân khoảng phân thứ. Trong chương này chúng
tơi trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân
khoảng phân thứ với chậm bằng lý thuyết điểm bất động trong một không gian
được sắp xếp thứ tự. Thuật giải cho lớp phương trình này cũng được trình bày.
Hơn nữa, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi-tích phân khoảng
có trễ với khái niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Hadamard bởi sử dụng công cụ
xấp xỉ dãy và định lý so sánh trong không gian các hàm khoảng cũng được trình bày.

11

Luan van


CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN ÁN

C Dα X
a+
+
D m, D − m

Đạo hàm Caputo bậc phân thứ α ∈ (0, 1) của hàm khoảng X
Đạo hàm Dini trên và dưới của hàm thực m
DH X
Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng X
g

DH X
Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm khoảng X
DgH X
Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm khoảng X
RL D α X
Đạo hàm Riemann-Liouville bậc phân thứ (không nguyên)
a+
α ∈ (0, 1) của hàm khoảng X
±
d
Đạo hàm một bên của hàm một biến thực theo t
dt m (·)
w( A)
Độ rộng của khoảng A
Γ(α)
Hàm Gamma

Hiệu Hukuhara
gH
Hiệu Hukuhara tổng quát
H [ A, B]
Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B
[ A, A]
Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trong R
L([ a, b], KC (R))
Khơng gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên [ a, b]
C ([ a, b], KC (R))
Không gian các hàm khoảng liên tục trên [ a, b]
AC ([ a, b], KC (R))
Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên [ a, b]

C1 ([ a, b], KC (R))
Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên [ a, b]
C ([ a − σ, b], KC (R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [ a − σ, b]
N
Tập các số tự nhiên
, 
Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng
( A, B)+
Tích trong của hai khoảng A, B
=αa+ X, Xα
Tích phân Riemann–Liouville bậc phân thứ α
của hàm khoảng X
P, Q
Tốn tử từ khơng gian các hàm khoảng vào không gian
các hàm khoảng.
12

Luan van


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng. Các nội dung được sắp xếp
như sau: Phần 1.1 giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng như: các phép tốn,
đạo hàm và tích phân của hàm khoảng; Phần 1.2 giới thiệu định nghĩa tích trong
của hai hàm khoảng và một số tính chất quan trọng của tích trong; Phần 1.3 chúng
tôi nhắc lại một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường. Các chứng
minh của định lý, tính chất, . . . , trong luận án này được tìm thấy trong các sách

chuyên khảo như: Moore [22], Neumaier [23], Lakshmikantham và các đồng tác
giả [31, 32], Rudin [27] và một số bài báo như: Markov [19], Lupulescu [16, 17],
Stefanini và Bede [30], . . . .

1.1. Giải tích khoảng
1.1.1. Các phép tốn
Cho KC (R) là họ tất cả các khoảng khác rỗng, compắc trong R. Cho A, B ∈ KC (R),
trong đó A = [ A, A], A ≤ A, B = [ B, B], B ≤ B và λ ∈ R. Phép cộng hai khoảng
và phép nhân số thực với một khoảng được định nghĩa như sau:
A + B = [ A + B, A + B]
và



 [λA, λA], nếu λ > 0,
λA = 0,
nếu λ = 0,


 [λA, λA], nếu λ < 0.
Tính chất 1.1.1. (Markov [19]) Cho A, B, C ∈ KC (R). Ta có
(i) ( A + B) + C = A + ( B + C ),
13

Luan van


(ii) A + 0 = 0 + A, 0 ∈ KC (R) là phần tử không của KC (R),
(iii) A + B = B + A,
(iv) λ(µA) = (λµ) A, với mọi λ, µ ∈ R,

(v) 1A = A,
(vi) λ( A + B) = λA + λB, với mọi λ ∈ R,
(vii) (λ + µ) A = λA + µA, với mọi λ, µ ∈ R, và λµ ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.1. (Markov [19]) Cho A, B ∈ KC (R). Khoảng cách Hausdorff H
giữa A và B được định nghĩa như sau:
H [ A, B] = max{| A − B|, | A − B|}.

(1.1)

Độ lớn của A:
H [ A, 0] = k Ak = max{| A|, | A|}
và độ rộng của A:
w( A) = A − A.
Tính chất 1.1.2. (Markov [19]) Cho A, B, C, D ∈ KC (R) và λ ∈ R. Ta có
(i) H [ A + C, B + C ] = H [ A, B]

và

H [ A, B] = H [ B, A],

(ii) H [ A + B, C + D ] ≤ H [ A, C ] + H [ B, D ],
(iii) H [λA, λB] = |λ| H [ A, B].
Định lý 1.1.3. (KC (R), H ) là không gian mêtric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.2. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC (R). Nếu tồn tại một
khoảng C ∈ KC (R) sao cho A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara của A và
B. Ta kí hiệu C = A B.
Tính chất 1.1.4. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B, C, D ∈ KC (R). Ta có
(i) nếu A B, A C tồn tại thì H [ A B, A C ] = H [ B, C ];
(ii) nếu A B, C D tồn tại thì H [ A B, C D ] = H [ A + D, B + C ];
(iii) nếu A B, A ( B + C ) tồn tại thì ( A B) C tồn tại và ( A B) C =

A ( B + C );
(iv) nếu A B, A C, C B tồn tại thì ( A B) ( A C ) tồn tại và ( A B)
( A C ) = C B.
14

Luan van


Định nghĩa 1.1.3. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC (R). Hiệu Hukuhara
tổng quát của A và B, kí hiệu A gH B, được định nghĩa như sau:
(
( a) [ A − B, A − B], nếu w( A) ≥ w( B)
(1.2)
A gH B =
(b) [ A − B, A − B], nếu w( A) < w( B).
Tính chất 1.1.5. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC (R), trong đó A = [ A, A]
và B = [ B, B]. Ta có,
(i ) hiệu Hukuhara tổng quát luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa,

với

[ A, A] gH [ B, B] = [C, C ]




C = min A − B, A − B , C = max A − B, A − B ;

(ii ) A gH A = 0;
(iii) nếu A gH B tồn tại theo nghĩa (1.2)-(a) thì B gH A tồn tại theo nghĩa (1.2)(b) và ngược lại;

(iv) ( A + B) gH B = A;
(v) 0 gH ( A gH B) = (− B) gH (− A);
(vi) A gH B = B gH A = C khi và chỉ khi C = 0 và A = B.
Tính chất 1.1.6. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC (R). Ta có,
H [ A, B] = H [ A gH B, 0].
Định nghĩa 1.1.4. (Markov [19]) Cho ánh xạ
X : [ a, b] → KC (R)
t 7→ X (t) = [ X (t), X (t)].
Nếu X (t) và X (t) là hai hàm thực xác định trên [ a, b] thỏa X (t) ≤ X (t), ∀t ∈ [ a, b]
thì X (t) được gọi là hàm khoảng.
Chú ý 1.1.1. (i) Giới hạn và tính liên tục của hàm X : [ a, b] → KC (R) được hiểu
theo mêtric H.
(ii) lim X (t) tồn tại khi và chỉ khi lim X (t) và lim X (t) tồn tại, với mọi t0 ∈ [ a, b].
t → t0

t → t0

t → t0

(iii) lim X (t) = [ lim X (t), lim X (t)] và hàm X (t) liên tục tại t0 ∈ [ a, b] khi và chỉ
t → t0

t → t0

t → t0

khi X (t), X (t) liên tục tại t0 ∈ [ a, b].
Tính chất 1.1.7. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [ a, b] → KC (R) và t0 ∈ [ a, b]. Ta
có,
15

Luan van


(i) lim X (t) = L ⇔ lim ( X (t) gH L) = 0.
t → t0

t → t0

(ii) lim X (t) = X (t0 ) ⇔ lim ( X (t) gH X (t0 )) = 0.
t → t0

t → t0

Kí hiệu C ([ a, b], KC (R)) là không gian các hàm khoảng liên tục từ [ a, b] vào KC (R).
Cho ánh xạ H0 : C ([ a, b], KC (R)) × C ([ a, b], KC (R)) → [0, ∞) được xác định bởi:
H0 [ X, Y ] = sup H [ X (t), Y (t)],

X, Y ∈ C ([ a, b], KC (R)).

t∈[ a,b]

Ta có (C ([ a, b], KC (R)), H0 ) là không gian metric đầy đủ.
Chú ý 1.1.2. Nếu X : [ a, b] → KC (R) là một hàm khoảng có độ rộng tăng hoặc
giảm thì hàm khoảng Y (t) = X (t) gH X ( a) ln có độ rộng tăng trên [ a, b].
Cho γ ∈ [0, 1). Kí hiệu Cγ ([ a, b], KC (R)) là không gian của những hàm X : ( a, b] →
KC (R) sao cho hàm (· − a)γ X (·) ∈ C ([ a, b], KC (R)). Ta nhận thấy không gian


Cγ ([ a, b], KC (R)) đầy đủ với mêtric HCγ ( X, Y ) =

X gH Y
C được định nghĩa
γ

γ

k X kCγ = sup t H [ X (t), 0].
a≤t≤b

Hàm khoảng X : [ a, b] → KC (R) được gọi là liên tục tuyệt đối nếu cho bất kỳ
ε > 0, tồn tại số thực δ > 0 sao cho với mọi {(sk , tk ); k = 1, 2, ..., n} của những
n

khoảng mở rời rạc trong [ a, b] với ∑ (tk − sk ) < δ thì giá trị của X (tk ) thoả mãn
k =1

n

∑ H [ X (tk ), X (sk )] < ε. Ta kí hiệu AC ([ a, b], KC (R)) là không gian của những hàm

k =1

khoảng liên tục tuyệt đối trên [ a, b].
Hệ quả 1.1.1. ([33]) Hàm khoảng X : [ a, b] → KC (R) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ
nếu X và X liên tục tuyệt đối.

1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân
Định nghĩa 1.1.5. (Lakshmikantham và các đồng tác giả [31], trang 14) Cho
X : ( a, b) → KC (R) và t ∈ ( a, b). Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tại t,
nếu tồn tại D H X (t) ∈ KC (R) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara

X (t + h) X (t), X (t) X (t − h) tồn tại và
lim

h →0+

X (t + h) X (t)
X (t) X (t − h)
= lim
= D H X ( t ).
h
h
h →0+

Định nghĩa 1.1.6. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : ( a, b) → KC (R) và t ∈ ( a, b).
g
Ta nói rằng X có đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh tại t, nếu tồn tại D H X (t) ∈
KC (R) sao cho
16

Luan van


(i) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h) X (t), X (t) X (t − h) tồn
tại và
lim

h →0+

X (t) X (t − h)
X (t + h) X (t)

g
= lim
= D H X (t)
h
h
h →0+

hoặc
(ii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t) X (t + h), X (t − h) X (t) tồn
tại và
lim

h →0+

X (t) X (t + h)
X (t − h) X (t)
g
= lim
= D H X (t)
+
−h
−h
h →0

hoặc
(iii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h) X (t), X (t − h) X (t) tồn
tại và
lim

h →0+

X (t + h) X (t)
X (t − h) X (t)
g
= lim
= D H X (t)
h
−h
h →0+

hoặc
(iv) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t) X (t + h), X (t) X (t − h) tồn
tại và
lim

h →0+

X (t) X (t + h)
X (t) X (t − h)
g
= lim
= D H X ( t ).
−h
h
h →0+

Định nghĩa 1.1.7. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : ( a, b) → KC (R) khả vi tổng
quát mạnh tại t ∈ ( a, b). Ta nói X khả vi tổng quát mạnh loại (i) tại t ∈ ( a, b) nếu



d
d
g
D H X (t) =
X ( t ), X ( t )
dt
dt
và X khả vi tổng quát mạnh loại (ii) tại t ∈ ( a, b) nếu


d
d
g
X ( t ), X ( t ) ,
D H X (t) =
dt
dt
trong đó X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ ( a, b).
Định nghĩa 1.1.8. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : ( a, b) → KC (R) và t ∈ ( a, b).
Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DgH X (t) ∈ KC (R) sao
cho
X (t + h) gH X (t)
.
h
h →0

DgH X (t) = lim

17

Luan van

(1.3)


Tương tự, đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại t là


1
−
DgH X (t) = lim
X (t + h) gH X (t)
h →0− h
và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t là


1
+
DgH X (t) = lim
X (t + h) gH X (t) .
h →0+ h
Chú ý 1.1.3. (i) Đạo hàm Hukuhara tổng quát của X tại t tồn tại khi và chỉ khi đạo
hàm Hukuhara tổng quát trái và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t tồn tại và
bằng nhau.
(ii) Hàm X có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [ a, b] nếu X có đạo hàm Hukuhara
tổng quát tại mọi điểm t ∈ ( a, b), đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại b và đạo hàm
Hukuhara tổng quát phải tại a.
Định lý 1.1.8. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [ a, b] → KC (R). Nếu X (t) và X (t)
có đạo hàm tại t ∈ [ a, b] thì hàm X (t) có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t ∈ [ a, b]
và






d
d
d
d
X (t), X (t) , max
X ( t ), X ( t ) .
DgH X (t) = min
dt
dt
dt
dt
Định nghĩa 1.1.9. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [ a, b] → KC (R). Ta nói hàm X
có đạo hàm loại 1 tại t, nếu


d
d
DgH X (t) =
X ( t ), X ( t )
dt
dt
và X có đạo hàm loại 2 tại t, nếu

d
d

X ( t ), X ( t ) .
DgH X (t) =
dt
dt


Để thuận tiện, ta ký hiệu đạo hàm Hukuhara loại 1 là (i )− khả vi, loại 2 là (ii )−
khả vi.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X : [ a, b] → KC (R), trong đó X (t) = [ X (t), X (t)], t ∈ [ a, b].
Ta nói rằng hàm X là w-tăng (hoặc w-giảm) trên [ a, b] nếu hàm thực t 7→ w( X (t))
không giảm (hoặc không tăng) trên [ a, b], viết ngắn gọn là X w-tăng (hoặc X wgiảm).
Nếu hàm X w-tăng hoặc w-giảm trên [ a, b] thì ta nói hàm X w-đơn điệu trên [ a, b].
Tính chất 1.1.9. (Stefanini và Bede [30], Lupulescu [17]) Cho X : [ a, b] → KC (R),
trong đó X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ [ a, b]. Nếu X w-đơn điệu và có đạo hàm
d
d
Hukuhara tổng quát trên [ a, b] thì X (t) và X (t) tồn tại với mọi t ∈ [ a, b]. Hơn
dt
dt
nữa, ta có:
18

Luan van





d
d

(i) DgH X (t) =
X (t), X (t) nếu hàm X w-tăng,
dt
dt


d
d
X (t), X (t) nếu hàm X w-giảm.
(ii) DgH X (t) =
dt
dt
Chú ý 1.1.4. Cho X : [ a, b] → KC (R) và các đạo hàm một phía
tồn tại hữu hạn với τ ∈ ( a, b).

d±
d±
X ( τ ),
X (τ )
dt
dt

Nếu X w-tăng trên [ a, τ ] và w-giảm trên [τ, b] thì
h d−
i
h d+
i
d−
d+
−

+
DgH X (τ ) =
X ( τ ),
X (τ )
và DgH X (τ ) =
X ( τ ),
X (τ ) .
dt
dt
dt
dt
Nếu X w-giảm trên [ a, τ ] và w-tăng trên [τ, b] thì
i
i
h d+
h d−
d−
d+
+
−
X ( τ ),
và DgH
X (τ ) .
X (τ )
X (τ ) =
X ( τ ),
DgH
X (τ ) =
dt
dt

dt
dt
−
+
Đạo hàm Hukuhara tổng quát tại τ tồn tại khi và chỉ khi DgH
X (τ ) = DgH
X (τ ), tức
là
d−
d+
d−
d+
X (τ ) và
X (τ ) =
X (τ ) =
X ( τ ).
dt
dt
dt
dt
Ví dụ 1.1.10. Cho hàm khoảng X : [0, 1] → KC (R) được xác định bởi: X (t) =
[−t2 − 1, t2 − 2t].
1
1
Ta có w( X (t)) = 2t2 − 2t + 1. Ta thấy X w-giảm trên [0, ] và w-tăng trên [ , 1]. Vì
2
2
X (t) = −t2 − 1 và X (t) = t2 − 2t có đạo hàm trên [0, 1]. Theo Định lí 1.1.8 và Nhận
xét 1.1.4, ta được


1


[2t − 2, −2t] nếu t ∈ [0, )


2


1
DgH X (t) =
−1
nếu t =

2




 [−2t, 2t − 2] nếu t ∈ ( 1 , 1].
2

Ví dụ 1.1.11. Cho Y : [0, 2] → KC (R), Y (t) = [2t − 3, |t2 − 1|]. Ta thấy Y wd−
giảm trên [0, 1], w-tăng trên [1, 2] và Y và Y có đạo hàm trên [0, 2]\{1},
Y (1) =
dt
d+
d−
d+
−

+
Y (1) = 2,
Y (1) = −2,
Y (1) = 2. Ta suy ra DgH
Y (1) = [−2, 2], DgH
Y (1) =
dt
dt
dt
{2}, Y có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [0, 2]\{1} và
(
[−2t, 2] nếu t ∈ [0, 1)
DgH Y (t) =
[2, 2t]
nếu t ∈ (1, 2].
19

Luan van


Cho X : [ a, b] → KC (R), trong đó X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ [ a, b]. Tích phân của
hàm khoảng X trên [ a, b] được định nghĩa như sau (xem Markov [19]):
 Zb

Zb
Zb
X (s)ds =
X (s)ds, X (s)ds .
a

a

a

Tính chất 1.1.12. (Stefanini và Bede [30]) Cho X ∈ C ([ a, b], KC (R)). Khi đó,
(i) hàm F (t) =

Rt

X (s)ds có đạo hàm Hukuhara tổng quát và DgH F (t) = X (t),

a

(ii) hàm G (t) =

Rb

X (s)ds có đạo hàm Hukuhara tổng quát và DgH G (t) =

t

(−1) X (t).
Tính chất 1.1.13. ( Markov [19]) Cho X, Y ∈ C ([ a, b], KC (R)). Khi đó,

Rt2

(i)

Rt2

( X + Y )(t)dt =

t1

(ii)

Rt2
t1

X (t)dt +

t1

X (t)dt =

Rt

Y (t)dt,

a ≤ t1 ≤ t2 ≤ b,

t1

X (t)dt +

t1

Rt2

Rt2

a ≤ t1 ≤ t ≤ t2 ≤ b.

X (t)dt,

t

Tính chất 1.1.14. ( Markov [19]) Cho X, Y ∈ C ([ a, b], KC (R)). Khi đó,
H

h Zb
a

X (t)dt,

Zb

i

Y (t)dt ≤

Zb

H [ X (t), Y (t)]dt.

(1.4)

a

a

Tính chất 1.1.15. (Stefanini và Bede [30]) Nếu X ∈ C ([ a, b], KC (R)), X w-đơn điệu
và đạo hàm DgH X khả tích trên [ a, b] thì
Zt

DgH X (s)ds = X (t) gH X ( a),

t ∈ [ a, b].

(1.5)

a

Chú ý 1.1.5. Ta thấy, nếu X w- tăng trên [ a, b] thì (1.5) tương đương với
X (t) = X ( a) +

Zt

DgH X (s)ds,

t ∈ [ a, b]

a

và nếu X w-giảm trên [ a, b] thì (1.5) tương đương với
X (t) = X ( a) (−1)

Zt

DgH X (s)ds,

t ∈ [ a, b].

a

Chú ý 1.1.6. Trong trường hợp hàm X không w-đơn điệu trên [ a, b] thì Tính chất
1.1.15 khơng đúng. Thật vậy, xét hàm khoảng X như trong Ví dụ 1.1.10.
20

Luan van


1
Với t ∈ ( , 1], ta có
2
Zt

1

DgH X (s)ds =

0

Z2

[2s − 2, −2s]ds +

0

Zt

[−2s, 2s − 2]ds

1
2

1 2
1i
= − t − , t − 2t +
2
2


2

và
X (t) gH X (0) = [−t2 − 1, 2t2 − 2t] gH [−1, 0]

= [2t2 − 2t, −t2 ] 6=

Zt

DgH X (s)ds.

0

Do đó, Tính chất 1.1.15 khơng đúng với mọi t ∈ [0, 1].

1.1.3. Thứ tự trong không gian mêtric khoảng
Các khái niệm về thứ tự trong không gian các hàm khoảng và một số tính chất liên

quan đến khơng gian thứ tự khoảng được trình bày trong [24].
Định nghĩa 1.1.11. Cho X, Y ∈ KC (R), với X = [ X, X ], Y = [Y, Y ]. Ta nói X  Y
hoặc Y  X nếu X ≤ Y và X ≤ Y.
Mệnh đề 1.1.1. Cho X, Y, Z, W ∈ KC (R) và c ∈ R+ . Khi đó
(i) X = Y khi và chỉ khi X  Y và X  Y,
(ii) nếu X  Y thì X + Z  Y + Z,
(iii) nếu X  Y và Z  W thì X + Z  Y + W,
(iv) nếu X  Y thì cX  cY,
(v) nếu X  Y thì (−1) X  (−1)Y,
(vi) nếu X Y tồn tại thì X  Y ⇔ X Y  0,
(vii) nếu w( X ) = w(Y ) thì X Y  0 ⇔ Y X  0,
(viii) nếu hiệu Hukuhara X Z và Y Z tồn tại thì X  Y ⇔ X Z  Y Z,
(ix) nếu hiệu Hukuhara X Y và X Z tồn tại thì Y  Z ⇔ X Y  X Z,
(x) nếu X  Y  Z thì H [ X, Y ] ≤ H [ X, Z ] và H [Y, Z ] ≤ H [ X, Z ].
21

Luan van


Ta nói { Xk } ⊆ KC (R) là dãy không giảm nếu Xk  Xk+1 với mọi k ∈ N. Tương tự,
{Yk } ⊆ KC (R) là dãy không tăng nếu Yk+1  Yk với mọi k ∈ N. Ta có một số tính
chất sau:
Mệnh đề 1.1.2. Ta có
(i) nếu { Xk } ⊆ KC (R) là dãy không giảm sao cho Xk → X trong KC (R) thì
Xk  X, ∀k ∈ N,
(ii) nếu { Xk } ⊆ KC (R) là dãy không tăng sao cho Xk → X trong KC (R) thì
X  Xk , ∀k ∈ N,
(iii) nếu { Xk } ⊆ KC (R), Y ∈ KC (R) sao cho Xk  Y, ∀k ∈ N và Xk → X trong
KC (R) thì X  Y,
(iv) nếu { Xk }, {Yk } ⊆ KC (R) và X, Y ∈ KC (R) sao cho Xk  Yk , ∀k ∈ N và

Xk → X, Yk → Y trong KC (R) thì X  Y,
(v) nếu { Xk } ⊆ KC (R) là dãy không tăng (không giảm) sao cho tồn tại dãy con
Xkl → X trong KC (R) thì Xk → X.
Định nghĩa 1.1.12. Cho X, Y : J = [ a, b] → KC (R). Khi đó,
X  Y (tức là X (t)  Y (t), t ∈ J ) khi và chỉ khi X (t) ≤ Y (t) và X (t) ≤ Y (t), t ∈ J.
Mệnh đề 1.1.3.
(i) Nếu { Xk } ⊆ C ( J, KC (R)) là dãy không giảm sao cho Xk → X trong
C ( J, KC (R)) thì Xk  X, ∀k ∈ N.
(ii) Nếu { Xk } ⊆ C ( J, KC (R)) là dãy không tăng sao cho Xk → X trong
C ( J, KC (R)) thì X  Xk , ∀k ∈ N.
(iii) Cho Xk : J → KC (R), Y : J → KC (R). Nếu Xk ≤ Y, ∀k ∈ N và Xk → X trong
C ( J, KC (R)) thì X  Y.
(iv) Cho Xk , Yk : J → KC (R), X, Y : J → KC (R). Nếu Xk ≤ Yk , ∀k ∈ N và
Xk → X, Yk → Y trong C ( J, KC (R)) thì X  Y.
(v) Nếu { Xk } ⊆ C ( J, KC (R)) là dãy không giảm (không tăng) sao cho tồn tại dãy
con Xkl → X trong C ( J, KC (R)) thì Xk → X trong C ( J, KC (R)).
Bổ đề 1.1.1. [26] Cho (KC (R), ) là một không gian được sắp xếp thứ tự. Ta có
các tính chất sau
(i) (C ([ a, b], KC (R)), ) cũng là một không gian được sắp xếp thứ tự.
22

Luan van